1007平時測驗 解答

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- 1 - 1007 汽勤甲平時測驗 數學第一冊 姓名 座號 一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分) ( )1.設 A(2,5)、B(4,3)、C(5,1)為坐標平面上之三點,若ABAC上 的 正射影為AD,則|AD:| |AC| (A)7:5 (B)14:5 (C)7:25 (D)14:25 【095 年歷屆試題.】 解答 D 解析 ∵ A(2,5)、B(4,3)、C(5,1) AB(2, 2) ,AC(3, 4) ABAC上的正射影為 2 ( ) | | AB AC AD AC AC   ∴ 2 2 2 |AD:| |AC||AB AC :| |AC|     | 2 3 ( 2)( 4) | (3:  ( 4) ) 14 : 25 ( )2.設 abc 為平面上之三個向量且 (cos 30 ,sin 30 ) a    , b (cos150 ,sin150 )  , (cos 270 ,sin 270 ) c    ,試求 abc  (A)(1,0) (B)(0,1) (C)(1,1) (D)(0,0) 【095 年歷屆試題.】 解答 D 解析 (cos30 ,sin 30 ) ( 3 1, ) 2 2 a     3 1 (cos150 ,sin150 ) ( , ) 2 2 b      (cos 270 ,sin 270 ) (0, 1) c      ∴ ( 3 3 0,1 1 1) (0,0) 2 2 2 2 abc       ( )3.若cos 2 2 3 

且0 2

 

,試求2sin cos cos

4 4 2 

(A) 1 12 (B) 1 6 (C) 1 4 (D) 2 3 【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 cos 2 2 3   (0 2     ) ∴ sin 1 3  

所求 2sin cos cos sin cos

4 4 2 2 2

    

 

 

1 2sin cos 1sin

2 2 2 2         1 1 1 2 3 6    ( )4.已知 2

  

  ,cos 3 5

  ,則下列大小關係何者正確?

(A)cos sin2 cos2 sin (B)sin2 cos2 cos sin (C)sin2

 cos cos2 sin (D)cos cos2 sin2 sin

【101 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ 2

  

  且cos 3 5

  ∴ sin 4 5

sin2 2sin cos 2 4 ( 3) 24

5 5 25       cos2 2cos2 1 3 2 7 2 ( ) 1 5 25       ∵ 24 3 7 4 25 5 25 5

      ∴ sin2 cos cos2 sin

( )5.下列有關點 P( 3,4)的敘述何者正確? (A)P 點在第四象限 (B)P 點和原點的距離為 1 (C)P 點和 x 軸距離為 4 (D)P 點和 y 軸距離為 4 【龍騰自命題.】 解答 C ( )6.設一圓之圓心(3,  1),點 P(  2,4)在圓周上,則此圓之直徑長為 (A)10 (B)5 2 (C)50 (D)10 2 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 O(3, 1),P(  2,4) ∴ 2 2 ( 2 3) (4 1) 25 25 5 2 OP        ∴ 直徑  2OP 2 5 210 2 ( )7.設一正六邊形 ABCDEF 的一邊長為 2,則AD AC AB AC   之值為 (A)1 (B)2 (C)2 2 (D) 2 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ ABCDEF 為正六邊形 ∴ ∠ADC  60,且ACCD ∴ ∠CAD  30,則 | || | cos 4 2 3 3 12 2 AD AC  AD ACCAD    (依據△的 30 60 90邊比知) 又AB AC |AB| | AC| cosCAB

(∠CAB ∠BAD ∠CAD  60 30 30)

