湖南教育出版社
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!赵雄辉本 册 主 编
!谢宗其编
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!谢宗其!李献军!石!峰 陈!焕!王珍辉!王凤蓉 姜!兴!谢友良!廖红波 杨!军!欧阳雪子湖南教育出版社
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!初中数学深度学习!八年级!下册!赵雄辉等编写!"长沙#湖南教育出版社$"#"#!$
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初 中 数 学 深 度 学 习 ! 八 年 级 下 册
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赵雄辉等编写 责任编辑#李漫溢 责任校对#崔俊辉
出版发行#湖南教育出版社&长沙市韶山北路22-号' 网!!址#<<<!=>?@A>BB!@CD
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数学知识的学习通常经历从特殊到一般!又从一般到特殊的过程!我们已经学习了 一般三角形的一些性质!以及如何判定两个三角形全等!也知道直角三角形是一种特殊 三角形!这促使我们不禁要思考以下问题"直角三角形是否具有一般三角形的性质外的 一些特殊性质呢# 有没有其他方法来判定直角三角形全等呢# 这些就是我们本章将要 探索的主要问题!
另外!在日常生活中!我们有时会碰到以下类似问题"
如图!要在"区建一个集贸市场!使它到公路$铁路的距离相等!且离公路与铁路的 交叉处!""#!应建在何处%在图上标出它的位置!比例尺$%&""""&#
学了本章知识!上述问题就会迎刃而解!
本章将学习直角三角形的一些知识!比如直角三角形中两个锐角互余!有两个角互 余的三角形是直角三角形!直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半!勾股定理及其逆 定理!直角三角形全等的特殊判定方法!角平分线的性质和判定等!
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!!回顾三角形的知识
学习新知!理应先复习旧知!直角三角形作为一种特殊三角形!三角形的所有性质及 判定两个三角形全等的条件一定都完全适合!因此认真回顾三角形的有关知识是学习本 章的基础!角分线的性质与判定也是将其转化到一个三角形内!要想灵活运用这些新知! 当然也要对三角形的知识非常熟悉!
"!注重图形和数的转化
华罗庚先生说过"数缺形时少直观!形少数时难入微!数形结合百般好!隔离分家万 事休!这就明确告诉我们!应该把抽象的数学语言$数量关系与直观的几何图形$位置关 系结合起来!例如!由直角三角形想到三边关系式!体现了由形到数'由三边关系式想到 直角三角形!体现了由数到形!这样通过代数与图形的相互结合$相互转化!就会使复杂 问题简单化!抽象问题具体化!使知识的理解更加深刻明了!同时也发展了自己的数学直 观等素养!
#!注重数学文化!数学知识与实际生活的联系及应用
本章有着丰富的数学史知识!如勾股定理的证明方法!学习过程中!可以主动去收集 有关资料!感受勾股定理的丰富文化内涵!激发自己的学习兴趣!另外!通过一些实际应 用!能更好地感受几何图形和代数知识的结合!更好地理解(观察抽象)归纳猜想)演绎 推理)得到法则)应用法则*这一数学思维方式!用数学的思维方式来思考$解决实际生 活中的一些问题!
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直角三角形的性质和判定!!"!!"
!前置诊断"检测你的基础#助力新课学习!
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*!锐角三角形 ,!直角三角形 .!钝角三角形 /!不能确定
!前置巩固"如果你没有全部正确#务必回顾复习!
$!如果两个角的和是1"(!那么这两个角互余'如果两个角的和是$2"(!那么这两个 角互补!
&!三角形内角和定理"三角形内角和为$2"(!
+!由直角三角形的定义可知!若判定一个三角形为直角三角形!只要三角形中有一 个角是直角即可!
!!前面我们已学过了三角形的一些性质#以及等腰三角形这种特殊三角形的性质和判 定#那么直角三角形作为另外一种特殊三角形#又有哪些特定性质和判定方法呢$
!!直角三角形的性质!"直角三角形的两个锐角互余
这一性质是三角形内角和定理的推论!反映了直角三角形中两个锐角的数量关系!
"!直角三角形的判定!"有两个角互余的三角形是直角三角形
在一个三角形中!如果两个角的和等于1"(!则由三角形内角和定理可知!第三个角 是直角!因而可以判定这个三角形是直角三角形!这一判定与性质$互为逆定理!
#!直角三角形的性质""直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
这一性质成立的条件有两个"直角三角形和斜边上的中线!两个条件必须同时满足!
