1113 複數 班級 姓名 座號
一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)
( )1.設i 1,則 2 3 4 26 i i i i (A) 1 (B) 1 i (C)i (D) 0 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 原式
1 i 1 i
1 i 1 i
i4 6i2 0 0 i2 1 ( )2.設 3 2 i z i ,求 z 之共軛複數 z (A)1 3 2 i (B) 1 3 2 i (C)1 3 2 i (D) 1 3 2 i 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 2 2 3 3 1 3 2 2 2 i i i i z i i , 1 3 1 3 2 2 i i z ( )3.設 為 x5 1 之一個虛根,則(2 )(2 2)(2 3)(2 4) (A)10 (B)11 (C)12 (D)13 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ x5 1 (x 1)(x4 x3 x2 x 1) ∴ 4 3 2 1 0 且 5 1 故原式 (2 )(2 4)(2 2)(2 3 ) (5 2 2 4)(5 2 2 2 3 ) 25 10( 4 3 2 ) 4( 4 3 2 ) 25 10 4 11( )4.設 x、y 為實數且滿足 2x y 3yi x(1 i) 2 (y 6)i,則 x y (A)11 5 (B)
12
15 (C)3 (D)2
【龍騰自命題.】
解答 D
解析 2x y 3yi x(1 i) 2 (y 6)i (2x y) 3yi (x 2) (x y 6)i
2 2 3 6 x y x y x y 2 2 6 x y y x 故x y 2
( )5.設i 1且 a 與 b 為兩實數,若(a bi)(1 3i) 8 4i,則(a bi)2 (A)8i (B) 8i (C)8 8i (D)8 8i
【094 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ (a bi)(1 3i) 8 4i 8 4 (8 4 )(1 3 ) 20 20 2 2 1 3 (1 3 )(1 3 ) 10 i i i i a bi i i i i ∴ (a bi)2 (2 2i)2 4 8i 4i2 8i ( )6.已知i 1,設 a 為複數,若方程式 x2 ax 4 7i 0 有一根為 2 i,則另一根為 (A)2 3i (B) 3 2i (C)2 i (D)2 3i 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 設 x2 ax 4 7i 0 之二根為 2 i、 由根與係數關係得 兩根積 (2 ) 4 7 1 i i 4 7 ( 4 7 )(2 ) 3 2 2 (2 )(2 ) i i i i i i i ( )7.設i 1,則 1 3 6 ( i) (A)1 (B)i (C)1 i (D)2 i
【龍騰自命題.】
解答 A
解析 (1 3 )6 (cos sin )6 cos 2 sin 2 1
2 2 i 3 i 3 i
( )8.若方程式 6x2 (2a 3i)x 3i 0 有實根,其中 a 為實數,試求 a 之值為 (A) 3 (B)3 (C)3
2 (D)2 【課本練習題-自我評量.】 解答 A 解析 設此方程式的實根為 則 x 代入得 6 2 (2a 3i) 3i 0 (6 2 2a ) ( 3 3)i 0 由複數的相等: 2 6 2 0 3 3 0 a 3 1 a ( )9.下列各方程式何者有兩共軛虛根? (A)x2 1 0 (B)x2 3x 1 0 (C)x2 3x 1 0 (D)x2 3x 3 0 【龍騰自命題.】 解答 D ( )10.設 a、b 為實數且i 1,若 2 3i為 2x2 ax b 0 之一根,則 a b (A)1 (B)3 (C)6 (D)14 【095 年歷屆試題.】 解答 C 解析 2 3i為 2x2 ax b 0 之一根 又 a、b 為實數 另一根為2 3i 由根與係數關係知 (2 3 ) (2 3 ) 2 (2 3 )(2 3 ) 2 a i i b i i 4 2 a 且7 2 b a 8 且 b 14 ∴ a b 6 ( )11.設 x、y 為實數,若 x y 5,且 xy 6,則 2 ( x y) 之值為 (A) 5 2 6 (B) 5 2 6 (C) 5 2 6 (D) 5 2 6 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ x y 5,xy 6 x、y 皆 0 2 ( x y) x y 2 xy 5 2 6 ( )12.展開(2 2i)20 (A)22 (B)230 i (C)230(1 i) (D) 230 【龍騰自命題.】 解答 D
解析 原式 (2 2) (cos20 7 sin7 )20 230 (cos sin ) 230
4 i 4 i ( )13.化簡 2 5 10 20 20 5 5 (A)14 (B)2 12i (C)2 8i (D) 10 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 原式 2 5 10 2 5 2 5 103 2 2 10 2 2 2 12 5 5 i i i i i i i i i i i