∴ 2 2 3 3 6

2 AB AC    

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- 2 - ∴ 12 2 6 AD AC AB AC     ( )8.設 A ( 2,5)、B (4, 3),若 aAB反方向且| a |  1,則 a  (A)( 4 3, 5 5  ) (B)( ,4 3) 5 5 (C) 3 4 ( , ) 5 5 (D) 3 4 ( , ) 5 5  【課本練習題-自我評量.】 解答 D 解析 AB(4  (  2), 3  5)  (6, 8) 2 2 |AB| 6  ( 8) 10 (6, 8) 3 4 ( , ) 10 5 5 | | AB a AB        ( )9.△ABC 中,AB4,BC5,B 的餘弦cos 5 13 B  ,則三 角形面積 S 為 (A)S  10 (B)9  S < 10 (C)8 S < 9 (D)S < 8 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 已知cos 5 13 B  ,則sin 12 13 B ,又 1 120 3 sin 9 2 13 13 ABCAB BC  B  △ ∴ 9  S < 10 ( )10.設△ABC三頂點坐標分別為A

3, 1

B

6, 5

C

 

4,6 , 試求 A (A)30 (B)45 (C)135 (D)150 【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 AB

3, 4

AB  32 

 

4 2 5

 

2 2 1, 7 1 7 50 5 2 AC  AC     ∴ cos

3, 4

  

1, 7 25 1 5 5 2 25 2 2 AB AC A AB AC            135 A     ( )11.設 A (1,1)、B (3,4)、C (  1, 2)、D (0, 1),則ABCD上的 正射影為 (A)( , )5 5 2 2 (B) 3 3 ( , ) 2 2 (C) 5 5 ( , ) 2 2   (D)( 5 , 5 ) 2 2 【課本練習題-自我評量.】 解答 A 解析 AB(3  1,4  1)  (2,3) CD(0  (  1), 1  (  2))  (1,1) ABCD上的正射影為 2 2 2 2 2 1 3 1 ( ) ( )(1,1) ( 1 1 ) | | AB CD CD CD     5 2(1,1)  ( 5 5 , 2 2) ( )12.設二次函數

 

 2  f x ax bx c圖形中,頂點坐標為

1, 2

, 且f

 

0 1,則2a b c   (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 已知二次函數頂點坐標

1, 2

故可設此二次函數為

 

2 1 2 f xa x  ∵ f

 

0 1即

2 0 1 2 1 a    得a3

  

2

2

3 1 2 3 2 1 2 f xx   xx  2 2 3x 6x 1 ax bx c       得a3,b 6,c1 故2a      b c 6

 

6 1 1 ( )13.直線 y mx 5 與 2|x| 3|y| 6 圖形恰有一個交點,則|m|  (A)5 2 (B) 5 3 (C) 5 6 (D) 6 5 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 2|x| 3|y|  6 是以(3,0)、(  3,0)、(0,2)、(0,  2)為頂點之菱形 y mx  5 必經過點(0,5) 又 y mx 5 與 2|x| 3|y|  6 恰有一個交點,交點必為(3,0)或(  3,0) 因此斜率 5 3 m 或 5 3  ∴ | | 5 3 m  ( )14.下圖為何者之部分圖形?

(A)y sinx (B)y sin3x (C)y 3sinx (D)y 3cosx

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- 3 - 解答 C 解析 圖形是週期為 2 的 sinx 圖形,值域為 3 與 3 之間 故函數為 y 3sinx ( )15.如右上圖,河的一邊有 A、B 兩點,且AB30公尺,河的另 一邊有一點 C,測得BAC  45,ABC  75,則BC (A)15 25 6 公尺 (B)10 2公尺 (C)10 6公尺 (D)10 3公尺 【課本練習題-自我評量.】 解答 C 解析 C  180 45 75 60 由正弦定理: sin sin c a CA  30 sin 60 sin 45 a     30 3 2 2 2 a   a  10 6 ∴ BC a 10 6(公尺) ( )16.試求A

2,3

到直線 : 1 1 2   L y x 的距離為 (A) 6 5 (B) 4 5 (C) 3 5 (D) 1 5 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 : 1 1 2 L yx 整理得x2y 2 0 則

 

