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中 華 大 學 碩 士 論 文

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Academic year: 2022

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(1)

中 華 大 學 碩 士 論 文

題目:以巨集啟發式方法求解時窗限制回程 取貨車輛路線問題 (VRPBTW)之研究

系 所 別: 科 技 管 理 研 究 所 學號姓名: M09103066 王生德 指導教授: 卓 裕 仁 博 士

中華民國 九十三 年 六 月

(2)

以巨集啟發式方法求解時窗限制回程取貨車輛 路線問題 (VRPBTW)之研究

學生:王生德 指導教授:卓裕仁博士

摘 要

時 窗 限 制 回 程 取 貨 車 輛 路 線 問 題(Vehicle Routing Problem with Backhaul and Time Windows, VRPBTW) 是 車 輛 路 線 問 題 (Vehicle Routing Problem, VRP) 的 延 伸 , 在 實 務 上 有 很 廣 泛 的 應 用 。 由 於 VRPBTW 屬於解題複雜度很高的 NP-hard 問題,現有文獻所探討的求 解 方 法 尚 不 多 見 。 本 研 究 應 用 門 檻 接 受 法(Threshold Accepting, TA),

結 合 傳 統 交 換 法 , 發 展 一 套 巨 集 啟 發 式 解 法 , 並 實 際 構 建 與 執 行 演 算 法 求 解 , 以 分 析 啟 發 式 解 法 之 解 題 績 效 。 由 於 VRPBTW 目前並沒有 國 際 測 試 題 庫 , 本 研 究 根 據 Solomon 的 VRPTW 國際標竿測試例題挑 選 數 個 適 合 的 題 目 予 以 修 改 , 設 計 多 個 VRPBTW 之測試例題。

本 研 究 之 巨 集 啟 發 式 解 法 包 括 起 始 解 構 建 模 組 、 鄰 域 搜 尋 模 組 和 門 檻 接 受 模 組 。 起 始 解 構 建 模 組 以 循 序 和 平 行 的 搜 尋 順 序 搭 配 傳 統 鄰 點 法(Nearest Neighbor, NN) , 提 出 六 種 改 良 式 的 鄰 點 法 (NNS1) 、 (NNS2)、 (NNS3)、 (NNP1)、 (NNP2)、 (NNP3), 分 別 構 建 不 同 的 起 始 解;鄰 域 搜 尋 模 包 括 路 線 內(2_opt)節線交換,路線間(1_0)、(1_1)節線 交 換 及(S_S)整段交換;門檻接受模組針對鄰域搜尋模組構建的結果,

使 用 TA 演算法進行搜尋以跳脫局部最佳解的束縛。

測 試 結 果 證 明 , 本 研 究 提 出 之 改 良 式 鄰 點 法 比 傳 統 鄰 點 法 具 較 佳 的 解 題 能 力 ; 門 檻 接 受 法 確 實 能 提 高 解 題 精 確 度 , 加 上 執 行 時 間 短 , 顯 示 TA 不錯的應用潛力。

關 鍵 詞 : 時 窗 限 制 回 程 取 貨 車 輛 路 線 問 題 、 巨 集 啟 發 式 方 法 、 門 檻 接 受 法 。

(3)

A Threshold Accepting Meta-heuristics for the Vehicle Routing Problem with Backhaul and Time Windows

Student:Sheng-Der Wang Advisor:Dr. Yuh-Jen Cho

Abstract

The Vehicle Routing Problem with Backhaul and Time Windows (VRPBTW), an extension of the VRPB, had been successfully applied to improve many real-world logistics and distribution problems. Due that the computational complexity of VRPBTW is NP-hard, this thesis develops a meta-heuristic approach, which integrates the Threshold Accepting (TA) method with the implementation techniques of traditional local search algorithms, to solve the VRPBTW.

The main framework of the TA_VRPBTW meta-heuristic consists of initial solution constructor (ISC) module, neighborhood search (NS) module and Threshold Accepting (TA) module. In the ISC module, we modified the traditional Nearest Neighbor algorithm by considering the time windows and the parallel implementation. In the NS module, we use 2_opt intra-route exchange, 1_0 and 1_1 inter-route exchange, and a new S_S (segment-to-segment) inter-route exchange procedures. Additionally, three TA implemental structures are designed in the TA modules.

We generate 81 instances, modified from a bank of Solomon’s VRPTW benchmark instances, for testing and analyzing the performance of the proposed meta-heuristics. Computational results imply that our TA meta-heuristic actually provides an efficient and robust tool for VRPBTW applications.

Keywords:Meta-heuristics, Vehicle Routing Problem with Backhaul and Time Windows (VRPBTW), Threshold Accepting (TA)

(4)

誌 謝

兩年的研究所學習階段,首要感謝恩師卓裕仁博士的細心指導與 諄 諄 教 誨 , 不 論 在 研 究 方 法 的 啟 發 及 論 文 寫 作 技 巧 上 , 均 使 學 生 受 益 匪 淺 , 進 而 順 利 完 成 論 文 , 師 恩 浩 浩 、 永 銘 在 心 !

口試期間承蒙交通大學韓復華教授、中華大學張靖院長,百忙之 中 撥 冗 審 閱 論 文 , 並 提 供 諸 多 寶 貴 意 見 , 使 本 論 文 更 臻 充 實 完 善 ; 所 上 師 長 在 課 業 上 的 教 導 , 充 實 了 學 生 的 專 業 知 識 , 學 生 由 衷 感 謝 。 論文進行期間,同窗好友小松、偉賢、大長、阿荃、宜祥、志峰、

思 葦 、 雅 潔 、 凱 怡 、 碧 真 、 秀 秀 、 美 玲 、 曉 菁 、 鐘 賢 同 甘 共 苦 與 互 相 鼓 勵 ; 博 士 班 泰 琳 學 姐 及 弘 裕 同 學 在 電 腦 程 式 上 的 協 助 ; 以 及 學 弟 燕 祺 、 博 元 、 文 德 、 小 明 精 神 上 的 支 持 , 使 我 能 克 服 種 種 困 難 而 完 成 論 文 , 在 此 一 併 致 謝 。 另 外 , 課 餘 時 間 在 重 返 德 軍 總 部 及 炸 彈 超 人 的 作 戰 薰 陶 之 下 , 激 發 了 大 伙 突 破 逆 境 的 決 心 , 更 因 此 堅 定 了 彼 此 間 深 厚 的 情 誼 , 我 想 這 將 會 是 人 生 中 最 美 好 的 回 憶 !

最後感謝終年辛勞的父母親二十餘年來的照顧,ㄧ路陪伴我一步 一 步 往 人 生 更 高 的 境 界 邁 進 , 你 們 的 鼓 勵 是 我 成 長 的 動 力 , 你 們 溫 暖 的 支 持 更 是 我 進 步 的 活 力 。 大 哥 、 二 哥 及 弟 妹 在 我 低 潮 時 給 予 的 安 慰 與 鼓 勵 , 使 我 有 更 強 的 信 心 繼 續 奮 鬥 下 去 , 謝 謝 你 們 , 願 你 們 永 遠 健 康 、 快 樂 。 謹 以 此 論 文 獻 給 所 有 關 心 我 的 親 朋 好 友 !

王生德 謹誌於新竹中華 中 華 民 國 九 十 三 年 六 月

(5)

目 錄

中 文 摘 要 ... i

英 文 摘 要 ... ii

誌 謝 ... iii

目 錄 ... iv

圖 目 錄... vi

表 目 錄... vii

第 一 章 緒論 ... 8

1.1 研究背景與目的 ... 8

1.2 研究範圍與內容 ...11

1.3 研究方法與流程 ... 12

第 二 章 文獻回顧 ... 15

2.1 時窗限制下回程取貨車輛路線問題定義 ... 15

2.1.1 VRPB 問題定義 ... 15

2.1.2 VRPBTW 問題定義 ... 18

2.2 VRPB 求解方法回顧 ... 20

2.2.1 精確解方法(Exact Procedures) ... 20

2.2.2 啟發式演算法(Heuristic Algorithms) ... 22

2.3 VRPBTW 求解方法回顧 ... 26

2.3.1 精確解方法(Exact Procedures) ... 26

2.3.2 啟發式演算法(Heuristic Algorithms) ... 27

2.4 巨集啟發式方法回顧 ... 30

2.5 小結 ... 35

第 三 章 VRPBTW 之門檻接受法架構設計 ... 36

3.1 整體解題架構 ... 36

3.2 模組細部設計 ... 37

3.2.1 起始解構建模組 ... 37

3.2.2 鄰域搜尋模組 ... 43

3.2.3 門檻接受模組 ... 47

第 四 章 測試題庫建立與實驗設計 ... 53

4.1 測試例題產生 ... 53

(6)

4.2 實驗設計與參數設定 ... 54

第 五 章 例題測試結果之整理與分析 ... 57

5.1 起始解構建模組之測試 ... 57

5.2 鄰域搜尋模組之測試 ... 60

5.3 門檻接受模組之測試 ... 64

5.4 整體分析 ... 67

第 六 章 結論與建議 ... 72

6.1 結論 ... 72

6.2 建議 ... 73

參 考 文 獻 ... 74

(7)

