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《數》簡校勘

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Academic year: 2022

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(1)

HPM 通訊第十五卷第十一期第一版

發行人:洪萬生(台灣師大數學系退休教授)

主編:蘇惠玉(西松高中)副主編:林倉億(台南一中)

助理編輯:黃俊瑋(台灣師大數學所研究生)

編輯小組:蘇意雯(台北市立教育大學)蘇俊鴻(北一女中)

黃清揚(福和國中)葉吉海(陽明高中)

陳彥宏(成功高中)陳啟文(中山女高)

王文珮(青溪國中)黃哲男(台南女中)

英家銘(台北醫學大學)謝佳叡(台灣師大數學系)

創刊日:1998 年 10 月 5 日 每月 5 日出刊 網址:http://math.ntnu.edu.tw/~horng

《數》簡校勘

蘇意雯、

1

蘇俊鴻、

2

蘇惠玉、

3

英家銘、

4

陳彥宏、

5

黃俊瑋、

6

王裕仁、

7

廖傑成、

8

莊耀仁、

9

蔡佳維、

10

林建宏、

11

呂坤明、

12

鄭宜瑾、

13

黃美倫、

14

林玉芬

15

洪萬生案語

《數》是湖南大學嶽麓書院於 2007 年從香港古董市場收購的一本中國古代竹簡算 書。它的定名依據第 0956 號簡的背面寫有一個「數」字而得。本書包含了許多與社會、

經濟、政治、法律和軍事有關的計算,對於研究其它歷史問題亦具有重要價值。根據目 前研究,《數》的編定下限為公元前 212 年(秦始皇三十五年)。也就是說,這本竹簡保 留了至少 2200 年前的數學真實活動內容。

本校勘是台灣 HPM 團隊研究竹簡算書文本的再一次的校勘學習紀錄。上一次,是2000 年 9 月,承蒙郭書春惠寄《筭數書》釋文,因得以接觸真正第一手且時間超過 2000 年的中算文本,我們團隊成員初試啼聲,獲得了極難得的學習經驗,對於我們深入 理解古代中算,真是意義非凡。該項成果隨即在兩個月之後,發表在《HPM 通訊》第 3

1 任教於台北市立教育大學數學系。

2 台師大數學系博士候選人,任教於北一女中。

3 《HPM 通訊》主編,任教於北市西松高中。

4 任教於台北醫學大學通識教育中心。

5 任教於北市成功高中。

6 台師大數學系博士候選人。

7 台師大數學系碩士生,任教於羅東高商。

8 台師大數學系碩士生,任教於新北市錦和高中。

9 台師大數學系碩士生,任教於新北市溪崑國中。

10 台師大數學系碩士生,任教於台中市成功國中。

11 台師大數學系碩士生,任教於新北市丹鳳高中。

12 台師大數學系碩士生。

13 台師大數學系碩士生,任教於台灣師大附中。

14 台師大數學系碩士生。

15 台師大數學系碩士生,任教於澎湖馬公高中。

《數》簡特刊

(2)

HPM 通訊第十五卷第十一期第二版

卷第 11 期(2000 年) ,以「筭數書專輯」名義印行。當時的校勘成員有蘇意雯、蘇俊鴻、

蘇惠玉、陳鳳珠、林倉億、黃清揚和葉吉海等七人。

在十二年之後的今天,我們又有機會再度親炙竹簡算書,通過最樸拙的文字理解功 夫,與兩千多年前的「說算者」對話,並藉以分享他們的「數學實作」(mathematical practice),因緣際會,令人高興。事實上,基於十二年前的那一次經驗,「三蘇」(蘇意 雯、蘇俊鴻和蘇惠玉)歸隊,延續了校勘《筭數書》的基調,再加上英家銘、黃俊瑋以 及其他研究生的挹注,這一本秦簡《數》書的校勘,終於呈現在諸位讀者的眼前。在這 一段時間,蘇意雯負責協調,我們必須特別感謝她的不辭辛勞。

根據蕭燦(2012)的說明,《數》書編號簡 236 枚,無編號簡 18 枚,簡文字數約有 6300 字。至於竹簡的形制,則大多數簡長約 27.5 釐米,少數完整簡長約 27.0 釐米。完 整的簡約寬 0.5-0.6 釐米。又,此一簡書有三道編繩。

由於蕭燦及其他中算史家已經對此一竹簡之研究貢獻了實質的成果,尤其,蕭燦更 是以此簡作為她的博士論文主題,因此,我們團隊的研究看來不無「狗尾續貂」之嫌。

好在我們的主要目的在於學習與分享,同時,我們的校勘也多少意在呼應或反映某些「數 學實作」之特性。我們相信,在這種脈絡中看竹簡算書的數學知識活動,或許也可以貢 獻一得之愚。無論如何,我們後續的相關研究,總是可以從這個校勘開始。而《HPM 通訊》得再刊竹簡算書的校勘,也是難得的機緣,值得我們特別珍惜!

總之,我們非常歡迎各界方家與同好的不吝批評指教!

體例說明

1. 釋文依簡分條書寫,每枚簡之後的數字代表簡的編號。其中,仿蕭燦(2010),2007 年收藏的簡編號記為四位印度-阿拉伯數字;2008 年接受捐贈的簡編號記為兩位印 度-阿拉伯數字,前置大寫英文字母 J。至於整理時無編號的殘片,則賦予六位印度 -阿拉數字,並前置英文字母 C。

2. 簡文原有符號保留:「=」表重文或合文號;「└」表勾識;「‧」表墨點。

3. ( )內之字表相通之字。

4. 〈 〉內字表更正之字,簡文原有錯字不予更動,。

5. 〔 〕內字表原簡殘缺,可據殘筆補足。

6. 簡文字跡不能辨識者,以「□」表示,一格代表一字。

7. 「………」表示無法確認有多少個不能辨識之字。

8. 「□ /」表示竹簡殘斷,無法復原及判讀。

※本校勘版本對於竹簡文字的判讀,主要參考蕭燦博士論文《嶽麓書院秦簡《數》研究》

(2010) 的成果,在儘量保持原竹簡文字的原則下,進行符合算理和當時字詞用法的校改。

又,分節標題是仿蕭燦論文所加。

(3)

※租稅

數 為

取禾 步

取程 法

取程 斗 取禾 而一

〔 亦直

□ / 為

16 據蕭燦 面未見書 第六支竹 本依照蕭

17 本簡之 (1)靠近篇 若依照《

18 「禾」

物。

19 「程」

生等(200

20 本簡主 面積為分

21「步」

古代不用

22 此為重

23 本題為

24 本題亦

25 此題意

2 41 103

即可。也 0460號簡 粟,如此

2 3 41

10 3

就得到第

26 「┕」表

《數》簡

27 此簡上

28 此簡下

稅類算題

16

0956 背

(實),

1819

0887

程,八步一

,如法一步 程,禾田五

24

0955

禾程,三步 一斗。 25 為 半〕升〔者 直(置)所 而一斗┕。

(實)=

燦 (2010) 之註 書寫的字跡。

竹簡的背面,

蕭燦(2010)之釋 之上接簡佚失 篇首,可能是

《筭數書》的

」是帶桿的穀

」有計量考核 06)。

主要是解釋計 分子,分子與 原指長度單位 用平方步,皆

重文號,表示 為禾程術之運 亦為禾程術之 意並不明確,

2 2 41

2 3 10 

 

