第四章多項式 §41 多項式的四則運算

第四章多項式

§41 多項式的四則運算

(甲)多項式的基本定義

(1)何謂多項式：

在代數中，我們通常會引進一些符號 x,y,z 等，用以表示一給定問題的未知數，有 了這一些符號，可將問題中量與量之間的關係列成算式，而將給定的問題轉成方 程式的問題，而在解方程式的過程中，跟數一樣，會牽涉到數與式之間的運算。

將數及具有數的性質的符號 x,y,z 等，經過加、減、乘的運算所形成的式子，叫做 多項式。多項式中，只含有一個符號 x，叫做單元多項式，含有多於一個的符號，

叫做多元多項式。

若 an,an1,…a1,a0均為實數，n 為非負整數，形如 anxⁿ+an1x^n1+…+a1x+a0 稱 x 的單 元多項式，也可簡稱為 x 的多項式。

設 f(x)= anxⁿ+an1x^n1+…+a1x+a0

(2)相關的名詞說明：設 f(x)=anxⁿ+an1x^n1+…+a1x+a0為 x 的多項式

 項：anxⁿ,an1x^n1，…,a1x,a0分別稱為此多項式的 n 次項,n1 次項,…一次 項,常數項。

 係數：an,an1,…,a1,a0分別為此多項式的 n 次項,n1 次項,…一次項,常數

~411~

項的係數。

 領導係數：多項式中最高次項之係數(不為 0)稱為此多項式之領導係數。

 次數：當 an0 時，稱此多項式為 n 次多項式，記為：deg f(x)=n。

 單項式：只有一項的多項式稱為單項式。

 常數多項式：若一多項式僅含常數項 a0，則稱此多項式為常數多項式。

當 a00，又稱為零次多項式。當 a0=0，又稱為零多項式。

 升羃與降羃式：若一多項式一變數 x 的次方由大而小排列者稱為降羃式，

由小而大排列者稱為升羃式。

(3) 由多項式的係數決定多項式全體所成的集合：

Z[x]表由整係數多項式全體所成的集合 Q[x]表由有理係數多項式全體所成的集合

R[x]表由實係數多項式全體所成的集合(主要討論實係數多項式) C[x]表由複係數多項式全體所成的集合

例如：f(x)=4x³+6x²5x+9 f(x) Z[x]。

f(x)=x³+x6 f(x) Q[x]

f(x)=x⁴x³6x+7 f(x)R[x]

f(x)=(4+i)x²3ix+7 f(x)C[x]

(4)多項式的相等：

兩個多項式 f(x)與 g(x)為兩個非零多項式若 f(x)與 g(x)相等兩者的次數相同，對 應項的係數也一樣。

[例題1] 判斷下列何者可表為 x 的多項式？

(A) 5

5 1 2

3x²  x (B) (C)x²y+(D)|x4|+|x+3|(E)2^x+3^y1 Ans：(A)(C)

【補充說明：如何判別何謂多項式】

(1)x 不可在________(2)x 不可在________(3)x 不可在________(4)須為有限項

~412~

(練習1) 下列那些敘述是正確的？

(A)+x²5 為 x 的多項式。

(B)5 為零次多項式。

(C)x³7x²5x+8 為實係數多項式。

(D)多項式 ax⁴+bx³+cx²+dx+e 必為 4 次多項式。

(E)零多項式必為零次多項式。 Ans：(B)(C)

(練習2) 設 a,b 為實數，f(x)=a(x³x²)+b(x³x+2)+x²+ax+2 為一次多項式，

則求 a,b 之值。 Ans：a=1,b=1

(乙)多項式的運算

(1)多項式的加減法：兩多項式相加減，則同次項的係數相加減。

例如：f(x)=6x⁴7x³+2x+7，g(x)=5x⁵+2x³3x²+8x9 f(x)+g(x)=

f(x)g(x)=

deg (f(x)g(x))  Max(deg f(x),deg g(x))或 f(x)g(x)=0

(2)多項式的乘法：利用乘法對加法的分配律，再合併同類項。

例如：f(x)=3x³2x²+x4，g(x)=4x²6x+1

~413~

直式運算：f(x)g(x)

