國小學童二位數加減運算學習之數學遊戲設計研究

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國立中山大學教育研究所碩士論文

國小學童二位數加減運算學習之數學遊戲設計研究

研究生：黃怡芳撰指導教授：梁淑坤博士

中華民國九十四年六月

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謝誌

回憶剛考上碩士班，內心是歡喜欲狂的，一年級剛進來時，所上便要選導師，

於是我便選了她，我對她的第一眼印象是笑容可掬的親切媽媽，而在旁學習的這兩年，我覺得她更像電影中的「超人」，因為，她盡職的扮演每種角色，在有人需要她的時候，從我的眼中看到的她，是個好母親，對兩個小蘿蔔頭的照顧，從不因工作上的忙碌而稍有遺漏；是個好老師，即便是當上所長，對學生們的關懷與指導，從不因時間的限制而稍有剝奪；是個好學生，對學術新知的追求，從不因飽滿豐富的學養而稍有懈怠。你一定很想知道她是誰，她就是我的老師---梁淑坤教授。

淑坤教授是我的恩師，在老師身旁學習如入寶山，時時有新發現、處處有寶藏，認真的老師作學問之嚴謹態度深深影響著我，忙碌的老師對學生的關愛時時感動著我，心中對老師的敬畏與感激，實是凸筆難以形容，謹獻上我最誠摯的謝意。親愛的老師，謝謝您！很榮耀、也很幸福能跟在老師身旁學習。

在每個人的一生當中，一定都會接受到別人的幫助，相對的，也會幫助別人。

有些是有形的，像是生活物質上的幫助；有些則是無形的，也許別人的一句話，

讓我們對處理事情的態度上，能更加細心、謹慎，從各方面去考量，也或許能促使奮發向上，開啟對知識學習的興趣。而我很榮幸身邊有好多人在一路上支持、

照顧、關懷著我，在此由衷的表達我的感謝。

感謝提攜照顧的學長姊們，嘉皇、千奇、淑珠、進寶、家杰學長姊們；

感謝一同成長的伙伴，松潔、士傑；

感謝中山熱情友情的贊助，曉琪、玲誼、芳瑩、威彤、冠郿；

僅將這本論文

獻給我敬愛的父母，感謝您們的支持與體諒獻給男友澤琦，謝謝你的包容與鼓勵

黃怡芳謹誌

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國小學童二位數加減運算學習之數學遊戲設計研究摘要

本研究的目的是透過研擬四個數學遊戲來輔助學童在二位數加減法運算的學習，研究者在初版遊戲以 4 節課之外加式遊戲活動來輔助教學，藉由遊戲設計的歷程來探討其實施對兒童在數學運算的學習。選擇以高雄市某二間國小二年級學童的三個班級為對象，分別為先導研究、初版遊戲、再版遊戲等三個階段的試教用途。

研究進行期間資料的蒐集包括加減運算測驗(前測、後測)、數學態度檢核表、數學遊戲檢核表、遊戲租借表、學習單、學習日誌、參與觀察紀錄表、遊戲設計反省紀錄表等九種，研究者再以這些資料分別對遊戲的內容設計、實施成效、修正方向進行評估、調整、修訂。

綜合資料分析，包括遊戲設計、實施成效、修正方向三方面。在數學遊戲的 設計方面，生活化的教材能與學童的生活經驗相互連結、趣味性等的遊戲設計特

性能使學童持續高度的學習專注力，就四個遊戲來說，其設計掌握的主要遊戲特性，如同心協力的合作性、比速度比正確的挑戰性、運籌帷幄的教育性、機會或 運氣的機運性等。至於實施成效方面，學童展現由「個人獨立作業」到「小組協 調互助」、「信心滿滿」到「面有難色」、「邊緣參與」到「躍躍欲試」、「抑制不住的呼叫聲」等行為，而整理資料所得，學童們在認知、情意、技能的反應良好；

最後，在修正方向方面，修訂的原則是依據各遊戲的優缺點進行評估，並適時調 整遊戲設計，包括成人適時介入引導策略運用、以學童為遊戲的主導者、遊戲規範設立、內容設計增廣等。

本研究發現，透過數學遊戲輔助學童的效益高，如在數學二位數運算上的學習。教學者若能用心於遊戲設計，謹慎的實施遊戲，適時的調整遊戲修訂，藉由遊戲來吸引兒童的注意力，並以此為開端來達到學習目的，定能使學童在數學學習上有更佳的效能，達到寓學習於遊戲之上的理想。

關鍵字：數學遊戲、加減運算

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The design of mathematical games in addition and subtraction two-digit computation learning for elementary children

Abstract

The purpose of this study was to develop mathematical games to assist children in learning addition and subtraction computation. The investigator designed games and experimented through four extra lessons, then studied children’s mathematical learning after the lessons. Participants of this study were second grade children from two elementary schools in Kaohsiung. The experimentation was divided into three phases: pilot phase, first edition phase, and, second edition phase.

Data collection and administration included pre-test and post-test; questionnaire of children’s attitude towards mathematics; questionnaire of children’s attitude towards games; record sheets for loan of games; children’s worksheets; learning diaries; researcher’s observation notes; and, researcher’s reflections on design of games. The researcher referred to the above data source, later, evaluated according to the results of experimentation, and completed final revisions.

Data analyses and results were three: Design, implementation, and revision.

Design. When designing a game, the materials followed that of children’s real life

experiences. The characteristics of the four games were: Cooperation, challenge, education, and, chance and luck. Implementation. Children changed from

“individual responsibility” to “co-ordination and cooperation in group”, from

“assurance” to “lack of confidence”, from “marginal participation” to “eager to play with laughter”, and “no control of shouting”. From the data analyses, children performed well in cognition, attitude, and skills. Revision. The principles of modification were to evaluate games’ strengths and weaknesses, and adjusting games design. The respective revisions were tutoring play, children as key

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The findings of this study suggested that children benefit from mathematical games and constitute mathematical learning in two-digit number computation. If instructors try hard to design games, be keen in administration, and adjusted games, children will learn through games and result more effective mathematics learning.

Finally, it is concluded that the goal of enhancing mathematics learning through games-based instruction as feasible.

Key word：mathematics games, addition and subtraction computation

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國小學童二位數加減運算學習之數學遊戲設計研究

第一章緒論

第一節研究背景

由於社會型態的劇變，今日的教育趨勢，比較過去與今日的訴求，可發現四點變化，包括，由以教師為中心改為以學生為中心；由以教科書為中心改為以學習活動為中心；由重視知識或學習結果的傳授(供給黃金)改為注重學習過程與方法的訓練(點金術)；由被動的學習改為主動的學習(吳俊憲，2000b；柳賢，1990；

唐偉成，1999)。這樣的訴求可在教育改革的行動上看出端倪，從中華民國六十四年由教育部所公佈的課程標準，經民國八十二年新課程標準的修訂，到民國九十學年度實施的九年一貫課程，其均主張「在生活中學習」，以學生為主體、讓學生從對話、傾聽、討論、磋商的活動中能主動地獲得知識，而確認學生為學習的中心，尊重其主體性，強調知識是由認知主體主動建構，並重視真實生活情境之應用；讓學生經由對話傾聽、討論、磋商、辯證和分享等，使學生成為善於表達的人，並增進自我的能力；教師是佈題者、學生是解題者，同儕是合作者、解題者等，教學歷程是交互辯證的，正符合了建構主義的基本精神(吳俊憲，2000b；

林燈茂，1982；楊龍立，1998；甯自強，1993)。

而在數學教育方面，民國六十四年版的數學課程標準，提到輔導兒童從日常生活經驗中，獲得有關數學知識，進而培養有效運用數學方法，以解決實際問題的態度和能力；在民國八十二年版中，更明白揭示以建構主義精神貫穿其中；而九年一貫課程裡，究其基本理念與課程目標，實際上也充滿了建構主義的精神。