由直角的特殊性推出直角三角形斜边上的中线与斜边的特殊关系!即由角的关系推 出线段之间的关系!直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形!为证
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明线段相等提供了新的思路和方法!另外!证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半还有很多其他方法!大家不妨试试!
$!三角形一条边上的中线等于这条边的一半#则这个三角形是直角三角形
课本中例$实际上提供了直角三角形的一种判定方法!要注意是(一条边上的中 线*!而不是(斜边上的中线*!
!!在直角三角形中!有一个角为!&(!那么另一个锐角的度数是!!!!!
"!一个三角形三个内角的度数之比为+%)%3!则这个三角形一定是 %!!&
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$!如果一个三角形是直角三角形!则一定有两个角互余!
&!直角三角形的性质比一般三角形的性质更加特殊!由直角的特殊性推出直角三角 形中线段的特殊关系"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半!由角的关系推出线段 之间的关系!是几何中的常见思路!
+!其中一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形!可以用来判定一 个三角形是不是直角三角形!
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$!直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半!
&!方位角是一个重要的概念!先画出东南西北方位!再看清楚是哪个方向偏哪个方向!
!!我们知道直角三角形中一定有两个角是锐角#假设有一个锐角等于+"(#那这个角所 对的直角边与斜边有何关系呢$ 反过来#如果直角三角形中一条直角边和斜边之间满足 上述关系#那么可以断定这条直角边所对的角是+"(吗$
!!在直角三角形中#如果一个锐角等于#&(#那么它所对的直角边等于斜边的一半 要想运用这一性质!则一定要同时满足两个条件"!直角三角形'"有一个锐角是
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+"(!若只满足其中一个条件!则不能用这条性质!
利用这一性质可以进行一些有关线段的计算和证明!如"已知+"(角的对边!求斜边 长'已知斜边!求+"(角所对的边!
这条性质把角度关系与线段长度关系进行了相互转化!体现了(形*(数*之间相互化 归与转化的数学思想!
"!在直角三角形中#如果一条直角边等于斜边的一半#那么这条直角边所对的角等
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利用这一性质时!一定要同时满足两个条件"!直角三角形'"一条直角边等于斜边 的一半!这条性质与上条性质是互逆命题!都是化归与转化思想运用的体现!要注意的 是!它们的共同前提条件都是"在直角三角形中!
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!!如图$!$ & &!在45"#$%中!##%$'1"(!%&$#$!##' +"(!#$')!则$&的长度为 %!!&
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"!一个等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半!则这个等腰三角形顶角的度数是
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#!一艘轮船由南向北航行!如图$!$ & +!在#处测得小岛) 在北偏西$!(方向上!两 个小时后!轮船在$处测得小岛)在北偏西+"(方向上!现知道在小岛)周围$2海里 内有暗礁!若该轮船按$!海里+7的速度向前航行!是否有触礁的危险#
图$!$ & +
$!发现+"(角!我们就要想办法将其转化到某直角三角形中!然后找到+"(角所对的 直角边!就会得出这条边等于斜边的一半!
&!在解决有关方位角的问题时!要根据题意理清图中各角的关系!有时所给的方位 角不一定在直角三角形中!需要正确作出辅助线!构造出直角三角形来求解!
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"!已知一个正方形的面积为$&!则它的边长为 %!!&
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#!已知直角三角形的两条直角边长分别为+和)!则这个三角形的面积为 %!!&
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$!完全平方公式"%*9-&&'*&9&*-0-&!
&!正数有一个正的平方根!这个平方根叫做算术平方根! +!直角三角形的面积等于两条直角边的积的一半!
!!直角三角形中#三边之间有特殊的数量关系吗$ 今天我们来探究直角三角形三边之 间的数量关系!
!!勾股定理"直角三角形两直角边*#-的平方和#等于斜边.的平方
%$&这一定理只对直角三角形适用!对锐角三角形和钝角三角形不适用!利用公式 时!要分清是直角边还是斜边!
%&&直角三角形中!已知任意两边!可以求出第三边!*&0-&'.&!可化为"*&'.&6-&!
-&'.&6*&%*!-为直角边!.为斜边&!
%+&这一定理把角度关系转化为数量关系!是转化思想的一个典范!
"!勾股定理可以用图形的面积证明
体现了数形结合的数学思想!把直角三角形这个(形*与三边关系这一(数*结合起 来!教科书中给出了勾股定理的一种证明方法!历史上有许多人对勾股定理进行了研究!
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给出了勾股定理的一些证明方法!感兴趣的同学可以自行查阅有关资料!