橫式運算：f(x)g(x)

deg (f(x)g(x))=[deg f(x)]+ [deg g(x)] (其中 f(x)與 g(x)均不為零多項式。) (3)多項式的除法：

設 f(x)，g(x)為二多項式且 g(x)不是零多項式，則可找到二多項式 q(x)及 r(x)滿足 f(x)=q(x)g(x)+r(x)，其中 r(x)=0 或 deg r(x)<deg g(x)。

此時稱 f(x)為被除式，g(x)為除式，q(x)為商式，r(x)為餘式。

例如：設 f(x)=2x³+5x²+x2，g(x)=x²+2x3 分離係數法：

(4)綜合除法：

 當除式 g(x)=xa 時，我們介紹綜合除法去求商式、餘式。

設 f(x)=2x⁴+x²5x，g(x)=x2，求 f(x)除以 g(x)的商式、餘式。

 綜合除法的原理：

設 f(x)=a3x³+a2x²+a1x+a0，g(x)=xb，若存在商式 q(x)=c2x²+c1x+c0，餘式 r(x)=d。

由除法的定義：(a3x³+a2x²+a1x+a0)=( c2x²+c1x+c0)( xb)+d

經比較係數可得：































d b c a

c b c a

c b c a

c a

0 0

0 1 1

1 2 2

2 3



























b c a d

b c a c

b c a c

a c

0 0

1 1 0

2 2 1

3 2

上面的關係可寫成以下的形式：

~414~

式 餘 式

商 ,

46 , 23 9

4 2

46 18

8 4 ) (

2 0 5

1 0 2



) ( ,

) (

, )

( ) (

0 1

2

0 0 1 1 2 2 3

0 1

2

0 1

2 3

x r d

c c

c x q

b c a b c a b c a a

b b

c b

c b

c

a a

a a

x f



























當 f(x)除以 g(x)=ax+b 時，我們也可利用綜合除法求餘式 r(x)、商式 q(x)。

由 除 法 的 定 義 ： f(x)=(ax+b)q(x)+r(x)=(x+)[aq(x)]+r(x) 可 先 利 用 綜 合 除 法 求 出 f(x)除以(x+)的商式 q^/(x)=aq(x)與餘式 r(x)，

而所要求的商式 q(x)=，餘式 r(x)不變。

例如：f(x)=3x³+5x²46x+42 除以 g(x)=3x7

多項式的係數和：

f(x)= anxⁿ+an1x^n1+…+a1x+a0，則 各項係數之和=f(1)，常數項=f(0)

奇次項係數之和= ，偶數項的係數之和=

f(i)之實部=a0a2+a4a6+…..，f(i)之虛部=a1a3+a5a7+….

[例題2] 設 f(x)=6x⁴+2x³5x²3x+7，g(x)=4x³+2x²5x+6，試求

(1)f(x)+g(x)= ；(2)f(x)3g(x)= ；(3)f(x)g(x)中 x⁴項的係數。

Ans：(1)6x⁴+6x³3x²8x+13 (2)6x⁴10x³11x²+12x11 (3)29

[例題3] 利用長除法求 8x⁵+12x³21x²+12x+5 除以 2x³+x²+3x4 的商式與餘式。

Ans：商式=4x²2x+1，餘式=x+9

~415~

6 4 1 )

(

) ( 0

, 18 12 3 ) ( 3

42 28

7 )

(

42 46 5

3 )

( ₃⁷























x q

x r x

q x f

[例題4] 試分別利用綜合除法計算下列各小題的商式、餘式。

(1)以 x3 除 5x³8x²+2x1 (2)以 2x1 除 4x⁴+5x²+3x2

Ans：(1)商式=5x²+7x+23,餘式=68；(2)商式=2x³+x²+3x+3,餘式=1

[例題5] 設 f(x)為一多項式，a,b 為實數，a0，若以 x 除以 f(x)，所得的商式為 Q(x)，餘式為 r。則

(1)以 axb 除 f(x)，得商為 ，餘式為 。 (2)以 xb 除 f( )，得商為 ，餘式為 。 (3)以 xb 除 a f( )，得商為 ，餘式為 。 (4)以 x 除 f(bx)，得商為 ，餘式為 。 Ans：(1)，r (2)，r (3)Q( )，ar (4)bQ(bx)，r

