1113 複數(一) 解答

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(1)

1113 複數 班級 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.設i 1,則 2   3 4 26 i i i i (A) 1 (B) 1 i (C)i (D) 0 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 原式            

   

1 i 1 i

   

1 i 1 i

 

i4 6i2      0 0 i2 1 ( )2.設 3 2 i z i   ,求 z 之共軛複數 z (A)1 3 2 i  (B) 1 3 2 i   (C)1 3 2 i  (D) 1 3 2 i   【龍騰自命題.】 解答 D 解析 2 2 3 3 1 3 2 2 2 i i i i z i i        , 1 3 1 3 2 2 i i z    ( )3.設  為 x5  1 之一個虛根,則(2   )(2  2)(2  3)(2  4)  (A)10 (B)11 (C)12 (D)13 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ x5  1  (x  1)(x4  x3  x2  x  1) ∴ 4  3  2    1  0 且 5  1 故原式  (2   )(2  4)(2  2)(2  3 )  (5  2   2 4)(5  2 2  2 3 )  25  10( 4  3  2   )  4( 4  3  2   )  25  10  4  11

( )4.設 x、y 為實數且滿足 2x  y  3yi  x(1  i)  2  (y  6)i,則 x  y  (A)11 5 (B)

12

15 (C)3 (D)2

【龍騰自命題.】

解答 D

解析 2x  y  3yi  x(1  i)  2  (y  6)i  (2x  y)  3yi  (x  2)  (x  y  6)i

2 2 3 6 x y x y x y           2 2 6 x y y x        故x y 2

( )5.設i 1且 a 與 b 為兩實數,若(a  bi)(1  3i)  8  4i,則(a  bi)2  (A)8i (B)  8i (C)8  8i (D)8  8i

【094 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ (a  bi)(1  3i)  8  4i 8 4 (8 4 )(1 3 ) 20 20 2 2 1 3 (1 3 )(1 3 ) 10 i i i i a bi i i i i               ∴ (a  bi)2  (2  2i)2  4  8i  4i2   8i ( )6.已知i 1,設 a 為複數,若方程式 x2  ax  4  7i  0 有一根為 2  i,則另一根為 (A)2  3i (B)  3  2i (C)2  i (D)2  3i 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 設 x2  ax  4  7i  0 之二根為 2  i、  由根與係數關係得 兩根積 (2 ) 4 7 1 i i       4 7 ( 4 7 )(2 ) 3 2 2 (2 )(2 ) i i i i i i i             ( )7.設i 1,則 1 3 6 (  i)  (A)1 (B)i (C)1  i (D)2  i

(2)

【龍騰自命題.】

解答 A

解析 (1 3 )6 (cos sin )6 cos 2 sin 2 1

2 2 i 3 i 3 i

 

     

( )8.若方程式 6x2  (2a  3i)x  3i  0 有實根,其中 a 為實數,試求 a 之值為 (A)  3 (B)3 (C)3

2 (D)2 【課本練習題-自我評量.】 解答 A 解析 設此方程式的實根為  則 x   代入得 6 2  (2a  3i)   3i  0  (6 2  2a )  (  3  3)i  0 由複數的相等: 2 6 2 0 3 3 0 a             3 1 a        ( )9.下列各方程式何者有兩共軛虛根? (A)x2  1  0 (B)x2  3x  1  0 (C)x2  3x  1  0 (D)x2  3x  3  0 【龍騰自命題.】 解答 D ( )10.設 a、b 為實數且i 1,若 2 3i為 2x2  ax  b  0 之一根,則 a  b  (A)1 (B)3 (C)6 (D)14 【095 年歷屆試題.】 解答 C 解析 2 3i為 2x2  ax  b  0 之一根 又 a、b 為實數  另一根為2 3i 由根與係數關係知 (2 3 ) (2 3 ) 2 (2 3 )(2 3 ) 2 a i i b i i              4 2 a    且7 2 b   a   8 且 b  14 ∴ a  b  6 ( )11.設 x、y 為實數,若 x  y   5,且 xy  6,則 2 ( xy) 之值為 (A) 5 2 6  (B) 5 2 6  (C) 5 2 6 (D) 5 2 6 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ x  y   5,xy  6  x、y 皆  0  2 ( xy)   x y 2 xy  5 2 6 ( )12.展開(2  2i)20  (A)22 (B)230 i (C)230(1  i) (D)  230 【龍騰自命題.】 解答 D

解析 原式 (2 2) (cos20 7 sin7 )20 230 (cos sin ) 230

4 i 4  i         ( )13.化簡 2 5 10 20 20 5 5            (A)14 (B)2  12i (C)2  8i (D)  10 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 原式 2 5 10 2 5 2 5 103 2 2 10 2 2 2 12 5 5 i i i i i i i i i i i              

( )14.若 z  sin10  icos10,則 Arg(z)  (A)10 (B)80 (C)170 (D)350

【龍騰自命題.】

(3)

