實習一實習一實習一

(1)

教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫教育部資通訊科技人才培育先導型計畫

教育部資通訊科技人才培育先導型計畫通訊系統模擬通訊系統模擬通訊系統模擬通訊系統模擬實習一實習一實習一實習一 1

實習一實習一實習一

實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析週期訊號與濾波器之模擬與分析週期訊號與濾波器之模擬與分析週期訊號與濾波器之模擬與分析

余兆棠

¹

吳昭明

²

南台科技大學電子系

¹

虎尾科技大學飛機工程系

²

目的目的目的目的

本實習主要探討週期訊號的特性與其傅利葉級數分析，透過基本的餘弦波及傅利葉級數分析，可學到週週週週期訊號

期訊號期訊號

期訊號(periodic signal)在時域與頻域的特性，並初步建立頻譜的觀念。

以整合週期訊號與濾波器進一步強化傅利葉級數分析

之觀念。

(2)

教育部資通訊科技人才培育先導型計畫實習一實習一實習一實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析週期訊號與濾波器之模擬與分析週期訊號與濾波器之模擬與分析週期訊號與濾波器之模擬與分析 3

大綱大綱大綱大綱

週期訊號分析週期訊號分析週期訊號分析週期訊號分析

弦波訊號弦波訊號弦波訊號弦波訊號

弦波訊號與其單邊頻譜弦波訊號與其單邊頻譜弦波訊號與其單邊頻譜弦波訊號與其單邊頻譜

一般複指數訊號一般複指數訊號一般複指數訊號一般複指數訊號

複指數訊號複指數訊號複指數訊號複指數訊號

弦波訊號與其雙邊頻譜弦波訊號與其雙邊頻譜弦波訊號與其雙邊頻譜弦波訊號與其雙邊頻譜

週期訊號及非週期訊號週期訊號及非週期訊號週期訊號及非週期訊號週期訊號及非週期訊號

傅利葉級數傅利葉級數傅利葉級數傅利葉級數(Fourier Series)觀念與表示方式觀念與表示方式觀念與表示方式觀念與表示方式

週期訊號的功率分析週期訊號的功率分析週期訊號的功率分析週期訊號的功率分析

週期訊號的雙邊頻譜分析週期訊號的雙邊頻譜分析週期訊號的雙邊頻譜分析週期訊號的雙邊頻譜分析

週期訊號的單邊頻譜分析週期訊號的單邊頻譜分析週期訊號的單邊頻譜分析週期訊號的單邊頻譜分析

傅利葉級數範例傅利葉級數範例傅利葉級數範例傅利葉級數範例

Matlab Simulink 模擬模擬模擬模擬

弦波訊號之時域與頻域模擬與探討弦波訊號之時域與頻域模擬與探討弦波訊號之時域與頻域模擬與探討弦波訊號之時域與頻域模擬與探討

週期訊號之合成週期訊號之合成週期訊號之合成週期訊號之合成

週期訊號之時域與頻域模擬與探討週期訊號之時域與頻域模擬與探討週期訊號之時域與頻域模擬與探討週期訊號之時域與頻域模擬與探討

週期訊號之濾波效應探討週期訊號之濾波效應探討週期訊號之濾波效應探討週期訊號之濾波效應探討

弦波訊號弦波訊號弦波訊號弦波訊號

弦波訊號弦波訊號(sinusoidal signal)表示為：弦波訊號弦波訊號

已知弦波訊號是週期訊號(稍後討論)，其週期為T

₀

。 A：振幅峰值振幅峰值振幅峰值振幅峰值(peak amplitude)

w

₀

或 f

₀

：基本頻率基本頻率基本頻率(fundamental frequency) ，簡稱頻率。基本頻率 θ：相位相位相位相位(phase)

) 2

cos(

) cos(

)

( t = A w

₀

t + θ = A π f

₀

t + θ

x

(3)

弦波訊號弦波訊號弦波訊號弦波訊號(續續續續)

給定振幅峰值振幅峰值振幅峰值振幅峰值、頻率頻率頻率頻率及相位相位相位相位三個參數則表示給定了一個弦波訊號。

考量弦波訊號延遲延遲(delay) 後可表示為：延遲延遲

訊號x(t)與x

_d

(t)在時間差所造成的效應相當於相位角相差；換言之，

兩正弦訊號之相位差為時，代表此兩正弦訊號之時間延遲時間延遲時間延遲(time delay) 時間延遲

為。

弦波訊號之弦波訊號之弦波訊號之

弦波訊號之相位與延遲相位與延遲相位與延遲相位與延遲

) 2 2

cos(

) ) ( 2 cos(

) ( ) (

0 0

0

d d d

d

t f t

f A

t t f A

t t x t x

π θ π

θ π

− +

=

+

−

=

−

=

) 2 cos(

)

