利用向量內積與外積求反矩陣

全文

(1)

利用向量內積與外積求反矩陣

李瑞

·

鄭金樹

·

洪瑞英

·

吳汀菱

前言

:

給定一個二階方陣或三階方陣 A, 要如何求得其乘法反矩陣 A−1 ? 高中數學課程中, 現行課本中的方法, 一般皆是設出此反矩陣的每一元素, 列出滿足 AA−1 = I 的一次方程組, 再使用克拉瑪公式解之, 以一般高中生的計算能力來看, 這個 代數方法的過程在矩陣 A為二階方陣時,並不費事,但對三階方陣來說, 就有些繁複了。 其實, 若從向量與幾何的角度,利用向量的內積與外積來求反矩陣,在解釋三階方陣的 反矩陣求法時,或許會更簡潔也更有數學的興味喔, 以下我們來說明!

預備知識

:

1. 二矩陣的乘積可視為二矩陣對應向量的內積, 如A= [aij]m×n, B = [bij]n×p, C = AB = [cij]m×p, 其中矩陣 A 的第 i 列向量為~ai = (ai1, ai2, . . . , ain) 矩陣 B 的第 j 行向量為~bj =        b1j b2j ... bnj        ,其中cij = ~ai·~bj = ai1b1j+ ai2b2j+ · · · + ainbnj = n P k=1 aikbkj。 2. 設~a、~b為空間中兩個不平行的非零向量, 則(~a × ~b) ⊥ ~a 且 (~a × ~b) ⊥ ~b。 70

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3. 設~a= (a1, a2, a3), ~b = (b1, b2, b3), ~c = (c1, c2, c3), 則 ∆1 = a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 = a1 b2 b3 c2 c3 − a2 b1 b3 c1 c3 + a3 b1 b2 c1 c2 = a1 b2 b3 c2 c3 + a2 b3 b1 c3 c1 + a3 b1 b2 c1 c2 = (a1, a2, a3) · b2 b3 c2 c3 , b3 b1 c3 c1 , b1 b2 c1 c2 ! = ~a · (~b × ~c) 根據行列式的性質,得∆2 = b1 b2 b3 c1 c2 c3 a1 a2 a3 = ~b · (~c ×~a); ∆3 = c1 c2 c3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 = ~c· (~a ×~b) 且 ∆1 = ∆2 = ∆3。 4. A = " a b c d # ⇒ det(A) = a b c d = ad − bc A=     a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3     ⇒ det(A) = a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 = ~a · (~b ×~c) = ~b · (~c ×~a) = ~c · (~a ×~b)(承 (3))。 問題一: 給定一個二階方陣 A, 是否可找到一反矩陣 A−1 , 使AA−1 = A−1A = I? 給二階方陣 A = " a b c d # , 若 A 有乘法反矩陣 A−1 , 我們可用向量內積觀點來找出 A−1 ; 由AA−1 = " 1 0 0 1 # , 可知 A的第一列與 A−1 的第二行對應之向量內積為 0, A的 第二列與 A−1 的第一行對應之向量內積為 0。

教學設計

:

步驟

(I):

將二階方陣 A = " a b c d # 第一、 二列元素分別視為向量 ~u、 ~v, 其中 ~u = (a, b), ~v =

(3)

(c, d), 現在目標是找到 A−1 = " e f g h # = [~x ~y],其中 ~x= e g ! , ~y = f h ! ⇒ 現在想滿 足 AA−1 = I, 也就是 " ~ u ~v # [~x ~y] = " ~ u· ~x ~u· ~y ~v· ~x ~v· ~y # = " 1 0 0 1 # , 其中 ~u、 ~v 為已知向量, ~x、 ~ y 為所求向量。 可得            ~u· ~x= 1 ~ u· ~y= 0 ~v· ~x= 0 ~v· ~y= 1 , 直觀想法是湊湊看, 但內積值為 0 使我們聯想到找垂直 向量, 所以從這個方向著手。

步驟

(II):

因為 ~u= (a, b), ~v = (c, d), 又~u· ~y= 0 且~v· ~x= 0, 因此 ~x, ~y 有四個選擇, 分別為 (i)            ~ x= " d −c # ~ y= " b −a # ⇒ A −1 = " d b −c −a # ⇒ AA−1 = " ad− bc 0 0 bc− ad # (ii)            ~ x= " d −c # ~ y= " −b a # ⇒ A −1 = " d −b −c a # ⇒ AA−1 = " ad− bc 0 0 ad− bc # (iii)            ~ x= " −d c # ~y= " b −a # ⇒ A −1 = " −d b c −a # ⇒ AA−1= " −ad+ bc 0 0 −ad+ bc # (iv)            ~ x= " −d c # ~y= " −b a # ⇒ A −1 = " −d −b c a # ⇒ AA−1 = " −ad+ bc 0 0 ad− bc # 由以上四種結果來看, 現在雖無法滿足 ( ~ u· ~x= 1 ~v· ~y= 1, 但要使得~u· ~x= ~v · ~y, 所以考慮 (ii)

(4)

或 (iii), 再進一步觀察, 發現 (ii) 中 ad− bc = det(A), 不妨取 (ii) 來參考, 其實取 (iii) 亦可。

步驟

(III):

