1 雙曲函數
1.1 雙曲函數的定義
一個圓心在原點的單位圓,其直角座標方程式為
x2+ y2= 1 (1.1) 而我們可以寫出它的參數式 {
x= cos(t) y= sin(t)
這樣寫,一方面是將x, y 代回原方程式是符合的。另一方面,我們可以賦予參數t 幾何 意義:夾角。
至於一個左右向的雙曲線,若中心在原點,兩軸皆為2。則標準式
x2− y2= 1 (1.2)
如果我們設參數式 {
x= sec(t) y= tan(t)
這樣代入也會合方程式,但就不像剛剛,t 具有這樣簡單的幾何意義1。
於是現在有一個問題:我們能不能重新設一個參數式,能夠使其參數 t 是能具有簡 單的幾何意義呢?甚至得寸進尺,能不能讓雙曲線參數式的t,與圓參數式的t,幾何意 義是很相近的?
t 2
( cos(t), sin(t))
我們先回頭處理一下圓的狀況。剛剛說t 是夾角,現在稍 微修改一下我們的說詞。由於扇形面積
A=1
2r2t (1.3) 所以,如果是單位圓,r= 1,那麼就會有
t= 2A (1.4) 所以我們現在就說,t 是單位圓上的動點,往圓心拉一條線段後,再與 x 軸所圍扇形面 積的兩倍。
t 2
P(h, k)
O M
我們現在希望,寫出雙曲線新的參數式,使其參數 t 是:
雙曲線上動點往雙曲線中心拉一條線段後,再與 x 軸及雙 曲線所圍,這樣一個區域的面積的兩倍。我們現在就先畫出 x2− y2= 1,然後取一個動點 P (h, k)。自P 點向 x 軸引垂線,
垂足為M,如右圖。三角形OP M 的面積,扣掉斜線區域的面 積後,正是我們要的面積 t
2。而至於斜線區域面積,它便是雙 曲線下的面積,因此可列積分式來求。所以
t 2=1
2hk−
∫ h
1
√
x2− 1 dx
1有人畫了複雜的圖,硬是將這裡的t的幾何意義展示出來,但這樣顯然不會令我們滿意。
=1 2h√
h2− 1 −1 2 [
x√
x2− 1 − ln( x+√
x2− 1)]h
1
=1 2ln(
h+√
h2− 1) 所以移項解出
t= ln( h+√
h2− 1) 我們想要的參數t 已經出來了!接下來再做一點處理
et=h +√
h2− 1 放入e 的次方中
et− h =√ h2− 1 e2t− 2het+ h2=h2− 1
e2t+ 1 =2het h=et+ e−t
2 將2et 除到左邊
(h, k)是雙曲線上的動點,滿足h2− k2= 1,因此 k2=h2− 1
=e2t+ 2 + e−2t
4 − 1
=e2t− 2 + e−2t 4
⇒ k =et− e−t 2
我們現在再將動點(h, k)的符號改寫回x, y,這便是我們要的參數式
x=et+ e−t 2 y=et− e−t
2
(1.5)
成功了!我們將參數式這樣設,那麼t 的幾何意義便是那塊區域面積的兩倍!真的與圓 的情況相仿!