(t =A πf₀t+θ

x t_d

td

f₀

2 π ϕ =

ϕ

2

0

/

f t_d

= ϕ π

(4)

弦波訊號中的兩個頻率符號和，其中稱為基本角頻率基本角頻率基本角頻率基本角頻率

(fundamental angular frequency)，單位是弳度弳度弳度/秒弳度秒秒秒(rad/sec)；而稱為基本基本基本基本頻率

頻率頻率

頻率(fundamental frequency)，單位是赫茲赫茲赫茲赫茲(Hz)或1/sec。這兩個頻率之間存在一個常數倍2

π

，即。

弦波訊號弦波訊號弦波訊號

弦波訊號之頻率與角頻率之頻率與角頻率之頻率與角頻率之頻率與角頻率

w0 f₀ w0

f0

0

2 f

w

= π

餘弦函數表示弦波訊號：

弦波是一個單頻訊號，可直覺地想成單頻訊號的振幅大小和相位都只集中在單一頻率那一點。

橫軸為頻率之方式繪圖稱為頻域表示法，就是所謂的頻譜頻譜頻譜(spectrum)，此頻譜種將訊號頻譜只表示於正頻率(分佈於f ≥ 0之繪圖稱為單邊頻譜單邊頻譜單邊頻譜(single-sided 單邊頻譜 spectrum)。因為單頻訊號的振幅大小和相位都只集中在單一頻率f

₀

那一點，所以頻譜頻譜頻譜繪圖時以脈衝訊號表示。頻譜

弦波訊號與其單邊頻譜弦波訊號與其單邊頻譜弦波訊號與其單邊頻譜弦波訊號與其單邊頻譜

; 0 ), 2

cos(

)

(

t

=

A f₀t

+

A

>

x

π θ

A∈ℜ

f0

θ

f0

頻率 f 振幅

相位

A

(5)

一般複指數訊號一般複指數訊號一般複指數訊號一般複指數訊號

^{一般複指數訊號} ^{一般複指數訊號} ^{一般複指數訊號} 一般複指數訊號(general complex exponential signal) 表示為：

其中使用了尤拉公式：。訊號x(t)的實部:

與虛部: 之振幅是指數遞增(當 )或遞減(當 )的弦波訊號。

) 2 sin 2

(cos

) sin (cos

)

( ⁽ ⁾

ft j ft e

wt j wt e

e e t x

t

t t jw st

π

σ π

σ σ

+

=

+

=

= ⁺

) sin(

)

cos(wt j wt

e^jwt = + ^e^σ^t

cos

^wt

wt

e^σ^tsin σ >0 σ <0

複指數訊號複指數訊號複指數訊號複指數訊號(complex exponential signal) 為：

以上複指數訊號為一週期訊號，其基本週期為更完整的關係式可表示為：

A：振幅

複指數訊號複指數訊號複指數訊號複指數訊號

t f j

t f

t w j t w e

t

x

^jw^t

0 0

2 sin 2

cos

sin cos

)

(

⁰

π π +

=

+

=

0 0

0 1/f 2 /w

T = = π

) ( ) ( ) 2

sin(

) 2

cos(

) sin(

) cos(

) (

0 0

) ( ₀

t jx t x t

f jA

t f A

t w jA t

w A Ae

t x

Q I

t w j c

+

= + +

+

=

+ +

+

=

⁺

θ π θ

π

θ

(6)

一複指數訊號可以看成長度A的線段以定角速度逆時針繞原點旋轉，如下圖所示，其中是t = 0時的相位 (相角)，或稱為初始相位初始相位初始相位(initial phase) 。初始相位

複指數訊號複指數訊號複指數訊號

複指數訊號之旋轉向量表示法之旋轉向量表示法之旋轉向量表示法之旋轉向量表示法

) (w₀t+θ

Ae

j

θ

複指數訊號複指數訊號複指數訊號

複指數訊號之旋轉向量表示法之旋轉向量表示法之旋轉向量表示法之旋轉向量表示法(範例範例範例範例)

以旋轉相量表示法描述3個不同的複指數訊號。

; )

(

⁰

1

t

Ae

jw

t

x = ;

3 ) 2

(

⁽² ^/⁶⁾

2

0+π

=

Ae^j ^w^t t

x ₃ ⁽³ ⁰ ^/²⁾

3 ) 2

( = Ae^j ^w^t⁺^π t

x

(7)