也就是答案為六 簡的解答,我 此可以列式為

2 3 41

5 10 3 3

5

第0388號簡的 表示勾識記號 簡中共有52 個

上段殘壞,無 下段殘壞,蕭 背

,以所得禾

(術) 20 。 一斗,今乾 步,不盈步 五步一斗,

步一斗,今 為之述(術)

者〕,〔曰半 所取三步者

26 述(術)

=,(實)如

註解,《數》簡 這種書寫方式 參考洪萬生等 釋文,仍將此 失,但依據釋文 是第二、三枚的 形式推估,此 穀物,《詩經‧

核之意。後來 計量穀物的方法

分母相同時 位。一步之長

簡稱之為步 示下一字亦相同 運用,用現代數 之運用,用現代 若此處的禾程 3 20 9

2 3 10  

六步三分步二 我們或可以做

2 30 3 9

300 2

2

的答案。

號,是抄錄者或 個勾識記號,

無法辨識題意 蕭燦(2010)將兩

禾斤數為法 以所已乾為 之九升。述

,以法命之 今乾之為九 得粟四升半

)曰:直(

半〕者倍為

,十而五之

)曰:以受 如法得一步

簡的文字書於 式與《筭數書 等(2006)。至於 此放於篇首。

文,應屬禾程 的位置;或(2 此簡可能是《

豳風七月》有

,與計量或是 法。那就是以

,則得到一步 長歷代不一,周

。 同。

數學符號表示 代數學符號表 程三步一斗是

3 62 0  二。但是,本 做如下的推測

9 111 2700 

或誦習者所做

《筭數書》中

兩簡相接,可

,如法一步 為法,以生 述(術)曰 之。 23

0537

九升,問幾 半升,問幾

(置)所得四 為〔九〕,有

之為三百,

受米為法,以 步,不盈步者

於竹黃一面,

書》相同,《筭 於《數》中此 程題型。蕭燦

2 靠近篇末,

《數》簡全書 有「十月納禾 是各種器械制 以曬乾的穀物 步。

周代八尺為步

示,其解法即 表示,其解法 是指粟,那麼

本題原答案卻為

:因為禾一石

做的標識或記識 中勾識記號則多 可看出為取程類

17

0956

生者乘田步 2

:十田八步 可(何)步 可(何)步 四升

0388

有(又)三□

即除廿七步 以一斗升數 者,以□ / 2

除本簡0956 筭數書》的書 此簡的上接簡 (2010)認為此

可能是最末 中第一題的末 禾稼,黍稷重

品的規格有關 容量為分母 步,秦代六尺

為(8×10)/9=8 即為(10×5)/9

,今得粟四升

為十一步九分 石為粟十六斗

識,與今之頓 多達 157 個。

類型之算題。

HPM 通訊第

1 為 (實)

步者,以為 步一斗?曰 步一斗?得

□之為〔廿 步而得一步 數乘取程步數

8

2185

背面寫有「數 名寫在全書第 簡佚失,算題並 此號簡的原始編 一枚簡的位置 末簡。

重穋,禾麻菽麥 關的法令,也

,以未曬乾的 尺為步。此處的

8+(8/9) (步)。

9=5+(5/9) (步) 升半升,則只

分步一而一斗 大半斗,因此

號「、」相通,

第十五卷第十

)= 22 ,(實 為 (實)

:五步九分 得曰:十一步 廿七〕,〔以 步。

0460

27

2116

數」字外,其 第一題的末簡 並不完整,但 編連位置有兩 置。

麥。」此處泛 也稱為「程」。 的穀物容量乘以

的「步」為面

)。

只要列式

。如果此答案 此,先依照比

參考洪萬生等

十一期第三版

實)如法一

,以九升為 分步五而一 步九分步一 以〕為法。

其餘竹簡背 簡,也就是 但本校勘版 兩種可能:

泛指糧食穀 參考洪萬 以田地的 面積單位,

案無誤,由第 比例把禾換為

等(2006)。

一 為 一 一

(4)

HPM 通訊

秏程 可 斗

租 多

■ 禾 四步 為

租禾

/ 以所

 輿

(置

 租枲 乘

29 此題表

30 此為增

31 本題題 依照題意 斗。

32 釋文中 才是最後

33 「誤劵

34 今多用

35 「‧」

《筭數書

36 本題意 增加田地

37 假設需 題之答案

38 本題是 解法為4

39 此為

40 本題是 那麼,應

41 本題之 原題。

42 輿田係

43 這是有 圖、冊上 及種禾的 禾輿田是 情形:輿

44 此處應

45 此條術

46 「左置 者的關係

訊第十五卷第十

程。 29 以生

(何)? 31 之二┕,為 誤券。 33 田 五斗,欲益 禾兌(稅)田 步九分步四 法,除,

禾。税田廿

〔步數〕,

所券租數為 田租枲述(

置)十五,

枲述(術)

之為(實)

表示穀物有耗 增加之意。

題意為「一石 意可列式為10 中的「術」只表 後需要增加的

劵」,表示實收 用「藉」字,

」表示墨點記 書》中的墨點 意即:有一田 地的面積。

需增加 x 畝的 案為增加5/8 畝

是說有一田地 40/9=4+(4/9)。

「減少」之意 是說有一田地 應該幾步要收 之解法為

24 /(

係指登記在圖 有關種枲(音 上的土地,也 的禾輿田。兩者 是以體積徵收 輿田、稅田(

應脫了「枲」

術文為枲輿田 置十五」,意指 係值得進一步

十一期第四版

生 (實)為

1 其得曰:益 為之述(術 田多若少,耤

益田。 36 其述 田卌步,五 四而一斗。

(實)如 廿四步,六

,幾可(何 為法,即直

(術)曰: 4

,以一束步 曰:置輿

,左置十

耗損時的計算 石禾舂出米七斗

0/7=(10+x)/10 表示了(10×10)/

禾數。

收田租與券書 此處為假設之 記號。多用於另

有15 個。

田地面積240 步 的田地,依照題 畝。因為本簡 地面積40 步,

。 意。

地面積24 步,每 一斗?解法為

)) 10 / 1 ( 5

(  

圖、冊上的土地 音ㄒㄧˇ,大麻的

就是符合授與 者所徵收的稅

,稍後術文的 如1651 號簡

字,同時也知 田 輿田數

稅租

指將代表十五 討論。

為法,如法 益禾四斗有

)曰:取一 耤 34 令田十畝

述(術)曰 五步一斗,租

述(術)曰 法一步。 38 步一斗,租

)步一斗?

(置)輿田

43 大枲五之

數乘之為法 田數,大枲 五, 46 以一

斗,如果要舂 0,即 100=70+

/7=100/7=14+

書(田契)記載有 之意。

另一段文字開 步,每3 步租 題意可列式為 簡之後續簡缺

每5 步租稅一

每6 步租稅一 為24/(5(1/

) 51 / 36 ( 4 

地。

的雄株,可作為 與田地條件者 稅率不同,枲 的注解會再提 簡)及假田(如

知不同品種的 15

數 枲比例常數 一束步數 五的算籌置放於

法而成一。今 有(又)七分

一石者十之 畝,税田二 曰:以八石五

租八斗,今 曰:兌(稅

8

0945

租四斗,今

40 曰:四步 田 42 步數,如 之,中枲六之 法, (實 枲也,五之 一束步數乘十

舂出一石的米 +7 x,得出 x=

+(2/7),並未將 有誤。參考洪 開始的標誌,

租稅一斗,需 為10/80=(10+x 缺失,所以無法

一斗,需收租

一斗,需收租稅 36 ( 4 )) 10  

,也就是第

為織物原料)的 者得到的土地 枲輿田是1/15 提到。由《數》

如0842 號簡 的枲,徵收的

 數 枲高

數 。

於左邊。這說

今有禾,此一 分

0809

之而以七為法 二百卌步,三 五斗為八百 今誤券九斗 稅)田為 今誤券五斗一

步五十一分 如法而一步 之,細七之 實)如法得 之;中枲也 十 1743

,要增加多少

=30/7=4+(2/7 將此題全部解 洪萬生等(2006

兼有與上文相 收租稅8 石 x)/85,即 850 法推知其解法 租稅8 斗。現

稅4 斗。現在 )

