1113 複數(一) 解答

1113 複數 班級 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.設i 1，則 2   3 4 26 i i i i (A) 1 (B) 1 i (C)i (D) 0 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 原式            _

   

1 i 1 i_{ }

   

1 i 1 i_

 

_i4 6_i2      _{0 0 i}2 ₁ （ ）2.設 3 2 i z i   ，求 z 之共軛複數 z (A)1 3 2 i  (B) 1 3 2 i   (C)1 3 2 i  (D) 1 3 2 i   【龍騰自命題.】 解答 D 解析 2 2 3 3 1 3 2 2 2 i i i i z i i        ， 1 3 1 3 2 2 i i z    （ ）3.設  為 x5  1 之一個虛根，則(2   )(2  2)(2  3)(2  4)  (A)10 (B)11 (C)12 (D)13 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ x5  1  (x  1)(x4  x3  x2  x  1) ∴ 4  3  2    1  0 且 5  1 故原式  (2   )(2  4_{)(2 } 2_{)(2 } 3 )  (5  2   2 4)(5  2 2  2 3 )  25  10( 4  3  2   )  4( 4  3  2   )  25  10  4  11

（ ）4.設 x、y 為實數且滿足 2x  y  3yi  x(1  i)  2  (y  6)i，則 x  y  (A)11 5 (B)

12

15 (C)3 (D)2

【龍騰自命題.】

解答 D

解析 2x  y  3yi  x(1  i)  2  (y  6)i  (2x  y)  3yi  (x  2)  (x  y  6)i

2 2 3 6 x y x y x y      _{  }   2 2 6 x y y x     _{ }  故x y 2

（ ）5.設i 1且 a 與 b 為兩實數，若(a  bi)(1  3i)  8  4i，則(a  bi)2  (A)8i (B)  8i (C)8  8i (D)8  8i

【094 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ (a  bi)(1  3i)  8  4i 8 4 (8 4 )(1 3 ) 20 20 2 2 1 3 (1 3 )(1 3 ) 10 i i i i a bi i i i i               ∴ (a  bi)2  (2  2i)2  4  8i  4i2   8i （ ）6.已知i 1，設 a 為複數，若方程式 x2  ax  4  7i  0 有一根為 2  i，則另一根為 (A)2  3i (B)  3  2i (C)2  i (D)2  3i 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 設 x2  ax  4  7i  0 之二根為 2  i、  由根與係數關係得 兩根積 (2 ) 4 7 1 i i       4 7 ( 4 7 )(2 ) 3 2 2 (2 )(2 ) i i i i i i i             （ ）7.設i 1，則 1 3 6 (  i)  (A)1 (B)i (C)1  i (D)2  i

【龍騰自命題.】

解答 A

解析 (1 3 )6 (cos sin )6 cos 2 sin 2 1

2 2 i 3 i 3 i

  _{ }

     

（ ）8.若方程式 6x2  (2a  3i)x  3i  0 有實根，其中 a 為實數，試求 a 之值為 (A)  3 (B)3 (C)3

2 (D)2 【課本練習題-自我評量.】 解答 A 解析 設此方程式的實根為  則 x   代入得 6 2  (2a  3i)   3i  0  (6 2 _{ 2a}  _{)  (  3}  _{ 3)i  0} 由複數的相等： 2 6 2 0 3 3 0 a             3 1 a        （ ）9.下列各方程式何者有兩共軛虛根？ (A)x2 _{ 1  0 (B)x}2 _{ 3x  1  0 (C)x}2 _{ 3x  1  0 (D)x}2 _{ 3x  3  0} 【龍騰自命題.】 解答 D （ ）10.設 a、b 為實數且i 1，若 2 3i為 2x2  ax  b  0 之一根，則 a  b  (A)1 (B)3 (C)6 (D)14 【095 年歷屆試題.】 解答 C 解析 2 3i為 2x2  ax  b  0 之一根 又 a、b 為實數  另一根為2 3i 由根與係數關係知 (2 3 ) (2 3 ) 2 (2 3 )(2 3 ) 2 a i i b i i              4 2 a    且7 2 b   a   8 且 b  14 ∴ a  b  6 （ ）11.設 x、y 為實數，若 x  y   5，且 xy  6，則 2 ( x y) 之值為 (A) 5 2 6  (B) 5 2 6  (C) 5 2 6 (D) 5 2 6 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ x  y   5，xy  6  x、y 皆  0  2 ( x y)   x y 2 xy  5 2 6 （ ）12.展開(2  2i)20  (A)22 _(B)230 i (C)230(1  i) (D)  230 【龍騰自命題.】 解答 D

解析 原式 (2 2) (cos20 7 sin7 )20 230 (cos sin ) 230

4 i 4  i         （ ）13.化簡 2 5 10 20 20 5 5            (A)14 (B)2  12i (C)2  8i (D)  10 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 原式 2 5 10 2 5 2 5 103 2 2 10 2 2 2 12 5 5 i i i i i i i i i i i              

（ ）14.若 z  sin10  icos10，則 Arg(z)  (A)10 (B)80 (C)170 (D)350

【龍騰自命題.】

解析 z  sin10  icos10  sin(90  80)  icos(90  80)  cos80  isin80 ∴ Arg(z)  80 （ ）15.下列哪一點之極坐標與 (3, ) 5  表同一點？ (A)(3,6 ) 5 (B) 11 (3, ) 5 (C) 12 (3, ) 5 (D) 16 (3, ) 5 【龍騰自命題.】 解答 B