#!勾股定理又称商高定理!毕达哥拉斯定理!百牛定理
例!!勾股定理是(人类最伟大的十个科学发现之一*!我国对勾股定理的证明是由汉 代的赵爽在注解,周髀算经-时给出的!他用来证明勾股定理的图案被称为(赵爽弦图*!&""&
年在北京召开的国际数学大会就是选它作为会徽!下列图案中是(赵爽弦图*的是%!!&
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解"(赵爽弦图*是由)个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方 形!故选,!
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由题意可得.' %槡),&&0%+,&&'!,'&!!
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所以*'&"!-'$!!
注意"本题考查的是勾股定理!如果直角三角形的三边长分别为*!-!.!则满足*&0 -&'.&!
!!在45"#$%中!有两边的长分别为+和)!则第三边的长为 %!!&
*!! ,!槡3 .!!或槡3 /!!或槡$$
"!已知"#$%的三边长为*!-!.!且满足*0-'$"!*-'$2!.'2!则此三角形为!!!!三 角形!
#!如图$!& $ +!在等腰"#$%中!#$'#%!#&是底边$%上的高!若#$'!8#!
!图$!& $ +
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$!勾股定理是刻画直角三角形三边关系的重要定理!一定要熟记!在直角三角形中! 已知任意两边!可以求出第三边!
&!利用勾股定理解题时!要分清直角边和斜边!题目没有指明斜边时!要分类讨论!
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#!直角三角形的斜边长为!8#!两直角边长之比为+%)!那么这个直角三角形的周长为
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$!勾股定理"直角三角形的两条直角边的平方和!等于斜边的平方!
&!全等三角形的性质"全等三角形的对应边相等!对应角相等!
!!我们已经学习了勾股定理#运用勾股定理可以解决一些几何问题和实际问题!
!!利用勾股定理解决实际问题!要善于从实际问题中抽象出几何模型!再画出几何
图形!从而把实际问题转化为数学问题!
"!构造直角三角形模型后!确定斜边$直角边'不是直角三角形的要通过作垂线%或 平行线&构造出直角三角形!
#!在实际问题中!常常默认电线杆$旗杆$大树$建筑物等垂直于地面!
$!求解方位角的问题时!东西方向和南北方向在平面中恰好垂直!因而常利用这一
垂直关系来建立直角三角形!
%!要注意用转化$数形结合$方程等思想来解决相关问题!
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例!!数学综合实验课上!同学们在测量学校旗杆的高度时发现"将旗杆顶端升旗用的 绳子垂到地面还多&#'当把绳子的下端拉开2#后!下端刚好接触地面!如图$!& & $!
根据以上数据!同学们准确求出了旗杆的高度!你知道他们是如何计算出来的吗#
图$!& & $
解"设旗杆高, #!则绳子长为%,0&&#!
:旗杆垂直于地面!
;旗杆$绳子与地面构成直角三角形!
由题意列式为,&02&'%,0&&&!解得,'$!!
;旗杆的高度为$!#!
注意"由题可知!旗杆$绳子与地面构成直角三角形!根据题中数据!用勾股定理即可 求解!本题考查的是勾股定理的应用!根据题意找出直角三角形是解答此题的关键!
!图$!& & &
例"!如图$!& & &!甲乙两船从港口# 同时出发!甲船以
$-海里+7的速度向北偏东)"(方向航行!乙船向南偏东!"(方向航
行!+7后!甲船到达%岛!乙船到达$岛!若%!$两岛相距$"&海里! 问乙船的航速是多少#
解":#$#%'$2"(6)"(6!"('1"(!
;"#$%是直角三角形!
;#%&0#$&'$%&!
:#%'$-<+')2%海里&!$%'$"&海里!
;#$' $%槡&6#%&' $槡"&&6)2&'1"%海里&!
:乙船航行时间为+7!
;乙船的航速为1"=+'+"%海里+7&!
答"乙船的航速是+"海里+7!
注意"先根据方位角的定义证得"#$%是直角三角形!再求出#%的长度!根据勾股 定理求得#$的长!然后根据乙船的航行时间即可解题!本题考查了方位角问题及勾股 定理的应用!理解方位角的定义证得"#$%是直角三角形是解答本题的关键!
图$!& & +!
!!一云梯#$长&!#!如图$!& & +所示斜靠在一面墙上!云梯 底端离墙3#!如果云梯的顶端下滑了)#!那么它的底端在水
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"!老师要求同学们设计一个测量某池塘两端#!$距离的方案!王兵设 计的方案如下"如图$!& & )!在池塘外选一点%!测得#%#$'1"(!
