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習題 2-1 詳解
一、基本題
1. 下圖中有四條直線 L1、L2、L3、L4,其斜率分別為 m1、m2、m3、m4,試比較斜率大小。
解 依斜率性質可知 m2>m3>m4>m1。
2. 已知平面上三點 A(1,2),B(3,6),C(4,k),其中 k 為實數,
(1) 若 A,B,C 三點共線,試求 k 的值。
(2) 若直線 AB 垂直直線 AC,試求 k 的值。
解 (1) 因為 A(1,2),B(3,6),C(4,k)三點共線,則 mAB=mAC
6 2 2 3 1 4 1
− k−
− = − k=8,
所以 k=8。
(2) 因為直線 AB 垂直直線 AC,
所以mAB×mAC=-1 6 2 2 3 1 4 1
− k−
− × − =-1 k=1 2。
3. 試求滿足下列條件之直線方程式:
(1) 過點 A(1,2),且斜率為 2 的直線。
(2) 通過兩點 A(-2,1)與 B(3,5)的直線。
(3) 斜率為-2,且 y 截距為-5 的直線。
(4) x 截距為-4,y 截距為 6 的直線。
解 (1) 方程式為 y-2=2(x-1) 2x-y=0。
(2) 方程式為
5 5 1
( )
3 3 2 y
x
− −
− = − − 4x-5y+13=0。
(3) 方程式為 y-(-5)=-2(x-0) 2x+y+5=0。
(4) 方程式為
4 6 x y
− + =1 3x-2y+12=0。
4. 試判斷下列聯立方程式解的幾何意義:
(1) 2 3 5 3 2 5
x y x y
+ =
− =
(2) 2 3 4
4 6 2 x y x y
+ =
+ =
(3) 2 1
2 4 2 x y
x y + =
+ =
105 上高二習題 2.1 第 2 頁 翰林 cjt
解 (1) 2 3 5 3 2 5
x y x y
+ =
− =
LLL LLL
①
②
①×3-②×2 得 13y=5 y= 5
13,x=25
13 ,聯立方程式恰有一組解,故兩線恰交於 一點。
(2) 2 3 4 4 6 2
x y x y
+ =
+ =
LLL LLL
③
④
③×2-④得 0=6,聯立方程式無解,表示兩線平行。
(3) 2 1 2 4 2 x y
x y + =
+ =
LLLL LLL
⑤
⑥
⑤×2-⑥得 0=0,聯立方程式有無限多組解,表示兩線重合。
5. 已知 A(-1,3),B(6,0),C(4,6),試求:
(1) 過點 A 且與直線 BC 垂直之直線方程式。
(2) 過點 B 且與直線 AC 垂直之直線方程式。
(3) △ABC 的垂心坐標。(提示:垂心即三角形的三高交點)
解 (1) 因為直線 BC 之斜率為 0 6 6 4
−
− =-3,
所以過 A(-1,3)且垂直直線 BC 之直線方程式為 y-3=1
3(x-(-1)),即 x-3y+10=0…………① (2) 因為直線 AC 之斜率為
6 3
( )
3 4 1 5− =
− − ,
所以過 B(6,0)且垂直直線 AC 之直線方程式為 y=-5
3(x-6),即 5x+3y-30=0……… ② (3) 由①、②得 3 10 0
5 3 30 0 x y
x y
− + =
+ − =
10, 40
3 9
x= y= , 故△ABC 之垂心坐標為 10 40,
3 9
。
二、進階題
6. 如下圖所示,由 x 軸正向逆時針旋轉到直線 L 所形成的角為 30°,試求直線 L 的斜率。
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解 在 L 上取相異兩點 A(x1,y1),B(x2,y2),
根據定義,直線 L 的斜率為 m
2 1
2 1
y y m x x
= −
−
=tan 30°
= 1 3。
7. 如下圖所示,直線 L 通過原點,若直線 L 與線段 AB 不相交,試求 m 的範圍。
解 可計算得直線 OA 的斜率為 3,直線 OB 的斜率為 1 2。
直線 L 與線段 AB 不相交,若且唯若直線 L 的斜率 m 不在直線 OA 與直線 OB 的斜 率之間,即得 m 的範圍為 m<1
2 或 m>3。
8. 在物理學上,光線反射時,入射角等於反射角。若已知兩點 A(2,3),B(6,1),一光線自 A 點射向 x 軸上一點反射後恰通過 B 點,試求該反射點坐標。
解 〔解法一〕
假設 x 軸上的反射點坐標為 C(t,0),因為入射角等於反射角,
所以 mAC=-mBC 3 0 2 t
−
− =-1 0 6 t
−
− t=5,故反射點坐標為 C(5,0)。
〔解法二〕
A(2,3)對 x 軸之對稱點為 A′(2,-3),
則直線 A′B 之方程式為 1
( )
3 1 6 2 6y x
− − = −
− − x-y-5=0,
故直線 A′B 與 x 軸之交點(5,0)即為反射點坐標。
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9. 直線 y=mx+2 上兩點 A(1,a),B(2,b),若 AB=5 2,試求 m 的值。
解 A(1,a)在 y=mx+2 上,
所以 a=m+2。B(2,b)在 y=mx+2 上,所以 b=2m+2。
又因為AB=5 2
(
2 1−)
2+( (
2m+ −2) (
m+2) )
2 =5 2 m=±7。三、挑戰題
10.如下圖所示,已知△ABC 的三個頂點分別是 A(0,4),B(6,0),C(8,4),直線 L 與 BCsuur 平行,分別交 AB、 AC 於 D、E,且將△ABC 分成面積相等的兩部分,試求直線 L 的方 程式。(提示:觀察平行線截線段的比例關係)
解 因為△ADE~△ABC 且△ADE 面積為△ABC 面積的一半,
所以 1
2 AE
AC = , 故得 E 之坐標為 8
2 4
, ,即( 4 2 ,4)。
又直線 BC 之斜率為 4 0 8 6
−
− =2,
故 L 之方程式為 y-4=2(x- 4 2 ),
即 2x-y+4- 8 2 =0。