1007平時測驗 解答

－ 1 － 1007 汽勤甲平時測驗 數學第一冊 姓名 座號 一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分) （ ）1.設 A(2,5)、B(4,3)、C(5,1)為坐標平面上之三點，若AB在AC上 的 正射影為AD，則|AD：| |AC| (A)7:5 (B)14:5 (C)7:25 (D)14:25 【095 年歷屆試題.】 解答 D 解析 ∵ A(2,5)、B(4,3)、C(5,1)  AB(2, 2) ，AC(3, 4) AB在AC上的正射影為 2 ( ) | | AB AC AD AC AC   ∴ 2 2 2 |AD：| |AC||AB AC ：| |AC|     | 2 3 ( 2)( 4) | (3：  ( 4) ) 14 : 25 （ ）2.設 a 、 b 、 c 為平面上之三個向量且 (cos 30 ,sin 30 ) a    ， b (cos150 ,sin150 )  ， (cos 270 ,sin 270 ) c    ，試求 a  b  c  (A)(1,0) (B)(0,1) (C)(1,1) (D)(0,0) 【095 年歷屆試題.】 解答 D 解析 (cos30 ,sin 30 ) ( 3 1, ) 2 2 a     3 1 (cos150 ,sin150 ) ( , ) 2 2 b      (cos 270 ,sin 270 ) (0, 1) c      ∴ ( 3 3 0,1 1 1) (0,0) 2 2 2 2 a  b  c       （ ）3.若cos 2 2 3 



且0 2

 





，試求2sin cos cos

4 4 2 







(A) 1 12 (B) 1 6 (C) 1 4 (D) 2 3 【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 cos 2 2 3   (0 2     ) ∴ sin 1 3  

所求 2sin cos cos sin cos

4 4 2 2 2

    

 

_{ } 

 

1 2sin cos 1sin

2 2 2 2   _    _{ }   1 1 1 2 3 6    （ ）4.已知 2

  

  ，cos 3 5



  ，則下列大小關係何者正確？

(A)cos sin2 cos2 sin (B)sin2 cos2 cos sin (C)sin2

 cos cos2 sin (D)cos cos2 sin2 sin

【101 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ 2

  

  且cos 3 5



  ∴ sin 4 5





sin2 2sin cos 2 4 ( 3) 24

5 5 25       cos2 2cos2 ₁ 3 2 7 2 ( ) 1 5 25       ∵ 24 3 7 4 25 5 25 5

      ∴ sin2 cos cos2 sin

（ ）5.下列有關點 P(  3,4)的敘述何者正確？ (A)P 點在第四象限 (B)P 點和原點的距離為 1 (C)P 點和 x 軸距離為 4 (D)P 點和 y 軸距離為 4 【龍騰自命題.】 解答 C （ ）6.設一圓之圓心(3,  1)，點 P(  2,4)在圓周上，則此圓之直徑長為 (A)10 (B)5 2 (C)50 (D)10 2 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 O(3,  1)，P(  2,4) ∴ 2 2 ( 2 3) (4 1) 25 25 5 2 OP        ∴ 直徑  2OP 2 5 210 2 （ ）7.設一正六邊形 ABCDEF 的一邊長為 2，則AD AC AB AC   之值為 (A)1 (B)2 (C)2 2 (D) 2 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ ABCDEF 為正六邊形 ∴ ∠ADC  60，且ACCD ∴ ∠CAD  30，則 | || | cos 4 2 3 3 12 2 AD AC  AD AC CAD    （依據△的 30 60 90邊比知） 又AB AC |AB| | AC| cosCAB

