1223 數列級數解答

－ 1 －

1223 數列級數 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.有一數列 an ： 1 2  ，1 3， 1 4  ……，即

 

1 1 1 n n a n    ，另一數列 bn ：1， 2 4 ， 3 9 ……，即 n 2 n b n  ，則a₅b₄等於 (A)13 40 (B) 3 40  (C) 7 24 (D) 1 24  【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析

 

 

5 5 1 1 1 1 1 1 5 1 6 n n a a n           4 2 2 4 1 4 8 n n b b n     故 5 4 1 1 1 6 8 24 a   b _ _     （ ）2.設

p

、

q

為二相異正整數，且

a

n為一等 差數列的第

n

項。若

a

p 

q

，

a

q 

p

，則

a

p q  (A)0 (B)

p

(C)

q

(D)

p



q

【098 年歷屆試題.】 解答 A 解析

a

n為等差數列的第

n

項 設首項

a

1，公差

d

∵

a

p 

q

∴

a

1  (

p

 1)

d



q

…  ∵

a

q 

p

∴

a

1  (

q

 1)

d



p

…  由   (

p



q

)

d



q



p

 d q p 1 p q     

d

  1 代回

a

1  (

p

 1)(  1) 

q



a

1 

p



q

 1 因此

a

p q 

a

1  (

p



q

 1)

d

 (

p



q

 1)  (

p



q

 1)  (  1)  0 （ ）3.設

a

、

b

、

c

、

d

四正數成等比數列，若

a



b

 8，

c



d

 72，則公比為 (A)2 (B)3 (C)4 (D)6 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 設四數為

a

﹐

ar

﹐

ar

2 ﹐

ar

3 _ 2 3 8 72 a ar ar ar        2 (1 ) 8 1 72 9 (1 ) a r ar r     ∴

r

  3（負不合） （ ）4.求 9   9   3 1 2 1 k k k    





(A)13 (B)14 (C)15 (D)21 【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 9   9   3 1 2 1 k k k   





9 3 1  2         1 1  1 1+……   1 1  1 14 1 15      （ ）5.設一凸

n

邊形，各內角成等差數列，若 公差為 4，最大內角為 172，則邊數為 (A)12 (B)15 (C)18 (D)20 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 外角度數分別為 8、12、16、…，又外 角和 8  12  16 … 360  2 8 ( 1) 4 360 2 n n      _{   } (

n

 12)(

n

 15)  0 

n

 12 （ ）6.求 1 1 1 1 1 3 3 5 5 7  25 27  (A) 24 25 (B)25 26 (C) 24 51 (D) 13 27 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 原式 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 2 3 5 2 5 7        _  _ _  _ _  _       1 1 1 2 25 27    _  _   1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 3 5 5 7        _  _{ }  _{ }  _       1 1 25 27    _  _   1 1 1 1 26 13 2 27 2 27 27     _{ }     （ ）7.設一等差數列的第 3 項為 6，第 6 項為 27，則其第 10 項等於 (A)48 (B)55 (C)62 (D)69 【龍騰自命題.】

－ 2 － 解答 B 解析 1 1 2 6 5 27 a d a d        

d

 7，

a

1   8 故所 求   8  63  55 （ ）8.有一等比數列的首項為 5，公比 2， 則其第 5 項為 (A)10 (B)40 (C)80 (D)160 【隨堂測驗.】 解答 C 解析 a₁5，r 2

 

4 5 1 5 1 5 2 5 16 80 a  a r       （ ）9.於 5 與 93 之間插入 7 個數，使成等差 數列，則插入 7 個數之和為 (A)336 (B)343 (C)350 (D)357 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 〈法一〉 公差 93 5 11 9 1 d     這七個數為 16，27，…，82，則和為 82 16 7 343 2    〈法二〉 (5 93) 9 (5 93) 343 2  _{   } （ ）10.若一等差數列第5項為32，第9項為 20，則此數列第幾項開始為負數？ (A)16 (B)15 (C)14 (D)13 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 5 1 9 1 4 32 8 20 a a d a a d          由解得d 3，a144 設第n項開始為負數，即an0   1 1 0 a n d      44n   1  3 0 3n 47 0 3n 47       47 15.7 3 n   ≒ 故取n16 （ ）11.在 24 與8之間插入 11 個數，使這 13 個數成為等差數列，試求插入的第幾項為 0？ (A)7 (B)9 (C)10 (D)11 【隨堂測驗.】 解答 B 解析 a124，a13 8   13 1 13 1 a  a  d   8 24 12d  8 3 d   則ak  a1 k1d0    8 24 1 0 3 k     _ _    k10（第 10 項 為 0） 故插入的第 9 項為 0 （ ）12.設兩整數a﹐b的等差中項為 5，等比 中項為 4，則 2 2 a b  (A)38 (B)58 (C)68 (D)78 【隨堂測驗.】 解答 C 解析 2 5 2 4 a b ab   _    _  由得a10b 代入得10  b b 16  _b2_10b₁₆₀  _b₈_b₂₀ ∴ b8或 2 當b8時，a2；當b2時，a8 故 2 2 2 2 8 2 64 4 68 a b      （ ）13.設三數成等比數列，其和為 63，其乘 積為 1728，其公比大於 1，則公比為 (A)3 (B)7 (C)9 (D)4 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 設三數為x r ﹐