弦波訊號與其雙邊頻譜弦波訊號與其雙邊頻譜弦波訊號與其雙邊頻譜弦波訊號與其雙邊頻譜

利用尤拉公式(Euler formula)將弦波訊號改寫成複指數型式：

以複指數之相關參數繪製頻譜，可得雙邊頻譜(分佈於 f = 0之兩側)。

) 2 (

) 2

cos( π

₀

+ θ = A e

^j⁽²^π^f⁰^t⁺^θ⁾

+ e

⁻^j⁽²^π^f⁰^t⁺^θ⁾

t

f A

週期訊號及非週期訊號週期訊號及非週期訊號週期訊號及非週期訊號週期訊號及非週期訊號

週期訊號週期訊號週期訊號週期訊號(periodic signal) ：：：：連續時間訊號 x ( t )滿足條件

非週期訊號非週期訊號非週期訊號非週期訊號(nonperiodic or aperiodic signal) ：：：：任何不滿足上述週期特性的連續時間訊號 x ( t ) 。

連續時間訊號週期特性可表示成

所有 t 及任意正整數 m

T₀

為週期訊號x(t)的基本週期基本週期基本週期基本週期(fundamental period) ，，，， f

₀

=1/T

₀

稱為基本基本基本頻基本頻頻頻

t

t x T t

x( + ) = (), 所有

), ( )

( t mT

₀

x t

x + =

(8)

週期訊號的例子週期訊號的例子週期訊號的例子週期訊號的例子

連續時間週期訊號的例子

連續時間週期訊號及其特性連續時間週期訊號及其特性連續時間週期訊號及其特性連續時間週期訊號及其特性

任意若干個連續時間週期訊號的和訊號和訊號和訊號(summed signal)不一定和訊號是週期訊號，若這些連續時間週期訊號之間的基本週期(頻率)比為整數比時，其和訊號才是週期訊號。若是以基本頻率說明此條件的話，此條件整理如下：

給定個連續時間週期訊號

，

其基本頻率分別為，當這n個基本頻率的最大公因數存在而且等於時，其和訊號

是一週期訊號，且這個和訊號的基本頻率即是此最大公因數。 1

, , 0 ),

( t i = n −

x

_i

L

1 , , 0

,

i

=

n

−

f_i

L

f0

∑

⁻

=

1

0

) ( )

(

n

i i

sum

t x t

x

(9)

連續時間週期訊號及其特性連續時間週期訊號及其特性連續時間週期訊號及其特性連續時間週期訊號及其特性(續續續續)

給定 n 個連續時間週期訊號，其基本頻率分別為，令這 n 個基本頻率的最大公因數為，那麼這 n 個週期訊號乘上不同常數再相加之和訊號

為一週期訊號，其中為任意常數(可以為複數)；也就是說，配置不同的組合，可以產生許多各式各樣基本頻率為的週期訊號。

1 , , 0 ),

( t i = n −

x

_i

L

1 , , 0

, i = n −

f

_i

L

∑

⁻

=

1

0

) ( )

(

n

i i i

sum

t a x t

x

a

i

1 , , 0

, i = n −

a

_i

L

f

0

f

0

1 , , 0

, i = n −

a

_i

L

和訊號是否為週期訊號和訊號是否為週期訊號和訊號是否為週期訊號和訊號是否為週期訊號範例範例範例範例

請決定以下訊號是否為週期訊號，若是，其基本週期(或頻率) 為何。

訊號 g

₁

( t )由3個週期弦波訊號加總得到，這3個週期訊號的基本頻率分別為、以及。這3個頻率的最大公約數為，計算式如下：

) 3 sin(

11 ) 5 . 1 cos(

3 ) 6 . 0 sin(

)

1

( t t t t

g = π − +

) 9 . 0 cos(

) 7 . 0 sin(

4 ) 3 . 0 sin(

5 )

2

( t t t t

g = π − + π

π

2 / 6 .

0

1 . 5 / 2 π π

2 / 3 . 0

π

2 / 3

(10)

和訊號是否為週期訊號和訊號是否為週期訊號和訊號是否為週期訊號

和訊號是否為週期訊號範例範例範例範例(續續續續)

訊號 g

₁

( t )是週期訊號，基本頻率為 0 . 3 / 2 π 。

和訊號是否為週期訊號和訊號是否為週期訊號和訊號是否為週期訊號

和訊號是否為週期訊號範例範例範例範例(續續續續)

訊號 g

₂

(t)由 3個週期訊號加總得到，這 3個週期訊號的基本頻率分別為 0.15、

以及0.45。這3個頻率的最大公約數無法求得。可知訊號g

₂

(t)不是週期訊號。

π

2 / 7 . 0

(11)