（∠CAB  ∠BAD  ∠CAD  60 30 30）

∴ 2 2 3 3 6

2 AB AC    

－ 2 － ∴ 12 2 6 AD AC AB AC     （ ）8.設 A (  2,5)、B (4, 3)，若 a 與AB反方向且| a |  1，則 a  (A)( 4 3, 5 5  ) (B)( ,4 3) 5 5 (C) 3 4 ( , ) 5 5 (D) 3 4 ( , ) 5 5  【課本練習題-自我評量.】 解答 D 解析 AB(4  (  2), 3  5)  (6, 8) 2 2 |AB| 6  ( 8) 10 (6, 8) 3 4 ( , ) 10 5 5 | | AB a AB        （ ）9.△ABC 中，AB4，BC5，B 的餘弦cos 5 13 B  ，則三 角形面積 S 為 (A)S  10 (B)9  S < 10 (C)8  S < 9 (D)S < 8 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 已知cos 5 13 B  ，則sin 12 13 B ，又 1 120 3 sin 9 2 13 13 ABC AB BC  B  △ ∴ 9  S < 10 （ ）10.設△ABC三頂點坐標分別為A



3, 1



、B



6, 5



、C

 

4,6 ， 試求 A (A)30 (B)45 (C)135 (D)150 【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 AB



3, 4



 AB  32 

 

4 2 5

 

2 2 1, 7 1 7 50 5 2 AC  AC     ∴ cos



3, 4

  

1, 7 25 1 5 5 2 25 2 2 AB AC A AB AC            135 A     （ ）11.設 A (1,1)、B (3,4)、C (  1, 2)、D (0, 1)，則AB在CD上的 正射影為 (A)( , )5 5 2 2 (B) 3 3 ( , ) 2 2 (C) 5 5 ( , ) 2 2   (D)( 5 , 5 ) 2 2 【課本練習題-自我評量.】 解答 A 解析 AB(3  1,4  1)  (2,3) CD(0  (  1), 1  (  2))  (1,1) AB在CD上的正射影為 2 2 2 2 2 1 3 1 ( ) ( )(1,1) ( 1 1 ) | | AB CD CD CD  _     5 2(1,1)  ( 5 5 , 2 2) （ ）12.設二次函數

 

 2  f x ax bx c圖形中，頂點坐標為



1, 2



， 且f

 

0 1，則2a b c   (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 已知二次函數頂點坐標



1, 2



故可設此二次函數為

 





2 1 2 f x a x  ∵ f

 

0 1即





2 0 1 2 1 a    得a3

  



2



2



3 1 2 3 2 1 2 f x  x   x  x  2 2 3x 6x 1 ax bx c       得a3，b 6，c1 故2a      b c 6

 

6 1 1 （ ）13.直線 y  mx  5 與 2|x|  3|y|  6 圖形恰有一個交點，則|m|  (A)5 2 (B) 5 3 (C) 5 6 (D) 6 5 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 2|x|  3|y|  6 是以(3,0)、(  3,0)、(0,2)、(0,  2)為頂點之菱形 y  mx  5 必經過點(0,5) 又 y  mx  5 與 2|x|  3|y|  6 恰有一個交點，交點必為(3,0)或(  3,0) 因此斜率 5 3 m 或 5 3  ∴ | | 5 3 m  （ ）14.下圖為何者之部分圖形？

(A)y  sinx (B)y  sin3x (C)y  3sinx (D)y  3cosx

－ 3 － 解答 C 解析 圖形是週期為 2 的 sinx 圖形，值域為 3 與 3 之間 故函數為 y  3sinx （ ）15.如右上圖，河的一邊有 A、B 兩點，且AB30公尺，河的另 一邊有一點 C，測得BAC  45，ABC  75，則BC (A)15 25 6 公尺 (B)10 2公尺 (C)10 6公尺 (D)10 3公尺 【課本練習題-自我評量.】 解答 C 解析 C  180 45 75 60 由正弦定理： sin sin c a C  A  30 sin 60 sin 45 a     30 3 2 2 2 a   a  10 6 ∴ BC a 10 6（公尺） （ ）16.試求A



2,3



到直線 : 1 1 2   L y x 的距離為 (A) 6 5 (B) 4 5 (C) 3 5 (D) 1 5 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 : 1 1 2 L y x 整理得x2y 2 0 則





 