圖目錄

圖 1.1 某汽車路線貨運公司營業所作業流程圖 ... 9

圖 1.2 VRPBTW 示意圖 ... 10

圖 1.2 本研究流程圖 ... 14

圖 2.1 VRPB 與 VRP 差異比較示意圖... 17

圖 2.2 空間填滿曲線示意圖 ... 24

圖 2.3 2_opt 與 3_opt 節線交換示意圖【5】 ... 25

圖 2.4 TA、GDA 與 RRT 接受法則示意圖【5】 ... 33

圖 2.5 GIDS 之解題概念架構【5】 ... 35

圖 3.1 VRPBTW 之門檻接受法解題架構 ... 36

圖 3.2 起始解模組(循序式)說明圖 ... 39

圖 3.3 循序式鄰點法流程圖 ... 41

圖 3.4 平行式鄰點法流程圖 ... 42

圖 3.5 2_opt 節線交換法示意圖 ... 44

圖 3.6 (1_0)節點交換法解題概念 ... 45

圖 3.7 (1_1)節點交換法解題概念 ... 45

圖 3.8 (S_S)節點交換法解題概念 ... 46

圖 3.9 鄰域搜尋執行架構 ... 47

圖 3.10 TA1_VRPBTW 執行架構 ... 48

圖 3.11 TA_VRPBTW 核心搜尋及接受法則 ... 49

圖 3.12 TA2_VRPBTW 執行架構 ... 50

圖 3.13 TA3_VRPBTW 執行架構 ... 52

圖 5.1 各種起始解方法之解題績效比較 ... 60

圖 5.2 鄰域搜尋之個別解題績效比較 ... 62

圖 5.3 鄰域搜尋組合之解題績效比較 ... 63

圖 5.4 車輛數下降趨勢圖 ... 67

圖 5.5 路線成本下降趨勢圖 ... 67

(8)

表目錄

表 1.1 VRPB 相關問題彙整 ...11

表 1.2 本研究之 VRPBTW 問題特性 ...11

表 2.1 VRPB 求解方法彙整表 ... 20

表 2.2 VRPBTW 求解方法彙整表 ... 29

表 2.3 SA、TA、GDA 與 RRT 之比較 ... 33

表 3.1 改良式鄰點法彙整表 ... 38

表 3.2 (S_S)整段交換法交換組合整理表 ... 46

表 4.1 每組測試例題成員表 ... 54

表 4.2 實驗設計 ... 54

表 4.3 實驗三模組組合方式 ... 55

表 4.4 實驗四執行方式與參數設定範圍 ... 56

表 4.5 實驗四測試組合 ... 56

表 5.1 所有測試例題平均起始解測試結果(1)... 58

表 5.2 所有測試例題平均起始解測試結果(2)... 59

表 5.3 2_opt 交換法平均改善結果 ... 61

表 5.4 路線間交換法平均改善結果 ... 61

表 5.5 整體交換組合測試結果 ... 62

表 5.6 鄰域搜尋改善成效表 ... 64

表 5.7 TA 整體測試整理比較 ... 65

表 5.8 參數(T0)測試整理比較 ... 66

表 5.9 CPU 執行時間(秒) ... 66

表 5.10 本研究暫優解與對應之解題組合 ... 69

(9)

第一章 緒論

1.1 研究背景與目的

典 型 的 車 輛 路 線 問 題(Vehicle Routing Problem, VRP)乃是由同一 車 種 、 固 定 容 量 的 車 隊 , 從 單 一 場 站 出 發 , 服 務 完 一 群 需 求 量 已 知 的 顧 客 後 返 回 中 心 場 站 ; 目 標 在 使 車 輛 路 線 的 總 運 輸 成 本 最 小 化 。 而 在 車 輛 路 線 相 關 問 題 中,混 合 型 的 顧 客 型 態 近 年 來 逐 漸 受 到 重 視,例 如:

路 線 中 的 顧 客 型 態 可 能 包 含 送 貨 點 顧 客(delivery/linehaul)、 取 貨 點 顧 客(pickup/backhaul), 當 車 輛 服 務 取 貨 點 時 , 需 把 貨 品 載 運 回 中 央 場 站 。 屬 於 此 類 混 合 顧 客 型 態 的 車 輛 路 線 問 題 有 : 回 程 取 貨 車 輛 路 線 問 題(Vehicle Routing Problem with Backhauls, VRPB)、同時收送貨車輛 路 線 問 題(Pick-up and Delivery Vehicle Routing Problem, PDVRP),及 撥 召 公 車 問 題(Dial-a-Ride Problem, DRP)。

在 VRPB 中,將顧客需求點分為兩部分,一為送貨點(Linehauls),

將 貨 物 從 中 心 場 站 運 送 給 顧 客 ; 另 一 為 取 貨 點(Backhauls),由客戶收 取 貨 物 運 回 中 心 場 站 。VRPB 問題假設車輛必須先服務完所有送貨點 顧 客 , 然 後 才 能 開 始 服 務 取 貨 點 顧 客 , 如 此 可 避 免 重 新 整 理 車 廂 貨 物 的 排 列 和 浪 費 時 間 。

物 流 配 送 實 務 講 求 作 業 績 效 與 資 源 有 效 利 用 。Daniel【 12】指出 VRPB 之應用最常發生在食品雜貨運輸產業上。例如:超級市場和零 售 店 即 屬 於 送 貨 點 顧 客 , 而 食 品 雜 貨 的 供 應 商 則 為 取 貨 點 顧 客 。 美 國

自 1982 年以來,食品雜貨業由於對回程空車的利用,增加車輛使用

率 , 使 得 每 年 在 運 輸 成 本 上 估 計 節 省 了 一 千 六 百 億 美 元 。 以 國 內 某 汽 車 路 線 貨 運 公 司 新 竹 營 業 所 之 每 日 營 運 作 業 流 程 為 例 , 在 配 送 與 集 貨 兩 項 作 業 中 , 外 務 員 於 上 午 將 貨 物 遞 送 給 客 戶 後 , 直 接 原 車(空 車 )在 外 至 客 戶 處 收 取 交 運 貨 物,收 完 再 回 到 營 業 所 將 貨 物 卸 下 與 分 類【1】,

如 圖 1.1 所示。上述作業即可應用「回程取貨車輛路線問題(VRPB)」

來 解 決 , 以 提 升 貨 運 公 司 之 作 業 效 率 、 降 低 營 運 成 本 。

(10)

圖 1.1 某汽車路線貨運公司營業所作業流程圖

VRPB 可衍生出考慮時窗限制的問題,限制車輛到達需求點的時 間 必 須 在 給 定 的 時 間 窗 之 內 , 稱 為 具 時 窗 限 制 之 回 程 取 貨 車 輛 路 線 問 題 (Vehicle Routing Problem with Backhaul and Time Windows,

(11)

VRPBTW)。在實務配送上,時效性是衡量服務品質的重要指標之一,

即 每 一 需 求 點 都 有 時 間 窗(Time Windows)限制,必須在指定的時間內 將 貨 物 送 達 並 完 成 服 務 。 因 此 , 有 效 的 規 劃 VRPBTW 除可降低運輸 時 間 上 的 不 確 定 因 素 外,並 能 提 升 顧 客 服 務 水 準。圖 1.2 為 VRPBTW 示 意 圖 , 車 輛 必 須 在 各 需 求 點 的 服 務 時 間 窗 之 內 , 依 照 先 送 貨 後 取 貨 和 車 容 量 等 限 制 , 完 成 服 務 。

圖 1.2 VRPBTW 示意圖

在 VRPBTW 應用上,Yano et al.【36】指出,美國一家高級百貨 業 者 , 每 天 必 須 把 貨 品 由 配 銷 中 心 送 至 各 銷 售 點 , 然 後 再 從 鄰 近 的 供 應 商 將 貨 品 取 回 配 銷 中 心 。 由 於 缺 乏 一 套 有 效 的 路 線 規 劃 方 法 , 造 成 時 間 的 浪 費 和 車 輛 利 用 率 不 佳 的 問 題 。Yano et al.使 用 branch and bound 方法針對上述案例排出最佳路線之後,不但增加了車輛回程的 利 用 率 , 更 能 掌 控 時 間 , 平 均 每 年 為 業 者 節 省 了 45 萬美元。

國 內 外 對 於 車 輛 路 線 問 題 的 研 究 大 都 分 為 兩 種 , 一 為 發 展 精 確 解 方 法(Exact Procedures),二為發展快速解題且解品質不錯的啟發式演 算 法(Heuristic Algorithms)。車輛路線問題屬於高複雜度之組合最佳化 問 題,其 特 色 在 於 問 題 描 述 容 易,求 解 相 當 困 難;且 VRPBTW 比 VRP 複 雜 難 解 , 更 具 挑 戰 性 ; 若 欲 求 得 最 佳 解 , 其 求 解 所 需 時 間 會 隨 節 點 數 的 遞 增 而 呈 指 數 性 的 成 長 , 故 在 求 解 較 大 規 模 問 題 時 , 往 往 需 要 花 相 當 多 的 時 間 ; 因 此 發 展 有 效 率 的 啟 發 式 解 法 來 求 解 , 才 能 在 可 接 受 的 時 間 內 求 出 精 確 度 高 的 近 似 解 。 有 鑑 於 此 , 本 研 究 之 目 的 擬 發 展 一

(12)

套 求 解 績 效 良 好 且 時 間 合 理 的 VRPBTW 巨集啟發式演算法,以提升 VRPBTW 實務應用之求解績效,降低物流成本。

表 1.1 將以上所列 VRPBTW 相關問題之目標函數、服務型態、及 限 制 條 件 作 彙 整 :

