國立陽明高中 101 學年度第一次教師甄選試題－數學科 一、

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國立陽明高中 101 學年度第一次教師甄選試題－數學科

一、 選擇題：每題 8 分，共 32 分。

計分說明：每題至少有一個選項是正確的，答錯任一個選項得 0 分，全對得 8 分。

( ACE ) 1.下列選項何者正確？

（A）函數 ( ) ^{( 1)( 2)( 3)} (1 )(2 )(3 )

x x x x

f x x x x

  

    ，則 f x( )在x0處的導數為 1

（B）設 f x( )為可微分的函數，且 f(2) f(2)5，則

2 2 2

( ) (2)

lim 10

2

x

f x f x



 

 （C）兩曲線yx³3x，yx³3x32，其公切線方程式為9x y 160 （D）函數 f x( )x x[ ]在x0時可微分

( E）函數 ( )f x x x 為一可微分函數 。

( CD ) 2. 已知 f x( )a x₁ a x₂ ²a x₃ ³ a x_n ⁿ且a₁，a₂，a₃，…，a_n組成等差數列，n為 正偶數，又 f(1)n²， f( 1) n，則下列選項何者正確﹖

(A)d1 (B)a₁2 (C)a_n 2n1 (D)

1 1

1 1

n a an n 2



 



2

2

2 n n

x n

  。

( ACE) 3. 設有一組19項資料，由小而大排列為x₁, x₂ , x₃ ,,x₉, x₁₀,x₁₁,,x₁₉， 且



 ¹⁹ 19 1

1

i

xi

M 。若已知x₁₀ M  k x₁₁,







 ¹⁹

1 i

i M

x

a ,







 ¹⁹

1 i

i k

x

b ,





 ¹⁹

1

11 i

i x

x

c ,







 ¹⁹

1

)2

(

i

i M

x

p ,







 ¹⁹

1

)2

(

i

i k

x

q ,







 ¹⁹

1

2 11) (

i

i x

x

t ，則下列哪些

選項是正確的？

(A)







19 

1

0 ) (

i

i M

x (B) a b c (C) a b c (D) p  q  t (E) p  q  t 。

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( BCD ) 4.某班 8 位學生的國文與英文成績列表如下：

學生 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 平均 國$文(X) 88 80 73 80 50 64 69 80 73

英文(Y) 80 72 69 70 67 60 60 74 69

假設國文成績的標準差為S_X，英文成績的標準差為S_Y，兩者的相關係數為r， 英文對於國文的迴歸直線為 L。試問下列哪些敘述是正確的？

(A) 若只將丙成績刪除，則其餘 7 位學生新的國文成績標準差亦為S_X (B) 若只將戊成績刪除，則其餘 7 位學生的國文與英文的相關係數大於r

(C) 若將每位學生的國文與英文成績互換(即：甲國文變為 80，英文變為 88；乙國文 變為 72，英文變為 80；…)，則互換後國文與英文的相關係數亦為r

(D)若將每位學生的國文加 5 分，英文減 5 分，則調分後新的『英文對於國文的迴歸 直線斜率』與 L 斜率相同

(E)若將每位學生的國文加 5 分，英文減 5 分，則調分後新的『英文對於國文的迴歸 直線』亦為 L 。

二、填充題：每「題」6 分，共 54 分 。

1. 如下圖所示，在矩形 ABCD 中，若AB2、BC2 3，過AC的中點 O 作EF  AC交AD 於 E、交BC於 F，將平面 ABFE 沿EF摺起，使得平面 ABFE 垂直平面 CDEF，求此時

BFC

cos ＝ – 1

4 。 ^{B A}

O

C D

F

E

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2. 令 ( )f x  x  1 x  2 x  3 x  4 x 11，試求 ¹⁰

0 f x dx( )



3. 設 x、y、z 均為正數，且36x9y4z49，求³ x³ y7³ z26的最大值為 6 。。

4. 如下附圖，在棋盤格街道走法中，取走捷徑的情況下，從左下角的 A 走到右上角的 B，途 中恰轉彎五次，則總走法數為 42 。

5. 如下圖，由邊長為 1 的正三角形堆疊 n 層，試問邊長為 6 時(即a₆)，所有大大小小之平行 四邊形總數為 210 。

a3 a₂

a1

6. 甲、乙、丙、丁、戊五位男生一起參加舞會，正巧遇到四位女姓朋友，第一支舞先由乙、

丙、丁、戊四位男生各邀一位女伴共舞(即甲沒舞伴)，第二支舞五位男生商議以抽籤決定 女伴，但規定每位男生都不可以跟第一支舞相同舞伴(若相同則重抽)，請問：第二支舞甲 又沒有 抽中舞伴的機率為何 9

53 。

B

A

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7. 下表為某冷飲店的價目表，王老師前往買飲料時正巧遇到「買五送一」活動，即一次帶走 六杯，價錢最低的其中一杯免費；若王老師花了 110 元買了六杯飲料(買五送一)，請問這六 杯飲枓的口味有 62 不同的選擇。

每杯 20 元 每杯 25 元 每杯 30 元

綠 茶

紅 茶

芋香 奶茶

梅子 綠茶

杏仁 奶茶

布丁 奶茶

珍珠椰果 綠茶

珍珠椰果 奶茶

8. 兩個二次函數函數 f (x)與 g (x) ，若g(x)f(100x)且函數 g(x)的圖形包含函數 f (x)圖形 的頂點。兩個函數圖形與x軸交點的x坐標按照遞增依序為x₁、x₂、x₃及x₄，且

2 150

3 x 

x 。設x₄ x₁  pq r，其中 p 、 q 及r均為正整數，且r不能被任何質數的 平方整除。試求pqr 148 。

9. 設AB為圓x² y² 37的一弦，若點P(1,2)在AB上，且為AB的三等分點之一，試求直線 AB 的方程式 3x－4y+5=0 或 x=1 。

三、計算說明題：每題 7 分，共 14 分 。

1. 有 5 種不同的果汁倒入 3 個杯子﹐每杯限倒一種﹐

（一）試求下列情況各有幾種倒法：

(1) 杯子相同，每種果汁限倒一次﹒

(2) 杯子不同，每種果汁限倒一次﹒

(3) 杯子相同，每種果汁無限供應﹒

(4) 杯子不同，每種果汁無限供應﹒

（二）學生對於上述四題解法，經常混淆不清，上課時如何解說較適當？請說明。

略

2. 請說明兩雙曲線 ₂ 1

2 2 2



 b y a

x 與 ₂ 4

2 2 2



b y a

x 的圖形之間有何關係？ 請證明你的說法。

略