於是現在我們就這麼說,cos(t ) 與sin(t ) 可稱之為圓函數,因為它們可設圓的參數 式。當然,我們多數時候還是以三角函數來稱呼它們。而現在呢,有兩個函數,它們可 以設雙曲線的參數式,並使t 的幾何意義會與圓的情況相仿。這兩個函數,便稱之為雙 曲函數(hyperbolic function )。由於與cos(t )和sin(t )相仿,便分別稱呼為 hyperbolic sine、
hyperbolic cosine2。簡寫的時候,便簡單地在sin, cos後面接個h。所以雙曲函數便是 sinh(x)=ex− e−x
2 1 cosh(x)=ex+ e−x 2
2sine 是正弦,我們平常簡寫作sin;cosine 是餘弦,我們平常簡寫作cos
接著,我們用與三角函數類似的寫法,來寫出
tanh(x)=sinh(x)
cosh(x)=ex− e−x
ex+ e−x =e2x− 1 e2x+ 1 coth(x)=cosh(x)
sinh(x) =ex+ e−x
ex− e−x =e2x+ 1 e2x− 1 sech(x)= 1
cosh(x)= 2 ex+ e−x csch(x)= 1
sinh(x)= 2 ex− e−x
這 便 是 六 個 雙 曲 函 數 的 定 義。由 定 義 明 顯 可 見,sinh(x) 是 奇 函 數,因 為 sinh(−x) =
e−x− ex
2 = −ex− e2 −x = −sinh(x)。類似地,由定義可見cosh(x)是偶函數。
y= sinh(x)
y= cosh(x) y= tanh(x)
1.2 雙曲函數的基本公式
x= cos(t), y = sin(t)能滿足圓方程式x2+ y2= 1。也就是說 cos2(t )+ sin2(t )= 1
這便是三角函數的平方恆等式。再將等號兩邊同除以cos2(t ),便有 1+ tan2(t )= sec2(t )
改同除以sin2(t ),便有
cot2(t )+ 1 = csc2(t ) 就這樣,便輕易地把三角函數的三個平方恆等式寫出來。
至於雙曲函數,也有類似的三個平方恆等式。也是類似的做法,由於x= cosh(t), y = sinh(t )能滿足雙曲線方程式x2− y2= 1。也就是說
cosh2(t )− sinh2(t )= 1
這便是雙曲函數的平方恆等式。再將等號兩邊同除以cosh2(t ),便有 1− tanh2(t )= sech2(t )
改同除以sinh2(t ),便有
coth2(t )− 1 = csch2(t )
這樣,三個平方恆等式都寫出來了。跟三角函數的情況頗像,但略有不同。
雙曲函數的很多公式,都是與三角函數的情況非常像,但又偶有不同。例如和角公 式
sinh(x+ y) = sinh(x)cosh(y) + cosh(x)sinh(y) cosh(x+ y) = cosh(x)cosh(y) + sinh(x)sinh(y) tanh(x+ y) = tanh(x)+ tan(y)
1+ tanh(x)tanh(y)
以上只要代入定義便可以驗證了,只是寫起來有點麻煩,在此姑且略去。顯見,和三角 函數的和角公式幾乎一模一樣,只有兩處的正負號改掉。而這種改正負號的情況,似乎 目前還不造成我們的記誦負擔,因為此三式一律都正號,無一負號,反而很好記。
接著將和角公式中的 y 也用x 代掉,可得倍角公式 sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x) cosh(2x)
:::::::: = cosh2(x)+ sinh2(x)
=2cosh2(x)− 1
:::::::::::::
=1 + sinh2(x)
:::::::::::
tanh(2x)= 2 tanh(x) 1+ tanh2(x) 再將 x
2 代在畫底線的式子裡的x,代完再移項整理可得半角公式 sinh2( x
2
)=cosh(x)− 1 2 cosh2( x
2
)=cosh(x)+ 1 2
於是你可能就有點頭大了,有些地方與三角函數的情況正負號不一樣,也不像和角公式 一樣全部都取正號,那到底該怎麼記呢?
以下我便介紹一個方法,用了這個方法,便可直接由三角函數的公式推到雙曲函數
的公式。這個方法就是:凡是在三角函數的公式中看到有兩個sin的,轉到雙曲函數就差負號!