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第二節研究動機

在研究者未進入研究所就讀之前，一直是處於一個「被傳輸者」的角色，而求學過程中受到傳統邏輯實證主義（Logical Positivism）的科學訓練，已習慣處於被動灌輸、填鴨式的學習方式。在研究所就學期間接觸建構主義的觀念，研究者的心靈受到了震撼，由於建構主義強調學習者的主動性，學生的學習不是被動的接受教師所傳授的知識，而是透過有意義的學習，教師利用學生所熟悉的情境作橋樑來引導學生，協助學生能主動的建構知識。的確，在研究者的學習歷程中，

對有些科目的學習到現在仍是記憶猶新，而有些科目則是將學習用於應付考試後即拋諸腦後，於是，這樣的理念讓研究者深深地受到了感動，因此，研究者也認為教師的角色應逐漸調整成為「引導者」，引導學生學習，讓學生有參與感，並能主動地建構知識。反觀最能引起學童產生主動、積極參與的行為與動機之活動是「遊戲」，在與指導教授討論後，便著手進行數學遊戲設計的研究，希望能寓學習於遊戲之上，定能使學童在數學學習上有更佳的效能。

建構主義既是知識論，更是可實際應用的教育觀(廖信達，2002)。「建構式教學」基本上是一種「引導式的發現教學法」，而非「純發現式的教學法」，其論點在強調以學習者為主體，主體會依據其經驗而主動建構知識(詹志禹，1997；

楊龍立，1998)。相較於過去的傳統教學法(在這裡的傳統教學並非泛指所有的傳統教學，而是專指過去被認為被動接受觀點的教學、較無效的教學或是指講演、

記憶、背誦為主的教學，如行為主義式，刺激-反應連結的教學)，所謂的「建構式教學」並非指某一種特定的教學法，而是一種引發學生在教學活動歷程中學習的方式，更能提供學生多元的解題策略及理解思考能力的培養。

若能以建構的學習方式來學習數學，即在動態的學習活動建構知識，使兒童在活動中與數學相關概念作更有意義的連結，這對學童來說未嘗不是一項福祉，

而這個最理想的活動就是「遊戲」，遊戲是兒童的第二生命，Whitaker(1982，引

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自 Keller，1990)研究指出大部份在國小四年級以前的學生對數學遊戲都是持正向的態度，當教師將之運用於數學教學上，將會使原本持負面態度的學生轉向於持正向態度。因此，若能將數學遊戲融入建構式教學中，除了能讓學童本身自行建構對數學知識的相關概念，如在過程中學童主動參與學習、溝通討論及尊重多元想法，透過經驗、察覺、轉換等步驟來瞭解，並培養學童分析資料、形成臆測、

驗證與判斷的能力，亦能藉由此歷程培養學童對數學領域的學習興趣。

第三節研究目的

基於以上的研究動機，本研究擬以國小二年級學童為對象，加減法教材為主要內容，發展出以「建構式教學精神」為導向的「數學遊戲」。具體而言，本研究的目的有以下三點：

(一) 以數學遊戲融入教學之功能為原則，研擬國小二年級加減法數學遊戲。

(二) 以建構學童之二位數加減法運算學習為宗旨，實施加減法數學遊戲。

(三) 針對已實施之加減法數學遊戲進行評估再修正。

第四節研究問題

依據以上提出之研究目的，本研究擬探討之問題如下：

(一) 國小二年級「加減法數學遊戲」之設計為何？【設計】

(二) 國小二年級「加減法數學遊戲」之實施成效為何？【實施】

(三) 國小二年級「加減法數學遊戲」之修正方向為何？【修正】

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第五節重要名詞解釋

(一) 加減法運算學習

本研究的主軸放在二位數加減法運算的學習，其內容依據為現行南一版的二年級數學教材，研究者選擇以二位數的加減法，為研擬數學遊戲設計的重心。二位數的加減法，指在整數 100 以內的範圍，進行二位數的橫式加法或減法。學生在加減法運算學習的測定，在 15 分鐘內，以研究者自編的 50 題二位數橫式加減法來進行測驗，學生若能答對 45 題以上，則判定該生具有二位數橫式加減法的運算學習。

(二) 遊戲教學

數學思考是指運用數學知識、技術、技巧來嘗試解題的思考活動，而數學遊戲則是要運用數學思考才能獲得解決的遊戲(Harvey and Bright, 1985)。數學遊戲教學法乃是把數學領域的教學活動轉變成遊戲活動的教學(饒見維，1996)。

(三) 加減運算

運算是孩子們必須向成人學習的數學規約，本研究的加減法運算是指透過遊戲活動，讓學童能在歷程中熟練加、減法符號的運用，對個人得分及小組得分進行橫式列式、直式計算，以提昇二位數加減法運算的學習。

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第二章文獻探討

教育部於民國八十七年九月公佈「九年一貫課程總綱綱要」，並於九十學年度第一學期起分段實施。九年一貫課程至九十三年已進入最後階段，研究者探究其在數學領域課程編輯的特色在「生活化數學」，其課程研究發展的指針在重視學生先前經驗、營造有利學習環境、運用適宜教學方法、提供適當持續評量及幫助教師專業成長；而在課程活動設計重點則為解題溝通導向數學、鼓勵學生主動參與、督促學生負責學習、運用小組合作學習及促進親子互動關係。因此，本研究的主要目標是藉由遊戲導向教學的策略，讓兒童在愉快的情境中進行數學的學習。

本章分成三個部分來撰寫，研究者擬就數學課程教材分析、建構主義、遊戲教學這三方面做文獻探討，第一節為建構主義的理論基礎，第二節為遊戲教學的理論基礎，第三節為二年級數學課程教材的分析。

第一節建構主義

本研究既然以建構主義為的理論基礎，在此便將建構主義理論的意涵敘述如下。對建構主義之意涵可從以下加以敘述：建構主義的教學理論基礎、建構主義的派別、建構主義的遊戲觀。

一、

建構主義的教學理論基礎

建構主義(constructivism)是一種處理知識(或認識)(a theory of knowledge / knowing)的理論，它是緣自於「人本」或「主體」的哲學觀點，它所強調的是學習者的主動性，是對十九世紀實證主義的過度重視工具理性的反動。建構主義強

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地建構知識(吳俊憲，2000a；廖信達，2002)。

建構主義在近代深受現象學、存在主義、批判、詮釋及社會學派的影響，而其更跨越了哲學、心理學與社會學，吳俊憲(2000a)則依哲學、詮釋社會學及認知心理學三層面對建構主義概念作整理，如下：

在哲學層面，有純粹理性批判的康德(Kant)，康德將理性主義與經驗主義對 知識論的爭論採調和觀，認為知識是「感性」與「悟性」的共同產物，並肯定人具有理性的認知能力。因此，他確定認知的個體其內在心智具有主動建構知識的作用，也肯定了認知者在知識論中的主體地位。實用主義的杜威(Dewey)則認為

「兒童是教育的中心」、「教育即經驗的不斷重組與改造」，所以教師在教學前應設法發現兒童的興趣；教學時注重教學內容與生活經驗的聯結，並運用「從做中學」、「從經驗中學」及「從解決問題中學」的學習方法(韓景春，1996)。

在詮釋社會學層面，有現象學的胡賽爾(Husserl)，其主張「心物合一」、「回 歸事物本身」，認為主體和客體是結合在一起的，主體和客體必須在個人的經驗和意義下，才能完美的體現出來(Cresswell, 1998)。即學習者的學習行為是依據其經驗的主觀意識而反應的。符號互動論的米德(Mead)，其主張人類有主動思考的能力外，更重視社會情境中人與人互動所建構的意義，即視學習者為「社會人」，學習是在特定的社會文化環境中、與他人互動中，建構與獲得知識。批判理論的馬庫塞(Marcuse)和哈伯瑪斯(Habermas)則認為過度的工具理性使得人們喪失了對社會批判性的思考能力，因此希望喚醒人們主體理性的批判能力，即培養學生自思考與經驗中學習能力，透過討論與思考，經由同儕和師生不斷地交互辯證，來協助學生培養質疑、反省、解放與重建的批判思考能力與氣質。

在認知心理學層面，代表者有發生知識論的皮亞傑(Piaget)，其主張兒童自 幼即具備內發與主動的求知傾向，並會用他們自己的認知結構(即基模 schema) 對環境進行同化、調適以瞭解外在世界。另外，還有發現學習的布魯納(Bruner)，

