其中命題(1)，(2)，(3)都是真，但 (4)是偽

邏輯

邏輯(Logic)是由希臘思想家亞里斯多德(Artstotle-384-322)所創立。經歷了長時期的發 展、停頓、轉變，使它得到一個與數學類似的性質，這種新形式通稱為數理邏輯(Mathematical Logic)。邏輯法則使我們能精準地陳述數學，利用這些邏輯法則能輕易地分辨一個數學論證 的真偽。

I. 命題(Proposition)

任何一個可以說明真或偽的句子(sentence)或陳述(statement)都是一個命題(proposition)。

例題 1：下列陳述都是命題。

(1) 台北市是中華民國的一個院轄市。

(2) 1 1+ = 2

(3) 美國第四十三任總統是(小)布希。

(4) 2 5+ =6

其中命題(1)，(2)，(3)都是真，但 (4)是偽。

例題 2：下列陳述何者是命題？

(1) 美國現任總統是(小)布希。

(2) x+ =1 2

(3) 九一一事件是個恐佈事件。

(4) 這是綠色。

(5) x+ =y z (6)現在幾點了？

(7)火星上有生物。

說明： (1) 是。雖然答案會依時間改變而不同，比如，在 1998 年時此命題是偽，因為當時 的美國總統是柯林頓。但在 2002 牢時它就是真了。

(2) 不是。因為，是變數，不是明確的一個數，所以此句無法分辨真偽。

(3) 是。雖然對多數美國人而言，此句是真，但對激進派回教份子而言，此句可能是 偽。

(4) 不是。無法辨真偽。

(5) 不是。

(6) 不是。因為此句不算是一個陳述。

(7) 是。

II 真值表(Truth Table)

我們通常以小寫字母 , , , ,p q r s 表示命題，以T 表示真(True)， F 表示偽(False)。許多數 學化的陳述都是由一個或數個命題組合而成的叫複合命題(composite proposition)。下面我們介 紹這些語句的演算法。為了正確地了解這個複合命題的真偽，我們使用真值表(Truth Table)來 顯示各命題真偽問的關連。

1. 借助"非"(Negation)，可以形成 p 的否定命題 (Negation of p )，記作 ~ p 。

2. 利用"且"(And)將兩個(或多個)命題 ,p q 連結，成為並聯命題(Conjunction)，記作 p∧ 。 q 3. 利用"或"(Or)將兩個(或多個)命題 ,p q 連接，成為選言命題(Disjunction)，記作 p∨ 。 q 4. 利用"若 p ，則 q "把兩個語句連貫起來，所得的複合語句稱為蘊涵命題(Implication)，記作

p→ 。此時， p 稱為條件語句(Hypothesis)， q 稱為結論語句(Conclusion)。 q 例題 3：(1) 設 p 表示" 2 2 4+ = "則 ~ p 表示" 2 2 4+ ≠ "。

(2) 設 p 表示"2 是一個自然數"， q 表示"2<3"，那麼 p∧ 表示"2 是一個自然數且q 2<3”，以口語來說就是"2 是一個小於 3 的自然數"。

(3) 如(2)中的 p 與 q ，則 p∨ 表示"2 是一個自然數或q 2<3"。

在邏輯上為避免受心理因素干擾，我們一致視"若 p ，則 q "是有意義的語句，而且此蘊函 命題的真偽完全決定於 p 與 q 的真偽關係。接下來，我們將相關的真值表列出來。

p ~ p T F F T

p q p∧ q T T T T F F F T F F F F

p q p→ q T T T T F F F T T F F T

p q p∨ q T T T T F T F T T F F F

例題 4：試判別下列複合語句的真偽。

(1) 2<3且 2 是無理數。

(2) 2<3或 2 是無理數。

(3) 若 2 2× = ，則紐約是大城市。 4

(4) 若 2 2× = ，則紐約是小城市。 4 (5) 若2 2× =5，則紐約是大城市。

(6) 若2 2× =5，則紐約是小城市。

解：(1)F (2)T (3)T (4)F (5)T (6)T III 逆，否，否逆命題

從蘊涵命題 p→ 可以導出下列相關的語句。 q 1. p→ 的逆命題(Converse Proposition)是 qq → 。 p 2. p→ 的否命題 (Inverse Proposition)是 ~q p→~q