表 1.1 VRPB 相關問題彙整

問 題 類 型 目 標 函 數 服 務 型 態 限 制 條 件 VRP 總 路 線 成 本 最 小

總 車 輛 數 最 少 只 送 貨 或 取 貨 有 容 量 限 制 VRPB 總 路 線 成 本 最 小

總 車 輛 數 最 少 先 送 貨 後 取 貨 有 容 量 限 制 VRPBTW 總 路 線 成 本 最 小

總 車 輛 數 最 少 先 送 貨 後 取 貨 有 容 量 限 制 有 時 間 窗 限 制 PDVRP 總 路 線 成 本 最 小

總 車 輛 數 最 少 同 時 送 貨 、 取 貨 有 容 量 限 制 DRP 總 路 線 成 本 最 小

總 車 輛 數 最 少 先 接 後 送(成對) 有 容 量 限 制 有 先 後 順 序 限 制 1.2 研究範圍與內容

車 輛 路 線 相 關 問 題 的 型 態 甚 多 , 本 論 文 之 研 究 範 圍 為 時 窗 限 制 之 回 程 取 貨 車 輛 路 線 問 題(VRPBTW),所要探討的 VRPBTW 問題特性如 表 1.2 所示:

表 1.2 本研究之 VRPBTW 問題特性

問 題 特 性 說 明

設 施 資 源 1.單一場站 3.車輛有容量限制 2.單一車種

顧 客 需 求 1.固定需求 3.送貨、取貨 2.不可分割 4.有時間窗限制 節 點 服 務 1.流量守恆 3.先送貨後取貨

2.避免子迴路

最 佳 化 目 標 車 輛 數 總 和 最 小 , 路 線 成 本 總 和 最 小

(13)

本 研 究 主 要 內 容 包 括 : (1) 文獻探討與解法回顧。

(2) 應用門檻接受法(Threshold Accepting, TA)與起始解及交換型 啟 發 式 解 法 , 設 計 求 解 VRPBTW 之巨集啟發式解法架構。

(3) 蒐集國內外文獻中已發表的 VRPBTW 例題或修改 VRPTW 例 題 , 以 建 立 測 試 題 庫 。

(4) 以 C 語言在電腦上撰寫演算法程式,並進行實驗設計與例題 測 試,藉 以 瞭 解 巨 集 啟 發 式 方 法 應 用 於 VRPBTW 測試例題的 解 題 特 性 與 執 行 績 效 。

1.3 研究方法與流程

本 研 究 針 對 VRPBTW 問題,發展一套巨集啟發式解法,並實際 構 建 與 執 行 演 算 法 求 解,以 分 析 各 種 方 法 之 解 題 績 效。由 於 VRPBTW 目 前 並 沒 有 國 際 測 試 題 庫 , 本 研 究 根 據 Solomon【31】的 VRPTW 國 際 標 竿 測 試 例 題 挑 選 數 個 適 合 的 題 目 予 以 修 改 , 然 後 自 挑 選 的 題 目 隨 機 選 取 各 題 目 顧 客 點 數 之 30%、50%、70%做為回程取貨需求點,設 計 多 個 VRPBTW 之測試例題。

本 論 文 的 研 究 流 程 如 圖 1.2 所示,其執行步驟簡要說明如下:

(1)問題界定與特性分析

本研究主要是探討具時窗限制之回程取貨車輛路線問題,

首 先 必 須 界 定 此 問 題 之 各 項 型 態 , 例 如 : 設 施 資 源 、 顧 客 需 求 型 態 、 服 務 型 態 以 及 目 標 等 。

(2)文獻蒐集與回顧

透 過 國 家 圖 書 館 及 國 內 各 大 圖 書 館 之 檢 索 系 統 和 電 子 期 刊 資 料 庫 蒐 集 國 內 外 與 VRPB、VRPBTW 及啟發式演算法相關 研 究 之 文 獻 , 探 討 現 有 的 求 解 方 法 之 觀 念 、 技 巧 與 應 用 , 同 時

(14)

藉 助 文 獻 中 所 提 之 資 料 與 研 究 方 法 作 為 本 研 究 參 考 之 重 點 。 (3)測試例題之產生

根據 Solomon 的國際標竿 VRPTW 測試例題予以修改,設 計 多 個 VRPBTW 之測試例題。

(4)啟發式演算法之設計

結合有效率的起始解及交換型演算法,構建巨集啟發式解 法 應 用 於 VRPBTW 之解題架構模組

(5)電腦程式之撰寫

針 對 巨 集 啟 發 式 方 法 之 各 種 執 行 模 組 與 鄰 域 搜 尋 法 , 利 用 Borland C + +撰寫電腦執行程式。

(6)例題測試與結果分析

將 本 研 究 所 設 計 的 巨 集 啟 發 式 方 法 架 構 , 以 實 驗 設 計 之 方 式 , 對 設 計 之 VRPBTW 例題進行測試,並分析測試結果。

(7)結論與建議

根 據 分 析 所 得 結 果 , 提 出 本 研 究 之 重 要 發 現 、 結 論 , 並 探 討 後 續 發 展 之 研 究 方 向 與 重 點 項 目 。

(15)

圖 1.2 本研究流程圖

(16)

第二章 文獻回顧

由於 VRPBTW 係由 VRPB 衍生而來,因此先於 2.1 節介紹 VRPB 及 VRPBTW 之問題定義,然後分別於 2.2 節及 2.3 節回顧數種 VRPB 及 VRPBTW 之精確式及啟發式解題方法,2.4 節則介紹數種巨集啟發 式 解 法 , 最 後 2.5 節根據上述幾節做一小結。

2.1 時窗限制下回程取貨車輛路線問題定義 2.1.1 VRPB 問 題 定 義

VRPB 問題可描述為:顧客需求點分為送貨點(line-hauls)及取貨點 (back-hauls)兩部分,配送方式是從場站(depot)出發將貨物運送給送貨 點 顧 客 , 然 後 再 到 取 貨 點 顧 客 收 取 貨 物 運 回 場 站 , 配 送 過 程 不 得 違 反 車 輛 容 量 限 制 ; 目 標 為 車 輛 總 數 及 車 輛 路 線 的 總 運 輸 成 本 最 小 化 。 VRPB 問題假設車輛必須先服務完所有送貨點顧客後,才能開始服務 取 貨 點 顧 客 , 如 此 可 避 免 重 新 整 理 車 廂 貨 物 所 花 費 的 排 列 時 間 。

下 列 的 數 學 規 劃 模 式 係 由 Goetschalckx 及 Jacobs-Blecha【20】所 提 出 , 可 以 更 精 確 地 定 義 VRPB 問題。其中,式(3.1)為目標函數,目 的 在 使 總 運 輸 成 本 最 小 化 ; 式(3.2)及式(3.5)分別限制在送貨或取貨過 程 中 , 顧 客 需 求 量 總 和 不 可 超 過 車 輛 容 量 ; 式(3.3)及式(3.6)分別限制 每 一 位 顧 客 只 能 由 一 輛 車 服 務 ; 式(3.4)及式(3.7)分別限制變數 uikvjk為 雙 元 整 數,而 且 每 輛 車 均 由 場 站 出 發;若 顧 客 點 j 由車輛 k 服務,

則 式(3.8)限制車輛 k 恰來自某一顧客點 i;若顧客點 i 由車輛 k 服務,

則 式(3.9)限制車輛 k 恰前往某一顧客點 j;式(3.10)限制每輛車在服務 完 送 貨 點 顧 客 後 會 前 往 某 個 取 貨 點 顧 客 貨 回 到 場 站;式(3.11)限制子迴 路(sub-tour)之形成;式(3.12)限制變數 xijk為 雙 元 整 數。決 策 變 數 與 參 數 說 明 如 下 :

uik =



 0 1

vjk =



 0 1

送 貨 點 顧 客 i 被車輛 k 服務;i = 0,1…,N 其 他

取 貨 點 顧 客 j 被車輛 k 服務;j = 0,N+1,…,M 其 他

(17)

xijk =



 0 1

K = 車 輛 數 ;

N = 送 貨 點 之 顧 客 數 M = 取 貨 點 之 顧 客 數

ai = 送貨點顧客 i 之需求量;i =1, 2, …, N

bi = 取 貨 點 顧 客 i 之 需 求 量 ; i = N+1, N+2, …, N+M

cij = 車 輛 從 顧 客 i 運 送 至 顧 客 j 之 運 輸 成 本 ; i, j = 0, 1, ..., N, N+1, ..., N+M

d = 車 輛 容 量 限 制

Minimize: ∑ ∑ ∑ ⋅

= +

= +

= K

k M N

i

M N

j cij xijk

1 0 0 (3.1)

Subject to Nai uik d k K

k

...

, 2 , 1

1

=

∑ ⋅

= (3.2)

N i

Ku

k ik 1 1,2,...

1 = =

= (3.3)

K k

N i

or u

u0k =1, ik =0 1 =1,2,... , =1,2,... (3.4)

K k

d v bi ik

M N

N i

...

, 2 , 1

1

=

+ ⋅ ≤

+

= (3.5)

M N N

N i

Kv

kik = = + + +

= 1 1, 2,...

1

(3.6)

K k

M N N

N i or v

v0k =1, ik =0 1 = +1, +2.... + , =1,2,... (3.7)

, ..., K , M, k

, ..., N , N

if j v

, ..., N, ,

if j x u

jk jk ijk M N

i

2 1 1

0 2 1

0 =



+ +

=

= =

+

= (3.8)

, ..., K , M, k

, ..., N N

if i v

, ..., N, ,

if i x u

ik ik ijk M N

j

2 1 1

1 0

0

 =



+ +

=

= =

+

= (3.9)

K k

N x

i

M N

j and N j

ijk 1 , 1,2,...