2 2 2 2 3 2 6 , 5 1 2 d A L         （ ）17.OA OB OC   0 ，|OA| 1 ，|OB| 2 ，|OC| 3，  為向量OA，OB之夾角，則 sin (A) 3 2 (B) 1 2 (C) 3 2  (D) 1 2  【龍騰自命題.】 解答 A 解析 OA OB  OC 2 2 (OA OB )  ( OC)  2 2 2 |OA| |OB| 2OA OB  | OC| ∴ OA OB  1 cos 1 2 | || |   OA OB   OA OB



∴ sin 3 2 



（ ）18.設0 2 2





  ，若sin 2 4 5



 ，則 sin4 _cos4 _{的值為 (A)} 1 5  (B)  1 (C) 4 5  (D) 3 5  【龍騰自命題.】 解答 D 解析 因為0 2 2





  且sin 2 4 5



 ，所以cos 2 3 5





sin4 _cos4 _(sin2 _cos2 _)(sin2 _cos2 _{) sin}2 _cos2 _{cos 2} 3

5







      （ ）19.設0 2 x



  ，若方程式tan( ) cot( ) 2 2 3 2 3 2 x x





    ，則 x 的值為 (A)5 12



(B) 6



(C) 3



(D) 4



【龍騰自命題.】 解答 A 解析 1 tan( ) cot( ) 3 2 3 2 _{sin( ) cos( )} 3 2 3 2 x x x x









      2 2 2 2 sin( ) 3



x    2 1 sin( ) 3



x 2    ∵ 0 0 2 2 x





x         2 2 6  3  x 3



_

_

∴ 2 3  x 4





2 5 3 4 12    x







（ ）20.若兩直線L₁: 6xay 2 0，L₂:



a1



x2y 1 0，若 1// 2 L L ，則 a 之值為何？ (A)3 (B)4 (C)4或3 (D)4或3 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 L1: 6xay 2 0





2: 1 2 1 0 L a x y  ∵ ₁// ₂ 6 2 1 2 1 a L L a     由 6 1 2 a a  ，解得a4或3 當a4時，6 4 2 3 2 1（相依，重合，無限多解） 當a 3時， 6 3 2 4 2 1     （矛盾，平行，無解） 故a 3 （ ）21.如圖，兩直線 L1、L2之方程式分別為 L1:x  ay  b  0、L2:x  cy

－ 4 －  d  0；試問下列哪個選項是正確的？ (A)a  0 (B)b  0 (C)c  0 (D)d  0 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 直線 L1與 x、y 軸的交點為(  b,0)、(0, ) b a  直線 L2與 x、y 軸的交點為(  d,0)、(0, ) d c  由圖可知：  b  0、 b 0 a   ；  d  0、 d 0 c   因此 a  0、b  0、c  0、d  0 （ ）22.△ABC 中，三邊長為 4、5、6，若最大內角為，則△ABC 面 積  (A)9 7 4 (B) 11 7 4 (C) 13 7 4 (D) 15 7 4 【龍騰自命題.】 解答 D （ ）23.過(2,7)，(5,4)兩點的直線，其斜角為 (A) 6



(B) 4



(C) 2



(D)3 4



【龍騰自命題.】 解答 D

（ ）24.試求 cos(15 )cos(30 )  sin(30 )sin(15 )  (A) 6 2 4  (B) 6 2 4  (C) 3 2 (D) 2 2 【課本練習題-自我評量.】 解答 D 解析 原式 cos[(15 ) (30 )] cos 45 2 2





         （ ）25.已知三角形的三邊長分別為3公分、3公分、4公分，則此三 角形之外接圓半徑為何？ (A)2 5 5 (B) 3 5 5 (C) 7 5 10 (D)9 5 10 【104 年歷屆試題.】 解答 D 解析 設外接圓的半徑為R， 1 (3 3 4) 5 2     s ABC的面積 5(5 3)(5 3)(5 4)   2 5 又 ABC的面積 3 3 4 9 4     R R 則9 2 5 R  9 9 5 10 2 5   R