其主張教學在啟發學生主動去求知、在教學生學習如何思維，藉主動發現過程中養成獨立求知的習慣。上述的代表人物提到了皮亞傑與布魯納，在個人認知層面

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尚有意義學習的奧蘇貝爾(Ausubel)，他認為只有配合學生能力與經驗的教學，學生才會產生有意義的學習。除了個人認知層面外，還有社會認知層面，在這個層面以鷹架(scaffolding)理論的維高斯基(Vygotsky)為代表，他相信學習是學習者與社會文化互動的產物。

綜上三方面所述，建構主義的中心概念可歸結出三點：首先，在哲學層面，

強調以人為學習的中心，主張認知個體是主動地在解釋他們所生存的世界。另一 方面，在詮譯社會學層面，強調每個人可以直接知道的客觀真實是不存在的，主 張學習者的行為是透過與環境互動而逐漸建構的，由於每個人的經驗、背景不 同，所以具有個殊性。最後，在認知心理學層面，強調認知個體處在不斷地發展 與改變的歷程中，主張激發個體與知識產生有意義的連結，並透過與社會互動來達到認知的發展。在教育上，建構主義認為，學習者不是一個空的容器或一塊白板，而是知識的主動建構者，且知識是在個人與真實世界接觸後，不斷透過辯證、

互動和溝通的歷程下產生的(吳壁純，1996；吳俊憲，2000a)。

二、

建構主義的兩個派別

建構主義大體來說可區分出兩派別：個人取向的建構主義 (radical constructivism) 及社會取向的建構主義(social constructivism) ，兩者在大體上相似，但在對社會有不同的認定(楊龍立，1998；廖信達，2002)。

個人取向建構主義的代表學者為 Von Glaserfeld，他主張建構主義是一種知識的理論(theory of knowledge)甚至是認知的理論(theory of knowing)，他從 Piaget 觀點來說知識與外在世界關係，強調人經由主體經驗來建構外在世界的知識，這些知識是當前比較具存活能力(viability)而非真理(truth)，只是主體對其經驗的理解及意義化(make sense)而已，即知識是學習者本身主動建構的結果，無法假借他人之手。Piaget 著重有機體本身的認知問題，重視同儕互動的影響，雖不否認社會因素之影響，但卻未特別突出社會因素之決定性的影響(吳俊憲，2000a；楊龍立，1998)。

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社會取向建構主義的代表人物為 Vygotsky，此派強調人們的知識建構是互為主觀的並與他人進行社會互動且經協商達成共識，社會互動及文化情境如價值觀、意識型態對人們知識建構有決定性的影響，即其主張知識是學習者在社會互動與合作下，藉由協商或討論而獲得共識的結果。Vygotsky 特別重視社會文化及語言對學習的影響尤其是師生互動之積極功效(吳俊憲，2000b；楊龍立，1998)。

三、建構主義的遊戲觀

建構主義的遊戲觀大體上也可分為兩大部份，即以 Piaget 為代表的個人建構觀及 Vygotsky 的社會建構觀。Piaget 從認知發展的觀點解釋遊戲，他認為認知發展影響兒童的遊戲行為，所以遊戲行為是了解兒童認知發展的指標。遊戲中，兒童將現實世界中的新事物、新情境及親行為納入現有的認知結構中。透過遊戲，

兒童可以練習日常生活中新學到的技巧，使此技巧更為成熟，必要時甚至透過想像去改變現實世界，使它更符合現有的認知結構。Piaget 認為遊戲的發生是基於快樂原則。Vygotsky 則認為遊戲不單單只是能帶給兒童快樂的活動而已，其主張兒童可透過遊戲來促進發展，他強調遊戲有三個價值：(一)遊戲可以領導、促進兒童的認知發展。(二)兒童可透過遊戲由想像情境的優勢掌控轉變成規則的優勢掌控。(三)遊戲可引發兒童在發展上的內在轉變(陳正乾，1995)。

四、建構主義教學與傳統教學的比較

建構主義既是知識論，更是可實際應用的教育觀(廖信達，2002)。建構式的教學基本上是一種「引導式的發現教學法」，而非「純發現式的教學法」，其論點在強調以學習者為主體，主體會依據其經驗而主動建構知識(詹志禹，1997；楊龍立，1998)。在這裡的傳統教學並非泛指所有的傳統教學，而是專指過去被認為被動接受觀點的教學、較無效的教學或是指講演、記憶、背誦為主的教學，如行為主義式，刺激-反應連結的教學。茲引用唐偉成(1999)對傳統的傳輸觀點與建構主義的觀點間的差異比較表。

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表 2- 1 建構主觀點與傳統的傳輸觀點之差異比較表

傳統的傳輸觀點建構主義的觀點

教師角色傳達知識提供經驗，協助學生建構知識

學生角色被動的知識接受者主動的知識接受者學生的心智

狀態

空的容器，很容易裝入新的想法

以舊經驗為基礎的想法，不易改變

學習的方式外在的學習環境，像是教師、

教室情境、書、實驗…

內在的學習環境，及學生的想法和舊有的經驗

學習的意義注滿容器修正或改變現存的想法或觀念

知識的意義客觀的事實，在學習者的經驗之外，與學習者獨立無關的

被每一個體所建構或賦予的意義

資料來源：建構主義的基本概念與教學模式(一)(第 33 頁)，唐偉成，1999，翰林文教雜誌。

五、建構主義與課程設計

建構主義由於主張探究學生個體科學概念的形成、評估不同的科學理論價值、反對絕對數理哲學觀點，被認為是今日推動科學教育革新的主要力量之一，

正符合現今教育潮流的需求(郭重吉，1995；趙金祈、許榮富、黃芳裕，1995)。

既然建構主義教學已成為一種趨勢，接下來則是探討建構主義的課程設計，一般來說，課程設計大致可從三個部分著手：課程立場、教育慎思過程、設計(李子建、黃顯華，1996)。

課程立場指的是哲學觀，在本研究即是建構主義，從建構主義的觀點，其在自然科學教育領域的主張，是探究學生科學概念的形成、評估不同的科學理論價值、反對絕對數理哲學觀點，因此，課程的意義是幫助教師與學生進行教與學的

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教育媒介，教師與學生應該才是駕馭課程的主角。這種課程觀重視教學的動態歷程，進而啟發師生應用課程作為學習媒介，引導學生的質疑思辨與批判態度，進而增進師生在認知、情意、技能的發展。課程的目的在引導學生進入其知識文化的思想體系，並進而培養人類的理解，以促進人類思考的自由。理解旨在使學生在新情境中，應用過去所學的概念、問題或心智過程，強調學生在學習情境中的主動角色，允許學生明智的選擇，並反省這些選擇的後果。建構主義對教學歷程與學習結果持著較為開放的態度，其關注的重點在於教室情境當中知識的建構與實踐(歐用生，1996)。

教育慎思過程是奠基於課程立場的基礎之上，思考教育目的與教育手段之間實然與應然關係，明確地指出教與學的方法與內容，特別是將學習方法、教學方法與教育目的視為彼此互動，因此，在其課程設計上，不能僅重視學生所學習的，

也應重視學生如何學習的過程，因為學生必須透過與環境的互動，才能產生學習的理解。在學習方法上，其所提倡的三段式學習環、五段教學法及以問題為依據的學習，在數學、物理、化學等科學教育領域受到十分的重視，此取向更主張學生應主動積極的參與知識的建構，且在與同儕、師生與社會的互動中建構知識，

正因為肯定互動的重要性，所以，「同儕合作學習」為此取向倡導的學習方法，

學生在小組內進行學習，透過討論來交換彼此對學習素材的理解觀點，相互檢證，並不斷的重新建構知識。在教學方法上，建構主義取向強調學生為主體，學生的具體經驗，認知失調與衝突，建構概念的運用等教學原則，重視與社會的互動，所以，「互動原則」、「適應原則」與「發展原則」為其主要主張。在本研究是以團體數學遊戲融入建構式教學。