3. p→ 的否逆命題 (Contrapositive Proposition)是 ~q q→~ p。

例題 5："若x是一個正數，則2x是一個正數"為原語句；則它的逆語句為 "若2x是一個正數，

則x是一個正數"。

例 5 顯示出 p→ 和 qq → 兩者都是真。這時候我們常用"若且唯若"(if and only if)來連接p p 與 q。所以，我們可以說"x是ㄧ個正數，若且唯若2x是一個正數"。記作：x是一個正數↔2x 是一個正數。

p q p↔ q T T T T F F F T F F F T

由真值表中可看出 p↔ 只有在 p 與 q 同時為真或同時為偽時才是真。這時我們稱 q 是q p 成立的充分且必要條件，當然 p 是 q 成立的充分且必要 (簡稱充要)條件。若 p 則 q 是真，

那麼稱 p 是 q 成立的充分條件， q 是 p 成立的必要條件。如" p→ "為真但" qq → "為偽，那p 麼 p 就叫做 q 成立的充分但非必要的條件。

例題 6：令 p 表"1 1 3+ = "，q 表" (1 1) 5+ + = + "。則 p 與 q 均偽 。但是，p3 5 → 是真，且 qq → p

也是真。所以1 1 3+ = ↔ + + = + 。 (1 1) 5 3 5

例題 7：令 p→ 表"若一個四邊形是正方形，則它是一個長方形。"其逆命題： qq → 表"若p 一個四邊形是一個長方形，則它是一個正方形。"顯然， p→ 是真，但 qq → 是偽。 p

p→ 的否逆命題：~q q→~ p表"若一個四邊形不是長方形，則它不是正方形。"此句也是真。

p→ 的否命題： ~q p→~q表"若一個四邊形不是正方形則它不是一個長方形。"此句是偽。

由上述幾個例予可以看出這四種命題之間有下列關係。

互為否逆的兩個命題，它們同時真或同時偽的性質，通常叫做否逆命題的等價性質 (Equivalent)。用符號表示，則為

( ) (~ ~ ) ( ) (~ ~ )

p q q p

q p p q

→ ⇔ →

→ ⇔ →

下面我們列出一些常用且重要的等價性質。

1. p T p p F p

∧ ⇔

∨ ⇔

T 為∧ 運算的單位元(Identity) F 為∨ 運算的單位元

2. p T T p F F

∨ ⇔

∧ ⇔

T 為∨ 運算的控制元(Dominator) F 為∧ 運算的控制元

3. ^{p p p}

p p p

∨ ⇔

∧ ⇔

冪零律(Idempotent Laws)

4. p⇔ p 雙否定律(Double negative Law) 5. ^{p q q p}

p q q p

∨ ⇔ ∨

∧ ⇔ ∧

交換律(Commutative Laws)

6. ( ) ( )

( ) ( )

p q r p q r p q r p q r

∨ ∨ ⇔ ∨ ∨

∧ ∧ ⇔ ∧ ∧

結合律(Ass0ctative Laws)

7. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p q r p q p r p q r p q p r

∨ ∧ ⇔ ∨ ∧ ∨

∧ ∨ ⇔ ∧ ∨ ∧

分配律 (Distributive Laws)

8. p q p q p q p q

∧ ⇔ ∨

∨ ⇔ ∧

狄摩根(DeMorgan)律

IV. 恆真，恆偽語句

假如無論子命題的真偽為何，複合命題永遠是真，那麼這個複合命題就稱為恆真語句 (Tautology)。反之，若複合命題永遠是偽，則稱為恆偽語句(Contradiction)。若複合命題既不 是恆真也不是恆偽，就稱為偶發語句(Contingency)。

例題 8：

(1) p∨ 是恆真語， p pp ∧ 是恆偽語。p⇔ p是恆真語。

p p p∨ p p∧ p _{p p⇔ p}

T F T F T T

F T T F F T

(2) (p→ q→(p∧q))是恆真語，因為

p q p∧ q q→ ∧p q p→(q→(p∧q))

