考 試 別: 調查人員 等 別: 三等考試 類 科 組: 電子科學組 科 目: 工程數學

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105年公務人員特種考試司法人員、法務部 調查局調查人員、國家安全局國家安全情報 人員、海岸巡防人員及移民行政人員考試試題

代號:40860 全一頁

考 試 別: 調查人員 等 別: 三等考試 類 科 組: 電子科學組 科 目: 工程數學

考試時間 : 2 小時 座號:

※注意: 可以使用電子計算器。

不必抄題,作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上,於本試題上作答者,不予計分。

一、有一飛行中的子彈,在時間 t 時,其運動彈道之參數式(parametric equation)為 3t〕

sin(2t), 2

cos(2t),

〔 2

X = ,試求:

子彈之速度(velocity)與速率(speed)各為何﹖(10 分)

若子彈從點 A = (2, 0, 0)飛行至點 B = (2, 0, 3π),則對應之彈道曲線長度為何﹖

(10 分)

二、有一矩陣 A,已知其特徵值(eigenvalue)為 3 時,對應之特徵向量(eigenvector)為

⎢ ⎤

⎡ 1 1 ,

而特徵值是–2 時,對應之特徵向量為

⎢ ⎤

⎡ 1

2 ,試計算

⎢ ⎤

⎡ 3

2 4

A 為何?(20 分)

三、設 ⎪⎩ ( ]

∈ +

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ ∈

= −

0 , 1 ,

2 1 sin 3

) 1 , 0 ( ,

tan )

f( 1

1

x x x x x

又,在(–1, 1)區間內,f(x)之 Fourier 級數可用下述

的 g 函數表示之: ∑

= +

+

=

1

0 [ cos( ) sin( )]

) 2 g(

n

a

n

n x b

n

n x

x a π π ,若此 g 函數之 Fourier 級數

表示式亦適用於(–1, 1)之區間,則 g(3) + g(4) + g( 3 ) 之值為何?(20 分)

四、有一偏微分方程式如下:u

xx

= u

t

,其中 0 < x < π,且 t > 0。又其邊界與初始條件各為:

u

x

(0, t)=0 , u

x

(π, t)=0 , u(x, 0)=(x–π/2)

2

。 若 上 述 方 程 式 之 解 可 表 示 為 :

=

+ −

=

1 0

)

2

cos(

t) u(x,

n

t n

nx e

n

A

A ,試求上述表示式中係數 A

6

之值為何?(20 分)

五、在某公車站,據車次表顯示公車應在正午時分抵達,然而實際上公車總會遲到 x 分 鐘才來,設 X 是一個或然率密度函數, f

X

( x ) = λ e λ

x

的指數型隨機變數(exponential random variable) ,今設小明於準正午時抵達這個公車站。

計算小明等候時間會超過 5 分鐘之或然率為何?(10 分)

設小明已等候 10 分鐘,試計算他需再等 5 分鐘或更久之或然率為何?(10 分)

數據

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參考文獻

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