在設計中，則是指課程設計的實務行動，重視教室層次之課程設計與發展，

強調教室情境中師生交互作用的動態歷程，主張課程設計與發展必須落實在教室情境中。由於學生才是課程中的主角，教師在此則扮演學生學習的引導者，引導學生進行探究科學概念與發現科學的學科知識架構，進而建構其學習意義。此取向的課程設計有六項原則，即過程導向的設計理念、學習者為課程主體、生活經

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驗為起點、問題解決的教材、科際統整的組織及多元化的真實評量 (游家政，

1998)。在九年一貫課程的數學領域中，強調解題活動，重視不同的解題思考和策略，主張數學的學習與實際生活情境相結合，皆可嗅出建構式教學的精神。

六、個人建構下的個別差異

在教育上，建構主義認為，學習者不是一個空的容器或一塊白板，而是知識的主動建構者，且知識是在個人與真實世界接觸後，不斷透過辯證、互動和溝通的歷程下產生的。由於學童才是學習的主體，知識是由學童依據其經驗而主動建構，透過與環境互動而逐漸建構的，由於每個人的經驗、背景不同，所以具有個殊性，即個別差異。個別差異(individual differences)是指每一個人和其他人不論在心理上或是生理上都存在著差別的現象，這種差別現象就是每一個人獨具的特徵(吳清山、林天祐，2003)。個別差異又可分為二種，其一是個體間的差異(即每一個人之間的差異，具有個人獨特性)；其二是個體內的差異(即一個人本身在知識、情意、技能等方面的差異)(吳清山、林天祐，2003；簡茂發，1998)。

在教育上，為了適應學生個別差異而透過特別設計，從整個教學歷程來著手並靈活運用，使適應個別需求，作有效的學習，達成教育目的的教學策略稱「個別化教學(individualization)」，其不等同於「個別教學」，乃在班級體制下為適應個別差異所採取的一種教學策略，主要在發揮學生個別才賦及特性 (柳賢，

1990)，而其在數理科個別化教學實驗的主要發現有：個別化教學法確實能提高數學科成績、個別化教學提高物理科的學習成績、個別化教學有利於推理能力的培養、個別化教學改善學生對學校教育的態度、個別化教學有益科學態度的發展、個別化教學獲得學生的歡迎、個別化教學獲得教師的回饋，證實了個別化教學對學生在數理科的學習其各方面都有良好的成效。

七、社會建構中的合作學習

學習者透過與同儕、師生及社會的互動中建構知識，正因為肯定互動的重要性，所以，「同儕合作學習」為此建構式教學所倡導的學習方法，經由合作互動，

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合作者個別地重組自己的知識結構，產生一種質變，逐漸拉近與其他合作者間不同知識版本的距離，而趨近於相似、相容。Slavin (1990)則認為合作學習是一種有系統、有結構的教學策略，依學童能力、性別等因素實施異質分組，透過彼此討論，分享想法，來提高個人的學習效果，並達成團體目標。合作學習中，小組成員處在一個彼此合作、信任的環境，藉由互相討論、分享、協助來增進學習成效，藉以提昇參與成員認知、情意及社交上之發展(吳清山、林天祐，1996；Johnson

& Johnson, 1987；Johnson & Johnson, 1978)。合作學習的特色有三：採異質性分組、積極互賴、團體與個人並重。因此，合作學習可解釋為分為若干小組的班級裡，同組成員為其共同目標而努力，這個目標不僅為團體也為個人；學習者藉由小組的合作技巧，經由成員間不斷地交換意見、互相支持，從個別的學習擴大到自己與他人的學習，最終以每位小組成員都完成學習為目的。

合作學習已發展出許多方法，如學生小組成就區分法(STAD)、小組遊戲競賽法(TGT)、拼圖法(Jigsaw)、拼圖法第二代(Jigsaw Ⅱ)、團體探究法(G-I)、共同學習(L.T.)、小組協助教學法(TAI)等(張淑美、沈慶楊、李明富，1992；黃政傑、

林佩璇，1996；鄭晉昌，1996)。其中針對小組遊戲競賽法的實施提出說明：(1) 分組方式：小組遊戲競賽法仍採用異質性分組，將全班依學習能力、性別、背景分成每組 3~6 人的小組。(2)教學架構：於每單元教學前，先由教師對全班授課或討論，使學生瞭解單元內容，而後再由小組學習與教材相關的學習單。(3)學業競賽：於單元作業完成後，舉行小組間成就測驗的競賽，先安排競賽桌，再依能力將各組中學習能力相近的分配至相同的競賽桌進行測驗，不同競賽桌有不同的測驗題目，每桌競賽者依競賽表現為小組爭取績點分數，最後總計即為各組的團體分數，並依此作獎勵及處罰。因此小組遊戲競賽法在小組學習上採異質性分組，但在學業競賽上採同質性分組(陳厚吉，2003)。

學者以各種不同的合作學習教學模式(含競爭的與個別的)進行實證性研究，均多發現合作學習確有其認知、心理及社會層面的正面積極效果，如增進認知及讓設認知能力、提昇學生的學習動機與學習成就、學生的學習能力與合作行

(20)

為、增進學生的自尊與人際互動(Johnson and Johnson，1983；O’Donell et. al.，

1987，1985；Slavin，1983；Wiesman and Pertis，1991)。

第二節遊戲教學的理論基礎

一、遊戲的特徵

對於遊戲的特徵，各學者因關注的焦點不同而對其有不同的見解，例如，Stoll (1971)將遊戲定義了五種標準：自由從事的、具有挑戰性的、規則結構的組織、

與真實世界區隔的、具社會性的功能；Bright, Harvey and Wheeler 則依據 Stoll 的標準，對遊戲的時空限制加以延伸，增加二個標準，即有限制的時空及有限制的步數(Bright, Harvey and Wheeler, 1985)。Gaillois(1958)則指出遊戲具有六種特徵：自由的活動、分隔的活動、不確定的活動、無生產性的活動、受到規則的約束、假裝的活動。James E. Johnson等則提出遊戲是歡笑、愉悅和歡樂的(pleasurable and enjoyable)，它對參與者有正面意義(positive affect)。沒有外在目標(no extrinsic goals)，它是出自內在動機的。參與者只注重「遊戲」的過程，而不注重它的結果。是自願的(spontaneous and voluntary)，參與者可以自由參與和選擇「遊戲」。

參加者都主動投入，參與「遊戲」(active engagement)。不是單一、獨立的行為，

它和其他方面有密切關係，例如創造力、解決問題的能力，語言學習、社交技巧…

等等(James E. Johnson，引自郭靜晃譯，1994)。

我們可由上述是對遊戲的標準及特徵看出，各學者對遊戲的觀點不盡相同，

但在內含上大致是相似、重覆的，不過這也表示了這些觀點的重要不可磨滅性。

以下是研究者將上述對遊戲的特徵綜合整理如下：(一)正向意義的活動：遊戲比傳統的教室學習更能引起兒童的興趣，是因其具備趣味性，可以帶給兒童歡樂。

(二)內在動機的活動：參與者是主動、內發的參與遊戲，而不是被強制參與的，

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且不具外在目標，強調遊戲的過程重於結果。(三)自由的活動：參與者可依其自由意志參與和選擇遊戲。(四)非實際性的活動：遊戲的時空與真實世界的時空並不相同，遊戲是透過想像，自成一個系統，在特殊結構下的一種暫時性組合。(五) 綜合性的活動：不僅是單一、獨立的行為，它和其他方面有著密切關係，例如創造力、解決問題的能力，語言學習、社交技巧… 等。(六)策略性的活動：兒童在遊戲中受到遊戲規則的約束，為了贏得競爭而產生策略，因此，可視遊戲為一種策略性的活動。相關研究指出策略式教學(如啟發式策略)有助於學童在問題解決能力上的提昇(Lucas，1974；Kantowski，1977)。

二、遊戲理論

遊戲理論可以年代來做分野，將其區分為二大類，第一類是「古典理論」，

指的是1920年代以前的理論。另外，第二類是「現代理論」，指的是1920年代以後所發展出來的理論。試分述如下：

(一) 古典理論

古典理論是在第一次世界大戰前所發展出來的。古典理論多是以哲學式的反省為其立論基礎，而較少以實證研究來支持其立論，再者，其解釋的範圍過於窄化，不夠完整，以至有過多例外無法解釋，上述二者為古典理論主要二大缺失。