T T T T T

T F F T T

F T F F T

F F F T T

V. 命題函數及真值集(Propositional Function and Truth Set)

一個定義在集合 X 上的函數，如果它的值域是一個命題集合的話，這個函數就稱為一個 命題函數(Propositional Function)。

例題 9：在整數集 上，定義命題函數 Q 為

( ) "2 3 7"

Q x = x− =

那麼 (2)Q 就是"2 2 3× − =7"，這是一個偽命題，而 (5)Q 表"2 5 3× − =7"是一個真命題 。 例題 10：在實數集 上，定義命題函數 P 為

( ) "( 2) ( 6)"

P x = x> ∧ x<

那麼 (5)P 表"(5 2) (5 6)"> ∧ < 是真命題，但 (10)P 表"(10 2) (10 6)"> ∧ < 是偽命題。

一個命題函數的真值集(Truth Set)是定義域的一個子集合，其內元素的像都是真命題。譬 如，例 9 中的真值集是{5} ，而例 10 的真值集為開區間 (2, 6) 。

數個命題函數也可以用連結詞聯結起來而形成新命題函數。假設 ,P Q 都定定義在 X 上的 命題函數，則 P ， P Q∧ ，和 P Q∨ 定義如下：

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

P x P x

P Q x P x Q x P Q x P x Q x

=

∧ = ∧

∨ = ∨

因此它們的真值集就有下述關係：

1. P 的真值集= 的真值集的補集合。 P 2. P∧ 的真值集 PQ = 和Q 的真值集的交集。

3. P∨ 的真值集 PQ = 和Q 的真值集的聯集。

例題 11：設 ,P Q 都定義在 上，並且 ( ) "P x = x<0"， ( ) "Q x = x<5"，試求 P Q∧ 的真值集。

解： P 的真值集為{ , 3, 2, 1}− − − ，

P 的真值集為 −{ , 3, 2, 1} {0,1, 2, 3,− − − = }， Q 的真值集為{ , 0,1, 2,3, 4}

因此， P Q∧ 的真值集為{0,1, 2,3, } { ,0,1, 2,3, 4} {0,1, 2,3, 4}∩ = VI. 存在與全稱量詞(Existential and Universal Quantifiers)

在數理邏輯中有兩個量詞扮演極重要的角色。它們是 1. 存在量詞(Existential Quantifier)：

記作∃ ，用來描述具某種特性的事物的存在性問題。符號∃xP x( )，讀做 "存在x(∈定義 域)，使得命題 ( )P x 為真"。

因此，若命題函數 P 的真值集非空的話，就一定存在，(即可找得到x)使得 ( )P x 是真命題。

例題 12：若 P 的定義域為 且 ( ) "P X = x+ = ，那麼 P 的真值集為{2}。當然就存在1 3" x=2滿 足式子x+ =1 3!換言之，∃xP x( )或 x∃ 使得x+ =1 3成立。

例題 13：若 P 的定義域為 且P x( )="x² = − ，那麼1" ∃xP x( )意即"找得到實數x滿足方程式

2 1

x = − "，這是不對的，因為它的真值集為∅故∃xP x( )是偽命題。

2. 全稱量詞(Universal Quantifier)：

記作∀，用來描述整個定義域中的元素都具某一特性。命題∀xP x( )讀做 "對任一個(或對 所有的)x∈X 而言， ( )P x 都成立"，如果 P 的真值集是 X 的話，則此命題為真。

例題 14：若 P 定義在 上，且 ( ) "P x = x> ，那麼，5" ∀xP x( )就是一個偽命題，因為 P 的真值 集是{6, 7,8,9, }而不是 。

例題 15：若 Q 定義在 上，且Q x( )="(x+1)² =x²+2x+ ，那麼1" ∀x x[( +1)² =x²+2x+ 是一1]

個真命題。

當 X ={ ,x x_{1 2}, ,x_n} 時 ， ∀xP x( ) 是 真 命 題 的 充 分 必 要 條 件 是 並 聯 式

1 2

( ) ( ) ( _n)

P x ∧P x ∧ ∧P x 是 真 的 。 同 理 ， ∃xP x( ) 是 真 命 題 的 充 分 必 要 條 件 是 選 取 式

1 2

( ) ( ) ( _n)

P x ∨P x ∨ ∨P x 為真。

總結以上所述可得下列結果：

1. ∀xP x( )為真的情形是命題函數 P 的真值集為整個定義域；亦即，對每一個x∈定義域，

( )

