109年公務人員高等考試三級考試試題
類 科：資訊處理 科 目：資料結構
考試時間：2小時 座號：
※注意：禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
代號：38450 頁次：2－1
一、考慮數字1到n，若將其順序重新排置，每個排列順序都稱作一個排列或置換
（Permutation），例如5 1 4 3 2是1 2 3 4 5的一個排列。我們可以將一個數字1 到n的排列視為一個順序的映射P，則前述例子可表示為P(5) = 1、P(1) = 2、
P(4) = 3、P(3) = 4、P(2) = 5。當然，1 2 3 4 5也是1 2 3 4 5的一個排列。在 一個數字1到n的排列P中，若一對數字 i 和 j ，1 i < j n，P( j) < P(i)，也 就是在排列P中較大的數字 j 出現在較小的數字 i 左邊（前面），我們稱此 對數字為反向（Inversion），而排列P的反向數（Inversion number）則定義 為排列P中反向的總數量。請回答下列問題：
數字1到n的何種排列會有最大的反向數？最大反向數是多少？（5分）
若給定一個數字1到n的排列P，請提出一個線性遞迴（Linear Recursive）
的方式來算出排列P的反向數，並提供虛擬碼（Pseudo-code）與時間複 雜度分析。（10分）
二、優先佇列（Priority Queue）是依管理物件的優先權來考量，在此我們考慮 管理物件的鍵值（Key）愈小其優先權愈高，兩個主要操作則分別為加入
（Insert）與擷取最小者（Delete_Min）。
請說明如何利用優先佇列對n個鍵值進行排序。（6分）
我們使用一個未排序的陣列（Unsorted Array）來管理鍵值以實現一個 優先佇列，請回答下列問題：（10分）
⑴若有n個鍵值，請說明兩個主要操作（加入（Insert）與擷取最小者
（Delete_Min））的時間複雜度。
⑵請判斷下面的敘述是否為真，並請說明原因：
若以此優先佇列進行排序（Sorting），其所對應的排序原理為插入排 序（Insertion Sort）。
二元堆積（Binary Heap）是一個優先佇列的資料結構，因為我們考慮鍵值 小的物件有高的優先權，所以又可稱為最小堆積（Minimum Heap）。（14分）
⑴在結構上最小堆積為一個完全二元樹（Complete Binary Tree），若使 用一個陣列來實作最小堆積，陣列中物件的鍵值放置如下，請描述此 陣列對應的完全二元樹（以樹狀結構表示）。
Index 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Key 35 18 42 24 7 14 25 12 38 21
⑵請說明二元堆積中何謂堆積特性（Heap Property）？
⑶ 前 揭 ⑴ 中 的 完 全 二 元 樹 並 未 有 堆 積 特 性 ， 請 將 其 進 行 堆 積 化
（Heapify），並以陣列表示出堆積化後的最小堆積所對應之完全二元樹。
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三、請回答下列關於AVL樹（AVL Tree）的問題：
我們欲將所管理的鍵值（Key）依序列出，請問是否可以利用一個AVL 樹對鍵值來進行排序（Sorting）？若不行，請說明原因；如果可以，請 描述方法及時間複雜度。（5分）
請提供一個線性時間的演算法來判斷一個二元搜尋樹是否為AVL樹。
（10分）
在AVL樹上進行一個加入（Insert）操作後，是否最多只需要一次的重構
（Restructuring）即可恢復其平衡的特性？請說明原因。（10分）
四、若我們用相鄰矩陣（Adjacency Matrix）M來表示圖一中的無向圖G = (V, E)，
請考慮下面的問題：
圖一、無向圖G = (V, E)
對於無向圖G = (V, E)：（12分）
⑴請給出對應的相鄰矩陣M。
⑵以字母順序為考量進行深度優先搜尋（Depth-First Search, DFS），請 由節點a開始，描述此深度優先搜尋所產生的深度優先樹（DF-tree）。
請說明在用相鄰矩陣（Adjacency Matrix）表示的無向圖上，進行深度優 先搜尋的時間複雜度，其中節點與邊的數量分別為|V | = n與|E| = m。（8分）
若將圖一無向圖G = (V, E)中的邊給予方向成為如圖二中的有向圖
（Directed Graph）G’：（10分）
圖二、有向圖G’
⑴有向圖G’沒有迴圈（Cycle），是一個無迴圈有向圖（Directed Acyclic Graph, DAG），所以存在節點的拓樸排序（Topological Sort），請對G’
給出一個拓樸排序（Topological Sort）。
⑵請給一個方法來判斷一個有向圖是否沒有迴圈。
