高雄市明誠中學

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高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：99.043.27 範

圍 2-2 加法、乘法原理 班級 姓 座號 名

1. 求 420 的正因數個數﹒

解答 24

解析 將 420 作質因數分解﹐得420=2²× × × ﹒因為 420 的正因數必為 23¹ 5¹ 7^{1 a}× × × 形3^b 5^c 7^d 式﹐其中^a∈{^{0 , 1 , 2}}^﹐b∈{ }^{0 , 1 ﹐c∈}{ }^{0 , 1 ﹐d∈}{ }^{0 , 1 ﹐}

所以 a 有 3 種選擇﹐ b 有 2 種選擇﹐ c 有 2 種選擇﹐ d 有 2 種選擇﹒

利用乘法原理﹐得 420 的正因數個數有 3 2 2 2 24× × × = 個﹒

2. 如圖﹐一隻螞蟻從 A 點出發﹐沿著正立方體 ABCD EFGH− 的稜線走捷徑到達 G 點﹒共有幾種 路徑？

解答 )6 解析

由上述樹狀圖可以知道：從 A 點出發到達 G 點的走法共有 6 種﹒

3. 餐廳有主菜﹑湯及飲料等三樣餐點﹒其中主菜有牛排﹑豬排﹑雞排﹑羊排四種；湯則有海鮮湯 與蔬菜湯二種；飲料則提供咖啡或紅茶﹒每位客人只能從主菜﹑湯及飲料種類中各任選一種﹐

試問有多少種不同的點餐方式？

解答 16

解析 選一種主菜有 4 種選法﹐選一種湯有 2 種選法﹐選一種飲料有 2 種選法﹐

利用乘法原理﹐得點餐方式共有 4 2 2 16× × = 種﹒

4. 書架上有三種不同的中文書﹑五種不同的英文書和六種不同的法文書﹒小英想從書架上選中文﹑

英文和法文書各一本﹐共有多少種選法？

解答 90

解析 將選書方式分成 3 個步驟﹐其中第 1 步驟選中文書有m₁= 種選擇﹐第 2 步驟選英文書3 有m₂ = 種選擇﹐第 3 步驟選法文書有5 m₃= 種選擇﹐用乘法原理﹐選書方式共有6

1 2 3 3 5 6 90 m ×m ×m = × × = 種﹒

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5. 兒童樂園有 A ﹐ B ﹐ C 三區﹐各區之間有紅﹑藍﹑綠三種顏色的單向電聯車供遊客搭乘﹐如下 圖所示﹒某旅客想從 A 區前往 B 區及 C 區遊玩後再返回 A 區﹐若該旅客手中只有三張單程車票﹐

試問共有多少種不同的乘車方式？

解答 6

解析 兒童樂園由 A 區經 B ﹐ C 兩區再返回 A 區的路線：

共有(1) A → B → C → A ﹐(2) A → C → B → A ﹐ 兩種路線﹐以下分別討論計算﹒

(1)路線一： A → B → C → A

因為 A → B 有一種方法﹐ B → C 有二種方法﹐ C → A 有一種方法﹐

所以由乘法原理得路線一共有1 2 1 2× × = 種方法﹒

(2)路線二： A → C → B → A

因為 A → C 有二種方法﹐ C → B 有一種方法﹐ B → A 有二種方法﹐

所以由乘法原理得路線二共有 2 1 2× × = 種方法﹒ 4

綜合上述二種情形﹐由加法原理得﹐共有 2 4 6+ = 種乘車路線

5. 大毛與二毛分別喊一個小於 10 的正整數﹐並要求三毛算出這兩數的乘積﹒試問大毛與二毛喊的 數一共有幾種情形﹐會讓三毛算出的乘積是偶數？

解答 56

解析 小於 10 的正整數中﹐奇數有 5 個﹐偶數有 4 個﹒

若兩數的乘積為偶數﹐此二數有三種情形：奇× 偶﹑偶× 奇及偶× 偶﹐以下分別討論計 算﹒

(1)奇× 偶：大毛喊奇數的方法有 5 種﹐此時二毛喊出偶數的方法有 4 種﹒

因此奇× 偶的情形共有 5 4 20× = 種﹒

(2)偶× 奇：大毛喊偶數的方法有 4 種﹐此時二毛喊出奇數的方法有 5 種﹒

因此偶× 奇的情形共有 4 5 20× = 種﹒

(3)偶× 偶：大毛喊出偶數的方法有 4 種﹐此時二毛喊出偶數的方法亦有 4 種﹒

因此偶× 偶的情形共有 4× 4 16= 種﹒

綜合上述三種情形﹐利用加法原理﹐得共有 20 20 16 56+ + = 種組合﹒

6. 大毛與二毛分別喊一個小於 10 的正整數﹐並要求三毛算出這兩數的乘積﹒試問大毛與二毛喊的 數一共有幾種情形﹐會讓三毛算出的乘積是奇數？

解答 25

解析 小於 10 的正整數中﹐奇數有 5 個﹐偶數有 4 個﹒

若兩數的乘積為奇數﹐此二數只有奇× 奇的情形﹒

因此大毛與二毛喊的皆是奇數的方法各有 5 種﹒因此共有 5 5 25× = 種組合﹒

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7. 某校羽球校隊是由三位高一學生﹑四位高二學生及六位高三學生所組成﹒現在教練要從校隊中 每年級各選一人參加比賽﹒問共有多少種選法？