合成週期訊號範例合成週期訊號範例合成週期訊號範例合成週期訊號範例

給定以下4個連續時間週期訊號：

這4個週期訊號的基本頻率(2、4、12和14)的最大公因數為2，

請產生以下不同的週期訊號並檢驗其基本頻率皆為2 Hz (週期 0.5秒)。

合成週期訊號範例

合成週期訊號範例(續續續續)

(12)

合成週期訊號範例合成週期訊號範例合成週期訊號範例合成週期訊號範例(續續續續)

傅利葉級數傅利葉級數傅利葉級數

傅利葉級數(Fourier Series)觀念與表示方式觀念與表示方式觀念與表示方式觀念與表示方式

任何週期訊號 x ( t ) 可由不同的振幅、頻率和相位之弦波所組成，這便是傅利葉級數要陳述的觀念。傅利葉分析可證明一基本頻率為 f

₀

的週期訊號可以表示成一傅利葉級數，數學上對可以表示成傅利葉級數之訊號有以下嚴謹的限制條件：

在任意週期內為絕對可積分，即。

任意有限時間區間內， x(t)極值(包括極大與極小)的個數有限。

任意有限時間區間內， x(t) 不連續點的個數有限且這些不連續點也必須有限值。

傅利葉級數有以下三種表示式：

複指數傅利葉級數複指數傅利葉級數複指數傅利葉級數複指數傅利葉級數(complex exponential Fourier series)

三角傅利葉級數三角傅利葉級數三角傅利葉級數三角傅利葉級數(trigonometric Fourier series)

諧波型式傅利葉級數諧波型式傅利葉級數諧波型式傅利葉級數諧波型式傅利葉級數(harmonic form Fourier series)

∞

∫

_T ^|^x⁽^t⁾^|^dt<

0

(13)

複指數傅利葉級數複指數傅利葉級數複指數傅利葉級數複指數傅利葉級數

一個基本頻率為的週期訊號可表示成複指數傅利葉級數：

其中

稱為複數傅利葉係數，係數計算式中表示積分一個週期，積分上下限最常用0到或到。

當 n = 0 時係數為：

係數 c

₀

代表訊號在一個週期內的平均值，因為是週期訊號，

一個週期內的平均值也就是整個訊號的平均值，此平均值表示訊號的直流成份(dc component)。

若 x ( t )是實數週期訊號，那麼可得：

其中 * 代表複數共軛(complex conjugate)。

f

0

∑

^∞

−∞

=

n

t nf j ne c t

x

( )

²^π ⁰ ^cⁿ _T _T ^x ^t^e ^j ^nf⁰^t^dt

0

2

0

)

1 ( ₋ _π

∫

=

∫

T0

−

T₀

/ 2

T0

/ 2

dt t T x

c

⁼ ∫

T 0 0

0

1 ( )

* n

n

c

₋

=

三角傅利葉級數三角傅利葉級數三角傅利葉級數三角傅利葉級數

一個基本頻率為 f

₀

的週期訊號也可表示成所謂的三角傅利葉級數：

其中

∑

^∞

=

∞

=

+ +

=

1

0 1

0

cos( 2 ) sin( 2 )

) 2 (

n n n

n

nf t b nf t

a a t

x π π

dt t nf t

T x

a

n

2

T

( ) cos( 2 )

0

0 ⁰

∫ π

=

dt t nf t

T x

b

n

2

T

( ) sin( 2 )

0

0 ⁰

∫ π

=

(14)

三角傅利葉級數三角傅利葉級數三角傅利葉級數三角傅利葉級數(續續續續)

利用尤拉公式可以很容易找出複指數傅利葉級數與三角傅利葉級數之間係數的關係，可得係數關係式：

若週期訊號為實數，可知與為實數，且因此可得：

) (

; ) (

2

⁰

;

0

n n n

n n

n

c c b j c c

a a c

−

= −

+

=

a

n

b

_n

c

₋n

= c

n^*

] Im[

2 ]) Im[

2 (

*) (

];

Re[

2 *) (

n n

n n n

n n

c c

j j c c j b

c c

c a

−

=

−

=

= +

=

三角傅利葉級數三角傅利葉級數三角傅利葉級數三角傅利葉級數(續續續續)

若週期訊號為偶函數，三角傅利葉級數簡化成：

若週期訊號為奇函數，三角傅利葉級數簡化成：

∑

^∞

=

+

=

1

0

cos( 2 )

) 2 (

n

nf t

a a t

x π

) 2 2 sin(

) (

1 0 0 ∑ ^∞

=

+

=

n

n nf t

a b t

x π

(15)