(練習3) a,bR，已知多項式 x²3x+a 與 x2 的乘積再加上 3x+b 得到 x³5x²+4x+2,求 a,b。Ans：a=1,b=4

(練習4) (x⁵+2x⁴x³+2x²3x2)與(3x⁶+2x⁵+x⁴+x³+2x²+3x+1)之乘積中， x⁷ 項的係數為 。 Ans：2

(練習5) 已 知 x²+ax+1 能 整 除 x³+3x²+bx+2 ， 試 求 a,b 之 值 。 Ans ： a=1,b=3

(練習6) 利用綜合除法計算下列各題之商式與餘式：

(1)以 x+4 除 2x⁴+3x²5x4；(2)以 3x+7 除 6x³+12x²+11

Ans：(1)商式=2x³8x²+35x145,餘式=576(2)商式=2x² x +,餘式=

~416~

(練習7) 設 f(x),g(x) 為 兩 多 項 式 ， 且 deg[f(x)g(x)]=8 ， deg[f(x) +g(x)]=3，則求 f(x)的次數為何？ Ans：4

[例題6] 多項式 f(x)=(x⁵2x³+x+1)¹⁹⁹⁹展開式中，試求下列各小題：

(1)各項係數和 (2)常數項 (3)奇數項係數和 (4)偶數項係數和 Ans：(1)1,(2)1,(3)0,(4)1

[例題7] 若(x+1)(x+2)(x+3)(x+10)=a10x¹⁰+a9x⁹+…+a1x+a0，則求 (1)x⁹項的係數 a9= ，(2)x⁸項的係數 a8= 。

Ans：(1)55(2)1320

(練習8) 設 f(x)=x⁴2x³+3x²5x+1，g(x)=x¹⁷+5x⁸7x⁵+x³4x+1，則 (1)f(x)g(x)的所有項的係數和= 。

(2)f(x)+2g(x)的偶次項係數和= 。 Ans：(1)6 (2)17

(練習9) 設 f(x)=x¹⁹+2x¹⁸+3x¹⁷+…+19x+20，g(x)=20x¹⁹+19x¹⁸+…+2x+1，

求 f(x)g(x)的展開式中 x¹⁸項的係數為 。 Ans：2660

[例題8] 設多項式 f(x)=2x⁴7x³+x²+5x+5= a(x+1)⁴+b(x+1)³+c(x+1)²+d(x+1)+e (1)求 a,b,c,d,e 之值。

(2)求(x+1)²除 f(x) 之餘式。

(3)求 f(0.999)的近似值到小數點後第三位。

Ans：(1)a=2,b15,c=34,d=26,e=10 (2)26x26 (3)9.974

~417~

[例題9] 設 f(x)=54x³99x²+66x20 = a(3x1)³+b(3x1)²+c(3x1)+d，

(1)試求數對(a.,b,c,d)=？ (2)求 f(0.333)的近似值到小數點後第三位。

Ans：(1)a=2,b=5,c=6,d=7 (2)7.006

[例題10] 設 f(x)=x⁵2x⁴7x³+2x²4x+6，試求 f(

2 5 1

)=？Ans：¹⁷₂ ⁵

(練習10) 設 2x⁴23x³+31x7=a(x2)⁴+b(x2)³+c(x2)²+d(x2)+e ， 則 求 a,b,c,d,e 之值。Ans：a=2,b=16,c=25,d=3,e=5

(練習11) 將 f(x)=(x3)⁴+5(x3)³+6(x3)²+11(x3)+13 展 成 x 的 多 項 式 ， 依 降 次 排 列 為 何 ？ Ans ： x⁴7x³+15x²+2x+20[ 提 示 ： 可 令 y=x3x=y+3，

原來的多項式可化為 f(y)=y⁴+5y³+6y²+11y+13，再利用綜合除法將 f(y)化 為 y+3 的多項式即為所求。]