它們嘗試以不同的角度去解釋遊戲存在的原因及存在的目的，而未對遊戲的定義加以解釋。古典理論可細分為四種：能量過剩論、休養鬆弛論、重演論、本能演練論。但可將這四派對遊戲的定位及論述略分二：1.能量過剩論與休養鬆弛論：

將遊戲視為一種能量之調節行為；2. 重演論與本能演練論：將遊戲解釋為人的本能(郭靜晃譯，1994；詹志禹，1997；廖素霞，1992)。茲將四派古典理論分述如下：

1. 能量過剩論：以F. Schiller、H. Spencer為倡導者，主張遊戲的目的在消耗過剩的精力，尤其是能量過多時，以免積累反造成個體的壓力，如遊戲活動是產生於個體在工作之餘仍有過多的精力時。此理論的缺點為無法解釋為何兒童在精

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疲力竭時，仍會想玩遊戲。Spencer認為個體的總能量=有目標所導引的活動(工作)+沒有目標所導引的活動(遊戲)。

2. 休養鬆弛論：以M. Lazarus為倡導者，其主張遊戲的目的在儲存能量以供工作所需，因此，工作時所耗損的能量，可藉由遊戲或睡眠來補足。Patrick(1916) 聲稱遊戲以幫助個體讓疲乏的心理得到鬆弛。

3. 重演論：以G. S. Hall、L. Gulick為倡導者，主張遊戲的目的始自原始本能，在消除不適於現在的原始本能，遊戲是複製或重演人類的進化史，由低等向高等演化的歷程。此理論的缺點在無法解釋兒童藉由遊戲對未來世界的想像，如太空梭、外星人等。

4. 本能演練論：以K. Groos為倡導者，主張遊戲的目的是個體練習和準備未來成年生活所需的技能。McDougall(1923)認為遊戲由本能需求所衍生的活動，兒童藉由一種安全的方法來製造練習的機會，使這些本能更臻完善，以利日後成人生活所使用。

(二) 現代理論

古典遊戲理論雖有缺失，但卻提供了成人對兒童遊戲的新觀點，更為各家現代遊戲理論奠下立論基礎。反觀之，現代遊戲理論發展於一九二○年代之後期，

不只是在解釋人為何要遊戲，更嘗試將其在兒童發展所扮演的角色下定義，強調遊戲的積極功能，除了能給予兒童有機會去探索各種物體，並能藉此發展兒童的感覺、集中、想像、認知及情緒等能力。現代遊戲理論亦分為四派，分述如下：

1. 心理分析論：以S. Freud為倡導者，主張遊戲是兒童人格型態與內在慾望的展現，兒童可透過遊戲調節其受挫經驗(如平撫、淨化受創情緒、發洩心理焦慮等)。Erikson則將其再伸延，認為遊戲是一種自我的功能，在遊戲情境中讓個體接觸內在的自我，並藉以發現自己的能力，即兒童透過遊戲與周遭人事互動，或模仿真實情況，進而學會自己處理現實需求。

2. 認知論：以J. Piaget、L.S. Vygotsky為倡導者，主張遊戲可促進兒童的認知發

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模，並藉以熟練、鞏固所學的技巧；Vygotsky則認為遊戲可直接促進兒童的認知發展，遊戲代表兒童想像發展的開始，兒童才具有表徵想像的能力，以區別意義與實體，所以，遊戲是發展抽象思考能力的必經過程。Bruner及 Sutton-Smith皆主張遊戲的方法與過程遠比遊戲結果來得重要，兒童可透過遊戲來變化行為、象徵性的轉換來增加兒童行為的自由度及助長其變通能力，

以適應生活、解決問題。

3. 警覺理論：以D.E. Berlyne、Ellis為倡導者，由Berlyne首創，以生物觀點來做解釋，經Ellis修正。此理論將遊戲、好奇、創新等行為以一個系統的觀點來探討，主張遊戲是一種尋求刺激的行為，一但刺激不足，警覺程度提高，遊戲便開始；反之，遊戲結束。

4. 系統理論：以Bateson為倡導者，強調遊戲的溝通系統，兒童藉由「遊戲」的訊息，來交替協調其角色、物體和活動在遊戲中的意義及在真實生活中的意義。因此，遊戲是矛盾的，遊戲中的意義不代表真實生活中的意義。Bateson 的理論促使後繼的研究者對兒童遊戲溝通訊息的注意，如兒童在遊戲的對話、表徵的轉移情形等。

三、遊戲的功能

(一) 從三個層面探討遊戲的功能

遊戲是兒童的第二生命，也是其最自然的自我表達與人際溝通方式。兒童藉遊戲來探究自己所扮演的角色，練習生活技巧、發展社會關係、表達內心感受……

等，因此，遊戲不單單只是遊戲，更有其存在的意義與價值。對兒童而言，遊戲是一種學習、活動、適應、生活，甚或是工作。研究者綜合探討對遊戲功能的相關研究，進一步將其區分為三個層面：生理層面、心理層面、社會層面。分述如下：

生理層面：遊戲可增進兒童在腦神經系統及運動機能上的發展，如大小肌肉的發展、精細動作的熟練、掌握生活技能…等，透過遊戲的練習可提供兒童機會

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以培養這些掌控能力，以增加兒童對自己身體的自主性的掌控(吳博明，1995；

徐澄清、李心瑩，1984；詹志禹，1997；廖素霞，1992)。

心理層面：遊戲可促進兒童心理正常的發展，具有學習、適應、治療及休閒等的功能，如透過遊戲協助兒童語言、思考、想像的學習、問題解決能力的提昇、

瞭解個人與環境的關係、表達內心感受、淨化其負向情緒…等，而遊戲不僅是可以讓兒童舒緩情緒，更重要的是讓兒童領悟到自我情緒控制(吳博明，1995；徐澄清、李心瑩，1984；詹志禹，1997；廖素霞，1992)。

社會層面：遊戲可增進兒童的社會發展，兒童可透過遊戲來表現自我，在團體遊戲中學習與人相處、合作、尊重，發展合宜的人際關係，了瞭和諧活動的重要性，當兒童接受遊戲中的約束與規則時，更可養成社會生活中需要的基本概念與態度，以促進其社會行為的發展(吳博明，1995；徐澄清、李心瑩，1984；廖素霞，1992)。

(二) 以遊戲融入數學教學的功能

承心理層面的功能來看，遊戲具有學習的功能，透過遊戲可以協助兒童語言、思考、想像的學習、問題解決能力的提昇，因此，遊戲可提供教師在教學上不少的功能，如低年級之數學科教學，具體的經驗及遊戲常是建構其概念最常被使用的方式。Miguel de Guzma’n(1996)在<數學與遊戲>書中也指出遊戲與數學具有相當類似的元素和結構(如表 2-2)。數學的基本元素：一是選定的集合，如數字、圖形、函數的集合等；二是被定義的運算規則，如規定集合內的元素如何進行加、減、乘、除等基本運算。遊戲的基本元素：一是物體的集合，如棋子、撲克牌、骰子等；二是被定義的遊戲規則，如走棋的步驟、如何得分、分數的計算等(引自王克蒂，1998)。饒見維(1996)亦指出數學和遊戲的關係其實很密切，遊戲規則與數學規則都是人為的建構，數學成立在「數學家所建立的規則下」，如同一個符號，在不同的數學體系裡可以代表不同的意義，而遊戲亦沒有固定的模式與規則可循，可因人、因時、因地做適時的調整，因此，可將數學視為一種遊

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表 2- 2 數學與遊戲結構之比較

數學遊戲

集合數字、圖形、函數等棋子、撲克牌、骰子等規則加、減、乘、除等基本運

算

走棋的步驟、如何得分、

分數的計算等

資料來源：數學遊戲教學之效益研究-以國小四年級為例(頁 25)，王克蒂，1998，

國立台灣師範大學科學教育所未出版碩士論文，台北市。

這部分將焦點放在遊戲融入數學教學上的功能，傳統的學者認為數學遊戲的功能有限，只能在基礎技巧的訓練上有幫助，如：剛入學時，加強學生的基本技巧。在學期間，幫助學生改善其基本技巧及幫助學生發展基本技巧 (鄭肇楨，

