0922直線方程式三角函數與應用解答

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0922 直線方程式三角函數與應用

班級姓名座號

一、單選題 (25 題每題 4 分共 100 分)

（）1.三個半徑為 2 的圓，兩兩外切且內切於正三角形，如圖，則此正三角形之邊長為何？ (A)6 (B) 42 3 (C)8 (D) 4 4 3 【092 年歷屆試題.】解答 D 解析如圖所示 ∵ △PQR 為正三角形  RPQ RQP  60  APC  30，BQD  30 已知圓半徑 r  2，則CDAB  2 r 4 cot 30 3 2 3 PCAC   r  cot 30 3 2 3 DQBD   r  2 3 4 2 3 4 4 3 PQ PC CD DQ          ∴ 此正三角形的邊長為44 3 （）2.設 a、b 為實數，若坐標平面上的拋物線 y  x2  ax  b 的圖形與 x 軸的交點為(  1,0)、(2,0)，如圖所示，則 a  b  (A)2 (B)3 (C)  2 (D)  3 【096 年歷屆試題.】解答 D 解析 y  x2 ax  b (  1,0)代入得 0  1  a  b… (2,0)代入得 0  4  2a  b… 由  得 0  3  3a  a  1 a  1 代入得 b  2 ∴ a  b  3 （）3.試問在坐標平面上原點至點(sin15,sin75)的距離為何？ (A)1 2 (B) 2 2 (C) 3 2 (D)1 【096 年歷屆試題.】解答 D

解析 d (sin15 0)2(sin 75 0)2  sin 152  sin 752 

2 2 sin 15 cos 15 1      （）4.若△ABC 中，AB 3 1 ，BC2，且B  30，則 A  (A)30 (B)45 (C)60 (D)90 【092 年歷屆試題.】解答 B 解析 cAB 3 1 ，aBC2 ∵ 2 2 2 ₂ _cos _{( 3 1)}2 ₂2 _{2 ( 3 1) 2 cos 30} b c a  ca B         (4 2 3) 4 4( 3 1) 3 2 2        2 b   又 sin sin a b A B 2 2 sinA sin 30    1 sin 2 A     A  45或 135 但 c  a  C  A   A  135不合 ∴  A  45 （）5.有一繩子的長度是 24 公分，若圍成正三角形的面積為 a 平方公分；圍成正方形的面積為 b 平方公分；圍成 正六邊形的面積為 c 平方公分，則下列何者正確？ (A)a  b  c (B)a  c  b (C)c  a  b (D)c  b  a 【095 年歷屆試題.】解答 A 解析 ∵ 繩子的長度為 24 公分  正三角形、正方形、正六邊形的邊長分別為 8 公分、6 公分、4 公分  正三角形面積為 3 ₈2 _{16 3} 4 a   （平方公分） 正方形面積為 b  62 36（平方公分）正六邊形面積為 ₆ 3 ₄2 _{24 3} 4 c    （平方公分） ∴ a  b  c

（）6.設 為銳角，若 tan 2，試求 3 sin  6 cos  (A) 2 (B) 3 (C) 2 2 (D) 2 3 【097 年歷屆試題.】解答 C 解析 ∵  為銳角，且tan 2 2 1    如圖所示： ∴

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2 1 3 sin 6 cos 3 6 2 2 2 2 3 3         （）7.設 A(0,6)、B(  12,  24)、C(24,12)為坐標平面上之三 點，試問△ABC 之重心坐標為何？ (A)(2,2) (B)(4,  2) (C)(9, 3) 2  (D)(18,  6) 【095 年歷屆試題.】解答 B 解析 ∵ A(0,6)、B(  12,  24)、C(24,12) ∴ △ABC 之重心坐標為 0 ( 12) 24 6 ( 24) 12 ( , ) (4, 2) 3 3         （）8.設 cos10  a，則 sin200  (A) 2