解答 72

解析 將選拔羽球校隊方式分成 3 個步驟﹐其中第 1 步驟選高一代表有m₁= 種選擇﹐第 2 步3 驟選高二代表有m₂ = 種選擇﹐第 3 步驟選高三代表有4 m₃= 種選擇﹐利用乘法原理﹐6 得選法共有m₁×m₂×m₃= × × =3 4 6 72種﹒

8. 某座山有四條登山路線﹐甲乙兩人相約由不同的路線登山﹐待山頂會合後﹐再分別選擇不同的 路線下山﹒若規定每人不可由同一路線上山與下山﹐求兩人上山與下山共有幾種不同的路線﹒

解答 84

解析 (1)上山﹕甲乙上山共有

4 3 12 × =

種路線﹒

(2)下山﹕

若甲從乙上山的路下山﹐則乙可從其他 3 條路下山﹐因此有

1 3 × = 3

種路線﹒

若甲不從乙上山的路下山﹐則甲有 2 條路下山﹐乙也有 2 條路下山﹐

因此有2 2× =4種路線﹒

利用加法原理﹐得共有

3 + = 4 7

種路線﹒

由(1)﹐(2)與乘法原理﹐得兩人上山與下山共有

12 7 × = 84

種路線﹒

9. 大毛與二毛分別喊一個小於 10 的正整數﹐並要求三毛算出這兩數的和﹒試問大毛與二毛喊的數 一共有幾種情形﹐會讓三毛算出的和是偶數？

解答 41

解析 小於 10 的正整數中﹐奇數有 5 個﹐偶數有 4 個﹒

若兩數的和為偶數﹐此二數有兩種情形：奇+ 奇和偶 + 偶﹒以下分別討論計算﹒

(1)奇+ 奇：大毛喊奇數的方法有 5 種﹐此時二毛喊出奇數的方法亦有 5 種﹒

因此奇+ 奇的情形共有 5 5 25× = 種﹒

(2)偶+ 偶：大毛喊偶數的方法有 4 種﹐此時二毛喊出偶數的方法亦有 4 種﹒

因此偶+ 偶的情形共有 4 4 16× = 種﹒

綜合上述兩種情形﹐利用加法原理﹐得共有 25 16 41+ = 種組合﹒

10. 試問滿足三邊長皆為正整數﹐且周長為

20

的三角形有幾個﹖

解答 8

解析 設三邊長為正整數a b c, , ﹐且a

≥ ≥

b c﹒

因為三角形兩邊之和大於第三邊﹐所以最大邊長的長度最大值為 9﹐即a

≤ 9

﹒ (1)當a

= 9

時﹐邊長序對(a b c

^{, ,}

) (

= 9,9, 2 , 9,8,3 , 9,7, 4 , 9,6,5

) ( ) ( ) ( )有 4 種可能﹒

(2)當a

= 8

時﹐邊長序對(a b c

^{, ,}

) (

= 8,8, 4 , 8,7,5 , 8,6,6

) ( ) ( )有 3 種可能﹒

(3)當a

= 7

時﹐邊長序對(^{a b c}

^{, ,}

) (

^{= 7,7,6}

)^{有 1 種可能﹒}

(4)當a

≤ 6

時﹐三角形不存在﹒

由加法原理得知﹐共有

4 + + = 3 1 8

個不同的三角形﹒

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11.( )^{x y}

^,

^{是坐標平面上的點﹒若x y, 皆是不大於}

¹⁰⁰

^{的正整數﹐則xy是偶數的點有幾個﹖}

解答 7500

解析 所求

=

（全部）

−

（xy是奇數）

= 100 100 50 50 × − × = 7500

（個）﹒

12.下圖是每邊邊長為 1 單位的球路分布圖﹐若有一球從最高點 A 點滾下﹐經過 3 單位長到達底部﹐

則共有幾種路徑？

解答 8

解析 )樹狀圖描述球從 A 點出發﹐經過 3 單位長﹐到達底部(O O1, 2,O3,O4)的所有情形﹒

球從 A 點出發﹐經過 3 單位長﹐到達底部(O O1, 2,O3,O4)的路徑共有 8 種﹒