#%'+"(!#%'+-#!则可知#$的距离为 %!!&
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.!$& +#槡 /!$& &#槡
#!如图$!& & !是一株美丽的勾股树!其中所有的四边形都是正方形!所有的三角形都 是直角三角形!若正方形#!$!%!&的边长分别是+!!!&!+!则最大正方形'的面积是
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图$!& & !
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$!如图$!& & -!甲轮船以&)海里+7的速度离开港口+向东南方向航行!乙轮船在同 时同地向西南方向航行!已知它们离开港口+半小时后分别到达$!#两点!且相距$!
海里!问乙轮船每小时航行多少海里#
!图$!& & -
$!利用勾股定理解决实际问题!要抽象出几何图形!找到直角三角形!同时注意问题 中变与不变的线段长度!
&!还可利用勾股定理求由几个正方形或圆构成的图形的面积!
!图$!& & 3
!!如图$!& & 3!一棵大树在离地面-#高的$处断裂!树顶#
落在离树底部%的2#处!则大树断裂之前的高度为 %!!&
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"!如图$!& & 2!公路#%!$%互相垂直!公路#$的中点0 与点%被湖隔开!若测得
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图$!& & 2 !!!!!!! 图$!& & 1
#!如图$!& & 1!在45"#$%中!##%$'1"(!则三个半圆的面积关系是 %!!&
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$!如图$!& & $"!一艘船由#港沿北偏东-"(方向航行$">#至$港!然后再沿北偏 西+"(方向航行$">#至%港!
%$&求#!%两港之间的距离%结果精确到"!$>#!参考数据"槡&%$!)$)!槡+%$!3+&&'
%&&确定%港在#港的什么方向!
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%!甲同学在拼图探索活动中发现!用)个形状大小完全相同的直角三角形%直角边长分 别为*!-!斜边长为.&!可以拼成如图$!& & $$所示的正方形!并由此得出了关于
*&!-&!.&的一个等式!
图$!& & $$!!!! 图$!& & $&
%$&请你写出这一结论"!!!!!并给出验证过程'
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!!若等腰三角形的腰长为$+!底边长为$"!则底边上的高为 %!!&
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"!下列命题的逆命题是假命题的是 %!!&
*!直角三角形中的两个锐角互余 ,!直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
.!两个全等三角形的对应角相等 /!两个全等三角形的对应边相等
#!请写出(直角三角形的两条直角边*$-和斜边.满足关系式"*&0-&'.&*的逆命题"
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!前置巩固"如果你没有全部正确#务必回顾复习!
$!勾股定理"直角三角形的两条直角边*!-的平方和!等于斜边.的平方!
&!互逆命题"对于两个命题!如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和 条件!我们把这样的两个命题称为互逆命题!其中一个叫作原命题!另一个叫作逆命题!
!!我们知道%直角三角形两直角边的平方和#等于斜边的平方&#那么反过来#已知一个 三角形有两边的平方和等于第三边的平方#能判定这个三角形是直角三角形吗$
!!勾股定理的逆定理"如果三角形的三条边长*!-!.满足关系式"*&0-&'.&!那么 这个三角形是直角三角形!
勾股定理的逆定理是判定一个三角形为直角三角形的方法!不能叙述为(斜边的平 方等于两条直角边的平方和*!在判定一个三角形为直角三角形之前!不能说哪条边为斜 边!哪条边为直角边!
这一定理把线段长度关系转化为角度关系!是由(数*到(形*!体现了数形结合的转 化思想!
"!勾股数"满足*&0-&'.&的三个正整数称为勾股数!
勾股数是一组正整数!以一组勾股数的长度为三边的三角形!是一个直角三角形!
湖南教育出版社
!"!!!'
常见的勾股数有"+!)!!'!!$&!$+'3!&)!&!'2!$!!$3'1!)"!)$等!对于任何一组勾股 数!将各数乘相同整教!则能得到另一组勾股数!如"由+!)!!是一组勾股数!可得到$2!
&)!+"也是勾股数!
!图$!& + $
例!!如图$!& + $!正方形网格中每个小方格的边长为$!且点
#!$!%均为格点!通过计算判断"#$%的形状!
解"由勾股定理得#%&')&0&&'&"!$%&'&&0$&'!!#$&' +&0)&'&!!
;#%&0$%&'#$&!
;"#$%是直角三角形!
例"!如图$!& + &!在"#$%中!$&$#%!#$'&"!$%'$!!%&'1!