2 1 a   (B)2a 1a2 (C) 2 2 1 a (D) 2 2a 1a 【093 年歷屆試題.】解答 B

解析 sin200 sin(180 20)  sin20 2sin10cos10

又已知 cos10 a  sin10  1 a 2 ∴ 2 2 sin 200   2 1a   a 2a 1a （）9.若在坐標平面上的平行四邊形 ABCD 中，點 A、B、C 的坐標分別為(5,2)、(1,3)、(  4,3)，則 D 點之坐標為何？ (A)(1,8) (B)(0,2) (C)(2,7) (D)(3,9) 【096 年歷屆試題.】解答 B 解析利用平行四邊形對角線互相平分 設 D 點坐標為(x,y) 又 A(5,2)、B(1,3)、C(  4,3) ∵ AC中點BD中點 5 ( 4) 2 3 1 3 ( , ) ( , ) 2 2 2 2 x y         x  0，y  2 ∴ D 點坐標為(0,2) 《另解》 設 D 點坐標為(x,y) 又知 A(5,2)、B(1,3)、C(  4,3)  x  5  (  4)  1  0  y  2  3  3  2 ∴ D 點坐標為(0,2) （）10.設直線 L 的斜率為 2 且在 x 軸之截距為 3，請問下列 哪一點在直線 L 上？(A)(5,5)(B)(6,6)(C)(7,7)(D)(8,8) 【095 年歷屆試題.】解答 B 解析 ∵ 直線 L 之 x 截距為 3  L 過點(3,0) 又 L 的斜率 m  2 由點斜式知直線 L 方程式為 y  0  2(x  3)即 2x  y  6  0 又(6,6)滿足方程式 2x  y  6  0 ∴ 點(6,6)在直線 L 上 （）11.在坐標平面上的平行四邊形 ABCD 中，若 A、B、C 三點的坐標分別為(  5,4)、(0,  5)、(4,  8)，則 D 點應落在下列哪一個象限？ (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限【097 年歷屆試題.】解答 B 解析 設 D(x,y) 由平行四邊形對角線互相平分的性質知：AC中點 BD  中點 5 4 4 ( 8) 0 ( 5) ( , ) ( , ) 2 2 2 2 x y            5  4  x  x  1 4  (  8)  y  5  y  1 ∴ D(  1,1)落在第二象限 （）12.設 A、B、C 為一圓之圓周上三點，若AB4、BC6、 8 CA ，則該圓之面積為何？ (A)256 15  (B)256 13  (C) 81 4  (D) 81 2 【099 年歷屆試題.】解答 A 解析令圓的半徑為 R 由餘弦定理知： 2 2 2 ₂ ₂ ₂ 4 8 6 11 cos 2 4 8 16 2 AB CA BC A AB CA       _{ }   則_sin _{1 cos}2 _{1 (}11₎2 3 15 16 16 A  A   由正弦定理知： 2 sin BC R A  6 2 3 15 16 R   16 15 R 因此圓面積 2 ₍ 16 ₎2 256 15 15 R        （）13.設 a 為實數，且直線(3a  1)x  2y  a  1 沒有通過第

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一象限，則 a 的可能範圍為何？ (A)a <  1 (B) 1 1 3 a    (C)1 1 3 a (D)a  1 【096 年歷屆試題.】解答 B 解析 (3 1) 2 1 3 1 1 2 2 a a a x y a  y  x  即直線的 y 截距為 1 2 a  ，斜率 3 1 2 a m  ∵ 直線沒有通過第一象限  y 截距 0 且斜率 m  0 1 0 2 a    且 3 1 0 2 a _  a  1 且 1 3 a ∴ a 的可能範圍為 1 1 3 a    （）14.在坐標平面上，設 a，b 為實數，若直線 y  ax  b 通 過點(0,6)與點(3,0)，則 3a  2b (A)4(B)5(C)6(D)7 【097 年歷屆試題.】解答 C 解析 ∵ 直線 y  ax  b 通過(0,6)與(3,0)兩點 6 0 0 3 b a b      _ _  6 2 b a       ∴ 3a  2b  3  (  2)  2  6  6 （）15.在坐標平面上，設 a，b 為實數，若 A、B 兩點的坐標 分別為(a,1)、(b,3)，且線段 AB 的垂直平分線為 2x  y  4，則 2a  b  (A)1 (B)2 (C)  1 (D)  2 【097 年歷屆試題.】解答 A 解析作簡略圖形如下： 設 A(a,1)、B(b,3)的中點為 ( ,1 3) ( , 2) 2 2 2 a b a b M     (1)M 為直線 L:2x  y  4 上一點 2 ( ) 2 4 2 2 a b a b         (2)又m_AB 3 1 b a    ，mL 2 ∵ ABL  mABmL  1 3 1 ( 2) 1 a b 4 b a            由解聯立得 a  1，b  3 ∴ 2a  b  2  (  1)  3  1 （）16.若△ABC 中，AB5，BC9，CA10，則 cos(A  B)  (A) 13 15  (B) 7 15  (C) 7 15 (D) 13 15 【102 年歷屆試題.】解答 A 解析 ∵ A B C  180 ∴ cos(A B)  cos(180C)  cosC 2 2 2 9 10 5 13 2 9 10 15         （）17.判斷下列各數值中，何者小於 0？

