活動(一)：向量的定義 (時間：10分鐘)
1. 何謂「向量」？
放一個代表線段的實體教具在黑板上
在此線段的其中一端放置一個箭頭，
就形成了「向量」的具體表徵
箭頭指的方向代表「向量的方向」
線段的長度代表「向量的長度」
「向量」的「向」是指它具有方向
「向量」的「量」是指它具有長度
向 量
方 向
長 度
2. 向量的圖形與符號表示法
放一個實體向量在黑板上
在無箭頭的一端畫上一點，寫上「起始點」且標示出「A」
A
起始點
在有箭頭的一端也畫上一點，寫上「終點」且標示出「B」
A
起始點
B
終點
A
起始點
B
終點 再把實體向量拿下來
從 A 點畫直線到 B 點，並在 B 點畫上箭頭，
此為向量的圖形表示法
A
B
終點
起始點
我們把此向量稱為「 AB 向量」，用符號表示成「 AB 」
A
B
終點
起始點 此為向量的符號表示法
AB
另外還有一種只用一個小寫的英文字母表示。
A
B
終點
起始點
AB a
所以此向量也可稱為「 a 向量」，用符號表示成「 a 」
A
B
終點
起始點
AB a
3. 何謂「零向量」？
長度為零的向量稱為「零向量」 ，用符號表示成「 0 」 也就是向量的起始點與終點重合
0
我們不探討零向量的方向，因為它的方向是任意的
0
4. 向量相等的概念
a
放一個實體向量在黑板上，並用符號表示成 a
再放 3 個向量，分別用符號表示成 、 、
a
b c d
b
c
d
其中只有 與 方向和長度都相同
a
b
c
d
b a
我們就說 、 兩向量相等， 記成
a
b
c
d b
a a = b
a a
a
向量與它的位置無關，只要方向與長度不變，
就還是同樣的向量
所有的零向量皆相等，因為長度為零皆相等 且不探討它們的方向
活動(二)：反向量的意義 (時間：2分鐘)
放一個實體向量在黑板上，並用符號表示成 a
a
再放上一個長度相同，但方向相反的向量
a
我們把此向量稱為 a 的反向量，用符號表示成 a
a a
另外放一個實體向量在黑板上，並用符號表示成
A
B
AB
AB
再放上一個長度相同，但方向相反的向量
A
B
AB
從圖中可看出，此向量的起始點為 B 而終點為 A，
所以此向量為 BA
A BA
B
AB
AB AB
AB
A BA
B
AB
而此向量也稱為 的反向量，用符號表示成
所以 BA = AB
AB
A BA
B
AB
=
活動(三)：向量的係數積 (時間：3分鐘)
放置 2 個
a
a a
a
a 2 a
所得的向量為 a 的 2 倍，我們用符號表示成 2 a
把 a 分解成兩個相等的向量
兩向量皆為 a 的 12 倍，我們用符號表示成
1 a 2
1 a 2
1 a 2
把 1 個 與 1 個 頭尾相接
1 a 2
a
a 1
2 a
1 a 2
a
所得的向量為 a 的 32 倍，我們用符號表示成 3 a 2
3 a 2
另外再把 1 個 與 1 個 頭尾相接
1 a 2
a
a 1
2 a
所得的向量為 的 倍，我們用符號表示成 23 a
1 a 2
a 3 a
2 a 32
活動(四)：向量的加法 (時間：3分鐘)
放兩個實體向量在黑板上，並用符號分別表示成 與
a b
a b
a b
求出 a + b
在黑板上任取一點作為起始點
a b
起始點
移動 到起始點
b
起始點a a
再移動 ，使得 與 頭尾相接
b
起始點a
b a b
b
起始點a
終點
找到 a + b 的終點
畫出
b
起始點a a + b
終點
a + b
活動(五)：向量的減法 (時間：2分鐘)
放兩個實體向量在黑板上，並用符號分別表示成 與
a b
a b
a b
求出 a b
a b
我們把 a b 規定成 a + ( )b
a b
放一個 b
b
a
起始點
在黑板上任取一點作為起始點
b
b
a
起始點
在黑板上任取一點作為起始點
b
b
先移動 a 到起始點
a
起始點
b
b
再移動 b ，使得 a 與 頭尾相接
a
起始點
b b b
+ ( )
找到 的終點
a
起始點
b b
a b
終點
畫出 a + ( )b
a
起始點
b b
+ ( ) 終點
a b
活動(六)：向量加減法的練習 (時間：10分鐘)
A
B C
D
E
F
已知： ABC 為正三角形，且 D、E、F 分別為 AB、
BC、CA 三邊中點