例如平方恆等式
cos2(x)+ sin2(x)= 1
看到有sin(x)的二次,轉成雙曲函數時就讓它差負號,變成
cosh2(x)− sinh2(x)= 1 至於和角公式
cos(x+ y) = cos(x)cos(y) − sin(x)sin(y)
看到那個sin(x) sin(y),轉成雙曲函數時就讓它差負號,變成
cosh(x+ y) = cosh(x)cosh(y) + sinh(x)sinh(y)
而半角公式
sin2( x 2
)=1− cos(x) 2 看到等號左邊有sin2(x
2
),就讓它差負號
−sinh2( x 2
)=1− cosh(x) 2 就這樣!
如果你感到好奇,理由如下。我們知道
ei x= cos(x) + i sin(x)
如果你不知道,只要將i x 代入ex 的馬克勞林展開當中,便有 ei x=1 + i x −x2
2 −i x3 3! + ···
=( 1−x2
2! + ···) + i(
x−x3 3! + ···)
= cos(x) + i sin(x) 然後再將−x代入上式的x中,可得
e−i x= cos(x) − i sin(x) 將兩式寫在一起
ei x= cos(x) + i sin(x) e−i x= cos(x) − i sin(x) 將二式相加除以2、及相減除以2i,可得
cos(x)=ei x+ e−i x 2 sin(x)=ei x− e−i x
2i
注意到等號右邊,和雙曲函數的定義實在長得很像!這其實就是 cos(x)=ei x+ e−i x
2 = cosh(i x) sin(x)=ei x− e−i x
2i = −i sinh(i x)
(1.6)
至此,三角函數直接轉換成雙曲函數的方法,已經做出來了!如果想求雙曲函數轉成三 角函數,那就將−i x代到式子(1.6) 上面的x,便有
cosh(x)= cos(−i x) = cos(i x)
−i sinh(x) = sin(−i x) 接著同乘以i
sinh(x)=i sin(−i x) = −i sin(i x)
所以現在便可知道,為什麼有兩個sin就差負號,原因就是 sin(x) sin(y)=(−i sinh(i x))(−i sinh(i y))
= − sinh(i x)sinh(i y) 負號來自兩個i 乘起來得到−1!以cos的和角公式為例:
cosh(x+ y) = cos(i x + i y)
= cos(i x)cos(i y) − sin(i x)sin(i y)
= cosh(−x)cosh(−y) − (−i sinh(−x))(−i sinh(−y))
= cosh(x)cosh(y) + sinh(x)sinh(y) 果然兩個sin就會變號!
三角函數中還有棣美弗(De Moive)公式 (cos(x)± i sin(x))n
= cos(nx) ± i sin(nx) 現在我們利用三角函數與雙曲函數之間的轉換,可得
(cosh(i x)± sinh(i x))n
= cos(inx) ± sin(inx) 亦即(再將−i x 代入上式的x)
(cosh(x)± sinh(x))n
= cosh(nx) ± sinh(nx)
1.3 雙曲函數的導函數
接著討論雙曲函數的導函數。這是非常簡單的,只要寫 d
dxsinh(x)= d dx
(ex− e−x 2
)=ex+ e−x
2 = cosh(x) 這樣就出來了!同理也有
d
dxcosh(x)= d dx
(ex+ e−x 2
)=ex− e−x
2 = sinh(x) 至於tanh(x)則這樣寫
d
dxtanh(x)= d dx
( sinh(x) cosh(x) )
商法則 =cosh(x) cosh(x)− sinh(x)sinh(x)
cos2(x) cosh2(t )− sinh2(t )= 1 = 1
cos2(x)= sech2(x)
剩下三個也是類似做法,就留給你當練習了3。我列出結果:
d
dxcoth(x)= − csch2(x) d
dxsech(x)= − tanh(x)sech(x) d
dxcsch(x)= − coth(x)csch(x)
3我寫得太少你會看不清楚,但我寫得太多則會剝奪你練習的機會!
