第 2 章 綜合演練
基礎題
1. 設 A(1﹐1),B(3﹐5),C(6﹐4),D(0﹐-7),E(2﹐-3)及 F(9﹐-5)為坐標平 面上的六個點。若直線 L 分別與三角形 ABC 及三角形 DEF 各恰有一個交點,則 L 的斜率 之最小可能值為 。(5 分)
解 觀察圖形,並利用斜率間的大小關係 找出最小斜率的直線,加以求其斜率
∵直線 L 分別與△ABC、△DEF 各恰有一交點
∴由圖形可看出直線 L 只能是兩個三角形頂點的連線 不可能切割三角形,所以斜率最小為mCF= 9
-3=-3
2. 如圖所示,坐標平面上一鳶形 ABCD,其中 A,C 在 y 軸上,B,D 在 x 軸上,且AB=AD
=3, BC = CD =4, AC =5。令mAB、mBC、mCD、mDA分別表直線 AB、BC、CD、DA 之斜率。
試問以下哪些敘述成立?(多選)(5 分)
(A)此四數值中以mAB為最大 (B)此四數值中以mBC為最小 (C)mBC=-mCD (D)mAB×mBC=-1 (E)mCD+mDA>0 解 由鳶形的圖形觀念與本題的條件,可得
mCD>mAB>0>mDA>mBC
mBC=-mCD且mAB=-mDA 所以(A)錯而(B)(C)(E)正確 又AB=3, BC =4, AC =5 由餘弦定理知 cos∠ABC=
2 2 2
3 4 5 2 3 4× ×
+ - =0 ∠ABC=90°,所以(D)正確 故選(B)(C)(D)(E)
3. 在△ABC 中,已知 A(2﹐5),B(5﹐1),C(3﹐-1)且直線 L:mx-y+1+2m=0,
(1)m 為任意數,則直線 L 必過哪一點?答: 。(5 分)
(2)若直線 L 與△ABC 相交,則實數 m 的範圍為 。(5 分)
解 (1)L:mx-y+1+2m=0 y-1=m(x+2)
∴∀ ∈ ¡m 而言,L 必過(-2﹐1)
(2)∵mPA= 5 1 2 2
-
-(- )=1,mPC= 1 1 3 2
- -
-(- )=-2 5
∴由右圖得知所求為-2
5 ≤ m ≤ 1
4. 在坐標平面上,有一光源自點 A(-1﹐2)朝 x 軸射出光線,經 x 軸反射後,反射光通過 點 B(7﹐6),試求此光線在 x 軸上的入射點坐標為 。(5 分)
解 設此光源在 x 軸上的入射點坐標為 C(x﹐0)
點 A(-1﹐2)關於 x 軸的對稱點 A'(-1﹐-2)
則 A'Bsuur
:x-y-1=0 x 1
y 0
故入射點 C 坐標為(1﹐0)
5. 圓 C:x2+y2-4x-12=0,點 P(2﹐2)在圓內,試求過 P 點之所有弦的中點,所形成的 圖形的方程式為 。(5 分)
解 C:(x-2)2+y2=16,圓心 O(2﹐0)
若弦中點為 M(x﹐y)則 OM ⊥PM mOM×mPM=-1 0
2 y x
-
- × 2 2 y x
-
- =-1
y(y-2)=-(x-2)(x-2)
(x-2)(x-2)+y(y-2)=0
x2+y2-4x-2y+4=0
6. 過 P(4﹐-9)作圓 C:x2+y2+2x-6y-15=0 之兩切線,切點為 A,B,則:
(1)點 P 到圓 C 的切線段長為 。(5 分)
(2)若圓 C 的圓心為 O,試求 OAPB 的面積為 。(5 分)
解 C:(x+1)2+(y-3)2=25,圓心 O(-1﹐3),半徑 r=5 (1)點 P 到圓 C 的切線段長為
2 2
OP-r = ( +)+(- - )- =124 1 2 9 3 2 52 (2)OAPB 的面積為 2×△OAP 的面積
=2× 1 5 12 2
× ×
=60
7. 在坐標平面上,已知兩個定點 A(3﹐5),B(-7﹐0),設 P(x﹐y)為動點且知PA:PB
=2:1,則動點 P(x﹐y)的軌跡方程式為 。(10 分)
(必須寫成 ax2+bxy+cy2+dx+ey+k=0 的形式)
解 PA=2PB ⇔ ( - )+( - )x 3 2 y 5 2 =2 ( + )+( - )x 7 2 y 0 2
(x2+y2-6x-10y+34)=4(x2+y2+14x+49)
3x2+3y2+62x+10y+162=0
8. 設一線性規劃的可行解區域為下圖所示之正六邊形內部(含邊界),而目標函數為 y-ax。
若已知 A 點為此目標函數取得最大值之唯一的點,則 a 值的範圍要有限制。若以不等式表 示,則 a 之範圍為 。(10 分)
解 如下圖所示
D(1﹐0),C(0﹐ 3 ),E(3﹐0),F(4﹐ 3 ),B(1﹐2 3 ),
A(3﹐2 3 )
令 P=y-ax=k 之最大值唯在 A 點產生(其它頂點不是)