51 /

6 ,也就 1939 號簡之答

的枲輿田稅租

。由1654 號

,禾輿田是1

》簡可清楚得

)。

比例也不同

說明了籌算工

一石舂之為 法┕。 32 它秏

三步一斗,

37

0939

,問幾可(

(實),九 一升,欲耎 分步卅六┕一

,不盈步者

44 以高乘

45 0900

,六之;細

少的禾?」假 ),所以,本題 完,應該再進 6)。

相隔斷。《數

。現在要多收 0=800+80x,

法。

現在應收9 斗

在應收5 斗 1 升 是四步五十一 答案,下接簡

租的術文。同上 簡的簡文可知 /10。此外,枲 得知當時至少有

工具的使用,影

為米七斗,當 秏程如此。

租八石。

(何)步一斗 九斗

0982

39 □ /

081

一斗

41 者,以法命之 乘之為 (實

0

細枲也,七之

假設需增加x 斗 題之答案為增 進行14+(2/7)-1

》簡中共有8 收租稅5 斗,那

得出x=50/85

,那麼幾步要

升,想要減少 一分步卅六一 簡0816,剛好

上注,輿田係 知,輿田可分 枲輿田是以重 有下列三種不

影響了術文的

當益 30 禾幾

0802

‧· 35 今誤券 斗?得曰:

17 1939

之。

0816

實),直 之。以高

斗的禾,

增加4+(2/7) 10=4+(2/7),

8 個墨點,

那麼就要 5=5/8,本 要收一斗?

少〔步數〕,

一斗。

好可以補足

係指登記在 分成枲輿田 重量徵收,

不同的租稅

的內容,兩

(5)

HPM 通訊第十五卷第十一期第五版

五為法,如法一兩。不盈兩者,以一為廿四乘之,如法〔一朱(銖)〕,〔不〕□ / 1835

/〔盈〕朱(銖)者,以法命分。 47 1744

 枲〔輿〕田六步, 48 大枲高六尺,七步一束,租一兩十七朱(銖)七分朱(銖)一。

49 0835

 枲輿田五十步,大枲高八尺,六步一束,租一斤六兩五朱(銖)三分朱(銖)一。 50 0890

 大枲田三步少半步,高六尺,六步一束,租一兩二朱(銖)大半朱(銖)。 51 0849

 大枲田三步大半步,高五尺=,(尺)五兩,三步半步一束,租一兩十七朱(銖)

廿一分朱(銖)十九。 52 0888

 枲輿田,周廿七步, 53 大枲高五尺,四步一束,成田六十步四分步三,租一斤九兩 七朱(銖)半朱(銖)。 54 0411

 枲輿田七步半步,中枲高七尺,八步一束,租二兩十五朱(銖)。 55 0826

 細枲輿田十二步大半步,高七尺,四步一束,租十兩八朱(銖)有(又)十五分朱

(銖)四。 56 0837

 細枲田一步少半步,高七尺=,(尺)七兩,五步半步一束,租十九束〈朱〉(銖)

47 此條術文與 0900 號簡的術文公式相同,但細節更為詳盡,透露更多的訊息。例如,由「兩」這個單位 的使用,可知枲的租稅是依重量徵收。在0646 號簡、0458 號簡的簡文中有記錄當時的重量換算關係:1 石=4 鈞;1 鈞=30 斤;1 斤=16 兩;1 兩=24 銖。因此,術文才會「不盈兩者,以一為廿四乘之」換算 成下一個單位「銖」。

48 此處字跡殘損,依筆劃殘痕及簡文內容補入「輿」字。

49 依前述術文計算,(6×5×6)/(15×7)=1+(5/7) (兩);5/7 (兩)=(5×24)/7=17+(1/7) (銖),故為一兩十七銖七分銖 一。

50 依前述術文計算,(50×5×9)/(15×6)=200/9=22+(2/9)(兩);2/9 (兩)=(2×24)/9=5+(1/3) (銖),故為一斤六兩五 銖三分銖一。

51 少半表 1/3,依前述術文計算,

313 5 6 10 11 15 6 9 9

   

 (兩);1

9(兩) 1 24 22 9 3

   (銖),故為一兩二銖大半銖。

52 大半表 2/3;半表 1/2,依前述術文計算,323 5 5 110 471 1 63 63 15 32

 

(兩);47/63 (兩)=(47×24)/63 = 17+(19/21)(銖),

故為一兩十七銖廿一分銖十九。此題的數字計算並不簡單,但算題情境看來合理,表示分數運算的熟練是 基本要求。但《數》簡中只提及合分(分數相加)與乘分(分數相乘),不知何故。

53 周表示周長,此處特指圓形輿田的周長,據 J07 號簡所述的圓面積公式看來,此處應當利用「周乘周,

十二成一」求出輿田面積(27

27)/12=60+(3/4)。

54 依前術文計算,

6034 5 5 255 15 4 16

  

 (兩); 5

16(兩) 5 24 71 16 2

   (銖),故為一斤九兩七銖半銖。

55 依前述術文計算,

712 6 7 25 15 8 8

  

 (兩);5

8(兩) 5 24 15 8

   (銖),故為二兩十五銖。

56 依前述術文計算,

1223 7 7 1031 15 4 90

  

 (兩);31

90(兩) 31 24 8 4 90 15

   (銖),故為十兩八銖有十五分銖四。

(6)

HPM 通訊

 枲輿 朱

 枲税

 今枲 數 六 亦 法

 枲 之 之 述 08

57 依前述

算題中的

58 此處字

59 此處字

60 依前述

連同此算

「今…,

61 稅田係 可以得到

62 由於1

63 耎,減 更少的面

64 復,反 算的程序

65 此處字

66 稅田

 枲的比

67 計算如

68 「束」

三銖九分 十六分步

訊第十五卷第十

六十五分朱 輿田九步少

(銖)廿五 税田卌五步 枲兌(稅)

,問幾可(

└一束。 63

〔令所耎步

, (實)

兌(稅)田

,三步廿八 八十七而一

(術)曰:

05

述術文計算,

的「束」字誤 字跡右半部模 字跡右半部模

述術文計算,

算題前的9 個 問…」的提 係指用來繳稅 到驗證: 7 45

16 5 5 5 80

   減少之意,由 面積取到一束 反過來,表驗 序。參見洪萬 字跡右半部模

稅田數 稅租

 比例常數 枲高

如下:16 5 3

 

」字誤寫,應 分銖五」為11 步之八十七一

十一期第六版

朱(銖)一 少半步,〔細 五分朱(銖 步,細枲也 田十六步

(何)一束 欲復之, 64 復 步一為八十

)如法一兩 田十六步,

八寸當三步 一束,租七

:直(置)

113 7 7 3 1 4 15 52

  