寫完以後可以發現,這與三角函數的情況幾乎是一模一樣的!差別只在於,三角函數的 導函數,列出來會是正、負、正、負、正、負。雙曲函數的導函數則是正、正、正、負、
負、負。
1.4 反雙曲函數
接下來討論反雙曲函數。設
y= sinh−1(x) 則
sinh(y)= x 也就是說
x=ey− e−y 2
將2乘過去,並等號兩邊同乘以ey,便可整理出ey 的一元二次方程式 e2y− 2xey− 1 = 0
用公式解可得到
ey=2x±p
4x2+ 4 2
=x ±√ x2+ 1
由於指數函數恆正,等號右邊絕無可能取負號,否則會變小減大是負的。取正號後兩邊 取對數,便有
y= sinh−1(x)= ln¯¯
¯¯x +√ x2+ 1¯¯
¯¯
不過,以上這個方法雖見於各教科書,但這樣寫實在是太麻煩了!有個比較快的方 法,直接用
ey= sinh(y) + cosh(y) (
=ey− e−y
2 +ey+ e−y 2
)
配合
sinh(y)= x, cosh(x) =√
sinh2(y)+ 1 =√ x2+ 1 便可得到
ey= sinh(y) + cosh(y) = x +√ x2+ 1 兩邊取對數
y= ln¯¯
¯¯x +√ x2+ 1¯¯
¯¯
同樣地,如果要求 y= cosh−1(x),就寫
ey=sinh(y) + cosh(y)
=√
x2− 1 + x
⇒ y =ln¯¯
¯¯√
x2− 1 + x¯¯
¯¯ , x ≥1
至於tanh−1(x),倒可直接用定義比較快
x= tanh(y) =e2y− 1 e2y+ 1 分母乘到左邊
xe2y+ x = e2y− 1 於是
e2y=1+ x 1− x 兩邊取對數
2y= ln (1+ x
1− x )
於是
y= tanh−1(x)=1 2ln
(1+ x 1− x )
,|x| < 1 另外三個由於倒數關係,只要將 1
x 代入tanh−1(x)即可得coth−1(x),以此類推。所以 coth−1(x)=1
2ln (1+ x
x− 1 )
,|x| > 1
sech−1(x)= ln¯¯
¯¯¯
p1− x2
x +1
x
¯¯¯¯
¯, 0< x ≤ 1
csch−1(x)= ln¯¯
¯¯¯
p1+ x2
|x| +1 x
¯¯¯¯
¯, x,0
後面標的範圍只不過是來自雙曲函數的值域。譬如說 tanh(x) 的值域是 |y| < 1,所以 tanh−1(x)的定義域就是|x| < 1。
1.5 反雙曲函數的導函數
d
dxsinh−1(x)= d dxln¯¯
¯¯x +√ x2+ 1¯¯
¯¯
=
1+ p x x2+ 1
x+p x2+ 1 接著分子分母同乘以 px2+ 1 − x
=
px2+ 1 − x + x − px2 x2+ 1
x2+ 1 − x2 =√
x2+ 1 − x2 px2+ 1
=x2+ 1 − x2
px2+ 1 = 1 p1+ x2
但這樣一路做下來實在很累,不如直接使用反函數求導法 dy
dx = 1
dx dy
欲求導y= sinh−1(x),先反過來寫x= sinh(y),將其對y 求導後放分母
1 cosh(y)
接下來要將y換回x。套平方恆等式,則得到
√ 1
1+ sinh2(y)
= 1
p1+ x2
這樣快多了!於是我將六個反雙曲函數的導函數列出如下
d
dxsinh−1(x)= 1
d
dysinh(y)
= 1
cosh(y)= 1 p1+ x2
d
dxcosh−1(x)= 1
d
dycosh(y)
= 1
sinh(y)= 1 px2− 1
d
dxtanh−1(x)= 1
d
dytanh(y)
= 1
sech2(y)= 1 1− x2 d
dxcoth−1(x)= 1
d
dycoth(y)
= 1
−csch2(y)= 1 1− x2 d
dxsech−1(x)= 1