諧波型式傅利葉級數諧波型式傅利葉級數諧波型式傅利葉級數諧波型式傅利葉級數

諧波型式傅利葉級數：

其中代表週期訊號的直流成份；稱為週期訊號的基本成份(fundamental component)，因為這一項與有相同基本頻率；稱為週期訊號的第 n 次諧波成份(the nth harmonic component)，稱為諧波振幅(harmonic amplitudes)以及稱為相角(phase angle)。

C0

C

₁

cos( 2 π f

₀

t + φ

₁

)

) (t

x

)

2 cos(

₀ _n

n

nf t

C π + φ

Cn

φ

n

∑

^∞

=

+ +

=

1

0

cos( 2 )

) (

n

nf t

C C

t

x π φ

傅利葉級數物理意義解析傅利葉級數物理意義解析傅利葉級數物理意義解析傅利葉級數物理意義解析

觀察前述週期訊號的傅利葉級數表示式，綜合整理並說明幾個重點或所代表的物理意義如下：

C₀

= c

₀

= a

₀

/2 代表週期訊號的直流成份，即週期訊號的平均值。

基本頻率f

₀

之週期訊號可分解成不同頻率之成份，或是說由不同頻率成份可組成此週期訊號，其中每一個頻率成份都是單頻的弦波(或複指數)型式，其頻率分別是的f

₀

整數倍。這個最小頻率f

₀

稱為此週期訊號之基本頻率。其他的整數n倍頻率稱為諧波諧波諧波諧波(harmonics) ，，，，即稱為n 次諧波，例如 3f

₀

稱為3次諧波。

週期訊號的週期與其基本頻率成份這個弦波的週期相等。

雖然列述三種傅利葉級數表示式，其實這三種表示式都是互相等效的

(可以互相轉換得到)，複數型式最具一般性，而且計算較簡易。

(16)

週期訊號的功率分析週期訊號的功率分析週期訊號的功率分析週期訊號的功率分析

週期為的週期訊號之平均功率計算式:

若將此週期訊號表示成複指數傅利葉級數，上述平均功率計算式可改寫成:

∫

=

0 2

0

) 1 (

T x t dt

P T

T

0

2

*

2

0

* 2

*

0

* 2

0

*

0 2

0

|

) 1 (

) ( ) 1 (

) 1 (

0

0 0

0

0 0

0

n n n n

n

T

t nf j

n T n

n

t nf j n

T n

t nf j T n

T

c c

c

dt e

t T x c dt e

c t T x

dt e

c t T x dt t x t T x dt t T x

P

∑

∑ ∫

∫ ∑

∫

∞

−∞

=

∞

−∞

=

−

∞

−∞

=

∞

−∞

=

−

∞

−∞

=



 



= 

=

π π

π

上式推導用到複數共軛、積分∫ 與加總∑運算互換

週期訊號的週期訊號的週期訊號的

週期訊號的功率分析功率分析功率分析功率分析(續續續續)

傅利葉級數的 Parseval定理(Parseval theorem)或Parseval 等式 (Parseval identity)

將複指數與三角傅利葉級數的係數關係式代入上式，計算整理後可得到：

2 2 0

|

| )

1 (

0

n

T

x t dt

n

c

P T ∫ ∑

^∞

−∞

=

∑

∫ ∑

^∞

=

∞

−∞

=

+ +

=

1

2 2 2

2 0 2

0

2 ) ( 2

| 4

| )

1 (

0 n

n n n

T n

b a c a

dt t T x

P

(17)

週期訊號的雙邊頻譜分析週期訊號的雙邊頻譜分析週期訊號的雙邊頻譜分析週期訊號的雙邊頻譜分析

將基本頻率 f

₀

之週期訊號展開成複指數傅利葉級數改寫為：

繪出對應頻率圖以及對應頻率圖，分別稱為週期訊號的振幅頻譜(amplitude spectrum)和相位頻譜(phase spectrum) 。

因為 n 為整數，所以週期訊號的振幅頻譜和相位頻譜是離散的 ( 只分佈在頻率 nf

₀

的地方 ) ，此種頻譜歸類於離散頻譜 (discrete frequency spectra)或線形頻譜(line spectra)。

如果週期訊號是實數，那麼可知，因此

這個式子說明實數週期訊號的振幅頻譜是偶函數，而相位頻譜是奇函數。

∑

^∞

−∞

=

+

∞

−∞

=

∞

−∞

=

n

t nf j n n

t nf j j n n

t nf j n

n

e c e

c t

x ( )