0 1 0

=

∑ ∑ =

= +

= +

=

(3.10) 車 輛 k 從顧客 i 服務到顧客 j;i,j =0,1,.,N,N+1,.,N+M

其 他

(18)









 ∑ ∑ ≤ −

=

1

Q

i j Q ijk

ijk

ijk S all x such that x Q

x (3.11)

K k

M N N

N i

or

xijk =0 1, =1,... , +1,...., + =1,2,... (3.12) 由 上 述 的 定 義 與 數 學 規 劃 模 式 可 知 ,VRPB 實 為 VRP(Vehicle Routing Problem, VRP)問題的延伸。VRP 問題乃是由同一車種、固定 的 容 量 限 制 所 組 成 的 車 隊 , 從 單 一 場 站 出 發 , 服 務 完 一 群 需 求 已 知 的 顧 客 後 再 回 到 場 站 , 目 標 也 是 追 求 車 輛 路 線 的 總 運 輸 成 本 最 小 化 。 當 VRPB 的送貨點集合或取貨點集合其中之一為空集合時,VRPB 就簡 化 為 VRP;亦即 VRPB 數學規劃模式中的式(3.2)、式(3.3)、式(3.4)或 式(3.5)、式(3.6)、式(3.7)可以刪除,而式(3.8)與式(3.9)可以加以簡化。

再 者,VRPB 與 VRP 之差異關鍵在於限制式(3.10),若將式(3.10)自數 學 規 劃 模 式 去 除,則 VRPB 即分成送貨點顧客 VRP 與取貨點顧客 VRP 兩 個 子 問 題 。 茲 以 圖 2.1 說明此情形。

圖 2.1 VRPB 與 VRP 差異比較示意圖

由 圖 2.1 可知,VRPB 之路線必須先服務送貨點顧客(L1~L6)後,

才 能 繼 續 服 務 取 貨 點 顧 客(B1~B6);若將式(3-10)去除,再加上適當的 限 制 式 使 車 輛 回 到 場 站,則 得 到 圖 2.1(b)之兩種 VRP 路線結果。由上 述 分 析 可 知 ,VRPB 車輛路線排程必須考慮先前送貨點顧客與後續取 貨 點 顧 客 間 的 地 理 相 對 位 置 關 係 , 以 及 貨 車 容 量 限 制 等 因 素 。

(19)

2.1.2 VRPBTW 問 題 定 義

時 窗 限 制 可 分 為 「 硬 時 窗 」 及 「 軟 時 窗 」 兩 種 。 硬 時 窗 指 的 是 必 須 在 顧 客 要 求 之 時 間 上 下 界 之 內 服 務 該 顧 客 , 即 不 可 違 反 時 間 窗 限 制 , 但 允 許 車 輛 可 在 時 間 窗 下 界 之 前 到 達 該 顧 客 點 , 惟 必 須 等 到 時 間 窗 下 界 開 始 才 可 進 行 服 務 , 這 段 時 間 即 為 等 待 服 務 時 間 。 軟 時 窗 指 的 是 可 以 違 反 時 間 窗 上 下 界 的 限 制 , 但 違 反 時 會 給 予 一 懲 罰 值 。 本 研 究 針 對 硬 時 窗 限 制 之 回 程 取 貨 車 輛 路 線 問 題 進 行 定 義 。 決 策 變 數 與 參 數 說 明 如 下 :

uik =



 0 1

vjk =



 0 1

xijk =



 0 1

K = 車 輛 數 ;

N = 送 貨 點 之 顧 客 數 M = 取 貨 點 之 顧 客 數

ai = 送貨點顧客 i 之需求量;i =1, 2, …, N

bi = 取 貨 點 顧 客 i 之 需 求 量 ; i = N+1, N+2, …, N+M d = 車 輛 容 量 限 制

ti = 開始服務顧客 i 的時間 si = 顧 客 i 所需服務時間

tij = 顧客 i 到顧客 j 所需的旅行時間;i, j = 0, 1, ..., N, N+1, ..., N+M T = 為 一 大 的 常 數 , 通 常 以 所 有 路 線 中 最 長 的 路 線 之 服 務 時 間 為 代 表

ei = 顧客 i 的服務時窗下界 li = 顧 客 i 的服務時窗上界

以 下 之 VRPBTW 數學模式,係根據上述 VRPB 數學模式及參考 送 貨 點 顧 客 i 被車輛 k 服務;i = 0,1…,N

其 他

取 貨 點 顧 客 j 被車輛 k 服務;j = 0,N+1,…,M 其 他

車 輛 k 從顧客 i 服務到顧客 j;i,j =0,1,.,N,N+1,.,N+M 其 他

(20)

林 修 竹【4】之 VRPTW 數學模式改寫而成。式(3.13)到式(3.24)與上述 VRPB 數學模式相同,式(3.23)、(3.24)及(3.25)為新增之時窗限制式,

其 中 式(3.23)確保抵達任意兩顧客的時間不會矛盾,具有與避免子迴路 同 樣 功 能,因 此 原 子 迴 路 限 制 式 可 不 用;式(3.24)說明抵達顧客點時間 不 能 違 反 時 間 窗 限 制 。

Minimize:

∑ ∑ ∑

= +

= +

= K

k M N

i M N

j

ijk

ij x

t

1 0 0

(3.13)

Subject to Nai uik d k K

k

...

, 2 , 1

1

=

∑ ⋅

= (3.14)

N i

Ku

k ik 1 1,2,...

1

=

∑ =

= (3.15)

K k

N i

or u

u0k =1, ik =0 1 =1,2,... , =1,2,... (3.16)

K k

d v bi ik

M N

N i

...

, 2 , 1

1 ≤ =

+

+

= (3.17)

M N N

N i

Kv

kik = = + + +

= 1 1, 2,...

1

(3.18)

K k

M N N

N i or v

v0k =1, ik =0 1 = +1, +2.... + , =1,2,... (3.19)

, ..., K , M, k

, ..., N , N

if j v

, ..., N, ,

if j x u

jk jk ijk M N

i

2 1 1

0 2 1

0

 =



+ +

=

= =

+

= (3.20)

, ..., K ,

M, k , ..., N N

if i v

, ..., N, ,

if i x u

ik ik ijk M N

j

2 1 1

1 0

0

 =



+ +

=

= =

+

= (3.21)

K k

N x

i

M N

j and N j

ijk 1 , 1,2,...

0 1 0

=

∑ ∑ =

= +

= +

= (3.22)

K k

N j

i T x t

s t

tji + i + ij −(1− ijk) , =1,... =1,... (3.23) N

i l t

eiii =1,... (3.24)

N i

ti ≥0 =0,... (3.25)

K k

M N N

N i

or

xijk =0 1, =1,... , +1,...., + =1,2,... (3.26)

(21)

2.2 VRPB求解方法回顧

由 於 車 輛 路 線 相 關 問 題 屬 於 高 複 雜 度(NP-hard)之 網 路 組 合 最 佳 化 問 題 , 其 特 色 在 於 問 題 描 述 容 易 , 但 求 解 相 當 困 難 , 故 在 求 解 大 規 模 問 題 時 , 往 往 無 法 在 有 效 時 間 內 求 得 精 確 最 佳 解 。 國 內 外 對 於 車 輛 路 線 相 關 問 題 的 研 究 大 致 分 為 兩 種 : 一 為 發 展 精 確 解 方 法 , 主 要 著 重 於 數 學 規 劃 模 式 之 建 立 與 求 解 ; 二 為 發 展 解 題 迅 速 且 品 質 不 錯 的 啟 發 式 演 算 法。表 2.1 列出 VRPB 幾篇代表性文獻。其中 Toth & Vigo(1999) 屬 於 精 確 解 法 , 其 他 均 屬 於 啟 發 式 解 法 。

表 2.1 VRPB 求解方法彙整表

年 代 作 者 使 用 方 法 限 制 條 件 模 式 假 設

1984 Deif & Bodin

。 節 省 法 。 車 容 量 限 制

。 路 線 長 度 限 制

。 先 送 貨 後 取 貨

。 取 貨 比 例 : 10%、 20%、 50%

1989

Goetschalckx

&

Jacobs-Blecha

。空 間 填 滿 曲 線 法

。K-中 位 法

。 貪 心 法

。 車 容 量 限 制 。 先 送 貨 後 取 貨

。 取 貨 比 例 : 25%、 50%

1997 Toth & Vigo

。整 數 線 性 規 劃 模 式

。 拉 氏 下 界

。 車 容 量 限 制 。 先 送 貨 後 取 貨

。 取 貨 比 例 : 20%、 34%、 50%

1999 Toth & Vigo

。先 分 群 再 排 路 線

。 拉 式 鬆 弛 法

。 車 容 量 限 制 。 先 送 貨 後 取 貨

。 取 貨 比 例 : 20%、 34%、 50%

2000 Osman &

Wassan

。 節 省 插 入 法

。 節 省 指 派 法

。 禁 制 搜 尋 法

。 車 容 量 限 制 。 先 送 貨 後 取 貨

。 取 貨 比 例 : 25%、 50%;

20%、 34%、 50%

2002 Wade & Salhi

。 貪 心 插 入 法 。 車 容 量 限 制 。 取 貨 比 例 : 25%、 50%;

20%、 34%、 50%

2.2.1 精 確 解 方 法 (Exact Procedures)

Toth & Vigo【 33】 所 提 出 的 方 法 是 以 「 分 枝 定 限 法 (Branch and Bound)」為基礎的精確解法。分枝定限法的概念在於大問題無法直接 求 解 , 因 此 分 割 解 集 合 成 為 越 來 越 小 的 解 集 合 , 並 能 找 出 該 解 集 合 可 能 最 好 解 的 界 限 , 若 其 界 限 指 明 該 子 集 合 不 可 能 包 含 原 來 問 題 的 最 佳 解 , 則 捨 棄 該 子 集 合 不 用 。Toth & Vigo【33】在其論文中探討對稱型