 寫,應改為 模糊,依筆劃殘 模糊,依筆劃殘

3 31 15

11 3 7 91

算題,包含了 問形式,比較 稅的田地,所有

7 360(

8

7  兩

(兩),故為五 由0817號、19 的枲。故(16 驗算之意,在

生等著(2006) 模糊,依筆劃殘

數 枲的比例常 一束的步數 高

。故計算如

5 1 1333

  (兩) 應改為「朱」字

6 4

27(兩),算 束。

57 0844 細〕枲高丈

)廿四。 60

,高八尺,

,大枲高五

?得曰:四 復置一束兩

一,不分者 兩。 66 0984

大枲高五尺 有(又)百 斤四兩三束 一束寸數,

392 495

(兩);392 49

「朱」字。此 殘痕及簡文內 殘痕及簡文內

1 ) 75 ( 1078 兩 

了大枲、中枲 較像是針對枲

有的作物需全 )

兩 ,故為廿二 五斤。

939 號及 0816

5

5)/81=4

《數》簡中僅 ),頁 76-80。

殘痕及簡文內

 常數 枲高

數 ,因

如下 5 5 16 4 81 7

  

  ),故為八斤五 字。此外,「廿 算題答案逆推

丈一〔尺〕

0 0475

,七步一束 五尺,五步 四步八十一 兩數以乘兌(

者,從之以 尺,三步一 百九十六分 束〈朱〉(

,耤令相乘

2

5(兩) 392 495

 

此題的數字計算 內容補入「細 內容補入「少

) 75( 1428 兩 ,

7 2

枲與細枲等各種 枲輿田術的練習

全部上繳,即 二斤八兩。

6 號簡可知,

4+(76/81) (步/

僅有此例。另

內容補入「令所 因此,一束兩

81 81 76

 

五兩八銖。

廿八寸當三步

:(16×5×5)/[1

58 三步〔

束,租廿二斤 步一束,租五 一分七十 078

(稅)田,而 以為〕 65 077 一束,租八斤 分步 0841

銖)九分朱 乘也,以一束

24 1 5 19165(銖

算也不簡單,

」及「尺」字

」字。

25 824 75 24

28 

種枲的情形。

習題。

輿田數 稅租

「誤券一兩」

/束)。

外,在《筭數 所耎步一為八

兩數 稅

=稅田數/一

步」疑為衍文 116+(4/27)]=3

少〕半步一 斤八兩。 61 五斤。 62 今誤

88

而令以一為八 75

斤五兩八朱 朱(銖)五 束步數乘之

銖),故為十九

,但算題情境 字。

,故為十四兩

以體例來說

數 枲的比例常 一束的步數

表示租稅變 數書》的少廣 八十一,不分者

稅租 一束的步數

文,或此處有脫 3+(87/196),應

一束, 59 租十 1651 誤券一兩,

八十一為

朱(銖)。 67 五, 68 救(求 之以為(實)

九銖百六十五

境看來合理。

兩八銖廿五分

,本題不同於

 常數 枲高

數 。

變成81 兩,所 廣題(第 66 題) 者,從之以為

脫文,依「租 應為三步有(

十四兩八

欲耎步

(實),

7 今復租

求)此之

五分銖一。

分銖廿四。

於其他算題

由此算題

所以需要以 )也是有驗 為」等字。

租七斤四兩

(又)百九

(7)

亦直 082

 □ / 如

 枲

 大枲

 為枲 如 一束

 禾輿

(術

 税

 為積 美 令 07

 田

69 依術文

70 算題不

71 此簡完

72 簡下端

73 枲生田

74 由內容 所以 一束

75 接下來

 稅田數

一束 前後兩段 一步討論

76 此處字 240 11

77 由於五 位,一石

78 1654 號 的解讀。

79 「四」

(升),故

80 除,減

81 據後面

82 依題意

2200(平

83 題意為

直(置)所 24

□□自乘,

法得一步。

五之,中枲 枲高五尺,

枲生田, 73 法一步。 74 束两數為 輿田十一畝 術)曰:倍 田三步半步 積二千五百

,租輕田步 十一步一斗 85

五步,租一

文計算應為 13

3 不完整,無法 完好,似可與 端殘缺。

田係指所收割 容可知此枲生

 15 束步數 租

一束兩數 來的術文討論

一束兩數稅 束步數

段的術文內容 論。

字跡模糊,依

2640(平方步 五步半步一斗 石

10 斗;一

號簡末端殘壞 字誤寫,應改 故為四升廿二分

減去之意。依 面簡文「令十 意,租二石

平方步),與田 為:面積五步

所新得寸數

,□□一束

。大枲五 70 枲六之,細

,枲程八步 以一束兩數

4 耎枲步數之

(實),

畝,〔兌〕

倍二〔百六 步└,七步 百五十步,

步,欲減田 斗,即以十 一斗一升七

331 3 3 116 87 2 3196

 

法得知題意。

與0387 號簡編 割的枲尚未經過 生田為輿田,輿 租稅 一束步數

= 比例常 論稅田的情形

 稅田數 枲的

一束 不同,加上 依筆劃殘痕及簡

步),稅為 264 斗,故租稅為

一斗

10 升,

壞,依筆劃殘 改為「二」字。

分升十七。

依題意為2550 十一步一斗」,

20 斗,故禾輿 田十畝相比,

步的田,租金一

,耤令相乘 束步數乘之為

0387 枲七之。 71 一束,今□ / 數為法,以一

之述(術)

租两數為法

(稅)二百 十四步為〕

少半一斗,

除田十畝,

, 0813 步乘十畝,

分升一,今

4

27(兩),故為

編連。

過乾燥,可參 輿田 輿

稅租

 15

 數 租稅 常數 枲高 =

,求的是稅田

 比例常數 枲 束步數

「耎枲步數之 簡文內容補入 4(平方步),這 264/5+(1/2)=

故為四石八斗 痕及簡文內容

。依題意為[3+

(平方步)

10 此處「耤令十 輿田總產量為

2400

2200 一斗一升七分

乘也,以為

為 (實)

1 1652

72 2172 一束步數乘

,以稅田乘 法,如法一 百六十四步

78 …… 16

,租四升廿

,田多百五十

,租二石者 今欲求一斗

為七斤四兩三

參考0887 號簡 15

 輿田數 枲比例

一束

=輿田數

,此術

田租稅:

枲高

稅租 。 之術」,說明0

入「兌」字。

這表明禾輿田 (264

2)/11=

斗。

容補入「百六 +(1/2)]/[7+(1/

0

240(平方步 十三斗」應為 為20

10

20

0

200(平方步 分升一,那麼

為法, (實

,以所得寸

乘十五,以兩 乘 0952 一步。 75 075

76 五步半 654

廿四〈二〉分 十步, 80 其 者,積二千二 斗步數,得田

銖九分銖五

簡「取禾程術

 例常數 枲高 束步數

術文是求輿田

0952 號簡與 0 同時,一畝

的稅率為1/1 48(斗)。注

六十四步為」字 /3)]=21/44 (斗

步)

150(平方 為「耤令十三

00 斗。令十一 步),故田少二

,如果租金一

HPM 通訊第

實)如法得 寸數自乘也

兩數乘之為 58

步一斗,租 分升十七。

欲減田,耤 二百步,田 田幾可(何

術」。

田面積。

0758 號簡的編

240(平方步 0。

注意的是,禾的 字,其餘無法 斗),21/44 (斗)

方步)。

三步一斗」。

一步一斗,所以 二百步。

一斗的話,田

第十五卷第十

得一□□ /。 6 也,為法,

為 (實) =

租四石八斗

79 0847 耤令十三斗 田少二百步 何)? 83 曰:

編連或有問題 步),禾輿田十 的租稅徵收是 法辨識,但不

)=(21×10)/44=

以田地面積為 田地面積為何

十一期第七版

9

(實)

,(實)

77 其述

81 今禾

82 四步卅

題,值得進 十一畝為

是採體積單 不影響此題

=4+(17/22)

為200

11

(8)

HPM 通訊

 田廿 廿 七

 田 廿 法

 為 九

 □ /

 五步

※面積

 田

 甲 之一

84 從此術

85 依照術 之」,分子 有的簡文 文從簡。

86 叚,「

87 提封,

88 此題為 殘缺一個

89 圍,圓 束。

90 田方,

十步為一 方十五步 與體積的 在內,多 方步」。但 步的長方 徵之於劉 尺七寸者 為長度單 度單位時 與體積單 意即一石 證。

91 蕭燦認

92 從(通

93 關於分 數相乘時 蕭燦在所

訊第十五卷第十

分步之十九 廿步,租十 八分步之十 分升之二而 五十五畝,

三畝,今欲

,以租乘分 法,亦直(

分之四,今

□七分步五 步乘之為 積類算題

方十五步半

〈田〉廣三 一。 93 076

術文猜測,其 術文,此題算 子乘以7,分 文判斷,其術

假」之古字

,有大凡,諸 為按照租田畝 個「為」字。

圓周長的測量

,正方形田地 一畝,《九章算 步半步」之「

的問題,亦均使 多數學者均將面 但是,有另一 方形,而當「

x

劉徽在〈商功 者,謂方一尺 單位。另一個好 時,這些單位可 單位。參閱王榮 石的粟堆積成

認為「甲」為 通「縱」)為長 分數的乘法計 時,分母相乘的 所有以「步」

十一期第八版

九┕。述(

十六升,今 十七。述(

而七之,亦七

,租四石三 欲分其租。

分田,如法 置)三步而 今四步廿二 五而一束。

(實) ,直

半步,為田 三步四分步三

64

其算法應為:1 算法為([5+(2/

分母亦乘以7 文所記載的計

,此處意為借 諸凡之意,此處 畝數之比例分配 量單位。在《筭

地之邊長,本題 算術》之畝法亦 步」,明顯為 使用「步」為 面積問題中答 一派學者有不

x

步」代表體 章〉第二十五

,深二尺七寸 好處是,當面 可以維持十進 榮彬、李繼閔

以一尺見方為 為「田」之誤寫

長度。

計算,在《數》

的結果,沒有其 為單位的面積

術)曰:耤 有租五升七 術)曰:以 七其法,以廿

斗而三室共 述(術)曰 一斗,不盈 而三之,凡九

分步二而成 0986 直(置)二圍

一畝四分步 三, 91 從(

10×5÷(11+(1/7 /7)]×7×20)÷

。此算題與0 計算步驟並不 借用,租用。

處意為總計,

配田租。依簡 筭數書》的「

題為正方形田 亦為二百四十 為長度單位,但

為單位,這一 答案之「步」解

同的看法。當 體積時,則是將

五問的注解。

寸,凡積二千 面積或體積的 進制而不用換 閔(1995)。在體

為底的長方體 寫。廣為寬度

》的簡文中,

其他術文說明 積均解讀為「

耤直(置)

七分升之二 以十六為法 廿步乘五升 共叚(假)

曰:以田提 盈斗者,十 九即十之,

成一斗。 0

圍七寸, 89

步一。 90 11 縱)五步三

7))=175/39

÷(16×7)=6 899 之算題同 不相同,可能抄

即所租田之 簡文內容判斷

「取枲程」一

田地面積,依前 十步,所以本題 但是在答案的

點與《九章算 解釋為「平方 當「

x

步」代表

將物體視為底 此問原文首句 千七百寸」。第 的答案需要同時 換成百進或千進 體積類算題中 體時,高度為二

度。

僅0410、07 明如何作帶分

「步 」,我們2

一斗升數 二,得田幾可 法,直(置)

升有(又)七 之, 86 一室 提封數□ / 87 0 十之,如法得

令廿二而成 0474

耤令相乘也

100

三分步二,

9=4+(19/39) 6+17/28。在此 同類型,同樣

抄自不同母本

總數。

斷,若0757 接 題中,直徑

前述術文計算 題的答案換算 的部分亦使用

算術》等中國 方步」,而將體

表面積時,是 底面一步見方

句為「程粟一 第二類解讀的

時用到如「丈 進制。研究者 中,簡0801 亦

二尺七寸。這

778、0774 號 分數的乘法。依 們依照前面註釋

,以五步 84 可(何)?

)五升有 0 七分二,如法

室十七畝,一 0842

得一升。 88 成一步

=

, (步

也,以為法

92 成田廿一

此題中,因為 都有牽涉到分 本,或是因為

接於0842 之後 1 尺的圓周長

算, 1 1 15 15

2 2 算得「一畝四分

「步」為面積 國古代算經的用 體積問題中答 是將圖形視為 方,高為

x

步的

一斛積二尺七 好處,不只在 丈」、「尺」、「寸 者傾向以這種方 亦有「粟一石居 這也可以作為以

號竹簡中簡略提 依前述術文計算

釋的理由,將

0899 曰:六步有 0953

法而成一步 一室十五畝

0757 步)居二斗有

,如法一步

一步有(又)

為分子有2/7,

分數的計算。

為0899 較簡單

後,0842 簡文 長稱為一圍,三

1 1 22404。秦 分步一」。本題 積單位,後文

用法均相同。

答案之「步」解 為寬度為一步

的長方體。這 七寸」,而劉徽 在於「步」可 寸」等原本為 方式看待古算 居二尺七寸」

以上對「步」

提到幾個特殊 算, 3 2

3 5 4 3 將單位寫成術文

有(又)

85 0932 畝,一室

有(又)

步。 0912

)四分步

因此「七 但是從已 單,因此術

文最後可能 三圍為一

秦制二百四 題題幹「田 文有關面積 包含蕭燦 解釋為「立

,長度為

x

這種說法可 徽注云「二 可以持續視 為十進制長 算中的面積

」的描述,

解釋之印

殊的單位分 211

 4 (步)。

文原有的

(9)

HPM 通訊第十五卷第十一期第九版

 □ /廣十五步大半 = (半)步, 94 從(縱)十六步少半 = (半) , 95 成田卅二步卅六分步 五。 96 述(術)曰:同母,子相從, 97 以分子相乘。 98 0829

 田廣六步半步四分步三,從(縱)七步大半步五分步三, 99 成田五十九步有(又)

十五分步之十四 100 。 1742

 田廣十六步大半

=

(半)步,從(縱)十五步少半

=

(半)步,成田一畝卅一步有(又)

卅六分步之廿九。 101 0954

 田廣十六步大半

=

(半)步,從(縱)十五步半步少半步,成田一畝卅一步有(又)

卅六分步之廿九。 102 0976

 步,令〔與〕廣相乘也,而成田一畝。 103 0761

 □ / 五步半步三分步一┕,四分步一┕,五分步一┕,六分步一┕,七分步一,成田 卌三步萬九千六百 104 0935

 有田五分步四,六分步五,七分步六,成田二步有(又)二百一 □ / 1827

「步」。

94 簡首殘,蕭燦依題意與竹簡長度補上「田」字。

95 此題的問題與術雖然雷同於《九章算術》「方田」章的大廣術,但是數字更為複雜。在《九章算術》的 大廣術中,問題只牽涉到兩個帶分數的相乘;但是此題卻是(15+(2/3)+(1/2))×(16+(1/3)+(1/2)),需要先處理 幾個分數相加,再相乘。蕭燦依文例在「少半=」後加上「步」字。