(練習12) 求 4(

2 2 2

3 )⁴8(

2 2 2

3 )³15(

2 2 2

3 )²+13(

2 2 2

3 )+1 之 值。

Ans：2

綜合練習

(1)列何者為 x 的多項式：(A)x²+4 (B)2^x+4 (C)x+|x| (D)x+ (E)x+

(2)若 2x³+x²x2=a(x1)(x2)(x3)+bx(x2)(x3)+cx(x1)(x3)+dx(x1)(x2)，求償 數 a,b,c,d 之值。

~418~

(3)若多項式 x³+4x²+5x3 除以 f(x)的商式為 x+2，餘式為 2x1，則 f(x)=_______。

(87.社)

(4) 3x+1除 3x³+16x²13x+8，求商式、餘式。

(5)設多項式 f(x)除以 x³1 的餘式為 x²1，求 f(x)除以 x²+x+1的餘式。

(6)設 f(x)=9x+4，p(x)為一個 m 次多項式且 m>1，又 p(x)=g(x)f(x)+r(x)，其中 r(x) 為常數多項式。則下列敘述何者正確？

(A)以 x+除 p(x)，其商式為 9g(x) (B)以 x+除 p(x)，其商式為 g(x) (C)以 x+除 p(x)，其商式為 g(x) (D)以 x+除 p(x)，其餘式為 r(x) (E)以 x+除 p(x)，其商式為 r(x)+9

(7)設 f(x)=(x2)⁸，g(x)=(x²x+1)¹⁰，試求 (a)f(x)g(x)乘積中各項係數和。

(b) f(x)g(x)乘積中偶次項係數和。

(8) 設 f(x)=x⁴3x³+2x²+kx1，g(x)=x³+kx²+2x+3，若 f(x)g(x)之展開式中所有偶次項 的係數和為所有奇數項係數和之二倍，則 k=？

(9)設 f(x)=x³4x²+7x1=a(x2)³+b(x2)²+c(x2)+d，a,b,c,d 為實數 (a)求 a,b,c,d 的值。

(b)求 f(2.003)的近似值至小數點後第三位。

(c)求 f(2+)的值。

(d)以(x2)²除 f(x)的餘式。

(10)設 f(x)=16x⁴16x³+12x²+3=a(2x1)⁴+b(2x1)³+c(2x1)²+d(2x1)+e，則下列何者 正確？(A)e=5 (B)d=8 (C)c=12 (D)f(0.55)= 5.4321 (E)以(2x1)²除 f(x)得餘式 16x3。

進階問題

(11)設(x³⁷4x²³+4x¹⁵3x²1)(x⁷2x⁶+5x³x+2)=a44x⁴⁴+a43x⁴³+…+a1x+a0，試求 (a) a0a2+a4a6+…..+a44= ，

(b)a1a3+a5a7+… a43= 。

(12)設 f(x)=(x+1)(x+3)(x+5)(x+29)(x+31)=aⁿxⁿ+an1x^n1+…+a2x²+a1x+a0，但 aⁿ0，

試求 n，an，a^n1，a^n2。

(13) (a)設 f(x)是多項式，n 為自然數，hk 證明：degf(x)=n  deg[f(x+h)f(x+k)]=n1。

(b)若多項式 f(x)對於所有的實數 x 滿足 f(x+1)2f(x)+f(x1)=x+1，且 f(0)=0，f(1)=1，求 f(x)=？

綜合練習解答

(1) (A)(E) (2)a=,b=0,c=8,d= (3) x²+2x1 (4) 商式 x²+5x6,餘式 14(5) x2

(6) (A)(D) (7) (a)1 (b) (8) 或 3 (9) (a)a=1,b=2,c=3,d=5 (b)5.009 (c)11+6(d)3x1 (10) (A)(D) (11) 15 ；  10 (12) 16 ， 1 ， 256 ， 30040[Hint ： (1+3+5+…

+2n1)²=1²+3²+….+(2n1)²+2an2]] (13) (b)x³+x²+x

~419~