解析 z  sin10  icos10  sin(90  80)  icos(90  80)  cos80  isin80 ∴ Arg(z)  80 ( )15.下列哪一點之極坐標與 (3, ) 5  表同一點? (A)(3,6 ) 5 (B) 11 (3, ) 5 (C) 12 (3, ) 5 (D) 16 (3, ) 5 【龍騰自命題.】 解答 B

( )16.設 i  1,則複數 z  (1  2i)2的虛部為 (A)1 (B)2i (C)4i (D)4

【龍騰自命題.】 解答 D ( )17.設 4 1 5 5 cos sin 3 3 z  i    , 2 2 cos sin 3 3 z   i     ,則 1 2 z z 之值為何? (A) 1 (B) i (C) 0 (D)1 【103 年歷屆試題.】 解答 D 解析 4 1 5 5 cos sin 3 3 z  i    5 5 cos 4 sin 4 3 i 3          20 20 cos sin 3  i 3    2 2 cos 3 2 sin 3 2 3 i 3                  2 2 cos sin 3 i 3   2 2 cos sin 3 3 z   i     cos 2 3 isin 2 3            2 2 cos sin 3 i 3   ∵ z1z2 ∴ 1 2 1 z z

( )18.(cos105  isin105)2(cos75  isin75)2  (A)1 3 2 2 i (B) 1 3 2 2 i   (C)1 (D)i 【龍騰自命題.】 解答 A

解析 cos75  isin75  cos(75)  isin(75) 原式  [cos(105  75)  isin(105  75)]2

 (cos30  isin30)2  cos60  isin60  1 3

2 2 i

( )19.已知z1 3iz2  1 i,其中i 1,則z z 可表示為下列哪一個? (A)12 24 16 cos 240

 isin 240

(B)16 cos 300

 isin 300

(C)16 cos 60

 isin 60

(D)16 cos120

 isin120

【105 年歷屆試題.】 解答 A 解析 (1)z1 3i的極式: 令

 

x y, 

 

3,1 ,如圖:

 

2 2 3 1 2 r   ,  30 則z12 cos 30

 isin 30

(2)z2  1 i的極式:

   

(4)

2 2 1 1 2 r   , 45 則z2  2 cos 45

 isin 45

由(1)和(2):

2 2 1 2 cos 2 30 sin 2 30 z   i    4 cos 60

 isin 60

 

4

4 2 2 cos 4 45 sin 4 45 z   i    4 cos180

 isin180

故 2 4 1 2 z z   4 4 cos 60

 180 

isin 60

 180

16 cos 240 isin 240    

( )20.設 z1  7  i,z2  12  5i,則 3z1  2z2  (A)3  i (B)19  6i (C)3  7i (D)3  7i

【龍騰自命題.】 解答 C ( )21.設i 1,則i1  i2 i3 i4之值為 (A) 0 (B) 10 i (C) i (D) 1 【隨堂測驗.】 解答 A 解析 i1         i2 i3 i4 i

   

1 i 1 0

( )22.若z1r1

cos1isin1

z2r2

cos2isin2

,則下列何者錯誤? (A) z1z2  r1 r 2 (B)Arg

z1z2

  1 2

(C) 1 1 2 2 Arg    z z   (D) 1  1 n z nr 【隨堂講義補充題.】 解答 D

解析 (A)z1  z2 r1 r2cos

 12

isin

 12

  z1z2  r1 r2 (B)Arg z

1z2

  1 2 (C) 1 1

1 2 1 2 2 2 cos sin z r i zr        1 1 2 2 Arg z z          (D) 1 1

cos 1 sin 1

1 1 n n n n zr n i n  zr ( )23.設 f x

 

x100x501,則 1 2          i f (A)1 (B) 1 (C) i (D)i 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 1 1 1 cos135 sin135 2 2 2 i i i     1 2 i f    

cos135 sin135

f i    

100

50

cos135 isin135 cos135 isin135 1

        

cos13500 isin13500

 

cos 6750 isin 6750

1

         

cos180 isin180 

 

cos 270 isin 270 

1

 

1 i 1 i        ( )24.設x 1 i ,y 3i ,則x120y60  (A) 1 (B)1 (C)i (D) i 【隨堂講義補充題.】 解答 B

(5)

解析 1 2 1 1 2 cos 45

sin 45

2 2 x  ii  i   

3 1 3 2 2 cos30 sin 30 2 2 y  i i  i   

 

120 120 60 60 2 cos5400 sin 5400 2 cos1800 sin1800 i x y i         

60 60 2 cos3600 sin 3600 1 2 i      

( )25.設a、 b 為實數,

cos9 isin 9



cos36 isin 36  

a bi,則下列何者正確? (A)a b 0 (B) 1 4 a b  (C)a 1 b  (D)a b 1 【隨堂測驗】 解答 C

解析

cos9 isin 9



cos36 isin 36

cos 9 36 isin 9 36      cos45 isin 45 2 2 2 2 i    a bi (A)a b 2 (B)(D) 2 2 1 2 2 2 a b    (C)a 1 b

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