(22)

(Symmetric) 及 非 對 稱 型 (Asymmetric)VRPB 問 題 的 一 般 化 精 確 解 方 法。首 先 Toth & Vigo 提出一個 VRPB 整數線性規劃模式(Integer Liner Programming Model),如下所示;其中,式(3.31)為目標函數,求總成 本 最 小 ; 式(3.32) 及 式 (3.33) 分 別 限 制 顧 客 之 指 入 (in-degree) 與 指 出 (out-degree)次 數 ; 式 (3.34)及 式 (3.35)分 別 限 制 場 站 之 指 入 (in-degree) 與 指 出(out-degree)次 數 ; 式 (3.36)及 式 (3.37)則 稱 為 容 量 切 割 限 制 式 (capacity-cut constraints), 同 時 具 有 避 免 子 迴 路 與 符 合 容 量 限 制 之 功 能 ; 式(3.39)限制變數 xij 為雙元整數。決策變數與參數說明如下:

cij = 車輛從顧客 i 至顧客 j 之成本或距離

xij =





0 1

V = L∪ , 所 有 節 點 之 集 合 ;V0 = V {0}B ∪ ,0 為場站

L = 送 貨 點 顧 客 之 集 合 ; L0 = L∪{0};B = 取貨點顧客之集合;

B0 = B∪{0}

A = A1∪A2 A3∪ , 所 有 節 線 之 集 合

A1 = {(i, j) | i∈L0, j∈L};A2 = {(i, j) | i∈B, j∈B0};A3 = {(i, j) | i∈L, j∈B0}

Γ

i+ = {j | (i, j)∈A},即 i 之下游(forward)節點;Γi- = {j | (j, i)∈A},

即 i 之上游(backward)節點 K = 車 輛 總 數

(S) = 服務 S 中所有顧客所需之最少車輛數,S∈F;F = L B∪ ;L = {L’ | L’⊆L};B = {B’ | B’⊆B}

Minimize: ∑ ⋅

∈ ) ,

(i j A cij xij (3.31)

Subject to x j V

i j

ij

∑ =

Γ

each for

1 (3.32)

若 顧 客 i 與顧客 j 連續被同輛車服務 其 他

(23)

V i x

j i

ij

∑ =

Γ+

each for

1 (3.33)

∑ =

Γ

∈ 0 0

i

K

xi (3.34)

∑ =

Γ+

0

0

j

K

x j (3.35)

*

\

each for )

(S S F

x

S

j i j S

∑ ∑ ij ≥ ∈

Γ

σ (3.36)

*

\

each for )

(S S F

x

S

i j j S

∑ ∑ ij ≥ ∈

Γ+

σ

(3.37)

, 0

each for }

1 , 0

{ i j V

xij ∈ ∈ (3.38)

Toth & Vigo【33】即以上述之整數線性規劃模式進行求解,其解 法 屬 於 分 枝 定 限 法(Branch and Bound) 之 應 用 。 首 先 以 拉 氏 鬆 弛 法 (Lagrangian Relaxation)將容量切割限制式導入目標函數,然後以次梯 度 最 佳 化 程 序(Sub-gradient Optimization Procedure)求得此拉氏對偶問 題(Lagrangian Dual Problem)之最佳解以做為 VRPB 的下界值(Lower Bound), 最 後 再 將 下 限 值 導 入 分 枝 定 限 法 (Branch and Bound)以 求 解 VRPB。

2.2.2 啟 發 式 演 算 法 (Heuristic Algorithms)

由 於 VRPB 的複雜度屬於 NP-hard,因此文獻上大多發展啟發式 方 法 來 求 解 。 本 節 共 介 紹 三 種 啟 發 式 方 法 : 改 良 式 節 省 法 、 空 間 填 滿 曲 線 法 , 以 及 禁 制 搜 尋 法 。

一 、 改 良 式 節 省 法(Modified Savings, MS)

Deif & Bodin【13】將 Clarke-Wright 之節省法延伸,把每一 需 求 點 視 為 一 獨 立 路 線 , 亦 即 車 輛 從 場 站 出 發 , 服 務 完 一 個 需 求 點 就 返 回 場 站 , 再 利 用 節 省 法 的 觀 念 將 各 路 線 合 併 , 反 覆 此 一 步 驟 直 到 無 法 再 產 生 任 何 之 節 省 值 為 止 。 藉 由 加 入 懲 罰 值 的 觀 念 來 修 正 連 接 送 貨 點 顧 客 與 取 貨 點 顧 客 間 之 節 線 節 省 值 , 節 省 值 公 式

(24)

如 式(3.39)所示,其中,P 是懲罰值參數,P∈[0,1];S 是 S i j的 最 大 估 計 值;S i j 則是 Clarke-Wright 之節省值,S i j= ci0 + c0 j – c i j



= otherwise

versa or vice ,

* if Sij

B j L i S ij P S Sij

(3.39)

二 、 空 間 填 滿 曲 線 法(Space-filling Curves, SFC)

Goetschalckx & Jacobs-Blecha【20】提出一個兩階段的求解 方 法,第 一 階 段 先 以 空 間 填 滿 曲 線(SFC)求得大致的服務順序,再 分 別 利 用 貪 心 法(Greedy methods)和 K-中 位 法 (K-median)將 需 求 點 分 群 , 然 後 產 生 一 個 起 始 解 ; 第 二 階 段 則 使 用 2_opt 和 3_opt 兩 種 節 線 交 換 法 來 改 善 第 一 階 段 的 起 始 解 。 結 果 顯 示 , 兩 種 分 群 方 法 之 目 標 函 數 值 相 等,但 貪 心 法 之 車 輛 利 用 率 較 K-中位法高,

使 用 車 輛 數 較 少 。

(一) 空間填滿曲線法之步驟如下,圖 2.2 顯示 SFC 之曲線示意圖 步 驟 1:經由 SFC 把送貨點顧客轉換在單位區間上,並列出

單 位 區 間 上 的 顧 客 點 順 序 。

步 驟 2:按車輛容量限制,依序將送貨點顧客分群。(貪心法 或 K-中位法)

步 驟 3:將每一集群中的點,依出現順序由小到大排列。

步 驟 4:重複步驟 1 至步驟 3,處理取貨點顧客。

步 驟 5:連接送貨路線、取貨路線及場站,以形成完整的車

輛 路 線 。

(25)

圖 2.2 空間填滿曲線示意圖 (二) 貪心法

步 驟 1:假設在不失一般原則下,送貨需求量大於取貨供給

量 。

步 驟 2:由距離場站最近的送貨點顧客位置開始,逐步將其

併 入 ; 假 如 下 一 點 超 過 車 容 量 限 制 , 則 由 這 一 點 展 開 下 一 條 新 路 線 。

步 驟 3:重複上一步驟,直到所有顧客點都已指派到路線中。

步 驟 4:步驟 1 至步驟 3 以處理取貨點顧客。

(三) K 中位法

步 驟 1:在一平面中選定 K 個種子點,分別形成 K 條初始路 線 。

步 驟 2:把最靠近種子點的其他顧客點併入該種子點之路線

中 。

步 驟 3:假如下一點超過車輛容量限制,則把此點併入其他

最 靠 近 的 可 行 路 線 中 。

步 驟 4:重複以上步驟,直到所有顧客點都已指派到路線中。

步 驟 5:假如不能滿足所有顧客點,則再新增一條路線,重

複 以 上 步 驟 。

(26)

(四)節線交換法(Arc Exchange) 1. (2_opt):

2. (3_opt):

圖 2.3 2_opt 與 3_opt 節線交換示意圖【5】

三 、 禁 制 搜 尋 法(Tabu Search, TS)

Osman 及 Wassan【28】提出一個兩階段的求解方法,第一階 段 先 後 以 節 省 插 入 法(Saving-Insertion Heuristic)、2_opt 和 3_opt 節 線 交 換 法 , 及 節 省 指 派 法(Saving-Assignment Heuristic)產生起 始 解;第 二 階 段 用 禁 制 搜 尋 法(TS)來改善起始解。TS 法的概念是 先 建 立 一 個 起 始 解 , 接 著 尋 找 最 優 的 鄰 近 解 做 為 移 步(Move)的依 據 , 運 用 資 料 記 憶 的 結 構 將 已 搜 尋 過 的 解 記 錄 下 來 , 以 避 免 重 複 或 無 意 義 的 搜 尋,產 生 有 效 率 的 鄰 域 移 步(Neighborhood Moves)。

(一) 節省插入法

步 驟 1:根據節省值由大到小,將所有送貨點顧客併入路線

中 。

(27)

步 驟 2:在不違反車輛容量限制下,以最小成本插入方式,

將 取 貨 點 顧 客 插 入 路 線 中 。

步 驟 3:再插入取貨點顧客,然後分別用 2_opt 和 3_opt 進 行 路 線 改 善 。

(二) 節省指派法:用最小成本矩陣將節省插入法所產生的路線合 併 , 以 產 生 TS 法之起始解。

(三) 禁制搜尋法步驟

步 驟 1:鄰域搜尋機制,使用 1-Interchange((1,0)、(0,1)、(1,1)) 與 2-Successive-node Interchange ((2,0)、(0,2)、(1,2)、