（ ）16.設 i  1，則複數 z  (1  2i)2的虛部為 (A)1 (B)2i (C)4i (D)4

【龍騰自命題.】 解答 D （ ）17.設 4 1 5 5 cos sin 3 3 z _ i _   ， 2 2 cos sin 3 3 z _  i  _   ，則 1 2 z z 之值為何？ (A) 1 (B) i (C) 0 (D)1 【103 年歷屆試題.】 解答 D 解析 4 1 5 5 cos sin 3 3 z _ i _   5 5 cos 4 sin 4 3 i 3      _  _ _  _     20 20 cos sin 3  i 3    2 2 cos 3 2 sin 3 2 3 i 3          _   _ _   _     2 2 cos sin 3 i 3   2 2 cos sin 3 3 z _  i  _   cos 2 3 isin 2 3        _  _ _  _     2 2 cos sin 3 i 3   ∵ z₁z₂ ∴ 1 2 1 z z 

（ ）18.(cos105  isin105)2(cos75  isin75)2  (A)1 3 2 2 i (B) 1 3 2 2 i   (C)1 (D)i 【龍騰自命題.】 解答 A

解析 cos75  isin75  cos(75)  isin(75) 原式  [cos(105  75)  isin(105  75)]2

 (cos30  isin30)2  cos60  isin60  1 3

2 2 i

（ ）19.已知z₁ 3i，z₂  1 i，其中i 1，則z z 可表示為下列哪一個？ (A)12 24 16 cos 240



 isin 240



(B)16 cos 300



 isin 300



(C)16 cos 60



 isin 60



(D)16 cos120



 isin120



【105 年歷屆試題.】 解答 A 解析 (1)z1 3i的極式： 令

 

x y, 

 

3,1 ，如圖：

 

2 2 3 1 2 r   ，  30 則z₁2 cos 30



 isin 30



(2)z₂  1 i的極式：

   

2 2 1 1 2 r   ， 45 則z₂  2 cos 45



 isin 45



由(1)和(2)：









2 2 1 2 cos 2 30 sin 2 30 z  _   i   _ 4 cos 60



 isin 60



 

4









4 2 2 cos 4 45 sin 4 45 z  _   i   _ 4 cos180



 isin180



故 2 4 1 2 z z   4 4 _cos 60



 180 



isin 60



 180



_





16 cos 240 isin 240    

（ ）20.設 z1  7  i，z2  12  5i，則 3z1  2z2  (A)3  i (B)19  6i (C)3  7i (D)3  7i

【龍騰自命題.】 解答 C （ ）21.設i 1，則i1  i2 i3 i4之值為 (A) 0 (B) 10 i (C) i (D) 1 【隨堂測驗.】 解答 A 解析 i1         i2 i3 i4 i

   

1 i 1 0

（ ）22.若z₁r₁



cos₁isin₁



，z₂ r₂



cos₂isin₂



，則下列何者錯誤？ (A) z₁z₂  r₁ r ₂ (B)Arg



z₁z₂



  _{1 2}

(C) 1 1 2 2 Arg_ _    z z   (D) 1  1 n z nr 【隨堂講義補充題.】 解答 D

解析 (A)z₁  z₂ r₁ r_2cos



 ₁ ₂



isin



 ₁ ₂



_  z₁z₂  r₁ r₂ (B)Arg z



1z2



  1 2 (C) 1 1









1 2 1 2 2 2 cos sin z r i z r        1 1 2 2 Arg z z      _{ }    (D) 1 1



cos 1 sin 1



1 1 n n n n z r n i n  z r （ ）23.設 _{f x}

 

_x100_x50_1，則 1 2    _{ }     i f (A)1 (B) 1 (C) i (D)i 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 1 1 1 cos135 sin135 2 2 2 i i i   _  _{    } 1 2 i f_  _  



cos135 sin135



f i    





100





50

cos135 isin135 cos135 isin135 1

        



cos13500 isin13500

 

cos 6750 isin 6750



1

         



cos180 isin180 

 

cos 270 isin 270 



1

 

1 i 1 i        （ ）24.設x 1 i ，y 3i ，則x120y60  (A) 1 (B)1 (C)i (D) i 【隨堂講義補充題.】 解答 B

解析 1 2 1 1 2 cos 45



sin 45



2 2 x  i _  i_  i   





3 1 3 2 2 cos30 sin 30 2 2 y  i _  i_  i   

 









120 120 60 60 2 cos5400 sin 5400 2 cos1800 sin1800 i x y i         





60 60 2 cos3600 sin 3600 1 2 i      

（ ）25.設a、 b 為實數，



cos9 isin 9



cos36 isin 36  



a bi，則下列何者正確？ (A)a b 0 (B) 1 4 a b  (C)a 1 b  (D)a b 1 【隨堂測驗】 解答 C

解析



cos9 isin 9



cos36 isin 36











cos 9 36 isin 9 36      cos45 isin 45 2 2 2 2 i    a bi (A)a b 2 (B)(D) 2 2 1 2 2 2 a b    (C)a 1 b 