96依題意計算, 15 2 1 16 1 1 272 5 ( ) 3 2 3 2 36

       

   

    步 ,即1 畝又32 5

36步。因此,「成田」之後須加上「一 畝」。

97 這裡是指本題的廣與從分別將分母通分後將分子相加的過程。

98 此題的術文也遠比大廣術簡潔,「同母」,先處理分數加法,化成相同分母;「子相從」,分子相加,「以 分子相乘」之後應該有脫字,此法未說明完全。蕭燦認為本句應修改為「令分母子各相乘」才符合分數乘 法的運算。此外,蕭燦也認為本題或可對應於《九章算術》與《筭數書》的「大廣田術」與「大廣術」。 從方法論來看,本題與大廣田術都是將廣從化為假分術之後相乘。不過,《九章算術》與《筭數書》中對 應於「大廣」的題目,數字都是假分數,也就是整數帶著一個真分數。然而,本題的數字是整數帶了兩個 真分數,而其中一組真分數和還大於1。這一點就跟「大廣」略為不同,反而跟《九章算術》與《筭數書》

的「少廣」所對應的題目類似。因為本題的術文簡略,無法確認作者的想法是否與《九章算術》與《筭數 書》的大廣術相同,所以,我們認為不宜貿然將之對應「大廣術」。或許可以將之視為一單純的分數運算 例,或是將本題與下面幾道類似題視為自成一類。

99 關於用幾個分數連加的形式來表示一個數,其算法在「少廣」的簡文中有說明方法,但是此處引用的 分數數據遠比「少廣」簡文中的複雜許多。為什麼在《數》的簡文中要用分數連加來表示一個數?《九章 算術》中除了「少廣」章中,有單位分數的連加之外,其餘並沒有這樣的表示方式;而《算數書》除了少 廣題之外,僅在「合分」與「徑分」的術文中舉例(7+(1/3)+(1/2))或(3+(1/2)+(1/3))而已。然則這樣的 形式是否可能來自於測量時,分段進行的因素?

100 依前術文計算, 6 1 3 7 2 3 5914( ) 2 4 3 5 15

       

   

    步 。

101 依前術文計算, 16 2 1 15 1 1 27129( ) 3 2 3 2 36

       

   

    步 。

102 0976 與 0954 的算題相同,僅在「縱」的分數加法表述中相反。是抄寫者的失誤,亦或是有不同的母 本,我們不得而知。本題與前一題的計算過程相同,只有在「從」的表述上有區別。0954 號簡記為「從 十五步少半=步」,而 0976 號簡則記為「從十五步半步少半步」。

103 本條簡完好,但前簡缺失。無法判讀題意。

104 簡首殘,蕭燦依題意在前面加上「田方」。簡末仍有空白,但依題意其答案尚未完結,其餘文字可能寫 在另一竹簡之上,同樣情形亦出現於 J09+J11 簡上。本題依術文計算,

1 1 1 1 1 1 2 9129

5 43 ( )

2 3 4 5 6 7 19600

        

 

  步 。本題也是《數》中少數不以「少半」稱呼1

3的算題。

(10)

HPM 通訊第十五卷第十一期第一○版

/ 之百三。 105 1638

 □ / 成田五步有(又)四百卅二分之 □ / 106 1524

 里田述(術)曰:里乘里=,〔里〕也, 107 因而参之,有(又)参五之,為田三頃 七十五畝。 108 0947

 □田之述(術)曰:以從(縱)二百卌步者,除廣一步,得田一畝,除廣十步,得 田十畝,除廣百步,得田一頃,除廣千步得田 109 1714

 箕田曰: 110 并舌歱步數而半之, 111 以為廣,道舌中丈徹歱中, 112 以為從(縱),相 乘即成積步。 113 0936

 周田述(術)曰: 114 周乘周,十二成一; 115 其一述(術)曰,半周半径, 116 田即定,

径乘周,四成一;半径乘周,二成一。 117 J07

 周田卅步為田七十五步。 118 0812

 宇方百步,三人居之,巷廣五步,問宇幾可(何)。其述(術)曰:除巷五步,餘 九十五步,以三人乘之,以為法;以百乘九十 0884

五步者,令如法一步,即陲宇之從(縱)也。 119 0825

105 本題直接依術文計算,4 5 6 2103

5 6 7   210。因此,蕭燦將1827 與 1638 組合為同一題之首尾。本題蕭燦 認為是長方形田地,一邊長為1 步,另一邊是「五分步四,六分步五,七分步六」。我們同意這樣的解讀,

但本題這正好可以印證我們對「步」的解讀,也就是當「步」用在面積算題時,不必硬要將之解釋為「平 方步」,而可以看成長度單位,因為田地可以轉化成一邊為1 的矩形,此時另一邊的長度與面積的「步數 相等」。

106 本題竹簡上下均殘,無法解讀。

107 表示邊長為「里」的正方形,面積亦以「里」表示。

108 依前術文計算,1 3 5 5 5 375( )=3 75     畝 頃 畝。《九章算術》方田章亦提及:「里田術曰:廣從里數 相乘得積里。以三百七十五乘之,即畝數。」

109 蕭燦依題意猜測首字應為「除」,簡末應補上「十頃」。本題中「除」字發音為「ㄓㄨˋ」,應解釋為開、

啟或給予之意。《詩經.小雅.天保》:「俾爾單厚,何福不除」。本題為《筭數書》中「啟廣」與「啟從」

兩題的逆問題。

110 此處的「箕田」應與《九章算術》的「箕田」相同,均為等腰梯形。

111 「舌」與「歱」應指等腰梯形之上底與下底。

112 「道舌中丈徹歱中」是指從上底中點至下底中點連線,或可稱為「正從」。

113 本題依據術文,箕田面積 = (舌+歱)×(1/2)×正從。從本題的敘述來看,公式的推導應該是使用中國古算 中常見的「以盈補虛」法則,從等腰梯形上下底中點連線切開,將其中一半翻轉後,使其與另一半在兩腰 處合併成為一長方形,即可看出術文的正確性。

114 由術文可看出「周田」即圓田。

115 術文與《九章算術》「方田章」的圓田術之一相同,且均以 3 為圓周率。

116 術文指另一個方法為「半周半徑」,應為「半周乘半徑」,或仿《九章算術》的「半周半徑相乘」。

117 「其一述曰」後方列出三條術文,可見作者將後三者視為同一種方法。同時作者在「半周半徑」與最 後二者間寫上「田即定」,似乎是指後二者乃是從前面推倒而來。這三條術文都同時用到周與徑,所以與 圓周率無關。蕭燦認為本題所有公式都用到周三徑一乃是誤解。此外,蕭燦僅從《數》中有等腰梯形與句 股算題推測,這些圓面積的推導方式是從圓內接正六邊形與外切正方形而來,應是過度解讀。本題的「半 径乘周,二成一」,不見於《九章算術》與《筭數書》。此術文與阿基米德以及Abraham bar Hiyya ha-Nasi (11-12 世紀) 的圓面積公式有異曲同工之妙,但推導方法不同,此條術文應該是從前面的「半周半徑」推導而來。

118 根據前述周田術,本題周田面積 = 30 30 1 75( )

 12 步 。本題同於《九章算術》方田章第三十一題。

119 從問題本身來看,題目似乎是問一個百步見方的房屋,去除寬五步的小巷之後,分給三人居住。這題 可以問每個人獲得的面積,抑或是每人獲得的房屋寬度。但是術文的寫法是 100 95