(2,1)、(2,2))節點交換法。

步 驟 2:記憶結構,有三種層級

Level 1:記憶路線成本、距離、車容量及顧客數。

Level 2:記錄最佳插入點。

Level 3:記錄鄰域中之候選解(Candidate list)。

步 驟 3:終止法則,允許最大搜尋次數(max_iter)為 200*n,

(n 為顧客數)。

2.3 VRPBTW 求解方法回顧

國 內 外 有 關 VRPBTW 文獻並不多,在精確解之數學規劃方面有 Yano 等人【36】探討,至於啟發式方法則有 Potvin 等人【30】與 Thangiah 等 人 【32】兩篇論文探討;國內有徐俊誠等曾針對 VRPBTW 進行研 究 , 但 是 其 問 題 定 義 與 國 際 文 獻 定 義 的 VRPBTW 不同。茲將國內相 關 文 獻 與 上 述 論 文 之 各 種 求 解 方 法 彙 整 於 表 2.2。

2.3.1 精 確 解 方 法 (Exact Procedures)

Yano 等人【36】利用集合涵蓋問題(Set Covering Problem)模式來

(28)

若 顧 客 i 被路線 j 服務 其 他

若 路 線 j 被選擇 其 他

描 述 VRPB 並進行求解,該研究假設每條路線最多只能服務 4 個送貨 點 和 4 個取貨點,進而產生所有可行(符合容量限制)的路線變數 xj。 集 合 涵 蓋 問 題 模 式 如 下 , 其 中 :

cj = 路線 j 之成本或距離

xj =

 

0 1

aij =

 

0 1

Minimize: ∑ ⋅

j cj xj (3.28)

Subject to ∑ ⋅ ≥

j aij xj 1 foralli (3.29)

i all for 1

xj =0 or (3.30)

2.3.2 啟 發 式 演 算 法 (Heuristic Algorithms)

一 、 基 因 演 算 法(Genetic Algorithm, GA)

Potvin 等人【30】利用基因演算法(GA)來求解 VRPBTW 問 題,首 先 利 用 貪 心 插 入 法(Greedy insertion heuristic)產生起始解,

以 一 對 一 方 式 挑 選 最 小 插 入 成 本 的 點 , 直 到 所 有 需 求 點 都 納 入 路 線 中 ; 然 後 用 適 應 度 函 數(Fitness Function)大 小 來 選 擇 複 製 的 比 率 , 再 以 1X、OX、MX1、MX2、Ⅱ五種交配運算元進行交配,

最 後 再 以 RAR(Remove-and-Reinsert) 、 Swap 、 LwbF(Last-will-be-First) 三 種 突 變 運 算 元 進 行 突 變 。 結 果 顯 示 以 1X 交配運算元搭配 RAR,Swap、LwbF 三種突變運算元之解題 績 效 最 佳,與 Solomon [1983]題庫之最佳解比較,平均誤差為 1%。

(一) 貪心插入法:應用最小成本插入法的概念,得到最佳插入的 順 序,其 插 入 成 本 的 計 算 公 式 如 式(3.40)至式(3.42)所示。其 中 ;

(29)

dij = 單位時間內顧客 i 到顧客 j 的距離 bj = 未插入其他顧客時,顧客 j 的服務時間

buj = 在顧客 j 前插入顧客 u,導致顧客 j 新增的服務時間

α

1 = 解 散 路 線(detour)的權重

α

2 = 延 後 服 務 顧 客 j 的 權 重

µ

= c11中 顧 客 i 到 顧客 j 距 離 的權 重

(

, ,

) (

, ,

)

, 1, 0, 0

) , ,

( 1 11 2 12 1 2 1 2

1 i u j =α ⋅c i u j +α ⋅c i u j α +α = α ≥ α ≥

c (3.40)

(

i u j

)

d d d

c11 , , = iu+ uj−µ⋅ ij (3.41)

(

i u j

)

b b

c12 , , = ujj (3.42)

(二) 基因演算法步驟

步 驟 1:隨機挑選起始母體染色群體。

步 驟 2:選擇較佳的母體染色體進行複製。

步 驟 3:應用交配運算元於母體染色體,產生新的子代染色

體 。

步 驟 4:在子代染色體進行突變。

步 驟 5:重複步驟 2、3、4 直到新的子代染色體數和母體染 色 體 數 相 等 。

步 驟 6:從新的子代染色體中選擇較佳的染色體,產生新的

染 色 體 群 。

二 、 區 域 搜 尋 法(Local Search Heuristic)

Thangiah 等人【32】利用循序插入法得到起始解,然後再配 合 λ-interchange 和 2_opt* exchange 兩種區域搜尋法做改善。

(一) 循序式插入法執行步驟

(30)

步 驟 1:第一條路線只服務第一位顧客。

步 驟 2:一次挑選一個最小插入成本的顧客,插入路線中。

步 驟 3:直到車容量滿載後,再產生另一條新的路線。

步 驟 4:重複以上 3 步驟,直到所有顧客皆已服務完為止。

(二) 2_opt* exchange 主要執行概念乃針對連接送貨點和取貨點的 節 線 進 行 交 換 改 善,例 如:將 第 一 條 路 線 的 最 後 一 位 送 貨 點 和 第 二 條 路 線 的 第 一 位 取 貨 點 相 連;第 二 條 路 線 的 最 後 一 位 送 貨 點 和 第 一 條 路 線 的 第 一 取 貨 點 相 連 接 。

除 上 述 幾 種 方 法 外 , 亦 有 其 他 文 獻 發 表 不 同 的 啟 發 式 方 法 , 彙 整 如 表 2.2。 其 中 徐 俊 誠 、 曾 維 豪 、 魏 宗 徹 、 莊 英 群 等 四 篇 論 文 之 模 式 假 設 均 強 調 能 同 時 收 送 貨,但 根 據 Daniel【11】對 VRPBTW 問題定義,

此 類 問 題 應 屬 於 同 時 收 送 貨 車 輛 路 線 問 題(Pick-up and Delivery Vehicle Routing Problem, PDVRP),而非正統的 VRPBTW 問題。

2.2 VRPBTW 求解方法彙整表

年 代 作 者 使 用 方 法 限 制 條 件 模 式 假 設

1987 Yano et al. 。 集 合 涵 蓋 法 。 車 容 量 限制

。 時 間 窗 限 制

。 先 送 貨 後 取 貨

1996 Potvin et al. 。 貪 心 插 入 法

。 基 因 演 算 法

。 車 容 量 限 制

。 時 間 窗 限 制

。 先 送 貨 後 取 貨

。 取 貨 比 例 : 10%、 30%、 50%

1996 Thangiah et al. 。 循 序 插 入 法

。 區 域 搜 尋 法

。 車 容 量 限 制

。 時 間 窗 限 制

。 先 送 貨 後 取 貨

。 取 貨 比 例 : 10%、 30%、 50%

1999 申 生 元

。 路 線 鄰 域 法

。 區 域 搜 尋 法

。 擾 動 演 算 法

。 車 容 量 限 制

。 時 間 窗 限 制

。 先 送 貨 後 取 貨

。 取 貨 比 例 : 10%、 30%、 50%

2000 徐 俊 誠

。 鄰 近 點 法

。 掃 描 法

。改 良 型 插 入 法

。 模 擬 退 火 法

。 車 容 量 限 制

。 無 時 間 窗 限 制

。 有 時 間 窗 限 制

。 可 同 時 收 送 貨

。 取 貨 比 例 : 20%、 34%、 50%

10%、 30%、 50%

(31)

2.2 VRPBTW 求解方法彙整表(續)

年 代 作 者 使 用 方 法 限 制 條 件 模 式 假 設

2000 曾 維 豪

。 鄰 近 點 法

。 循 序 插 入 法

。 平 行 插 入 法

。 禁 制 搜 尋 法

。 車 容 量 限 制

。 時 間 窗 限 制

。 可 同 時 收 送 貨

。 取 貨 比 例 : 10%、 30%、 50%

2001 魏 宗 徹 。 鄰 近 點 法

。 基 因 演 算 法

。 車 容 量 限 制

。 有 時 間 窗 限 制

。 可 同 時 收 送 貨

。 取 貨 比 例 : 10%、 30%、 50%

2003 莊 英 群 。 節 省 法

。 禁 制 搜 尋 法

。 車 容 量 限 制

。 有 時 間 窗 限 制

。 同 時 收 送 貨

。 取 貨 比 例 :25%、

50%

2.4 巨集啟發式方法回顧

由 於 傳 統 鄰 域 搜 尋 方 法 會 有 陷 入 局 部 最 佳 解 的 現 象 , 近 年 來 許 多 標 榜 更 有 智 慧 的「 巨 集 啟 發 式 演 算 法(Meta-Heuristics Algorithms)」陸 續 被 學 者 提 出 , 並 應 用 於 許 多 複 雜 問 題 的 求 解 。 本 節 概 略 介 紹 幾 種 著 名 的 及 新 發 展 的 巨 集 啟 發 式 方 法 , 包 括 : 禁 制 搜 尋 法(Tabu Search, TS) 、 門 檻 型 演 算 法 (Threshold Algorithms) 、 螞 蟻 搜 尋 最 佳 化 (Ant Colony Optimization, ACO) 及 包 容 性 深 廣 度 搜 尋 法 (Generic Intensification and Diversification Search, GIDS)。

一 、 禁 制 搜 尋 法

禁 制 搜 尋 法 (TS) 的 觀 念 架 構 最 早 是 由 Glover 【 18 】 及 Hansen(1986)所提出,經過多年來的發展與演進,TS 法已經成為 當 代 最 著 名 的 巨 集 啟 發 式 方 法 之 一。TS 法的理念是想構建一個智 慧 型 的 問 題 求 解 程 序 : 在 現 有 解 的 鄰 域 進 行 搜 尋 , 並 應 用 人 工 智 慧 的 記 憶 機 制 , 將 已 經 搜 尋 過 的 解 及 其 特 徵 記 錄 在 禁 制 列(Tabu List),以避免重複性或毫無目標的搜尋;等到整個鄰域都搜尋完 畢 後,再 選 擇 一 個 最 佳 的 方 向 進 行 移 動,以 逐 漸 逼 近 最 佳 解。TS 法 發 展 至 今 已 形 成 相 當 複 雜 的 執 行 架 構(Glover & Laguna【19】),

