四、一元二次方程式

四、一元二次方程式

4-1

【類題練習 1】 x = −1/ 3或−3

【類題練習 2】 (1) x =(3± 13) / 2 (2) x =(3± 41) / 8

【類題練習 3】 (1) x =(3± 13) / 2 (2) x =(3± 41) / 8

【類題練習 4】 x =(3± 3) / 3

【類題練習 5】 x = ±(1 10 ) / 3, 1/ 2− 或2

【家庭作業】 1. ○¹ x= 2 / 3或−3 ○² x= 或 6 2

○³ x= ±3 6 ○⁴ x = − ±( 5 5) / 2 2. ○¹ p= −1,q= −24 ○² x= ±1 2 2 3. 將 1

x= − 代入2 1 ² 1 ( ) 3( )

2 2

a a

⇒ − + − − = 0 1 3

4 2 0 3 3 4 2

2

a a

a a

⇒ − − =

⇒ − =

⇒ = −

2 2

2x 3x 2 0 2x 3x 2 0

− + + = ⇒ − − =

(2 1)( 2) 0 1, 2 2

x x

x

⇒ + − =

⇒ = − 或 所以另一根為 2.

4. 令 ^{1 2} 2 1

x − +2 x

= ⇒ = − + 2

2 2

2 2

2 1 2

(2 1) ( 2)

4 4 1 2

4 4 1 0

x x

x x

x x

⇒ + =

⇒ + =

⇒ + + =

⇒ + − =

比較係數得 c= −1 5. ○¹ 5 1

7 1

x

x + =

− (x 5)(x 1)

⇒ + − = 7

2 4 12 0 ( 6)( 2)

6 2

x x

x x

x

⇒ + − =

⇒ + − =

⇒ = − 或

0

○² 2

2 5 x+ x =

−

( 2) 2 5( 2

x x x

⇒ − + = − )

0

2 7 12 0

( 3)( 4) 3 4

x x

x x

x

⇒ − + =

⇒ − − =

⇒ = 或

○^{3 1 1 1 1}

1 4 2 3

x + x = x +x

− − − −

1 1 1 1

1 2 3 4

x x x x

⇒ − = −

− − − −

2 2

1 1

( 1)( 2) ( 3)( 4) ( 1)( 2) ( 3)( 4)

3 2 7 12

4 10 5 2

x x x x

x x x x

x x x x

x x

− −

⇒ =

− − − −

⇒ − − = − −

⇒ − + = − +

⇒ =

⇒ =

6. (x ¹)² x² 2 x ¹ 1₂

x x x

− = − ⋅ ⋅ +

2

2

1 1 1

2 4

x x x

x x x

= + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅

1 2

(x ) 4

= + x −

2 2

( 1) ( 4) 4 1

1 2 3 x x

x x

⇒ − = − − =

⇒ − = ±

2

7. 設先買進 x 公斤，再依題意列式 (6000 10)(x 30) 8100

x + − =

18000

6000 10x 300 8100

⇒ + − x − =

18000

10x 2400 0

⇒ − x − =

2 2

10 18000 2400 0 240 1800 0 ( 300)( 60) 0 300 60( )

x x

x x

x x

x

⇒ − − =

⇒ − − =

⇒ − + =

⇒ = 或− 不合

Ans：原先買進芒果 300 公斤 4-2

【類題練習 1】 (1) 2 個相異實根 (2) 無實根 (3) 無實根

【類題練習 2】 4

【家庭作業】 1. ○¹ 2 個相異實根 ○² 無實根 ○³ 二重根

○⁴ 無實根 ○⁵ 無實根 ○⁶ 無實根 2. x²+2ax+ = ⇒a 1 x²+2ax+a-1= 0

判別式D=(2 ) - 4( -1)a ² a =4a²- 4a+ =4 (2 -1)a ²+ >3 0

0

2

2

所以方程式有 2 個相異實根.

3. (m²+n x²) ² +2(m+n x) + =2 判別式D=[2(m+n)] - 8(² m²+n )

2 2

-4m 8mn- 4n -4( - )m n 0

= + = <

0 所以方程式無實根.

4. 因為方程式3x²+4x+2(k− = 有實根, 1) 所以判別式D≥0.

4 - 24( -1)2 0 16 - 24 24 0

-24 -40 5 3

D k

k k k

⇒ = ≥

⇒ + ≥

⇒ ≥

⇒ ≤

所以 k 最大為 1.

5. 因為方程式3x² +(k−24)x+k =0有一個二重根, 所以判別式D=0.

( - 24) -122 0

D k k

⇒ = =

2- 60 576 0

k k

⇒ + ≥

( - 48)( -12)k k 0

⇒ =

48 12

⇒ = 或k

6. 從判別式觀察D=b²− c4a

由於ac<0，所以b² −4ac恆大於 0 故方程式必有兩個相異實根