²^π ⁰

| |

^θ ²^π ⁰

| |

⁽²^π ⁰ ^θ ⁾

|

|c_n

θ

_n

* n

n

c

₋

=

n n

n

c

₋

| = | | θ

₋

= − θ

|

週期訊號的單邊頻譜分析週期訊號的單邊頻譜分析週期訊號的單邊頻譜分析週期訊號的單邊頻譜分析

當週期訊號是實數時，基本頻率 f

₀

之週期訊號可展開成諧波型式傅利葉級數

繪出 C

_n

對應頻率圖以及 φ

_n

對應頻率圖，完成實數週期訊號單邊頻譜分析。同樣地，上述傅利葉級數分析可知實數週期訊號由弦波組成，其頻譜是呈現離散形式分佈。

∑

^∞

=

+ +

=

1

0

cos( 2 )

) (

n

nf t

C C

t

x π φ

(18)

傅利葉級數範例傅利葉級數範例傅利葉級數範例傅利葉級數範例

一方波週期訊號之時域波形，其週期為 (基本頻率為 )

複指數傅利葉級數之係數：







+ + =

−

≠

=

− −

=

−

∫

1 2 ) ,

1 2 ( ) 1 1 (

0 2 ,

) 0 2 / ] sin(

2 [ 1

) 1 1 (

2 / 2 /

4 /

4 / -

2 0

2 2 /

2 / - 0

0 0

0 0 0

0

k k n

k n n

e n n e

j

dt T e

dt e t T x

c

k jn

jn

T T

t nf j t

nf T j

n T

π π π π

π π

) (t

x

T0 f0

2 1 1 ) 1

1 ( ^/⁴

4 / 0 2

/

2 / 0 0

0

0 0

0

=

=_T

∫

₋ ^x ^t ^dt _T

∫

₋ ^dt

c ^T

T T

T

傅利葉級數範例傅利葉級數範例傅利葉級數範例傅利葉級數範例(續續續續)

複指數傅利葉級數之係數改寫為

此方波週期訊號表示成複指數傅利葉級數式展開式：

三角傅利葉級數式展開式：

∑

^∞

∑

−∞

=

∞

−∞

=

+

+ + −

=

n k

t f k j k t

nf j

n e

e k c t

x ² ⁰ ² ⁽² ¹⁾ ⁰

) 1 2 (

) 1 ( 2

) 1

(

^π ^π

π

] ) 14 1cos(

) 10 1cos(

) 6 1cos(

) 2 [cos(

2 1

] ) 1 2 ( 2 ) cos[

1 2 ( ) 2 1 2 (

) 1 (

0 0

0

+L

− +

=

+ +

− +

=

∑

^∞

=

t f t

f t

f

t f k k

t x

k k

π π

)

π

1 2 ( ) 1 1 (

; 0 , 0 2;

1

1 2 2

0= = ≠ ₊ = − +

c k k

c

c _k _k ^k

(19)

傅利葉級數範例傅利葉級數範例傅利葉級數範例傅利葉級數範例(續續續續)

圖2- 方波週期訊號之傅利葉級數分析

傅利葉級數範例

傅利葉級數範例(續續續續)

(20)

傅利葉級數範例傅利葉級數範例傅利葉級數範例傅利葉級數範例(續續續續)

時域上計算平均功率：

以複指數傅利葉級數計算平均功率

根據Parseval等式，上述兩種結果要相等，得到一個無窮序列和之公式，即

2 1 1 ) 1

1 ( )

1 (

^/⁴

4 0 / 2

/ 2 /

2

0 2

0

0 0

=

= _T ∫ ^x ^t ^dt _T ∫

₋

^x ^t ^dt _T ∫

₋

^dt

P

^T

T T

∑

^∞

−∞

=

+

=

k

P

₂ ₂

) 1 2 (

1 4

1 π

4 1 )

1 2 ( 1 2 1 )

1 2 (

1 4

1

2 2 2

2

=

⇒ + + =

+ ∑ ∑

^∞

−∞

=

∞

−∞

= k

k

k π k π

傅利葉級數範例

傅利葉級數範例(續續續續)

(21)

傅利葉級數範例傅利葉級數範例傅利葉級數範例傅利葉級數範例(續續續續)

實數週期訊號的振幅頻譜是偶函數，而相位頻譜是奇函數。如果傅利葉級數展開式各成份之相位只是0、或時， c

_n

為實數，因此各成份之相位以正負號方式呈現在 c

_n

，此情況可將振幅頻譜和相位頻譜合併繪圖，即繪出 c

_n

對應頻率圖。

θ

n

π ⁻ ^π

傅利葉級數範例傅利葉級數範例傅利葉級數範例傅利葉級數範例(續續續續)

頻譜頻譜頻譜頻譜是一個訊號頻率的涵蓋範圍。頻譜的寬度是訊號的絕對絕對絕對絕對頻寬

頻寬頻寬

頻寬(absolute bandwidth)，以前頁頻譜圖為例並假設以後皆為0，那麼訊號的絕對頻寬是。有許多訊號的頻寬是無限大，但其大部分的能量侷限於相對窄頻帶內，此頻帶寬稱為有效頻寬有效頻寬有效頻寬有效頻寬(effective bandwidth)或簡單地稱為頻寬，