其 所 應 用 的 高 階 策 略 主 要 包 含 了 以 下 四 個 概 念 。

(一) 記憶結構(Memory Structures)管理:記憶結構乃是 TS 法之特

(32)

色 與 核 心 , 又 分 成 短 期 記 憶(Short Term/Recency-Based Memory)與 長 期 記 憶 (Long Term/ Frequency-Based Memory) 兩 種 結 構 。 短 期 記 憶 以 禁 制 列 為 基礎 , 將 最 近 搜 尋 過 的 解 或 移 動 之 屬 性(Attributes)記 錄 在 禁 制 列 , 以 避 免 後 續 搜 尋 的 解 重 複 先 前 的 搜 尋 途 徑。然 而,經 過 一 段 禁 制 期 間(Tabu Tenure) 之 後 , 禁 制 的 屬 性 即 可 恢 復 自 由 。此 外 , 短 期 記 憶 亦 可 利 用 渴 望 水 準(Aspiration Levels)的機制來打破禁制列的限制;亦 即 當 搜 尋 的 新 解 優 於 目 前 最 佳 解 時, 雖 然 其 屬 性 在 禁 制 列 之 中 , 仍 允 許 移 動 至 該 解 。 至 於 長 期記 憶 結 構 則 以 記 錄 屬 性 出 現 的 次 數 為 主 , 再 配 合 深 度 或 廣 度 搜 尋 策 略 , 以 擴 大 TS 法 的 搜 尋 範 圍 。

(二) 深 度 搜 尋 與 廣 度 搜 尋 (Intensification and Diversification Search):深度搜尋策略係在搜尋過程中將較佳的數個解記錄 在 精 英 列(Elite List)內,當短期記憶搜尋無法改善時,再從精 英 列 中 選 擇 一 個 解 做 為 下 階 段 搜 尋的 起 點 , 重 新 開 始 。 精 英 列 不 一 定 要 記 錄 一 個 完 整 的 解 , 也可 以 只 記 錄 經 常 出 現 的 部 份 解(Parts of Solution)。廣度搜尋策略則需要配合長期記憶 結 構 記 錄 搜 尋 過 程 中 解 或 屬 性 出 現的 次 數 , 當 短 期 記 憶 搜 尋 無 法 改 善 時 , 選 擇 次 數 較 少 之 屬 性方 向 重 新 進 行 短 期 記 憶 搜 尋 。 計 算 出 現 次 數 時 , 需 乘 以 一 懲 罰 值(Penalty), 以 控 制 其 搜 尋 方 向 。

(三) 策略交替運用(Strategic Oscillation):是一個調和深度搜尋與 廣 度 搜 尋 的 機 制,藉 由 臨 界 水 準(Critical Level)來控制深度搜 尋 與 廣 度 搜 尋 的 切 換 時 機 。

(四) 搜 尋 路 徑 連 結 (Path Relinking): 先 設 定 一 個 目 標 解 (Guiding Solution), 然 後 藉 由 深 度 搜 尋 、 廣 度 搜 尋 與 渴 望 水 準 控 制 搜 尋 路 徑 朝 向 目 標 解 前 進 。

TS 法嘗試將人類的思考邏輯轉化成各種高階指導策略,配 合 記 憶 結 構 且 靈 活 運 用 深 度 搜 尋 與 廣 度 搜 尋 , 是 TS 法成功之關 鍵 。 讀 者 可 參 考 Glover & Laguna【19】之大作以了解 TS 法的執 行 細 節 。

(33)

二 、 門 檻 型 演 算 法(Threshold Algorithms)

模 擬 鍛 鍊 法(SA)、門檻接受法(TA)、大洪水法(GDA)與紀錄更 新 法(RRT)皆 屬 於 門 檻 型 演 算 法 。 此 類 方 法 之 基 本 觀 念 乃 是 在 鄰 域 搜 尋 陷 入 局 部 最 佳 解 時,採 取 較 鬆 的 接 受 法 則(通常為一門檻值) 接 受 劣 於 現 解 之 鄰 解 , 以 便 脫 離 局 部 最 佳 解 的 束 縛 而 繼 續 搜 尋 下 去。SA、TA、GDA 與 RRT 等方法的執行架構與傳統鄰域搜尋法 之 架 構 相 似 , 差 異 之 處 僅 在 於 使 用 的 接 受 法 則 不 同 。 傳 統 的 鄰 域 搜 尋 法 僅 接 受 較 佳 的 鄰 解 , 門 檻 型 演 算 法 則 可 接 受 暫 劣 之 鄰 解 。

模 擬 鍛 鍊 法 的 基 本 觀 念 最 早 是 由 Metropolis et al.(1953)所提 出,然 後 由 Kirkpatrick et al.【25】加以應用到組合最佳化問題之 求 解 上 , 因 而 產 生 了 目 前 所 謂 的 模 擬 鍛 鍊 法 。SA 法 的 執 行 關 鍵 在 於 接 受 法 則 與 降 溫 過 程(Cooling Process)的機制設計。SA 法的 接 受 法 則 為 機 率 性 接 受 暫 劣 解 : 利 用 一 個 隨 機 產 生 的 數 值 與 門 檻 值 做 比 較 , 此 門 檻 值 是 鄰 解 與 現 有 解 之 目 標 值 差 額 及 溫 度 的 函 數 ; 此 處 所 謂 「 溫 度 」 對 SA 而言是一個抽象的觀念,僅做為控 制 門 檻 值 高 低 的 參 數 ; 降 溫 則 是 為 了 使 SA 能夠逐漸收斂。

門 檻 接 受 法(Dueck & Scheuer【15】)、大洪水法(Dueck【16】) 與 紀 錄 更 新 法(Dueck【16】)的觀念雖源自於 SA,但採用確定性 的 接 受 法 則 。 茲 以 圖 2.4 的示意圖說明 TA、GDA 與 RRT 等方法 之 接 受 法 則 異 同 :TA 法事先產生一組固定的門檻值數列(通常為 遞 減) , 依 次 使 用 數 列 中 的 門 檻 值 , 其 接 受 法 則 為 C(Xnew) <

C(Xcurrent) + Tk;GDA 法設定一個起始水位,只要有改善就降低 水 位(固定的下降速度),其接受法則為 C(Xnew) < L;至於 RRT 法 則 是 將 目 前 的 暫 優 解 設 為 記 錄 值 , 取 記 錄 值 之 固 定 百 分 比 率 做 為 門 檻 值 , 其 接 受 法 則 為 C(Xnew) < C(Xcurrent) + R×p。

(34)

圖 2.4 TA、GDA 與 RRT 接受法則示意圖【5】

表 2.3 以最小化問題之求解來說明 SA、TA、GDA 與 RRT 等 方 法 之 重 要 執 行 機 制 的 異 同 , 其 中 C(X)為現有解 X 之目標值,

C(X')為鄰解 X'的目標值。此外,表 2.3 中的控制參數係指用以控 制 演 算 法 執 行 與 停 止 之 參 數;接 受 法 則 為 判 斷 是 否 將 鄰 解 X'列為 候 選 解 之 準 則 ; 收 斂 法 則 是 為 了 確 定 搜 尋 過 程 會 收 斂 , 在 現 有 解 移 動 後 對 其 控 制 參 數 進 行 調 整 之 方 式 ; 停 止 法 則 係 規 範 演 算 法 停 止 搜 尋 之 標 準 。

表 2.3 SA、TA、GDA 與 RRT 之比較

方 法 SA TA GDA RRT

控 制 參 數

。 溫 度(T)

。 機 率 值 (0 < r < 1)

。 次 數(K)

。 門 檻(Tk)

。 次 數(K)

。 水 位(L)

。 速 度(S)

。 誤 差 率(p < 1)

。 記 錄 值(R)

。 次 數(K) 接 受

法 則

機 率 性 接 受 :

[

C X TC X

]

r <exp ( ) ( )

確 定 性 接 受 : C(X') < C(X) + Tk

確 定 性 接 受 : C(X') < L

確 定 性 接 受 : C(X') < C(X) +R*p

收 斂

法 則 T 遞 減 Tk 遞 減 L = L – S 更 新 R 值

停 止

法 則 完 成 K 次 迴 圈 完 成 K 次 迴 圈 所 有 C(X') > L 完 成 K 次 迴 圈

資 料 來 源 【5】

Fisher【17】曾將 VRP 求解方法的發展分為三個時期:簡單 啟 發 式 方 法 、 數 學 規 劃 基 礎 方 法 、 人 工 智 慧 方 法 。 其 中 , 第 三 時

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期 的 人 工 智 慧 方 法 包 含 了「 專 家 系 統 」與「 包 容 性 搜 尋 法(Generic Search Methods)」兩者。所謂的包容性搜尋法,即是允許搜尋過 程 中 接 受 暫 劣 解 的 一 種 方 法 , 門 檻 型 演 算 法 與 前 述 的 禁 制 搜 尋 法 皆 被 Fisher 歸類為包容性搜尋法的一種。

三 、 螞 蟻 演 算 法(Ant Colony Optimization, ACO)

