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習題2-1詳解一、基本題1.

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Academic year: 2021

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(1)

105 上高二習題 2.1 第 1 頁 翰林 cjt

習題 2-1 詳解

一、基本題

1. 下圖中有四條直線 L1、L2、L3、L4,其斜率分別為 m1、m2、m3、m4,試比較斜率大小。

依斜率性質可知 m2>m3>m4>m1

2. 已知平面上三點 A(1,2),B(3,6),C(4,k),其中 k 為實數,

(1) 若 A,B,C 三點共線,試求 k 的值。

(2) 若直線 AB 垂直直線 AC,試求 k 的值。

(1) 因為 A(1,2),B(3,6),C(4,k)三點共線,則 mABmAC

6 2 2 3 1 4 1

k

− = −  k=8,

所以 k=8。

(2) 因為直線 AB 垂直直線 AC,

所以mAB×mAC=-1  6 2 2 3 1 4 1

k

− × − =-1  k=1 2。

3. 試求滿足下列條件之直線方程式:

(1) 過點 A(1,2),且斜率為 2 的直線。

(2) 通過兩點 A(-2,1)與 B(3,5)的直線。

(3) 斜率為-2,且 y 截距為-5 的直線。

(4) x 截距為-4,y 截距為 6 的直線。

(1) 方程式為 y-2=2(x-1) 2x-y=0。

(2) 方程式為

5 5 1

( )

3 3 2 y

x

− −

− = − −  4x-5y+13=0。

(3) 方程式為 y-(-5)=-2(x-0) 2x+y+5=0。

(4) 方程式為

4 6 x y

− + =1  3x-2y+12=0。

4. 試判斷下列聯立方程式解的幾何意義:

(1) 2 3 5 3 2 5

x y x y

+ =

 − =

 (2) 2 3 4

4 6 2 x y x y

+ =

 + =

 (3) 2 1

2 4 2 x y

x y + =

 + =

(2)

105 上高二習題 2.1 第 2 頁 翰林 cjt

解 (1) 2 3 5 3 2 5

x y x y

+ =

 − =

LLL LLL

①×3-②×2 得 13y=5  y= 5

13,x=25

13 ,聯立方程式恰有一組解,故兩線恰交於 一點。

(2) 2 3 4 4 6 2

x y x y

+ =

 + =

LLL LLL

③×2-④得 0=6,聯立方程式無解,表示兩線平行。

(3) 2 1 2 4 2 x y

x y + =

 + =

LLLL LLL

⑤×2-⑥得 0=0,聯立方程式有無限多組解,表示兩線重合。

5. 已知 A(-1,3),B(6,0),C(4,6),試求:

(1) 過點 A 且與直線 BC 垂直之直線方程式。

(2) 過點 B 且與直線 AC 垂直之直線方程式。

(3) △ABC 的垂心坐標。(提示:垂心即三角形的三高交點)

(1) 因為直線 BC 之斜率為 0 6 6 4

− =-3,

所以過 A(-1,3)且垂直直線 BC 之直線方程式為 y-3=1

3(x-(-1)),即 x-3y+10=0…………① (2) 因為直線 AC 之斜率為

6 3

( )

3 4 1 5

− =

− − ,

所以過 B(6,0)且垂直直線 AC 之直線方程式為 y=-5

3(x-6),即 5x+3y-30=0……… ② (3) 由①、②得 3 10 0

5 3 30 0 x y

x y

− + =

 + − =

  10, 40

3 9

x= y= , 故△ABC 之垂心坐標為 10 40,

3 9

 

 

 。

二、進階題

6. 如下圖所示,由 x 軸正向逆時針旋轉到直線 L 所形成的角為 30°,試求直線 L 的斜率。

(3)

105 上高二習題 2.1 第 3 頁 翰林 cjt

在 L 上取相異兩點 A(x1,y1),B(x2,y2),

根據定義,直線 L 的斜率為 m

2 1

2 1

y y m x x

= −

=tan 30°

= 1 3。

7. 如下圖所示,直線 L 通過原點,若直線 L 與線段 AB 不相交,試求 m 的範圍。

可計算得直線 OA 的斜率為 3,直線 OB 的斜率為 1 2。

直線 L 與線段 AB 不相交,若且唯若直線 L 的斜率 m 不在直線 OA 與直線 OB 的斜 率之間,即得 m 的範圍為 m<1

2 或 m>3。

8. 在物理學上,光線反射時,入射角等於反射角。若已知兩點 A(2,3),B(6,1),一光線自 A 點射向 x 軸上一點反射後恰通過 B 點,試求該反射點坐標。

解 〔解法一〕

假設 x 軸上的反射點坐標為 C(t,0),因為入射角等於反射角,

所以 mAC=-mBC3 0 2 t

− =-1 0 6 t

 t=5,故反射點坐標為 C(5,0)。

〔解法二〕

A(2,3)對 x 軸之對稱點為 A′(2,-3),

則直線 A′B 之方程式為 1

( )

3 1 6 2 6

y x

− − = −

− −  x-y-5=0,

故直線 A′B 與 x 軸之交點(5,0)即為反射點坐標。

(4)

105 上高二習題 2.1 第 4 頁 翰林 cjt

9. 直線 y=mx+2 上兩點 A(1,a),B(2,b),若 AB=5 2,試求 m 的值。

A(1,a)在 y=mx+2 上,

所以 a=m+2。B(2,b)在 y=mx+2 上,所以 b=2m+2。

又因為AB=5 2

(

2 1

)

2+

( (

2m+ −2

) (

m+2

) )

2 =5 2  m=±7。

三、挑戰題

10.如下圖所示,已知△ABC 的三個頂點分別是 A(0,4),B(6,0),C(8,4),直線 L 與 BCsuur 平行,分別交 AB、 AC 於 D、E,且將△ABC 分成面積相等的兩部分,試求直線 L 的方 程式。(提示:觀察平行線截線段的比例關係)

因為△ADE~△ABC 且△ADE 面積為△ABC 面積的一半,

所以 1

2 AE

AC = , 故得 E 之坐標為 8

2 4

 

 

 , ,即( 4 2 ,4)。

又直線 BC 之斜率為 4 0 8 6

− =2,

故 L 之方程式為 y-4=2(x- 4 2 ),

即 2x-y+4- 8 2 =0。

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