!图$!& + &
%$&求#%的长'
%&&判断"#$%的形状并证明!
解"%$&在"#$%中!:$&$#%!#$'&"!$%'$!!&%'1!
;$&' $槡!&61&'$&!
;#&' &槡"&6$&&'$-!
;#%'#&0&%'$-01'&!!
%&&:#%'&!!$%'$!!#$'&"!&"&0$!&'&!&!
;"#$%是直角三角形!
!!下列四组线段!可以构成直角三角形的是 %!!&
*!)!!!- ,!!!$&!$+ .!&!+!) /!$!槡&!+
"!适合下列条件的"#$%中!直角三角形的个数为 %!!&
%$&*'-!##')!(' %&&##'+&(!#$'!2('
%+&*'-!-'2!.'$"' %)&*'-&!-'2&!.'$"&!
*!$ ,!& .!+ /!)
#!已知*!-!.是"#$%的三边长!且满足关系式槡.&6*&6-&0 *6- '"!则"#$%的 形状为!!!!!!!
$!如图$!& + +!在"#$%中!已知#$'#%'$+8#!&是#$上一点!且%&'
$&8#!$&'28#!
!图$!& + +
%$&求证""#&%是直角三角形'
%&&求$%的长!
湖南教育出版社
!"!!!(
$!用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤"
%$&先找出最长的一条边.!算出.&!
%&&计算两条较短边*!-的平方和!
%+&如有*&0-&'.&!则可判定这个三角形是直角三角形'否则不能判定!如果不能确 定最长的边!则需分类讨论!
&!应用勾股定理及其逆定理时应分清条件和结论!
!!在"#$%中!#$'$&8#!#%'18#!$%'$!8#!则"#$%的面积""#$%是%!!&
*!$"28#& ,!!)8#& .!$2"8#& /!1"8#&
"!已知槡*6$&0%-6!&&0 .6$+ '"!则以*!-!.为三边的三角形的形状是
!!!!!!!!!
#!如图$!& + )!在)<+的正方形网格中!每个小正方形的边长都为$!
%$&线段#$的长为!!!!'
%&&在图中作出线段'(!使得'(的长为槡$+!判断#$!%&!'(三条线段能否构成直 角三角形!并说明理由!
!图$!& + )
$!如图$!& + !所示有一块铁皮%图中阴影部分&!测得#$'+!$%')!%&'$&!#&'
$+!#$'1"(!求阴影部分的面积!
!图$!& + !
%!如图$!& + -!在四边形#$%&中!#$'$%'%&'#&')!#&#$'#$'#%'
#&'1"(!'!(分别是$%和%&边上的点!且%''$)$%!(为%&的中点!问"#'(
!图$!& + -
是什么三角形# 并说明理由!
湖南教育出版社
!"!!!)
!! # !
直角三角形全等的判定!前置诊断"检测你的基础#助力新课学习!
!!如图$!+ $!已知#$'#&!#$'#&!则可以直接判定"#$%("#&%的理由是
%!!&
*!**? ,!???
.!*?* /!?*?
!图$!+ $ !!!!
!图$!+ &
"!如图$!+ &!#$'#/$/!##'##/!若"#$%("#/$/%/!则还需添加的一个条件有
%!!&
*!$种 ,!&种
.!+种 /!)种
#!如图$!+ +!在"#$&和"#%'中!#$'#%!#&'#'!要证"#$&("#%'!需补
充的条件是 %!!&
*!#$'#% ,!#&'#'
.!#&#''#$#% /!#%#&'#&#%
图$!+ + !!!!!!! 图$!+ )
$!如图$!+ )!笔直的公路#$!#%!$%中#%!$%互相垂直!#$的中点&与点%被建筑 物隔开!若测得#%的长为+>#!$%的长为)>#!则%!&之间的距离为!!!!>#!
!前置巩固"如果你没有全部正确#务必回顾复习!
$!全等三角形的判定方法有"???!?*?!*?*!**?@全等三角形对应边相等!全等三 角形对应角相等!
&!直角三角形的性质及其判定!
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!"!!!*
!!两个三角形全等的判定方法有'???#?*?#*?*#**?!那么判定两个特殊三角 形(((直角三角形全等是否还有其他特殊的方法呢$
!!以前学的判定两个三角形全等的方法!对于直角三角形同样适用!
"!直角三角形全等的判定!除了?*?!*?*!**?外!还可以根据AB来判定@AB是 判定直角三角形全等特有的方法!
#!在用AB判定两个直角三角形全等时!一定要强调是(在直角三角形中*这个条
件!同时要保证斜边和一条直角边分别对应相等!