螞 蟻 演 算 法 的 基 本 概 念 是 利 用 螞 蟻 外 出 覓 食 時 , 會 在 行 經 巢 穴 與 食 物 間 的 路 徑 上 , 留 下 一 種 稱 為 費 洛 蒙(pheromone)的 荷 爾 蒙 , 因 此 螞 蟻 行 經 一 路 徑 的 機 會 與 該 路 徑 遺 留 的 費 洛 蒙 素 濃 度 成 正 比 , 即 當 有 更 多 的 螞 蟻 走 過 該 路 徑 時 , 遺 留 的 費 洛 蒙 含 量 就 越 多 , 而 當 費 洛 蒙 素 濃 度 高 時 , 便 會 吸 引 更 多 的 螞 蟻 行 走 該 路 徑 。 假 設 螞 蟻 面 臨 選 擇 路 徑 時 , 決 定 行 走 某 一 路 徑 的 機 率 將 與 遺 留 在 該 路 徑 的 費 洛 蒙 含 量 有 關 ; 另 外 , 路 徑 越 短 時 , 螞 蟻 通 過 該 路 段 的 時 間 就 越 短 , 造 成 最 短 路 線 上 會 遺 留 較 高 的 費 洛 蒙 含 量 , 吸 引 較 多 的 螞 蟻 , 最 後 螞 蟻 將 沿 最 短 路 徑 , 求 得 最 佳 解 。

螞 蟻 演 算 法 即 在 模 仿 螞 蟻 覓 食 的 行 為 , 並 且 利 用 螞 蟻 群 體 合 作 的 原 理 來 解 問 題 以 獲 得 最 佳 決 策 之 搜 尋 工 作 。 此 演 算 法 又 稱 為 蟻 群 演 算 法 , 其 最 初 是 由 Macro Dorigo 於 1992 年所提出,當時 稱 該 演 算 法 為 螞 蟻 系 統(Ant System, AS),直到 Dorigo et al.【14】

將 此 演 算 法 的 精 神 延 伸 到 求 解 非 連 續 式 最 佳 化 問 題 上 , 並 命 名 為 ACO,其是求解最佳化問題的巨集啟發式方法。在求解的過程是 利 用 多 點 搜 尋 方 式 跳 脫 區 域 解 。

四 、GIDS 方法

卓裕仁【5】結合多種巨集啟發式方法的特性與優點,將接受 劣 解 、 變 換 鄰 域 、 擾 動 成 本 與 多 重 起 點 等 巨 集 策 略 融 合 在 深 度 搜 尋 與 廣 度 搜 尋 的 概 念 中,發 展 出 一 套「 包 容 性 深 廣 度 搜 尋(Generic Intensification and Diversification Search, GIDS)」的巨集啟發式方 法 。

GIDS 法 共 包 含 : (1) 多 起 始 解 構 建 (Multiple Initialization Constructor, MIC) 、 (2) 深 度 化 包 容 搜 尋 (Generic Search for

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Intensification, GSI)與(3)廣度化擾動搜尋(Perturbation Search for Diversification, PSD)三個策略群組。整套 GIDS 法係以傳統鄰域 搜 尋 為 實 際 執 行 求 解 之 工 具,以 深 度 搜 尋 之 GSI 群組為核心,再 搭 配 廣 度 搜 尋 之 PSD 與 MIC 群組。此外,並設計了五種模組來 執 行 GIDS 之策略群組:再 MIC 群組構建有加權起始(Weighted Initialization, WI)模 組 與 鄰 域 搜 尋 (Neighborhood Search, NS)模 組 ; 在 GSI 群組設計有 G1 與 G2 兩種包容搜尋(Generic Search) 模 組 ; 在 PSD 群組中則購建有成本擾動(Cost Perturbation, CP)模 組 。GIDS 之解題概念如圖 2.5 所示。

圖 2.5 GIDS 之解題概念架構【5】

2.5 小結

1. VRPB 與 VRPBTW 皆屬於複雜度很高的 NP-hard 問題,現有文獻 多 以 發 展 啟 發 式 方 法 來 求 解 。

2. 啟發式方法可概略分為兩類:(1)起始解法(2)改善解法,起始解法 多 應 用 節 省 法 為 基 礎 來 設 計 或 改 良 ; 改 善 解 法 以 交 換 法 為 主 , 如 k-Opt 節線交換法【26】。

3. 近年來巨集啟發式演算法的發展,亦有學者提出 GA、TS 等方法 應 用 於 VRPB 及 VRPBTW 之求解。

4. 本論文希望應用門檻接受法來發展適合 VRPBTW 求解之巨集啟 發 式 方 法 , 細 節 說 明 於 第 三 章 。

(37)

第三章 VRPBTW之門檻接受法架構設計

3.1整體解題架構

本 研 究 採 用 門 檻 接 受 法(Threshold Accepting, TA)結合傳統鄰域搜 尋 方 法,構 建 一 套 VRPBTW 之巨集啟發式解法。期望藉由 TA 可接受 劣 於 現 有 解 之 鄰 解 的 機 制 , 以 便 搜 尋 過 程 能 夠 脫 離 局 部 最 佳 解 的 束 縛 , 且 TA 採用確定性的接受法則,執行方式較為簡單。

整 套 解 題 架 構 可 分 為 三 個 程 序 , 第 一 個 程 序 為 起 始 解 構 建 程 序 , 第 二 個 程 序 為 鄰 域 搜 尋 程 序 , 第 三 個 程 序 為 門 檻 接 受 程 序 。 起 始 解 構 建 程 序 根 據 傳 統 鄰 點 法(Nearest Neighbor, NN),提出六種改良式的鄰 點 法 , 分 別 構 建 不 同 的 起 始 解 。 接 著 進 行 鄰 域 搜 尋 改 善 程 序 , 分 別 以 路 線 內 交 換 改 善 模 組 和 路 線 間 交 換 改 善 模 組 , 以 搜 尋 局 部 最 佳 解 。 門 檻 接 受 程 序 針 對 鄰 域 搜 尋 模 組 構 建 的 結 果 , 使 用 TA 演算法進行搜尋 以 跳 脫 局 部 最 佳 解 的 束 縛 。 門 檻 接 受 法 應 用 於 VRPBTW 之解題架構 如 圖 3.1 所示。其中(1_0)_b、(1_1)_b、(S_S)_b 分別代表各交換法的 交 換 策 略 為 最 佳 改 善(best-improvement)策略;(1_0)_f、(1_1)_f、(S_S)_f 代 表 各 交 換 法 的 交 換 策 略 為 首 先 改 善(first-improvement)策略。

圖 3.1 VRPBTW 之門檻接受法解題架構

(38)

3.2模組細部設計 3.2.1 起 始 解 構 建 模 組

以往有關求解時間窗類型的問題,文獻多用節省法構建起始解,

節 省 法 多 以 路 線 成 本 節 省 為 考 量 , 雖 可 加 入 時 間 窗 之 節 省 值 , 但 是 兩 者 之 權 重 如 何 設 定 是 其 問 題 。 本 研 究 採 用 鄰 點 法 可 直 接 將 時 間 窗 因 素 納 入 考 量 , 避 免 節 省 法 許 多 無 謂 的 計 算 。 傳 統 鄰 點 法 僅 以 距 離 為 考 慮 因 素 , 但 在 時 間 窗 問 題 中 , 時 間 因 素 非 常 重 要 , 因 此 將 服 務 時 間 窗 和 等 待 服 務 時 間 兩 個 因 素 納 入 考 量 ; 本 研 究 即 以 傳 統 鄰 點 法(Nearest Neighbor)的概念為核心,提出另外五種改良式的鄰點法做為起始解的 構 建 方 法 ; 以 循 序 和 平 行 的 概 念 將 需 求 點 一 一 納 入 路 線 中 , 所 謂 循 序 的 概 念 意 指 : 一 條 路 線 構 建 完 畢 之 後 再 構 建 另 一 條 新 的 路 線 , 直 到 所 有 需 求 點 皆 已 納 入 所 有 路 線 為 止 ; 而 平 行 的 概 念 意 指 : 同 時 構 建 多 條 路 線 , 直 到 所 有 需 求 點 皆 已 納 入 所 有 路 線 內 為 止 。

傳 統 的 鄰 點 法 係 以 循 序 - 需 求 點 間 的 距 離 最 短 的 概 念 構 建 起 始 解 。 本 研 究 不 但 加 入 了 平 行 的 概 念 , 更 依 據 硬 時 窗 的 限 制 設 計 了 另 外 兩 種 改 良 式 鄰 點 法 的 準 則 , 一 為 需 求 點 的 服 務 時 窗 下 界 最 早 : 考 慮 以 需 求 點 的 服 務 時 窗 下 界(開 始 服 務 時 間)的 先 後 順 序 來 決 定 服 務 順 序 ; 二 為 需 求 點 的 等 待 服 務 時 間 最 少 : 車 輛 可 在 時 間 窗 下 界 之 前 到 達 需 求 點 , 惟 必 須 等 到 時 間 窗 下 界 開 始 才 可 進 行 服 務 , 這 段 時 間 即 為 等 待 服 務 時 間 , 依 等 待 時 間 長 短 決 定 服 務 順 序 。

六種改良式的鄰點法包括:循序-需求點間的距離最短(NNS1)、循 序-需求點的服務時窗下界最早(NNS2)、循序-需求點的等待服務時間 最 少(NNS3)、平行-需求點間的距離最短(NNP1)、平行-需求點的服務 時 窗 下 界 最 早(NNP2)、 平 行 -需 求 點 的 等 待 服 務 時 間 最 少 (NNP3), 整 理 如 表 3.1。各種方法說明如下:

參考文獻

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