y-ax=k 過 A 且在陰影區域內 mAF= 3 2 3
4 3
-
- =- 3 ,mAB=0
斜率 a 應滿足- 3 <a<0
9. 一圓弧形欄杆,如下圖,共有七根垂直支柱,已知圓弧端點及相鄰支柱間距離都是 1 公尺,
又正中央支柱 CD =2 公尺,則:
(1) »AB 所在圓之半徑為 公尺。(5 分)
(2)支柱PQ長為 公尺。(5 分)
解 (1)由下圖(一)得 42+(r-2)2=r2
r=5(公尺)
(2)如下圖(二),定坐標使 D(0﹐0),圓心(0﹐-3)
圓方程式為 x2+(y+3)2=52
將 P(-3﹐y)代入得 9+(y+3)2=25
y=1 或-7(負不合),取 y=1 即PQ=1(公尺)
圖(一) 圖(二)
進階題
1. 某公司所生產的產品存放在甲、乙兩倉庫分別有 50 單位、40 單位,現在市場 A、市場 B 分別的需求量是 20 單位、30 單位,
右表是各倉庫運輸到各市場的每單位運輸成本。在滿足 A,B 市場的需求下,最節省的運輸成本為 元。(10 分)
解 設甲倉庫運送 x 單位至市場 A 運送 y 單位至市場 B
則乙倉庫運送(20-x)單位至市場 A 運送(30-y)單位至市場 B 50
20 30 40 0 20
0 30 x y
x y
x y
≤
≤
≤ ≤
≤ ≤
+
( - )+( - )
50 10 0 20 0 30 x y x y x y
≤
≥
≤ ≤
≤ ≤
+
+
目標函數 P=50x+45y+40(20-x)+30(30-y)
=10x+15y+1700
(x﹐y) (10﹐0) (20﹐0) (20﹐30) (0﹐30) (0﹐10)
10x+15y+1700 1800 1900 2350 2150 1850 由上表知,當 x=10,y=0 時,最小運輸成本為 1800 元
2. 某歌唱訓練班根據以往的經驗得知:每花 1 萬元在報章雜誌上替歌手打廣告可以提升歌手 的形象指數 5 點,知名度指數 10 點;反之,若是在電臺上,同樣花 1 萬元替歌手打廣告,
則可以提升歌手的形象指數 6 點,知名度指數 4 點。根據市場調查發現成為名歌星的形象 指數至少 160 點,知名度指數亦至少 160 點,而且綜合指數(形象指數與知名度指數的和)
至少 360 點。試問:歌唱訓練班要讓一位新歌手(假設其形象指數與知名度指數皆為 0)
成為名歌星至少應該花多少廣告費?這些廣告費報章雜誌與電臺應各分配多少,效果最 好。(請在坐標平面上畫圖求解)(10 分)
解 設需花費報章雜誌費 x 萬元、電臺費 y 萬元
則
0 0 5 6 160 10 4 160 15 10 360
x y
x y x y x y
≥ ≥
≥
≥
≥
,
+
+
+
0 0 5 6 160 5 2 80 3 2 72
x y
x y x y x y
≥ ≥
≥
≥
≥
,
+
+
+
欲求目標函數 P=x+y 之最小值 作不等式之圖形如下所示
市場 A 市場 B 倉庫甲 50 元 45 元 倉庫乙 40 元 30 元
(x﹐y) (32﹐0) (14﹐15) (4﹐30) (0﹐40)
x+y 32 29 34 40
∴廣告費應分配報章雜誌 14 萬元,電臺 15 萬元,可得最小花費為 29 萬元
3. 欲將兩種大小不同的鋼板截成 A,B,C 三種規格,各種鋼板可截得這三種規格的件數如下 表所示:若欲得 A、B、C 三種規格的成品各 14、18、21 件,問這兩種鋼板各多少片可使 需用到的鋼板總數最少?(10 分)
種類
規格 第一種鋼板 第二種鋼板 限制
A 2 件 1 件 14 件
B 1 件 2 件 18 件
C 1 件 3 件 21 件
解 設第一種鋼板用 x 片,第二種鋼板用 y 片,其使用鋼板總片數為 P=x+y 片
依題意列式得
2 14 2 18 3 21 0 0 x y x y x y
x y
≥
≥
≥
≥ ≥
+
+
+
,
其中 x,y 均為整數,此聯立不等式的解如下圖所示:
將(0﹐14), 10 22 3 3
, ,(12﹐3),(21﹐0)代入 P=x+y 所得對應值如下表:
(x﹐y) (0﹐14) 10 22 3 3
, (12﹐3) (21﹐0)
x+y 14 32
3 15 21
由上表可知最佳解為 10 22 3 3
, ,因此找其鄰近的格子點(3﹐8),(4﹐7),再代入下表 得
(x﹐y) (3﹐8) (4﹐7)
x+y 11 11
因此當使用第一種鋼板 3 片、第二種鋼板 8 片,或第一種鋼板 4 片、第二種鋼板 7 片時,
使用最少的鋼板即可達到我們的需求