2 2 2 2 3 2 6 , 5 1 2 d A L         ( )17.OA OB OC   0 ,|OA| 1 ,|OB| 2 ,|OC| 3,  為向量OAOB之夾角,則 sin (A) 3 2 (B) 1 2 (C) 3 2  (D) 1 2  【龍騰自命題.】 解答 A 解析 OA OB  OC 2 2 (OA OB )  ( OC)  2 2 2 |OA| |OB| 2OA OB  | OC| ∴ OA OB  1 cos 1 2 | || |   OA OB   OA OB

∴ sin 3 2 

( )18.設0 2 2

  ,若sin 2 4 5

 ,則 sin4 cos4 的值為 (A) 1 5  (B)  1 (C) 4 5  (D) 3 5  【龍騰自命題.】 解答 D 解析 因為0 2 2

  且sin 2 4 5

 ,所以cos 2 3 5

sin4 cos4 (sin2 cos2 )(sin2 cos2 ) sin2 cos2 cos 2 3

5

      ( )19.設0 2 x

  ,若方程式tan( ) cot( ) 2 2 3 2 3 2 x x

    ,則 x 的值為 (A)5 12

(B) 6

(C) 3

(D) 4

【龍騰自命題.】 解答 A 解析 1 tan( ) cot( ) 3 2 3 2 sin( ) cos( ) 3 2 3 2 x x x x

      2 2 2 2 sin( ) 3

x    2 1 sin( ) 3

x 2    ∵ 0 0 2 2 x

x         2 2 6  3  x 3

∴ 2 3  x 4

2 5 3 4 12    x

( )20.若兩直線L1: 6xay 2 0,L2:

a1

x2y 1 0,若 1// 2 L L ,則 a 之值為何? (A)3 (B)4 (C)4或3 (D)4或3 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 L1: 6xay 2 0

2: 1 2 1 0 L axy  ∵ 1// 2 6 2 1 2 1 a L L a     由 6 1 2 a a  ,解得a4或3 當a4時,6 4 2 3 2 1(相依,重合,無限多解) 當a 3時, 6 3 2 4 2 1     (矛盾,平行,無解) 故a 3 ( )21.如圖,兩直線 L1、L2之方程式分別為 L1:x ay b 0、L2:x cy

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- 4 -  d  0;試問下列哪個選項是正確的? (A)a 0 (B)b  0 (C)c 0 (D)d  0 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 直線 L1與 x、y 軸的交點為( b,0)、(0, ) b a直線 L2與 x、y 軸的交點為( d,0)、(0, ) d c  由圖可知:  b  0、 b 0 a   ;  d  0、 d 0 c   因此 a 0、b 0、c 0、d  0 ( )22.△ABC 中,三邊長為 4、5、6,若最大內角為,則△ABC 面 積  (A)9 7 4 (B) 11 7 4 (C) 13 7 4 (D) 15 7 4 【龍騰自命題.】 解答 D ( )23.過(2,7),(5,4)兩點的直線,其斜角為 (A) 6

(B) 4

(C) 2

(D)3 4

【龍騰自命題.】 解答 D

( )24.試求 cos(15 )cos(30 )  sin(30 )sin(15 )  (A) 6 2 4  (B) 6 2 4  (C) 3 2 (D) 2 2 【課本練習題-自我評量.】 解答 D 解析 原式 cos[(15 ) (30 )] cos 45 2 2

         ( )25.已知三角形的三邊長分別為3公分、3公分、4公分,則此三 角形之外接圓半徑為何? (A)2 5 5 (B) 3 5 5 (C) 7 5 10 (D)9 5 10 【104 年歷屆試題.】 解答 D 解析 設外接圓的半徑為R, 1 (3 3 4) 5 2     s ABC的面積 5(5 3)(5 3)(5 4)   2 5 又 ABC的面積 3 3 4 9 4     R R 則9 2 5 R  9 9 5 10 2 5   R

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