x

﹐

xr

∵ 其乘積為 1728 ∴

x

3 _ 1728，得

x

 12 ∵ 其和為 63 ∴ x x xr 63 r     12 12 12r 63 r     4

r

2 _ 17

r

 4  0 

r

 4 或1 4（不合） （ ）14.從 1 到 10 的自然數中，任取三個相異 的數字，由小到大排列，最多能排出幾組 不同的等比數列？ (A)3 組 (B)4 組 (C)6 組 (D)7 組 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 有 1、2、4；1、3、9；2、4、8；4、6、 9 共四組 （ ）15.已知一等比數列首項為162，公比為

－ 3 － 1 3，且第n項 2 27 n a  ，則此數列之項數n (A)9 (B)8 (C)7 (D)6 【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 a₁162， 1 3 r ，由 1 1 n n a a r  1 1 2 1 1 1 162 81 27 3 27 3 n n       _{ }   _{ }    

 

1 3 4 1 5 3 3 3 n 3n        3 5 n ∴ n8 （ ）16.已知一等差級數前

n

項和為 5

n

2 ，求公 差為 (A)10 (B)15 (C)5 (D)20 【龍騰自命題.】 解答 A 解析

S

n  5

n

2

a

1 

S

1  5

a

1 

a

2 

S

2  5  22  20 ∴

a

2  20  5  15，公差

d



a

2 

a

1  10 （ ）17.已知等比數列首項為4，且a832 2， 求此數列之公比r (A) 2 (B) 2 (C) 1 2  (D) 1 2 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 ∵ a₁ 4，a832 2 由 1 7 1 8 1 n n a a r   a a r

 

7 7 7 32 2 4 r r 8 2 2          ∴ r  2 （ ）18.問級數 5 1 (2 3) k k  



的和為 (A)15 (B)17 (C)13 (D)19 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 5 1 (2 3) ( 1) 1 3 5 7 15 k k         



（ ）19.一等比級數S_n  3 9 27 ，則滿足 700 n S  之最小整數n為多少？ (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 a13，r3









1 1 3 3 1 700 1 3 1 n n n a r S r        





3 3n 1 1400 3n 467.      又 5 3 243467，36729467，故取n6 （ ）20.已知一等比級數首項為6，公比為2， 其前n項的和為1530，則項數n值為何？ (A)11 (B)10 (C)9 (D)8 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 a₁6，r2，S_n1530 由 1



1



6



2 1



1530 1 2 1 n n n a r S r        





1530 6 2n 1 2n 256        n8 （ ）21. 2和4 2的等比中項為 (A) 2 2  (B)  2 (C)2 2 (D)  4 【龍騰自命題.】 解答 C （ ）22. 2 1 ( 1) n k k   



(A)2 3 3 2 6 n  n n (B)2 3 3 6 n  nn _(C)2 3 3 2 6 n  n n (D)2 3 3 6 n  nn 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 〈法一〉 1 2 2 2 2 2 2 1 1 3 2 1 ( 1) 0 1 2 ( 1) ( 1)( )[2( 1) 1] 6 2 3 6 n n k k k n k n n n n n n                  





〈法二〉 2 2 2 1 1 1 1 1 3 2 ( 1) ( 2 1) 2 1 ( 1)(2 1) ( 1) 2 3 2 6 2 6 n n n n n k k k k k k k k k k n n n n n n n n n                      







 

（ ）23.一等差數列第 4 項是 51，第 9 項是 31， 則此數列自第幾項開始為負數？ (A)16 (B)17 (C)18 (D)19 【龍騰自命題.】 解答 B

－ 4 － （ ）24. 9 1 1 ( 1) k k k  



(A) 1 99 (B) 1 10 (C) 9 10 (D)11 10 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 9 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 ( ) (1 ) ( ) ( ) 1 ( 1) 1 2 2 3 9 10 10 10 k k k k k k              





（ ）25.一等比數列的第 5 項為  2，第 10 項為 486，則公比  (A)  3 (B)  2 (C)2 (D)3 【龍騰自命題.】 解答 A