A
B C
D
E
F
DA + FC = _____
老師講解 1 :
A
B C
D
E
F
在黑板上放置 DA 、 FC
從 A、B、C、D、E、F 中任取一點當做起始點
A
B C
D
E
F
A
B C
D
E
F
若先選 B 點為起始點
起始點
A
B C
D
E
F
移動 DA 到起始點 B
起始點
A
B C
D
E
F
再移動 FC ，使得向量頭尾相接
起始點
A
B C
D
E
F
找到終點 E
起始點 終點
A
B C
D
E
F
得到 BE
起始點 終點
所以 DA + FC = BE
A
B C
D
E
F
起始點 終點
重新換個起始點
A
B C
D
E
F
DA + FC = _____
老師講解 1 :
A
B C
D
E
F
在黑板上放置 DA 、 FC
A
B C
D
E
F
若換成選 D 點為起始點
起始點
A
B C
D
E
F
因為 DA 的起始點就是 D 點，所以 DA 不用移動 只要移動 FC ，使得向量頭尾相接
起始點
A
B C
D
E
起始點 F
找到終點 F
終點
A
B C
D
E
起始點 F 終點
得到 DF
所以 DA + FC = DF
A
B C
D
E
起始點 F 終點
再換個起始點
A
B C
D
E
F
DA + FC = _____
老師講解 1 :
A
B C
D
E
F
在黑板上放置 DA 、 FC
A
B C
D
E
F
若換成選 E 點為起始點
起始點
A
B C
D
E
F
起始點 移動 DA 到起始點 E
FC 不用移動，因為向量已經頭尾相接了
A
B C
D
E
F
起始點
找到終點 C
終點
A
B C
D F
起始點 E
A
B C
D
E
F
起始點 終點 得到 EC
所以 DA + FC = EC
A
B C
D
E
F
起始點 終點
從以上三個不同的起始點，所求得的結果向量皆相同，
因為這些結果向量它們的長度和方向都一樣 DA + FC = BE
A
B C
D F
(1) B 為起始點
DA + FC = DF (2) D 為起始點
DA + FC = EC (3) E 為起始點
E
最後再換一個起始點
A
B C
D
E
F
DA + FC = _____
老師講解 1 :
A
B C
D
E
F
在黑板上放置 DA 、 FC
A
B C
D
E
F
若換成選 F 點為起始點
起始點
移動 DA 到起始點 F
A
B C
D
E
起始點 F
再移動 FC ，使得向量頭尾相接
A
B C
D
E
起始點 F
A
B C
D
E
起始點 F
找到終點
終點
A
B C
D
E
起始點 F 終點 應如何表示此結果向量 ?
A
B C
D
E
起始點 F 終點 因為此結果向量與 DF 、BE 、EC 皆相同
所以 DA + FC = DF DA + FC = BE DA + FC = EC 或
或
觀察以上使用了幾個不同的起始點後，
可得知向量的運算與起始點的位置無關，
不論起始點的位置在哪裡，
最後所得的結果向量皆相同，
所以做向量運算時可任意選擇起始點的位置。
A
B C
D
E
F
學生練習 1 :
CD + BE = _____
A
B C
D
E
F
BD EA = _____
老師講解 2 :
先改寫算式 BD EA
BD – EA
= BD + ( - EA )
= BD + AE
A
B C
D
E
F
所以現在要算的是 BD + AE
A
B C
D
E
F
在黑板上放置 BD 、 AE
從 A、B、C、D、E、F 中任取一點當做起始點
A
B C
D
E
F
若選 E 點為起始點
A
B C
D
E
F
起始點
A
B C
D
E
F
起始點 移動 BD 到起始點 E
A
B C
D
E
F
起始點 再移動 AE ，使得向量頭尾相接
A
B C
D
E
F
起始點 找到終點
終點
A
B C
D
E
F
起始點
終點 應如何表示此結果向量 ?
A
B C
D
E
F
起始點
終點 因為此結果向量與 AF 、DE 、FC 皆相同
所以 BD - EA = AF 或 BD - EA = DE 或 BD - EA = FC
A
B C
D
E
F
BE FA = _____
學生練習 2 :
活動(七)：實施向量概念成效測驗 A 卷 (時間：15分鐘)