P x 都真。

2. ∀xP x( )為偽的情形是存在某個x使得 ( )P x 為偽，亦即∃xP x( )為 F 。

3. ∃xP x( )為真的情形是命題函敷 P 的真值集非空。亦即，存在x∈定義域使得 ( )P x 為真。

4. ∃xP x( )是偽的情形是對每一個x∈定義域， ( )P x 都是偽。

習題 1.下列句子那些是命題？何者是真命題？

(a) π 是有理數。

(b) 1101₂ =13₁₀ (c) 2 7+ =10 (d) x+ =2 10

(e) 今天天氣好嗎？

(f) 對任意實數 ,x y 都有x+ = +y y x

2. 用並聯式將下列敘述寫成一個複合命題：(1) 5 是質數；(2) 1

3是有理數。

3. 試製作真值表

(a) p∧ q (b) p∨ q (c) p→ q

(d) (p→q) 4. 試判斷下列何者為恆真語句。

(a) (p→q)∧ → p q (b) (p→q)∧ → q p

(c) (p→q)↔(q→ p) (d) (p→q)∧ → p q 5. 敘述下列命題的否定命題。

(a) 今天是星期五

(b) 阿拉斯加沒有空氣污染問題

(c) 2 1 3+ =

(d) 台灣的夏天又熱又潮溼

6. 設命題p 今天氣溫低於零度， :: q 外面在下雪，試用 ,p q 及適當的聯結詞來表達下列敘述。

(a) 今天氣溫低於零度，外面也在下雪。

(b) 今天雖然氣溫低於零度，但是沒有下雪。

(c) 今天的氣溫高於零度，又沒有下雪。

(d) 外面要下雪的充分且必要條件是氣溫要低於零度。

7. 設p 你得了傷風感冒， :: q 你沒有認真準備微積分的期中考，r:你的微積分過關了。試用 文字敘述下列命題

(a) p→ (b) q q ↔ (c) r q→ (d) r p∨ ∨q r 8. 利用真值表來證明下列等價性質。

(a) p T∧ ⇔ (b) p p∧ ⇔ F F

9. 利用真值表來證明下列等價性質。

(a) (p∨ ∨ ⇔ ∨ ∨ 結合律 q) r p (q r) (b) (p∧ ∨ ⇔q r) (p∧ ∨q) (p∧r) 10. 證明下列的吸收律(Absorption Law)

(a) [p∨(p∧q)]⇔ (b) p [p∧(p∨q)]⇔ p 11. 證明[p∨(p∧q)]與 p q∧ 等價。

12. 令 ( )P x 代表"x≤4"。試問下列命題的真偽。

(a) (0)P (b) P(4) (c) P(10)

13. 令 ( )P x = "文字x包含英文字母a"，試問下列命題的真偽。

(a) (P orange (b) ) P lemon (c) ( ) P true (d) ( ) P false ( ) 14. 設宇集U表示一年甲班的學生全體， ( )P x 表示x每天至少花 3 小時在做功課上 (x U∈ )。

試述下列量詞的意思。

(a) ( )∃xP x

(b) ( )∀xP x (c) ∃xP x( ) (d) ∀xP x( ) 15. 用適當的量詞來描述下列敘述。

(a) 每個資訊系學生都要修微積分。

(b) 班上有人擁有個人電腦。

(c) 班上學生至少都修過一門電腦課。

(d) 班上有人至少修過一門電腦課。

16. 試證狄摩根律

(a) (p∧q)⇔ ∨ (b) p q (p∨q)⇔ ∧p q 17. 求命題函數 ( )P x 在 上的真值集 ( )T P 。

(a) ( )P x ="(x= ∨ ≥5 x 7)"

(b) ( )P x ="x+ >1 x"

(c) ( )P x ="x<2"

(d) P x( )= ∀" x x, ² =1"

參考資料：

1. C.L. Liu, Elements of Discrete Mathematics, 2d ed., McGraw-Hill, New York, 1985.

2. K.H. Rosen, Discrete Mathematics and its Applications, 5^th ed., McGraw-Hill, New York, 2003.

3. 張淑珠，離散數學，第二版，高立圖書。