1980)。

Harvey and Bright(1985)則不認為數學遊戲的功能僅只止於低階思維技巧的訓練，尚可以提供發現和應用數學概念及運算的機會，更可以促進推理策略、監控和自我調整的高階思維訓練。Polya 亦主張數學解題是一種問題解決活動，是為了發現而主動的投入，與其他知識相同，皆是「猜測-證明-發現」的實際活動，

所以，數學遊戲還能培植學生具有問題解決能力(引自王克蒂，1998)。饒見維(1996) 也指出人生實際問題的解決與遊戲的特性相符，數學遊戲的經驗具體而微地反映了人生的經驗與歷程。另外尚有其他的優點，如審慎思考能力(饒見維，1996)、

可透過遊戲以取代一些無趣的例行性訓練和引發學生自發性的練習，還有遊戲的情境能提供學生獲勝的機會和取得同儕的認同。

饒見維(1996)指出透過遊戲活動，學生的主要目標乃是在求取勝利，而所運用或建構出的數學技巧則只是手段，加上運氣，來求取勝利，使得整個過程充滿變、挑戰與樂趣，而這正是遊戲之所以能吸引學生目光的主因。每一次遊戲中所提供的數學經驗，讓學生在遊戲中解決問題，接受挑戰，並逐漸建構出數學概念、

數學技巧、推理與思考策略。而其進一步提出若要將遊戲融入數學領域的教學，

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須掌握四個主要特性：即適度的挑戰性(遊戲活動會設定某種思考任務或目標，

學生設法運用自己既有的數學知能來達成該任務或目標)、競賽性與合作性(競賽往往能激起人類好勝的天性，增加學生參與活動的動機與興趣；合作則是學生在團體裡必須和其他同學合作，共同對抗別的團體)、機遇性與趣味性(遊戲的過程因具有某種機遇的因素，造成遊戲的趣味性)、教育性(優良的遊戲必須兼具教育性，即好的教學遊戲要能幫助學生養成數學的概念，讓學生運用數學的知能，或讓學生精熟數學的技能，以不著痕跡的方式達成教學目標)。

研究者綜合發現遊戲在數學教學上的功能，可依據 Bloom 在學習目標上的分類，而分為三個功能：認知功能、情意功能、技能功能。分述如下：

首先在認知功能方面：遊戲除了低階思維技巧的訓練外，亦可達到高階思維訓練，如知識：能記憶數學材料，透過遊戲可以強化對該單元數學材料的記憶。

理解：能透過遊戲規則掌握該數學單元的原則。應用：能將數學原則應用到遊戲中。分析：能透過推理來分析數學原則以了解遊戲組織結構。綜合：將數學材料依遊戲規則需要，自我調整以重新組成新策略，達成在遊戲中勝出的目的。評價：

能具依遊戲規則對他人遊戲策略做價值判斷的能力。

再者為情意功能方面：為遊戲在教學上最受用的功能，最主要的目的是藉由遊戲來吸引兒童的注意力，並藉由此為開端來達到學習目的，如接受：學生能願意參與遊戲。反應：學生在遊戲中是主動參與的，且具有強烈的內在動機。評價：

能對該數學遊戲作出客觀的評判。組織：若為小組遊戲，在小組的合作學習中，

可統整、認同小組合作的力量成為一個和諧的體系。品格：透過遵守數學遊戲規則的參與過程中內化為遵守社會規範。

接下來為技能功能方面：由於問題解決能力、創造能力為現階段各國教育欲培育的重點項目，而策略遊戲的思考模式相似問題解決的思考模式，在教學上，

希望藉由遊戲教學來培育兒童發展問題解決能力及創造能力，如知覺：透過數學遊戲的具體感官經驗，獲取動作技能的線索。心向：經由數學遊戲來準備學習數

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應。機械反應：能依遊戲規則做依序反應。複雜反應：除了能運用遊戲規則外，

為了能在遊戲中勝出，還要能熟練到靈活應用。技能調適：在嘗試解決數學遊戲問題的過程，可視為一種問題解決能力的遷移。創造：為了在遊戲中求得勝利，

透過重新組合、發明新策略的創造能力。以上是研究者所歸納，將遊戲融入數學教學中的三個功能。

本節首先在關心遊戲有哪些定義特徵，了解其之所以能吸引學童注意力及提高參與動機的原因，如遊戲具歡樂性、具內在動機的、自由的、非實際性、綜合性、策略性等特質。再來則是探究遊戲的理論，古典理論採哲學式的反省來解釋人們為何遊戲；現代理論則是強調遊戲的積極功能，嘗試解釋遊戲在學童發展所扮演的角色。最後，結合遊戲的特徵與理論，研究者整理出遊戲在數學教學上有三層面的功能。由於遊戲比傳統的教室學習更能引起兒童的興趣，若能寓學習於遊戲之上，定能使學童在數學學習上有更佳的效能，接下來，研究者要探討國小二年級的數學課程教材中，那些單元可以結合遊戲以融入數學教學中。

第三節國小二年級數學課程教材分析

一、學童數概念的運思發展

學童在解決問題時所產生的解題策略與學童的數概念發展有密切的關係，針對民國 82 年國小數學課程標準設立的「國小數學課程實驗研究小組」認為學童數概念發展的運思方式，分為五個發展階段：序列性合成運思期(integration)、累進性合成運思(progressive)、部分- 全體運思(part-whole operation)、測量運思 (measurement operation)、比例運思。

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在低年級階段，僅以序列性合成運思、累進性合成運思及部分-全體運思，

作為數與計算教材設計的基礎。這三種運思方式，表現在「合成或分解」(即加減法)活動時，亦產生不同解題活動方式，以「19+12=？」及「31-12=？」為例。

序列性合成運思期的學童，必須將 19 和 12 分別用 1 表出(進行兩次的做數活動，例如分別拿出 19 個與 12 個花片，或畫出 19 個與 12 個圈)，再將這兩個集聚單位合而為一，由 1 開始計數新集聚單位內的個數，得到答案是 31；或者先將 31 用具體物表現出來，再在 31 個具體物中，做出 12 個具體物拿走，再計數剩下的集聚單位內的個數，得到答案得 19。換句話說，序列性合成運思的學童，必須序列性地進行兩次做數活動及一次數數活動，才能夠得答案。

累進性合成運思期的學童，可以由一個集聚單位為起點，進行累加或累減的活動，來形成新的集聚單位，故而可以使用「向上數」的策略，以 19 為起點，

累進性地逐次增加 12 個 1，來解決合成(即加法)的問題；相對，也可使用「向下數」的策略，以 31 為起點，逐次減少 12 個 1，來解決分解(即減法)的問題。

部分-全體運思期的學童，可以區辨壹單位與拾單位的計數意義，因此可以對以拾、壹為被計數單位的計數結果，分別進行合成或分解的活動，而不混淆計數的意義，並配合拾、壹兩單位間的化聚活動(將以拾為被計數單位的描述化為以壹為被計數單位的描述，或將以壹為被計數單位的描述，聚為以拾為被計數單位的描述)，進行成人所習慣的「加減運算」。如上例，若學童可直接進行合成 12+19=31，代表學童能理解 31 是 12 與 19 兩個集聚單位的合成之全體，且能不須進行運算即知 31-19=( )的答案為 12；在分解 31-12=19，代表學童能理解 12 與 19 皆是 31 的部分，且能不須進行運算即知 12+19=( )的答案為 31，由此可看出在此期的學童能視加減互逆為必然(黃敏晃、周筱亭，2002)。

二、加減法教材的相關研究

許多研究在探討兒童如何解簡單的加減法文字題，因為，可由此看出問題的差異，又豐富到足夠提供問題的變化、解題策略及錯誤類型，另外發現有些兒童

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在往後的解題活動中發生困難的原因可以追溯到開始接受正式的加、減法教育時 (Carpenter, Blume, Hibert, Anick and Pimm, 1982；Carpenter and Moser, 1983；