下圖為數位廣播基頻訊號頻譜，有效頻寬約1.5 MHz。請特別注意到，頻寬計算只考慮正頻率部份，因為負頻率本質上與正頻率完全相同。

8 f

0 0

0 0 7

7f − = f

(22)

大綱

週期訊號分析週期訊號分析週期訊號分析週期訊號分析

弦波訊號弦波訊號弦波訊號弦波訊號

弦波訊號與其單邊頻譜弦波訊號與其單邊頻譜弦波訊號與其單邊頻譜弦波訊號與其單邊頻譜

一般複指數訊號一般複指數訊號一般複指數訊號一般複指數訊號

複指數訊號複指數訊號複指數訊號複指數訊號

弦波訊號與其雙邊頻譜弦波訊號與其雙邊頻譜弦波訊號與其雙邊頻譜弦波訊號與其雙邊頻譜

週期訊號及非週期訊號週期訊號及非週期訊號週期訊號及非週期訊號週期訊號及非週期訊號

傅利葉級數傅利葉級數傅利葉級數傅利葉級數(Fourier Series)觀念與表示方式觀念與表示方式觀念與表示方式觀念與表示方式

週期訊號的功率分析週期訊號的功率分析週期訊號的功率分析週期訊號的功率分析

週期訊號的雙邊頻譜分析週期訊號的雙邊頻譜分析週期訊號的雙邊頻譜分析週期訊號的雙邊頻譜分析

週期訊號的單邊頻譜分析週期訊號的單邊頻譜分析週期訊號的單邊頻譜分析週期訊號的單邊頻譜分析

傅利葉級數範例傅利葉級數範例傅利葉級數範例傅利葉級數範例

Matlab Simulink 模擬模擬模擬模擬

弦波訊號之時域與頻域模擬與探討弦波訊號之時域與頻域模擬與探討弦波訊號之時域與頻域模擬與探討弦波訊號之時域與頻域模擬與探討

週期訊號之合成模擬與探討週期訊號之合成模擬與探討週期訊號之合成模擬與探討週期訊號之合成模擬與探討

週期訊號之時域與頻域模擬與探討週期訊號之時域與頻域模擬與探討週期訊號之時域與頻域模擬與探討週期訊號之時域與頻域模擬與探討

週期訊號之濾波效應探討週期訊號之濾波效應探討週期訊號之濾波效應探討週期訊號之濾波效應探討

弦波訊號在時域與頻域之模擬與探討弦波訊號在時域與頻域之模擬與探討弦波訊號在時域與頻域之模擬與探討弦波訊號在時域與頻域之模擬與探討

在時域與頻域觀測弦波訊號的振幅、頻率與相位等參數對波形的變化情形。實習步驟依序說明如下：

Step 1：：：：建立模擬系統建立模擬系統建立模擬系統建立模擬系統

開啟MATLAB\Simulink Browserm。

開新檔案。

(23)

弦波訊號振幅設定弦波訊號振幅設定弦波訊號振幅設定弦波訊號振幅設定

Sine Wave 之振幅(Amplitude)為1v Sine Wave 1 之振幅(Amplitude)為2v

Step 2：：：：設定訊號參數設定訊號參數設定訊號參數設定訊號參數

弦波訊號之振幅設定。

弦波訊號頻率設定弦波訊號頻率設定弦波訊號頻率設定弦波訊號頻率設定

Sine Wave2 之頻率(Frequency)為1000 Hz Sine Wave3 之頻率(Frequency)為2000 Hz

弦波訊號之頻率設定。

(24)

弦波訊號相位設定弦波訊號相位設定弦波訊號相位設定弦波訊號相位設定

Sine Wave 4 之相位(Phase)為 0 (rad) Sine Wave 5 之相位(Phase)為π/2 (rad)

弦波訊號之相位設定。

Zero-Order Hold之取樣時間設定之取樣時間設定之取樣時間設定之取樣時間設定

Zero-Order Hold設定取樣時間(Sample time)。

在此利用B-FFT Spectrum模組觀察頻譜，故需使用Zero-Order Hold 取樣保持訊號並以 FFT計算頻譜。

若只在時域上觀察波形時，可以不使用Zero-Order Hold。

在時域上觀察波形時，取樣時間設定值愈小，其解析度愈好(愈接近實際類比波形)，但執行速度相對變慢，在此取樣時間設定為訊號頻率100倍的倒數。

若只觀察頻譜，一般而言取樣時間設定為訊號頻率10倍的倒數即可。

(25)

