用計算機？ 胡逢亮 民生書院 觀察

數學教育第二十八期 (8/2009)

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用計算機？

胡逢亮 民生書院

觀察

現今計算機極為普遍，中學生每每人手一部，而且功能強大，一些複 雜的運算也只須按數個鍵就可以得到答案。但正因這樣，很多學生變得過 分地依賴計算機。曾經見過學生用計算機計算「₃¹ + ₄¹」，步驟如下：先按 1

÷ 3 + 1 ÷ 4 及 EXE（共八個鍵），得答案 0.5833333333，再按 SHIFT a b/c

（共兩個鍵），然後他便心安理得、心滿意足地將計算機屏幕上顯示的答案

「7/12」抄下。更見過學生用計算機計算「₂¹ + ₂¹ 」。當然這些是非常極端的 例子，卻並非「個別事件」。問題不單在於費時失事或「殺雞用牛刀」，更 嚴重的是 : 究竟他們知不知道自己正在「做」甚麼？甚麼是計算？數字的 意義，是不是計算機輸入和輸出的符號？

為了使學生反思計算機在學習數學的過程中的作用和角色，我曾提出 一些題目，並要求學生用計算機找出答案。起初他們都很疑惑，也很興奮，

因為我向來鼓勵他們少用計算機。

例子

題目 1 比較 5²⁴¹和 3³⁵³的值，哪一個較大？

固然，用一般公開考試核准用的計算機，5²⁴¹和 3³⁵³都會超出輸出的位 值，因此不可能直接取得以上兩式的數值，從而不能比較。可是，如果善 用計算機中求對數（logarithm）的功能，答案卻是輕易可得。因為 log(5²⁴¹)

= 241 × log 5 = 168.452 > 168.424 = 353 × log 3 = log(3³⁵³)，而對數函數是遞 增函數（從圖像可以知道），所以 5²⁴¹ > 3³⁵³。由上面的觀察，更可發現，

對數事實上大大增加了計算機輸出的位值。

題目 2 求 878965413 ÷ 3216 的餘數。

以上的題目，小六的學生用紙筆就能算出。反而用計算機的話，很多 中五的學生也未必懂怎樣獲得答案。由計算機，878965413 ÷ 3216 等於 273310.1409。那麼，餘數在哪兒呢？

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步驟如下：先取答案的小數部分，即將 273310.1409 減去 273310，餘 下 0.1409，再將該小數部分乘以原來的除數，即 0.1409 × 3216，得 453，

這就是要求的餘數（實際上因計算機的誤差，答案會在 452.97 和 453.14 之 間。可是我們知道答案是整數，而且知道計算機的誤差來自四捨五入，所 以取最接近的整數就是答案）。

經驗是很多學生都不明白為甚麼。但只要將寫下式在黑板上，就不用 再多解釋：

3216 273310 453

3216

878965413 = + ，於是 878965413 = 273310 × 3216

+ 453。想想看，這不是「餘式定理」嗎？中五學生是知道的。

題目 3 若 (5−3 2)⁶ = a+b 2，其中 a 和 b 是整數，求 a 的值。

這是附加數學二項式定理一課中一道標準及初等的題目。我在即將完 結該課時再提出來，只增加一個條件，就是必須用計算機。我再給限制，

就 是 要 在 兩 步 內 完 成 。 一 段 時 間 後 ， 我 在 黑 板 上 寫 上 (5−3 2)⁶ =

0.188717346。一陣騷動後（老師在做甚麼！？），我再在上式的正下方寫

上 (5+3 2)⁶ = 623413.8112，然後將兩者相加，結果是623414。我說 a = 623414 ÷ 2 = 311707。解釋如下：我們知道 (5−3 2)⁶ 和 (5+3 2)⁶ 的展 開是相同的，只差 (5−3 2)⁶ 的項是正負交錯出現而 (5+3 2)⁶ 的項則 全為正，留意 2 也是交錯出現的，於是當 (5−3 2)⁶ = a+b 2 時，

)6

2 3 5

( + = a−b 2。由此得 a = ((5−3 2)⁶+(5+3 2)⁶) ÷ 2。

反思

計算機在煩瑣的運算中確實為我們省了不少精力以集中思考，是學習 數學的必要工具。但在用計算機之先，對數字的感覺和數學運算的理解，

卻必須有充分的預備。計算機不能代替思考。鍵是按了，顯示屏上也出現 了「答案」，但最終的判斷還是靠按鍵的人，或者是他的「數學頭腦」。盲 目使用工具，只會使人陷入迷惘。計算機在以上數例之所以有所作為，比 純粹輸出答案更具「啟發性」、更有「應用價值」，當中全因為我們知道很 多（數學知識）。知識與工具，相輔相成，最終能使我們做得更快、知得更 多、走得更遠。

作者電郵: flwu@hotmail.com