Carpenter, Moser and Romberg, 1982；Riley, Greeno and Heller, 1983；引自呂玉琴譯，1988)。的確，乘除概念的建構是以加減概念為根基而往上砌築，而加減乘除運算更是日後高深數學的基礎，由此我們可知，加減法概念的重要性與根本性。

早期的 Gibb (1956)、Reckzeh (1956)、Van Engen (1949)將解加減法文字題分為「拿走」、「合併」和「比較」三類，而 Carpenter (1985，引自呂玉琴譯，1988) 及 Fuson (1992)又將其細分為四類，即「改變」、「併加」、「比較」和「平衡」。

國內張子貴、周君彥(2001)再將加法與減法的解題策略作細分，加法問題的基本類型：1.添加。2.併加。3.求大數。減法問題的基本類型：1.求餘。2.求差。3.求補數。總歸來說，我們可將加減法概念的解題分為三種：即改變(change)、合併 (combine)、比較(compare)。「改變」是指一個量上的改變，由一個起始的狀態，

經過某一種行為的改變(如增加或減少)，而成改變後的狀態；「合併」是探討一個集合和它的兩個互為補集的子集合之間的關係；「比較」則是探討兩個互斥集合之間的關係。在解合併與比較的問題時，都不含直接或間接的行為，僅僅是某種靜態的關係(蔣治邦、鍾思嘉 1991)。楊美伶、蔣治邦(1992)的研究則更進一步的探討，兒童在解加減法題時的認知概念下的內容，即將焦點放在關鍵字的研究，在其國民小學數學科加減法教材關鍵字之分析研究中，發現學生常錯誤地使用關鍵字策略來解決文字題，所以該研究在探討描述適用與違反關鍵字策略題目的比例，以瞭解學童的學習環境。

上述是關於加減法問題的類型，接著提到兒童在解題過程中所使用的三種表徵層次。兒童在解決加減法問題的表徵層次上，大致可分為三個發展層次，最基 本的表徵層次是模擬層次，即透過具體物、實物的協助，形成具體的外在表徵，

如利用手指或物品來表示這二個加數，然後再從 1 開始數這些手指或物品的總個 數；第二層的表徵層次是數數層次，可藉由記憶「改變的過程」，形成部份的內在表徵，即依數的順序可分從第一個數開始往上或往下數或從較大數開始數兩

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種；第三層的表徵層次是記憶層次，由記憶提取九九加法或相對應的減法事實，

這是使用由上而下的歷程，來分析各個數量間所具有的「部分-整體」關係(蔣治邦、鍾思嘉，1991；張麗芬，1990；Carpenter et al., 1982；Riley, Greeno and Heller, 1983)。

三、九年一貫數學課程之加減法教材(九十二年分年版)

九年一貫的加減法教材強調其規則必需由兒童透過經驗、察覺、轉換等步驟來瞭解，除了加減法本身的能力指標之外，還強調學科內部及與生活經驗、其他學科連結之能力指標。

(一)九年一貫課程之數學領域教材

在九十二年版中將九十年版的九年一貫課程做了些許的修正，將原來的分段指標改為分年指標，並將重心放在「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」

和「連結」等五個主題。加減法在國小階段中，是整數計算的第一步驟，而整數計算是一切數學學習的基礎，在教學中，學童經由活動、情境掌握計算的意義，

藉著各種例子體驗計算的規則與策略，培養學童具流暢的計算能力，流暢的計算能力不僅可以內化學童的數字感，更是日後學習抽象運算及形式推導的基礎。

(二)九年一貫課程二年級加減法相關之能力指標

九年一貫課程之總目標強調的是「能力」的建構，有別於以往傳統教學只重視數學知識的傳授，而數學領域的目標也是強調以學習者為主體，讓學童會依據其經驗而主動建構知識，並培養學童分析資料、形成臆測、驗證與判斷的能力。

以下將數學學習領域中與「二年級加減教材」相關之能力指標(教育部，

2003)，一一列舉如下：

表 2- 3 九十二年版九年一貫數學領域之能力指標

階段能力指標分年能力指標指標內容 N-1-02、N-1-05 2-n-04 能熟練二位數加減直式計算。

N-1-02、N-1-03 2-n-05 能作連加、連減與加減混合計算。

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N-1-08 2-n-09 能在具體情境中，解決兩步驟問題(加、減與乘，不含併式)。

A-1-02 2-a-02 能將具體情境中單步驟的加、減問題列成算式填充題，並解釋式子與原問題情境的關係。

A-1-04 2-a-04 能理解加減互逆，並運用於驗算與解題。

在 N-1-02 中，一年級要能理解加減法意義，解決生活中的問題。到了二年級可運用合成分解，加以解釋加減直式計算的原理，知道直式計算的書寫方式是利用不同位值來表達數學的意義，並理解進位、借位的意義。N-1-03 這是將一年級所學做延伸，處理一般的加減混合計算，總運算步驟在二到三步驟間。

N-1-08，二年級學童在此階段要在日常生活的自然問題中，引入兩步驟問題。學童在解兩步驟問題時，應能將各步驟分開紀錄，但不處理併式的問題。A-1-02 當學童具有充足的學習經驗之後，教師可適時引入被加數未知、被減數未知等不同題型之算式填充題，讓學生列式並解釋式子和題目之間的關係。此指標主要在發展兒童列式之能力，問題中的數量、情境描述應配合學生的認知發展。A-1-04 也是一年級所學的延伸，但這裡不再涉入具體情境，應該用比較形式的方式應用加減互逆，來作加減算式的驗算或解題。

(32)

圖 2- 1 九年一貫數學領域分年能力指標-加減部分二

年級

三年級

1-n-04 能從合成、

分解的活動中，理解加減法的意義，

使用+、-、=作橫式紀錄與直式紀錄，

並解決生活中的問題。

2-n-04 能熟練二位數加減直式計算

。

3-n-06 能在具體情境中，解決兩步驟問題(加、減與除，不含併式)。

2-n-05 能作連加、連減與加減混合計算。

1-n-06 能作一位數之連加、

連減與加減混合計算。

1-n-05 能熟練基本加減法

。

3-n-02 能熟練加減直式計算(四位數以內，和<10000，

含多重借位。

2-n-09 能在具體情境中，解決兩步驟問題(加、

減與乘，

不含併式 )。

一年級

2-a-02 能將具體情境中單步驟的加、減問題列成算式填充題，並解釋式子與原問情境的關係。

2-a-04 能理解加減互逆，並運用於驗算與解題。

1-a-03 能在具體情境中，認識加減互逆。

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第三章研究方法

本研究嘗試研擬數學遊戲，融入數學教學活動，藉以建構學童在二位數加減法概念，讓學生在活潑、愉快的遊戲情境中學習數學，並使學生能藉由數學遊戲的活動中，結合日常生活經驗，並能將獲得的相關數學知識產生個人意義化的歷程。

第一節研究流程

本研究是以二位數的加減法為主軸，參考九年一貫課程數學學習領域中與

「二年級加減教材」相關之能力指標，及建構理論與遊戲教學理論之內涵，以遊戲融入數學教學的功能為本遊戲的設計精神，研擬四個將數學概念融入遊戲的數學教學活動，目的是希望藉由遊戲的趣味性吸引兒童積極主動參與遊戲，並在過程中，透過遊戲規則的設計來建構學童靈活運用加減法概念，並提昇列式計算的能力，並在過程中培養學童小組合作學習的態度，隨著遊戲的進行亦隨時修正數學遊戲的教學設計，使其精緻普遍化。基於此理念，茲將本研究的研究流程列於下圖(圖 3-1)。

研究者利用半年的時間蒐集相關文獻，與指導教授多次討論訂定研究主題，

以及參考由南一出版社所編製的教材，於 93 年 9 月將數學遊戲設計初略編製完成，初步研擬出四個數學遊戲；計畫於 9~11 月進行與研究群研討、第一階段試教及相關教具的製作，並隨時修正數學遊戲的設計。11 月研擬各項資料蒐集工具，如前測作業單、後測作業單、學生的數學學習態度量表、學生數學學習日記、

遊戲設計反省紀錄表、參與觀察紀錄表；第二實驗階段於 12 月正式實施，配合教學錄影錄音、數學日誌、省思札記與參與研究群討論之資料蒐集與分析；最後進行分析並完成報告之撰寫。