( )14.若 z sin10 icos10,則 Arg(z) (A)10 (B)80 (C)170 (D)350
【龍騰自命題.】
解析 z sin10 icos10 sin(90 80) icos(90 80) cos80 isin80 ∴ Arg(z) 80 ( )15.下列哪一點之極坐標與 (3, ) 5 表同一點? (A)(3,6 ) 5 (B) 11 (3, ) 5 (C) 12 (3, ) 5 (D) 16 (3, ) 5 【龍騰自命題.】 解答 B
( )16.設 i 1,則複數 z (1 2i)2的虛部為 (A)1 (B)2i (C)4i (D)4
【龍騰自命題.】 解答 D ( )17.設 4 1 5 5 cos sin 3 3 z i , 2 2 cos sin 3 3 z i ,則 1 2 z z 之值為何? (A) 1 (B) i (C) 0 (D)1 【103 年歷屆試題.】 解答 D 解析 4 1 5 5 cos sin 3 3 z i 5 5 cos 4 sin 4 3 i 3 20 20 cos sin 3 i 3 2 2 cos 3 2 sin 3 2 3 i 3 2 2 cos sin 3 i 3 2 2 cos sin 3 3 z i cos 2 3 isin 2 3 2 2 cos sin 3 i 3 ∵ z1z2 ∴ 1 2 1 z z
( )18.(cos105 isin105)2(cos75 isin75)2 (A)1 3 2 2 i (B) 1 3 2 2 i (C)1 (D)i 【龍騰自命題.】 解答 A
解析 cos75 isin75 cos(75) isin(75) 原式 [cos(105 75) isin(105 75)]2
(cos30 isin30)2 cos60 isin60 1 3
2 2 i
( )19.已知z1 3i,z2 1 i,其中i 1,則z z 可表示為下列哪一個? (A)12 24 16 cos 240
isin 240
(B)16 cos 300
isin 300
(C)16 cos 60
isin 60
(D)16 cos120
isin120
【105 年歷屆試題.】 解答 A 解析 (1)z1 3i的極式: 令
x y,
3,1 ,如圖:
2 2 3 1 2 r , 30 則z12 cos 30
isin 30
(2)z2 1 i的極式:
2 2 1 1 2 r , 45 則z2 2 cos 45
isin 45
由(1)和(2):
2 2 1 2 cos 2 30 sin 2 30 z i 4 cos 60
isin 60
4
4 2 2 cos 4 45 sin 4 45 z i 4 cos180
isin180
故 2 4 1 2 z z 4 4 cos 60
180
isin 60
180
16 cos 240 isin 240 ( )20.設 z1 7 i,z2 12 5i,則 3z1 2z2 (A)3 i (B)19 6i (C)3 7i (D)3 7i
【龍騰自命題.】 解答 C ( )21.設i 1,則i1 i2 i3 i4之值為 (A) 0 (B) 10 i (C) i (D) 1 【隨堂測驗.】 解答 A 解析 i1 i2 i3 i4 i
1 i 1 0( )22.若z1r1
cos1isin1
,z2 r2
cos2isin2
,則下列何者錯誤? (A) z1z2 r1 r 2 (B)Arg
z1z2
1 2(C) 1 1 2 2 Arg z z (D) 1 1 n z nr 【隨堂講義補充題.】 解答 D
解析 (A)z1 z2 r1 r2cos
1 2
isin
1 2
z1z2 r1 r2 (B)Arg z
1z2
1 2 (C) 1 1
1 2 1 2 2 2 cos sin z r i z r 1 1 2 2 Arg z z (D) 1 1
cos 1 sin 1
1 1 n n n n z r n i n z r ( )23.設 f x
x100x501,則 1 2 i f (A)1 (B) 1 (C) i (D)i 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 1 1 1 cos135 sin135 2 2 2 i i i 1 2 i f
cos135 sin135
f i
100
50cos135 isin135 cos135 isin135 1
cos13500 isin13500
cos 6750 isin 6750
1
cos180 isin180
cos 270 isin 270
1
1 i 1 i ( )24.設x 1 i ,y 3i ,則x120y60 (A) 1 (B)1 (C)i (D) i 【隨堂講義補充題.】 解答 B解析 1 2 1 1 2 cos 45
sin 45
2 2 x i i i
3 1 3 2 2 cos30 sin 30 2 2 y i i i
120 120 60 60 2 cos5400 sin 5400 2 cos1800 sin1800 i x y i
60 60 2 cos3600 sin 3600 1 2 i ( )25.設a、 b 為實數,
cos9 isin 9
cos36 isin 36
a bi,則下列何者正確? (A)a b 0 (B) 1 4 a b (C)a 1 b (D)a b 1 【隨堂測驗】 解答 C解析