!图$!+ !
例!如图$!+ !!##'#&'1"(!#$'&'!$(''%!
求证"45"#$%(45"&'(!
分析"先由$(''%得到$% ''(!再根据(AB*判定
45"#$%(45"&'(!
证明":$(''%!
;$(0(%''%0(%!即$%''(!
:##'#&'1"(!
;"#$%和"&'(都是直角三角形!
在45"#$%和45"&'(中!
:#$'&'!$%''(!
;45"#$%(45"&'(%AB&!
!!如图$!+ -!##'#&'1"(!#%'&$!则45"#$%(45"&%$的理由是 %!!&
!图$!+ -
*!AB ,!*?*
.!**?
/!?*?
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!#!!!!
"!如图$!+ 3!在"#$%中!#& $$%于点&!再添加一个条件使45"#$& ( 45"#%&!
!图$!+ 3
#!如图$!+ 2!#&$$'!垂足%是$'的中点!#$'&'!求证"#$)'&!
!图$!+ 2
$!判定两个直角三角形全等!总共有AB!?*?!*?*!**?四种方法!具体证明时应 根据已知条件!选择恰当的方法!
&!根据AB判定直角三角形全等!注意书写格式!首先要强调(在45"中*!摆出两个 条件斜边直角边相等!
+!证明直角三角形全等!不管用什么方法!也应至少有一条边对应相等!
!图$!+ 1
!!如图$!+ 1!用##'#$'1"(!#%'$%!直接判定45"#%+(45
"$%+的理由是 %!!&
*!**? ,!AB
.!*?* /!?*?
"!下列判定两个直角三角形全等的方法中!不正确的是 %!!&
*!两条直角边分别对应相等
,!斜边和一锐角分别对应相等
.!斜边和一条直角边分别对应相等
/!两个锐角对应相等
湖南教育出版社
!#!!!"
#!如图$!+ $"!在45"#$%和45"&'(中!#%'#('1"(!
图$!+ $"
%$&若#%'&(!#$'&'!则45"#$%(45"&'(的依据是!!!!'
%&&若#%'&(!%$'('!则45"#$%(45"&'(的依据是!!!!!
$!如图$!+ $$!##'#$'1"(!'是#$上的一点!且#&'$'!#$'#&!
求证"45"#&'(45"$'%!
!图$!+ $$
%!如图$!+ $&!小亮和小红以相同的速度分别同时从#!$出发!小亮沿#%行走!小红 沿$&行走!并同时到达%!&!若%$$#$!&#$#$!那么%$与&# 相等吗# 为 什么#
!图$!+ $&
'!如图$!+ $+!在"#$%中!&是$%边上的中点!&'$#$!&($#%!垂足分别为'!
(!且&''&(!试判断"#$%是什么三角形!并说明理由!
!图$!+ $+
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!#!!!#
!! $ !
角平分线的性质!!"
!前置诊断"检测你的基础#助力新课学习!
!图$!) $ $
!!如图$!) $ $!在"#$%中!%&平分##%$!'是$%延长 线上的一点!%($%&!如果##%$'3"(!那么下列说法中错
误的是 %!!&
*!#$0#+'1"( ,!#$0#)'1"( .!#&'#) /!#+'#)
"!如图$!) $ &!在45"#$'中!#''1"(!#''$
&#$'&!#%!#&分别是#$#'和
#$#%的平分线!则#$#%的度数和$&的长分别为 %!!&
!图$!) $ &
*!+"(!&槡+6&
,!+"(!&槡+6$
.!)!(!&槡+6&
/!)!(!&槡+6$
!前置巩固"如果你没有全部正确#务必回顾复习!
$!角平分线把一个角分成两个相等的角!
&!直角三角形的性质"
%$&直角三角形中!若某直角边等于斜边的一半!则这条直角边所对的角等于+"('
%&&勾股定理!
+!直角三角形全等的判定方法"?*?!*?*!**?!AB@
!!角平分线有什么性质$ 怎样判定一个角的角平分线$ 怎样利用角平分线的性质解 决几何问题和实际应用问题$ 通过本节课的学习#我们将解决这些问题!
湖南教育出版社
!#!!!$
!!角平分线上的点到角的两边的距离!是指点到线的距离!是指两条垂线段的长度!
要分清(两点间的距离*(点到直线的距离*!
"!要弄清角平分线性质定理的条件和结论!条件为(角平分线上的点*和(到角的两 边的距离*两个条件!结论为(距离相等*!