(100 5) 3

  。法與實都有95,

如果都不寫,就可以視為直接分配寬度。蕭燦就畫出了下面的示意圖:

(11)

HPM 通訊第十五卷第十一期第一一版

※營軍之術

 營軍之述(術)曰: 120 先得大卒數而除兩和各千二百人而半棄之, 121 有(又)令十 而一└, 122 三步直(置)戟,即三之,四直(置)戟,0883

即四之,五步直(置)戟,即五之,令卒萬人,問延幾可(何)里?其得□ /1836

/〔袤〕三里二百卌步,此三步直(置)戟也。 123 0800

但是,本題不用寬度而用面積來計算。根據蕭燦的引述,鄒大海認為這是使用出入相補的手法,將可分配 面積(100 × 95)轉換成長條狀,長度為 (100 – 5) × 3。因此推導過程可用下圖表示。

120 這是有關構築營壘,布置軍陣的術文。本算題提供了一個軍陣營壘的實例,營壘為矩形,若其中一個 邊長為既定,另一個邊長則可根據人數和置戟的間距(如本題有三步、四步與五步三種置戟之間距)計算 出來。

121 「大卒數」在本題中指的應該是軍隊的總人數。蕭燦(2010)對於「兩」這個字提到三種看法,但她認 為這些看法皆不影響計算:第一,「兩」為軍隊的編制,在西周及春秋早期軍隊的編制裡,25 人為「兩」,

這是參考郭淑珍、王關成著《秦軍事史》(陝西人民教育出版社,2000)的說法;第二,「兩」指的是兵車,

利用「兩」定出矩形軍陣營壘的兩條對邊,所以從「大卒數」中除去「兩」,然後再利用剩下的士卒去布 置另兩條對邊;第三,許道勝以為「兩和」指的是軍營的兩個營門,蕭燦則認為此說可疑。根據本術文內 容,我們認為「兩和各千二百人」中的「兩和」,亦應可單純解釋為「兩數之和」才是。

122 即除以十,由於不是所有的士卒都派去軍陣營壘周邊站崗,因此在計算軍陣營壘的大小時,必須考慮 實際站崗人數與總人數的比例,而本算題取總人數的十分之一為站崗人數。根據蕭燦(2010),這邊的「十」

就是兩個「伍」(五人為伍)的人數,又因為本題是在計算矩形兩對邊的長,兩邊都有置戟的位置,所以,

她認為每個置戟位置就對應一個「伍」。

123 依前術文得算法如下:

長方形軍陣營壘的兩對邊延伸之長度 1

= 2 10

  

大卒數(卒萬人) 兩和各千二百人

置戟之步數

10000 (1200 1200) 1

= 3 1140

2 10

    

(步),即三里二百卌步(一里

三百步)。以軍事為脈絡的算題,

在唐代以前,除了六世紀《五曹算經》〈兵曹〉專門討論之外,其餘的算書中並不常見。與本批竹簡年代 較為接近的《九章算術》與《筭數書》內,除了《九章算術》〈均輸〉章有一題與分配邊防士卒有關的問 題之外,其餘則是完全沒有提及。《九章算術》被認為是西漢張蒼與耿壽昌收集與日常生活、農業生產有

(12)

HPM 通訊

※分合

 合 盈

 〔九 三

 芻一 一 六 稾石

 □ / 四=

 三

=,

(卅

 五 分一

 〔廿

關的數學 的作者或 對於《九 的功能如 理解的。

觸與軍事 可能是軍

124 這是有 乘之後的 作法,其 乘母為實 員從不同

125 □應為

126 蕭燦依

127 根據蕭 之間並無

128 第 18 16/100 錢 第1839 號 於0973 號 說明。

129 此 04 亦列舉出 此處一般 但第一、

130 蕭燦指

131 蕭燦指

訊第十五卷第十

合與乘分 分述(術)

法,以法命 九分五└〕

127 0685 一石十六錢

,芻一升百

,母同,子 石六錢,一 乘三分└,

=(四)十 分乘四分└

, (九 卅)分之一 分乘五分,

一也。 131 0 廿四朱(銖

學問題所編輯 或使用者的背 九章算術》與 如果是要幫助 而《數》中這 事有關的問題 軍事將領。

有關分數相加 的和當作「實 其中法二「其 實,實如法而 同的地方抄來 為「母」字。

依題意與筆劃 蕭燦的研究,

無一貫,因此 839 號簡文後應 錢,稾(禾桿

號與第0973 號簡,因而推 410 簡與接下 出一些分數相 般寫出如「二参

二欄距離不 指出此簡分四 指出此簡的一

十一期第一二

曰: 124 母 命分。J24

,七分六 錢,稾一石 百分錢十六 子相從。09 一升得百分

,二参而六 六=,(十

└,三四十 九)分一也 一也。 130 07

,五=(五)

774 銖)一〕兩

而成,《筭數書 景就十分耐人

《筭數書》的 政府的高低階 這一題出現,

,也就是說,

加的術文,在

」(分子),最 不相類者,母 一」,然而,

的。參見洪萬

劃殘痕在前面

,「七人分三」

可視為不同的 應補上「錢十 桿)一升為6/1

號簡從算法上 推測這兩支簡

來的0778、0 乘的例子,不 参而六」的「運

明顯。依據題 四欄抄寫,但 一、二欄以墨

二版

乘母為法,

└,合之一 六錢,今芻

,稾一升百 41

錢六└,芻 六=,(六)

十六)分一也

=二=,(十

;少半乘十 78

廿=五=,

。 三

書》的擁有者 人尋味。《數》

的成書年代,

階文官處理行 就不禁讓我們

,他們可能是 在分數相加時

最後以「法」

母相乘為法,

由於其所提及 萬生等(2006) 面補上「九分五

」一句與上句 的兩個算題。

十六」三字。

100 錢,因此 上來看是重複 簡可能不屬於同

0774 兩簡列舉 不過,僅列出

運算過程」。蕭 題意,簡首應 但第二、三欄距 墨點分隔,簡的

,子互乘□

一有六十三分 芻稾各一升 百分錢 097 芻石十六錢

分一也;半 也; 少 十二)分一 十,三有(

(廿五)〕分 三百八十四

者則是漢代處

》的下限年代

《數》的年代 行政工作所遇到

們想到這批竹 是戰國或秦帝國

,將兩個分母 當作單位命分 子互乘母并以 及的四種方法

,頁49-50。

五」三字。依 句「合之一有六

依下句術文計 依前述術文得 此得(16/100)+(

複而表達方式不 同一算題。我 舉出一些分數 出相乘所得的結

蕭燦在論文中 應補上「半」字

距離不明顯。

的下部空白。

□為 (實)

分之廿六。

升,為錢幾可 73

錢,一升得百 半乘半,四 少半乘一,

一也;

又)少半也 分一也‧四

〔朱(銖)

理基層行政工 代被推定為公元

代更接近戰國 到的數學問題 竹簡的作者或

國貴族、貴族 母乘起來當作

分。《筭數書 以為實,如法 法並不一貫,

依術文計算,

六十三分廿六 計算得 3 7  得算法如下:

6/100)=11/50 不同,再考慮 我們則認為18 數相乘的例子

結果,比如「

中提到,第041 字。

)=, 125 (實

126 七

可(何)?