d
dysech(y)
= 1
−sech(y)tanh(y)= 1 xp
1− x2 d
dxcsch−1(x)= 1
d
dycsch(y)
= 1
−csch(y)coth(y)= − 1
|x|p 1+ x2
1.6 雙曲函數的泰勒展開
如果要求雙曲函數的馬克勞林展開,也是很簡單,只要這樣寫
sinh(x)=ex− e−x 2
=1 2
[(
1+ x +x2 2! +x3
3! + ···)
−(
1− x +x2 2! −x3
3! + ···)]
=1 2 (
2x+ 2x3 3! + ···)
=x +x3 3! + ···
同樣地
cosh(x)=ex+ e−x 2
=1 2
[(
1+ x +x2 2! +x3
3! + ···) +(
1− x +x2 2! −x3
3! + ···)]
=1 2 (
2+ 2x2 2! + ···)
=1 +x2 2! + ···
可以觀察到,sinh(x)的展開就是由ex 的展開中只取奇次項;cosh(x)的展開就是由ex 的 展開中只取偶次項。既然如此,便有
ex= sinh(x) + cosh(x)
其它四個雙曲函數的展開,則較困難,故在此不提。其中coth(x)甚至無法用多項式 逼近。至於反雙曲函數的展開,只有兩個能做多項式逼近,其它四個則都無法。
先做tanh−1(x),由於它的導函數是 1
1− x2,所以我們先展開 1
1− x2= 1 + x2+ x4+ x6+ ···
接著做逐項積分,得到
tanh−1(x)= C + x +x3 3 +x5
5 + ···
為了解C,代x= 0,得到
tanh−1(0)= 0 = C + 0 + 0 + ···
所以C= 0。
接下來再作sinh−1(x)的展開,由於它的導函數是 p 1
1+ x2,所以先用二項展開得到 p 1
1+ x2=(
1+ x2)−12
= C0−12 +C1−12 x2+C2−12 x4+C3−12 x6+ ···
接著做逐項積分,得到
sinh−1(x)= C +C0−12 x+C1−12 x3
3 +C2−12 x5
5 +C3−12 x6 6 + ···
為了解C,代x= 0,得到
sinh−1(0)= 0 = C + 0 + 0 + ···
所以C= 0。
1.7 雙曲函數在大一微積分中的應用
幾乎沒有用。
雙曲函數事實上是很有用的,反演幾何(inversive geometry)、非歐幾何、懸鍊線問 題、廣義相對論等等,都有它的蹤跡。然而在大一微積分課程內,它能派上用場的地方
極其稀有,有些教科書甚至是不介紹雙曲函數的。以下舉出少見的雙曲函數可派上用場 的例子。
如果遇到積分 ∫
pdx 1+ x2 可使用三角代換x= tan(t), dx = sec2(t ) dt,得到
∫ sec2(t ) dt sec(t ) =
∫
sec(t ) dt
= ln¯¯sec(t )+ tan(t)¯¯+C
= ln¯¯
¯¯√
1+ x2+ x¯¯
¯¯+C 其實可以改用雙曲代換x= sinh(t), dx = cosh(t) dt,得到
∫ cosh(t ) dt cosh(t ) =
∫ dt
=t +C = sinh−1(x)+C 更簡潔了些。還有像是 ∫ √
1+ x2dx 使用三角代換也是頗麻煩。若改用雙曲代換,則
∫
cosh(t ) cosh(t ) dt=1 2
∫
1+ cosh(2t) dt
=1 2 [
t+sinh(2t ) 2
]+C
=1 2 [
t+ sinh(t)cosh(t)] +C
=1 2 [
sinh−1(x)+ x√
1+ x2] +C
=1 2 [
ln¯¯
¯¯x +√ 1+ x2¯¯
¯¯+x√
1+ x2] +C
由上可見,用雙曲代換可能會讓積分比較好做。但是你不會雙曲函數,也不會因此就不 會做,只是較麻煩而已。