#!角平分线的性质定理的逆定理!即角平分线的判定定理!要判定一条射线是否为
角平分线!首先要保证射线在角的内部!然后只需在这条射线上任取一点!如果这点到角 两边的距离相等!则这条射线是角平分线!
$!角平分线的性质定理是证明角相等$线段相等的新途径!角平分线的性质定理的
逆定理是证明点在直线上%或直线经过某一点&的根据之一!
!图$!) $ +
例!!如图$!) $ +!在45"#$%中!##'1"(!$&平分
##$%!若"$%&的面积""$%&'&-!$%'$+!求#&的长!
解"如图$!) $ +!过点&作&($$%于点(!
:##'1"(!$&平分##$%!
;#&'(&!
:"$%&的面积""$%&'&-!$%'$+!
;$
&<$+<&('&-!
;&(')!
;#&')!
!图$!) $ )
例"!如图$!) $ )!$''%(!&'$#$的延长线于点'!
&($#%于点(!且&$'&%!求证"#&是#$#%的平分线!
证明":&'$#$的延长线于点'!&($#%于点(!
;#''#%(&'1"(!
在45"$&'和45"%&(中!
:$''%(!$&'%&!
;45"$&'(45"%&(%AB&!
;&''&(!
;#&是#$#%的平分线!
注意"熟知到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键!
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!#!!!%
!!如图$!) $ !!+)为##+$的平分线!)%$+#!)&$+$!垂足分别是%!&!)%'
-!则)&的长是 %!!&
*!+ ,!! .!- /!2
图$!) $ ! !!!!!!! 图$!) $ -
"!如图$!) $ -!在45"#$%中!##'1"(!$&平分##$%!交#%于点&!且#$' 2!$&'$"!则点&到$%的距离是!!!!!
#如图$!) $ 3!在45"#$%中!#%'1"(!#%'$%!#&平分#$#%交$%于&!
&'$#$!垂足为'!且#$'$"8#!求"&'$的周长!
!图$!) $ 3
$!角平分线的性质定理为证明角相等$线段相等提供了新方法和新思路!角平分线 的性质定理的逆定理是证明点在直线上%或直线经过某一点&的根据之一!
&!角平分线的性质定理把角的相等关系转化为线段的相等关系'角平分线的性质定 理的逆定理把线段的相等关系转化成了角的相等关系!
!图$!) $ 2
!!如图$!) $ 2!已知点)到#'!#&!$%的距离相等!有下列说 法"!点)在##的平分线上'"点)在#%$'的平分线上'#点
)在#$%&的平分线上'$点)在##!#%$'!#$%&的平分线
的交点上!其中正确的是 %!!&
*!!"#$ ,!!"#
.!$ /!"#
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!#!!!&
"!如图$!) $ 1!##+$'2&(!1%$+#于点%!1&$+$于点&!若1%'1&!则
##+1'!!!!!
图$!) $ 1 !!!!!!! 图$!) $ $"
#!如图$!) $ $"!"#$%三边#$!$%!%#的长分别是&"!+"!)"!其三条角平分线将
"#$%分成三个三角形!则""#$+%""$%+%""%#+等于!!!!!
$!如图$!) $ $$!$&是##$%的平分线!&'$#$于'!&($$%于(!#$'$&!
$%'$!!"#$&的面积""#$&'+-!求"$%&的面积!
!图$!) $ $$
%!已知"如图$!) $ $&!$&是##$%的平分线!#$'$%!点)在$&上!)0$#&!
)2$%&!垂足分别是0!2!试说明")0')2!
!图$!) $ $&
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!#!!!'
!! $ !
角平分线的性质!""
!前置诊断"检测你的基础#助力新课学习!
!图$!) & $
!!如图$!) & $!在45"#$%中!##%$'1"(!#&平分#$#%
交$%于&!&'$#$于'!若&''$!!8#!$&'+8#!则$%
的长是 %!!&
*!+8# ,!3!!8#
.!-8# /!)!!8#
!图$!) & &
"!如图$!) & &!)%$+#!)&$+$!垂足分别是%!&!)%'!!)&'
!!##+)'&!(!则##+$的度数是 %!!&
*!&!( ,!+!( .!!"( /!-"(
!前置巩固"如果你没有全部正确#务必回顾复习!
角平分线的性质定理及其逆定理!
!!我们已经学习了角平分线的性质和判定#怎样综合利用角平分线性质和判定以及其 他几何定理解决一些几何问题和实际应用问题呢$
!!弄清角平分线的性质定理及其逆定理的条件和结论!