百分□ / 128 18 四分一也;

少半也。 12 三分乘三分 也;五分乘 四分乘五分

〕一〔斤〕

工作的小吏。

元前 212 年(

。此外,《九 題,內容中少有 或是使用者,在 族門下食客、政

「法」(分母

》第8 題亦為 法成一」、法三 因此很有可能

(5/9)+(6/7) = 六」之間有4.6

3

 。 7 1 石100 升 錢。蕭燦(20 慮到1839 號簡

839 號簡可視

。《筭數書》

「少半乘少半 10 號簡的簡文

實)如法得 七人分三,各

得曰:五十

839

四分

29 0410 分,三=(三 乘六分,五六

,四五廿=

〕。

相較之下,秦

(秦始皇三十五 九章算術》與

有軍事相關算 在工作的場域 政府高階官吏 母),分子、分

為合分術,細 三「母乘母為 能是本題的編

89/63 = 1+(2 6 釐米空白,

升,芻(飼草 012)提到,鄒 簡開頭的文字 視為0973 號術 第8 題第 2 題 半,九分一也」

文應是分四欄

得一,不 各取七分 十分錢十

分乘四分,

三)而九 六卅=,

,(廿)

〔萬一千

秦簡《數》

五年)。相

《筭數書》

算題是可以 域中或能接 吏,甚至有 分母交叉相 細分為四種 為法,子羨 編者或抄寫

6/63)。

兩句術文

草)一升為 鄒大海認為 字可以獨立 術文之換算 題「分乘」

」,並不像 欄抄寫的,

(13)

 十

 四

 貲一 耐

 馬 馬

※穀物

 以 以麥

 以 以

132 本 06 兩1 斤 480 兩 1 糊,蕭燦

133 蕭燦指

134 46080

135 「貲

136 「垂

137 本 09 出贖「耐 馬甲19

138 贖「死

139 以下編 簡包含四 裡的米泛 而《數》

140 蕭燦(

解,以為 術文的關 的麥。因 米(量)×

成米率與 穀物之率 在此兩穀 來看,它像 而本簡記

141 粺,精 粺米=50 粺精的有

142 本簡記 3 2

〕百廿朱(

六兩一斤。

萬六千八十 一甲直(值

,馬甲四,

甲一,金三 甲十二,錢 物換算類簡

米求麥,倍 麥求粟,九 米求粟,三 米求粺,十

646 簡與接下

;30 斤1 鈞 鈞(16 30 燦依筆劃殘痕

指出此簡分四 0 銖1 石( 24

」,有罪而被罰

」或作「錘」

957 簡與接下 耐」(或作「耏

920 4 7680  死」之罰金為 編號0971、0 四句術文,每兩 泛指由原糧加

中的米常特 (2010)指出「

為2 麥=3 米。

關係為:欲以米 因此,我們認為

。另一方面 與麥率之間的 率來看,米率 穀物之率是相 像是一種方便 記載如下關係

精米。蕭燦(2

:30:27。鄒 有毇米和禦米

記載如下關係 3

2

(銖)一鈞

。 卅斤 十朱(銖)

值)錢千三百

,錢七千六 三兩一垂,直

錢二萬三千 簡

倍母三 (實 九母十 ( 三母五 (實

十母九 (

來的0458、0

;4 鈞1 石。因

480)。「廿 與題意補出 四欄抄寫,但

4 16 30 4   罰令繳納財物

,計量單位 來的0970 號 耏」,剃去鬚鬢

0 錢。

為12 馬甲 19 0823、0853、

兩句為一組。

工去殼後的糧 指糲米,我們

據簡文所述 據此式,或有 米來交換麥時 為可將術文作

,這裡的術文 關係,即欲以 為30,麥率為 符的。同時 便記誦的口訣

:米率 × = 2010)第 54 頁 鄒大海則指出

。參考鄒大海 係:米率×

3 2

5 3

。 四 斤一鈞。

一石。

百卌四, 135 直 百八十。 13 直(值)錢 卌。 138 097

實) 。 139 以麥 實) 。 140 0 實) 。以粟求 實) 。 142 0

0303 兩簡列舉 因此,384 銖 廿四朱(銖)一

但第四欄處空白 46080

 );19 物,即「易科

,1 垂8 銖。

號簡列舉出當時 鬢的一種刑罰

920 12 230  0756 竹簡的

。0971 的前兩 糧食顆粒,又 們同意其意見

:麥=米× 」 有讀者會認為 時,可換得麥 作如下解讀:以

文「以米求麥 以米率求麥率

為45,即 30

,就這本類型 訣或公式,可應

=麥率、麥率×

頁提到依《數》

出,粺在早期不 海 (2003)。

=粟率、 粟率 3 2

百〔八十兩 四鈞一 千九百廿 直(值)金二

37 0957 錢千九百廿

70

麥求米,三母 0971 求米,五母三

0823

舉出銖、兩、

1 斤( 24 16 一」、「朱(銖 白。

920 兩1 石(

科罰金」。

時繳納贖金的 罰)與贖「死

040 錢。

內容,主要是 兩句術文為米 又特指由粟類穀 見。

,然就數學等 為2 單位的麥的 麥的量為所出米 以米換麥時,

麥」並不涉及交 率時,米率×

單位的米可換 型術文,諸如 應用在穀物諸率

× =米率、粟

》所記,與《筭 不是毇,只是

率× =米率 3 2

2 3

5 3

兩一〕鈞。

一石。 133 045 廿兩一石。

二兩一垂, 136

,金一朱(

母倍 (實)

三 (實) 。以

斤、鈞、石 6 384 );115 銖)」、「斤」、「

16 30 4 1  

的幾種等級:

」兩罪所應繳

是不同穀物糧 與麥之間的交 穀物舂出的

等式的意義而 的價值等於3 米量的 倍,

可換得的麥量 交易與單位,

= 麥率。再從 換得45 單位

「以米求麥,

率之間的換算 粟率× =麥

筭數書》和《

是一種比糲米

、粺率× =米 3 2

9 10

10 9

HPM 通訊第十

132 0646 8

百廿

6 一盾直(值

銖)直(值

。以粟求麥 以粺求米, 1

之間的換算關 20 銖1 鈞(

「萬一千五」、

1920 );120 斤

甲(鎧甲)、盾 繳納之罰金。

糧食之間換算的 交易換算關係

(米萬)米,其比

而言,這樣的表 單位米。然而 即一單位的米 量等於所出米

因此,我們也 從《九章算術 的麥,亦即

,倍母三實。

算或者日常生 率、麥率×

《九章算術》相 稍精的米,其

米率、米率×

10 9

1

十五卷第十一

廿斤一石。 1 值)金二垂。

值)錢廿四

麥,十母九

141 九母十

關係:24 銖 24 16 30  

、「八十兩一」

斤1 石( 30 4

盾、馬甲等,

贖「耐」之罰

的比例關係。

係。蕭燦(2010 比例為粟:糲

表示法易讓讀 而,事實上剛 米的價值相當 米量的 倍,即

也認為本術文 術》粟米章之

《九章算術》

以麥求米,三 生活中的穀物交

=粟率。

相同,都是粟 其精度與糳米

粺率。

3 2

0

9 10

一期第一三版

34 0303 贖

,贖死,

(實) 。

(實) 。

1 兩;16 11520

 );

」,字跡模

4 120 )。

並特別指 罰金為4

每一根竹 0)指出,這 糲=5:3。

讀者產生誤 剛好相反,

當於 單位 即麥(量) = 文也可解讀 之中所列各 與《數》

三母倍實」

交易過程。

粟:糲米:

米相同,比 3 2

參考文獻

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