Scope參數設定參數設定參數設定參數設定

示波器參數Number of axes設定為3，代表輸入兩個待觀察訊號，以及利用 Bus Creator元件將兩訊號重疊顯示

Spectrum Scope參數設定參數設定參數設定參數設定

Spectrum Scope參數設定如下圖，其中左圖為Scope Properties設定，右圖為

Axis Properties設定(包括頻率單位、頻率範圍等) ，數值可依需求而定。

(26)

模擬環境設定模擬環境設定模擬環境設定

模擬環境設定、、、、存檔與執行模擬存檔與執行模擬存檔與執行模擬存檔與執行模擬

2 3 1

Step 3：：：：模擬環境設定模擬環境設定模擬環境設定模擬環境設定、、、、存檔與執行模擬存檔與執行模擬存檔與執行模擬存檔與執行模擬

執行時間設定為0.01秒，此處的時間為模擬的停止時間，先前取樣時間設為 10

^-3

，設定適當的執行時間可以避免模擬時等待時間過久。

可以先存檔。

再執行模擬。

時域觀察振幅變化效應時域觀察振幅變化效應時域觀察振幅變化效應時域觀察振幅變化效應

(v)

1=1 A

Step 4：：：：模擬結果分析模擬結果分析模擬結果分析模擬結果分析

時域觀察振幅變化效應

(v)

2

= 2

A

Overlay

(27)

時域觀察頻率變化效應時域觀察頻率變化效應時域觀察頻率變化效應時域觀察頻率變化效應

Hz

1=1000 f

Hz

2=2000 f

Overlay

時域觀察頻率變化效應

時域觀察相位變化效應時域觀察相位變化效應時域觀察相位變化效應時域觀察相位變化效應

1=0 ϕ

2

₀

2

π π ϕ

=

ft_d

=

3 0

0

4000

1 4

1 2

2

−

=

⇒ =

f t

_d

f

π π

時域觀察相位變化效應

(28)

頻域觀察振幅變化效應頻域觀察振幅變化效應頻域觀察振幅變化效應頻域觀察振幅變化效應

(v)

1

= 1

A

Step 4：：：：模擬結果分析模擬結果分析模擬結果分析模擬結果分析

頻域觀察振幅變化效應

(v) A₂

= 2

頻域觀察頻率變化效應頻域觀察頻率變化效應頻域觀察頻率變化效應頻域觀察頻率變化效應

Hz

1=1000 f

Hz

2=2000 f

頻域觀察頻率變化效應

(29)

頻域觀察相位變化效應頻域觀察相位變化效應頻域觀察相位變化效應頻域觀察相位變化效應

1=0 ϕ

2

₀

2

π π ϕ

=

ft_d

=

3 0 0

10 25 . 0

4000 1 4

1 2

2 ×

−

=

⇒ =

f t

_d

f

π π

頻域觀察相位變化效應

大綱

週期訊號分析週期訊號分析週期訊號分析週期訊號分析

弦波訊號弦波訊號弦波訊號弦波訊號

弦波訊號與其單邊頻譜弦波訊號與其單邊頻譜弦波訊號與其單邊頻譜弦波訊號與其單邊頻譜

一般複指數訊號一般複指數訊號一般複指數訊號一般複指數訊號

複指數訊號複指數訊號複指數訊號複指數訊號

弦波訊號與其雙邊頻譜弦波訊號與其雙邊頻譜弦波訊號與其雙邊頻譜弦波訊號與其雙邊頻譜

週期訊號及非週期訊號週期訊號及非週期訊號週期訊號及非週期訊號週期訊號及非週期訊號

傅利葉級數傅利葉級數傅利葉級數傅利葉級數(Fourier Series)觀念與表示方式觀念與表示方式觀念與表示方式觀念與表示方式

週期訊號的功率分析週期訊號的功率分析週期訊號的功率分析週期訊號的功率分析

週期訊號的雙邊頻譜分析週期訊號的雙邊頻譜分析週期訊號的雙邊頻譜分析週期訊號的雙邊頻譜分析

週期訊號的單邊頻譜分析週期訊號的單邊頻譜分析週期訊號的單邊頻譜分析週期訊號的單邊頻譜分析

傅利葉級數範例傅利葉級數範例傅利葉級數範例傅利葉級數範例

Matlab Simulink 模擬模擬模擬模擬

弦波訊號之時域與頻域模擬與探討弦波訊號之時域與頻域模擬與探討弦波訊號之時域與頻域模擬與探討弦波訊號之時域與頻域模擬與探討

週期訊號之合成模擬與探討

實習一 實習一 實習一