(34)

圖 3- 1 研究流程圖

界定研究主題(93.2) 初步文獻探討(93.2~8)

界定研究計畫(93.8~9)

實施預試(93.9~11)

遊戲研擬(圖 3-2) 前導研究

教學實施

蒐集回饋資料教學觀察與發現資料分析

教學省思與遊戲檢討改進

數學遊戲正式融入教學(93.12)

成果評估及資料分析(94.1~2)

撰寫研究報告(94.1~5)

(35)

第二節遊戲研擬

一、遊戲研擬架構圖

研究者在研擬遊戲的架構(如圖 3-2)，主要分為三個階段，第一個階段是遊 戲初版，第二階段是遊戲再版，最後才是遊戲精緻版，而每一次遊戲版本的再修

正、再設計皆是依據資料蒐集的評估，共九筆資料，如前測(前)、遊戲反省紀錄表(省)、參與觀察紀錄表(觀)、數學態度檢核表(即對數學學習的想法，想 )、學習單(單)、學習日誌(日)、後測(後)、數學遊戲檢核表(戲)、遊戲租借表(租，為再版遊戲所新增的資料蒐集工具，初版遊戲並無此工具的設計)等資料的回饋。

(36)

圖 3- 2 遊戲研擬架構

學習單

前測學習日誌

後測數學遊戲檢核表

數學遊戲檢核表遊戲反省紀錄表參與觀察紀錄表數學態度檢核表

遊戲租借表 (再版遊戲新設)

前測文獻探討

與專家討論

遊戲初版

遊戲再版

遊戲精緻版

班級教師參與

數學遊戲教學研究教學理念

遊戲教學結果評估

數學遊戲教學成果分析

數學態度檢核表學習單教學日誌

後測遊戲反省紀錄表參與觀察紀錄表重

新修正

重新修正

(37)

二、各遊戲流程圖

至於每個遊戲的產出(如圖 3-3)，在主題的擬定上，配合能力指標及學生程度；在設計教學活動上，擬以小組合作的目的，所以，採行分組闖關的活動設計；

相關的教具包括學習單、海報…等；綜合性評量包涵理解題意並做出適切的反應、參與動機及態度。遊戲結束後，還有學習日誌、學習單的設計，以完整了解學童的能力與態度。

圖 3- 3 各遊戲流程圖

1-1 依據能力指標 1-2 學生程度

2-1 闖關活動分組進行 2-2 教師協同

3-1 教學活動設計 3-2 教師指導語 3-3 學習單 3-4 海報、教具

5-1 分組活動 5-2 教師示範講解

6-1 師生填寫學習單與反省心得

6-2 整理資料 1.擬定主題(加減法)

2.設計教學活動

3.準備相關教具

4.擬定評量方式

5.進行活動

6.檢討

4-1 能理解題意、並依情境需求解決問題 4-2 階段評量

(38)

三、數學遊戲活動設計理念

在數學遊戲活動設計理念主要分為三個部分，一是主題內容的設計，二為遊 戲的進行形式，三為趣味性設計。在每個遊戲進行後，皆有一張學習單，是學童

登記個人記分與小組記分，在個人記分的累算上是屬於連加、連減或加減的解題概念；在小組記分的累算是連加的解題概念；在小組競賽中，比較各組的總分，

以最高分組為勝利者，可獲紀念獎品。而遊戲的進行形式，一般競賽的基本方式有六種：個人與某種標準競賽、個人與自己的過去表競賽、個人與個人之間的競賽、團體與某種標準競賽、團體與團體的過去表現競賽、團體與團體之間的競賽 (饒見維，1996)。本研究在四個遊戲的設計上，有組內個人競賽與組際競賽兩種，

在每個遊戲中皆是小組競賽，但由於是個人積分的累加為小組的總分，所以亦包含個人競賽，歷程中並透過小組組員的策略討論來為個人積分，以求小組的總累積分為最高來獲得勝利。在趣味性的設計上，以學童所熟悉的遊戲作改良，稍加難度，使遊戲更具挑戰性。

(一) 活動目的

1. 學生能藉由遊戲活動增強加減法運算之運算技能。

2. 學生面對遊戲問題時，能運用數學知能解決的能力。

3. 學生能透過數學遊戲增進喜愛、有興趣學習數學的態度。

4. 學生能藉由小組合作中，培養尊重、欣賞他人，並能適時表現自我的態度與能力。

(二) 能力指標(同表 2-3) (三) 活動對象：全班學生。

(四) 注意事項：

1. 應注意實施中的安全問題。

2. 鼓勵學生自我作答。

3. 鼓勵學生多嘗試挑戰並將答案正確的寫在學習單上。

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4. 觀察並適時指導學生作答方式是否正確。

四、四個數學遊戲的活動設計

數學遊戲一：加減拼盤

(一) 活動器材：

1. 準備紙卡九張，在每張紙卡的兩面分別記下二個數字，正面為藍色，反面為紅色，藍色數字有：5、6、7、11、13、14、16、18、21，紅色數字有：23、24、27、29、33、36、41、43、48。另外，再有兩張為＋、－

符號的紙卡。因此，一組有九張加二張共十一張紙卡。

2. 數字籤筒，共十二張，有 5、11、12、13、18、20、27、29、30、32、36、

45。

(二) 活動過程：

1. 將全班分為以六人為一小組。

2. 小組競賽：

(1) 由教師自數字籤筒抽出一個數字，各小組在十一張紙卡中組合出適切的式子，以符合教師抽出的數字。

(2) 各組輪流派出一個人作答。

(3) 小組合作以將符合數字籤筒數字的式子列出，符合數字籤筒數字的式子會不只有一個。

(4) 最快將式子列出的小組，由輪流作答的學童將紙卡舉起來。

(40)

(三) 遊戲規則：

第一階段

(1) 在數字籤筒抽一個數字籤，依照籤上所指定的數字，小組可自行組合以符合籤上的數字。

(2) 在過程中，小組可任意組合組內的藍色數字卡，並可自由選擇採用加或減法，列出符合籤上數字的式子。

(3) 每一組答題的時間限制為 10 秒。

(4) 最快將符合數字籤筒數字的式子列出的小組得 5 分；第二快的小組得 3 分；

另外列舉其他符合數字的式子之小組也可得 1 分。

第二階段

(1) 在數字籤筒抽一個籤，依照籤上所指定的數字，運用加減法，小組自行組合紅色及藍色數字卡以符合條件。

(2) 每一組答題的時間限制為 10 秒。

(3) 最快將符合數字籤筒數字的式子列出的小組得 5 分；第二快的小組得 3 分；

另外列舉其他符合數字的式子之小組也可得 1 分。

數學遊戲名稱二：心跳九九 第一關：

(一) 活動器材：

1. 準備紙卡，共三十張。

2. 在紙卡的上面寫上二位數加法或減法的式子，如 10+11 或 32-29。

(41)

3. 二位數的範圍在一百以內。

(二) 活動過程

1. 將全班分為以六人為一小組。

2. 一輪遊戲由每組各派 3 個人參與，兩組為一大單位進行競賽。

(三) 遊戲規則

1. 此遊戲的玩法類似撲克牌「心臟病」的玩法，即由教師翻紙卡，並在口中唸數字，若唸出的數字與翻開的紙卡數字相同時，即拍打紙卡。在本遊戲中，唸出的數字為 1~5，紙卡上的數字則是改為由 99 以內的二位數加減法算式取代。

2. 每唸一個數字，即翻一張紙卡，若紙卡內式子的答案與該數字相符，即拍打紙卡，將牌全數用盡即一輪結束。

(四) 評量標準

1. 答題速度最快者得 5 分(+5)，最慢者扣 3 分(-3)。

2. 學習單二(附錄二)。

3. 累積各組員的個人得分為小組在此關卡的得分，一組交一張學習單。

第二關：

(一) 活動器材

1. 準備紙卡三十二張，紙卡上寫上數字 10~13 各八張。

(二) 活動過程

國小學童二位數加減運算學習之數學遊戲設計研究

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國立中山大學教育研究所 碩士論文