项目 角平分线的性质 角平分线的判定 图形
湖南教育出版社
!#!!!(
续表 项目 角平分线的性质 角平分线的判定
已知 条件
+)平分##+$
)&$+#于&
)'$+$于'
)&')' )&$+#于&
)'$+$于'
结论 )&')' +)平分##+$
! "!角平分线有关问题!通常结合其他已知条件!证明线段相等或求线段的长!
#!角平分线的应用!经常需要作辅助线!比如!过角平分线上的一点作角两边的垂
线!可以构造相等线段'在角的一边截取一条线段等于另一条线段!构造出全等三角形!
!图$!) & +
例!如图$!) & +!在四边形#$&%中!#&'#$'1"(!+为
$&的中点!且#+平分#$#%!求证"
%$&%+平分##%&'
%&&+#$+%'
%+&#$0%&'#%!
分析"题中出现了角平分线$1"(角!可以考虑角平分线的性质和判定!
证明"%$&过点+作+'$#%于点'!
:#$'1"(!#+平分#$#%!
;+$'+'!
:点+为$&的中点!
;+$'+&!
;+''+&!
又:#&'1"(!#+'%'1"(!
;%+平分##%&!
%&&在45"#$+和45"#'+中!
:#+'#+!+$'+'!
;45"#$+(45"#'+%AB&!
;##+$'##+''$
&#$+'!
同理#%+&'#%+''$
&#&+'!
;##+%'##+'0#%+''$
&#$+'0$
&#&+''$
&<$2"('1"(!
;+#$+%!
%+&:45"#$+(45"#'+!
;#$'#'!
同理可得%&'%'!
:#%'#'0%'!
;#$0%&'#%!
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!#!!!)
!!到三角形三条边距离相等的点是三角形的 %!!&
*!三条中线的交点 ,!三条角平分线的交点
.!三条高的交点 /!以上均不对
"!如图$!) & )!在"#$%中!#$')!$%'-!$&是"#$%的角平分线!&'$#$于 点'!#($$%于点(!若&''&!则#(的长为 %!!&
*!+ ,!$"
+ .!3
& /!$!
)
图$!) & ) !!!!!!! 图$!) & !
#!如图$!) & !!在"#$%中!#$'1!$%'3!#%'2!点+是"#$%的三个内角的角平 分线的交点!""#+$!""$+%!""#+%分别表示"#+$!"$+%!"#+%的面积!则""#+$%
""$+%%""#+%'!!!!!!!
$!有角平分线的题目首先应考虑运用角平分线的性质定理来证明线段相等!从而避 免证明三角形全等!
&!运用角平分线性质和判定定理解决实际问题!关键是要将实际问题转化为数学问 题!将实际问题中的物抽象成线$角$点等!再运用角平分线性质和判定定理与垂直平分 线$三角形三边关系等几何定理解答!
!!如图$!) & -!在"#$%中!#&是#$#%的平分线!且$&&&%!下列说法正确的
是 %!!&
*!点&到#$边的距离大于点&到#%边的距离
,!点&到#$边的距离等于点&到#%边的距离
.!点&到#$边的距离小于点& 到#%边的距离
/!点&到#$边的距离与点& 到#%边的距离大小关系不确定
图$!) & - !!!!!!! 图$!) & 3
"!如图$!) & 3!在"#$%中!##%$'1"(!#&平分#$#%交$%于&!&'$#$于
'!若&''&8#!$&')8#!则$%的长度是 %!!&
*!&8# ,!)8# .!-8# /!28#
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!#!!!*
#!如图$!) & 2!+%是##+$内部的一条射线!)是射线+%上任意点!)&$+#!
)'$+$!下列条件"!##+%'#$+%'")&')''#+&'+''$#&)+'#')+
中!能判定+%是##+$的平分线的有!!!!个!
图$!) & 2
$!如图$!) & 1!两条公路+#和+$相交于+点!在##+$的内部有工厂%和&!现 要修建一个货站)!使货站)到两条公路+#!+$的距离相等!且到两工厂%!&的距 离相等!用尺规作出货站)的位置%要求"不写作法!保留作图痕迹!写出结论&!
!图$!) & 1
%!如图$!) & $"!&是#0#2内一点!点$是射线#0 上一点!&'$#0于'!&($
#2于(!且&''&(!连接#&!
%$&求证"#&平分#0#2'
%&&在射线#2上取一点%!使得&%'&$!若#$'-!$''&!则#%长为!!!!!
!图$!) & $"