因為 " a b c d # " d −b −c a # = " ad− bc 0 0 ad− bc # = " det(A) 0 0 det(A) # = det(A) " 1 0 0 1 # 至此可知: 當 det(A) 6= 0 時, A−1 才存在 , 且由上式得 " a b c d # 1 det(A) " d −b −c a #! = " 1 0 0 1 # 即A−1 = 1 det(A) " d −b −c a # 。 在此,我們也可得A−1A = 1 det(A) " d −b −c a # " a b c d # = 1 det(A) " ad− bc 0 0 ad− bc # = 1 det(A) " det(A) 0 0 det(A) # = " 1 0 0 1 # 同時滿足AA−1 = A−1A = I。 接下來我們將求二階反方陣的這種方法延伸至三階反方陣的求法。 問題二: 給定一個三階方陣 A, 是否可找到一反矩陣 A−1 , 使AA−1 = A−1A = I? 假設給定了 A =     a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33     , 若 A 有乘法反矩陣 A−1 , 則滿足 AA−1 =     1 0 0 0 1 0 0 0 1     , 可知 A 的第二列、 第三列與 A−1 的第一行對應之向量內積同時為0, A 的 第一列、 第三列與 A−1 的第二行對應之向量內積同時為 0, A 的第一列、 第二列與 A−1 的的第三行對應之向量內積同時為 0。

教學設計

:

步驟

(I):

(5)

將A=     a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33     第一、 二、 三列元素分別視為向量~a、~b、~c,即~a= (a11, a12, a13)、 ~b = (a21, a22, a23)、~c= (a31, a32, a33) ⇒ A =     a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33     =     ~a ~b ~c     ,將所欲求的反矩陣 A−1 記為 A−1 =     b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33     = [~x ~y ~z], 其中 ~x=     b11 b21 b31     , ~y =     b12 b22 b32     , ~z =     b13 b23 b33     現在想滿足AA−1 = I, 也就是     ~a ~b ~c     [~x ~y ~z] =     1 0 0 0 1 0 0 0 1     (1) 其中~a、~b、~c為已知向量, ~x、~y、~z 為所求向量。

步驟

(II):

由矩陣乘法性質可得 (1) 式中,     ~a ~b ~c     [~x] =     1 0 0     , 也就是        ~a· ~x= 1 ~b · ~x = 0 ~c· ~x= 0 (i)     ~a ~b ~c     [~y] =     0 1 0     , 也就是        ~a· ~y= 0 ~b · ~y = 1 ~c· ~y= 0 (ii)     ~a ~b ~c     [~z] =     0 0 1     , 也就是        ~a· ~z = 0 ~b · ~z = 0 ~c· ~z= 1 (iii) 因此可由(i)得知向量~x需同時與向量~b、~c垂直,由預備知識中外積運算性質: (~b×~c) ⊥ ~b, (~b × ~c) ⊥ ~c 及二階反方陣求法的精神, 我們不妨暫取 ~x = ~b × ~c, 但這個 ~x 不一定滿足 ~a·(~b × ~c) = 1, 因此目前可以暫時得到~x= ~b × ~c, ~y = ~c × ~a, ~z = ~a × ~b。

(6)

步驟

(III):

現在我們有     ~a ~b ~c     [~x ~y ~z] =     ~a ~b ~c     [~b × ~c ~c × ~a ~a × ~b] =     ~a·(~b × ~c) 0 0 0 ~b · (~c × ~a) 0 0 0 ~c·(~a × ~b)    

但因為 det(A) = ~a · (~b × ~c) = ~b · (~c × ~a) = ~c · (~a × ~b) = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 (參考預備知識 3), 所以     ~a·(~b × ~c) 0 0 0 ~b · (~c × ~a) 0 0 0 ~c·(~a × ~b)     =     det(A) 0 0 0 det(A) 0 0 0 det(A)     = det(A)     1 0 0 0 1 0 0 0 1     因此我們現在有     ~a ~b ~c     [~x ~y ~z] =     ~a ~b ~c     [~b × ~c ~c × ~a ~a × ~b] = det(A)     1 0 0 0 1 0 0 0 1     當 det(A) 6= 0 時, 等式兩邊同時除以 det(A)     ~a ~b ~c     · 1 det(A)[~b × ~c ~c × ~a ~a × ~b] =     1 0 0 0 1 0 0 0 1     結論: 當 det(A) 6= 0 時, A−1 才存在 , 且由上式可得 A−1 = 1 det(A)[~b × ~c ~c × ~a ~a × ~b] = 1 det(A)             a22 a23 a32 a33 a32 a33 a12 a13 a12 a13 a22 a23 a23 a21 a33 a31 a33 a31 a13 a11 a13 a11 a23 a21 a21 a22 a31 a32 a31 a32 a11 a12 a11 a12 a21 a22             ,

(7)

而且 A−1A = 1 det(A)             a22 a23 a32 a33 a32 a33 a12 a13 a12 a13 a22 a23 a23 a21 a33 a31 a33 a31 a13 a11 a13 a11 a23 a21 a21 a22 a31 a32 a31 a32 a11 a12 a11 a12 a21 a22                 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33     = 1 det(A)     det(A) 0 0 0 det(A) 0 0 0 det(A)     = det(A) det(A)     1 0 0 0 1 0 0 0 1     = I 同時滿足AA−1 = A−1A = I。

結語

:

1. 高中現行課程在三維空間中介紹向量外積, 所以我們利用向量的內積與外積推導反矩陣 只討論到三階方陣,四階以上的反矩陣求法還是回歸矩陣列運算。 2. 95課綱中高三選修I第二章矩陣2-4小節及99課綱中第四冊第一章空間向量1−4 小節 中介紹三階行列式與向量外積的概念,但若由此向量內積與外積觀點來對學生介紹反方 陣求法, 可以另外增加學生對三階行列式值的操作經驗, 靈活運用向量內積與外積, 老 師們不妨試試除了克拉瑪法則之外的此種方法。

參考文獻

1. 高中數學課程95課綱及99課綱。 2. 全華高中數學課本選修I。 —本文作者李瑞為台北市建國中學數學科退休教師;鄭金樹為台北市中山女高數學科退休教師;洪 瑞英、 吳汀菱任教台北市中山女高—

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