（參考公式：cos(    )  cos  cos   sin  sin  ）

(A)cos100  sin2011 (B)cos2100  sin2100 (C)cos22011 

sin22011 (D)cos100cos2011  sin100sin2011

【100 年歷屆試題.】解答 B

解析 (A)cos100 cos(90 10)  sin10

sin2011 sin(360 5  211)  sin211 sin(180 31)  sin31

cos100 sin2011 sin10 (  sin31)  sin31 sin10 0

（∵ 10 31  sin10 sin31） (B)cos2100 sin2100

 cos(2  100)  cos200 cos(180 20)  cos20  0

(C)cos2₂₀₁₁_sin2₂₀₁₁

 cos(2  2011)  cos4022 cos(360 11  62)  cos62 0

(D)cos100cos2011 sin100sin2011

 cos(100 2011)  cos2111 cos(360 5  311)  cos311  cos(360 49)  cos49 0 （）18.已知 2     ，cos 3 5   ，則下列大小關係何者正

確？ (A)cos  sin2  cos2  sin (B)sin2  cos2  cos  sin (C)sin2  cos  cos2  sin (D)cos  cos2  sin2  sin

【101 年歷屆試題.】解答 C 解析 ∵ 2     且cos 3 5   ∴ sin 4 5 

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sin2 2sin cos 2 4 ( 3) 24 5 5 25       cos2 2cos2 1 2 ( 3)2 1 7 5 25       ∵ 24 3 7 4 25 5 25 5

      ∴ sin2 cos cos2  sin

（）19.設 0  x  2，試問函數 f(x)  sin2_{x  2cosx  2 之最大}

值為何？ (A)1 (B)2 (C)4 (D)5

【095 年歷屆試題.】解答 C

解析 f(x)  sin2_x_2cosx₂₁_cos2_x_2cosx₂_(cos2_x 2cosx  1)  4

 (cosx  1)2 4 但 0  x  2  |cosx|  1

∴ 當 cosx  1 時 f(x)有最大值  (  1  1)2 4  4 （）20.若 sin230  k，則 tan50  (A) 1 k2

k   (B) 2 1 k k   (C) 2 1 k   (D) 2 1 1 k   【098 年歷屆試題.】解答 B

解析 sin230 sin(180 50)  sin50 k sin 50 1 k k       如圖所示：故 2 2 tan 50 1 1 k k k k        （）21.設、k 為實數，若 sin 和 cos 為方程式 3x2  2x  k  0 之兩根，則 k (A) 5 6  (B) 5 12  (C)5 6 (D) 5 12 【095 年歷屆試題.】解答 A 解析 ∵ sin、cos 為 3x2 2x  k  0 之兩根 2 sin cos 3 sin cos 3  _ _{ }     _  k    

由兩邊平方得_sin2 _{2sin cos} _cos2 4

9     4 1 2sin cos 9      代入得1 2 4 3 9 k    2 5 3 9 k    ∴ 5 6 k  （）22.試問下列哪一個三角函數值與 sec250°相等？ (A)  csc70° (B)  sec110° (C)  sec340° (D)  csc160° 【101 年歷屆試題.】解答 D

解析 sec250°  sec(180°  70°)  sec70° (A)  csc70°  csc(90°  20°)  sec20°

(B)  sec110°  sec(180°  70°)  (  sec70°)  sec70° (C)  sec340°  sec(360°  20°)  sec20°

(D)  csc160°  csc(180°  20°)  csc20°  csc(90°  70°)  sec70° （）23.已知 為第三象限角，且tan 3 4   ，則2sin 1 3 4cos      (A) 1 31 (B) 13 7 (C)11 (D)31 【102 年歷屆試題.】解答 C 解析 ∵  為第三象限角且tan 3 4   ∴ sin 3 5    ， 4 cos 5   所求 3 11 2 ( ) 1 5 5 ₁₁ 4 1 3 4 ( ) 5 5            （）24.在△ABC中，設三邊長之比AB BC CA: : 7 : 5 : 3，則△ABC之最大內角為何？ (A) 75 (B) 90 (C)120 (D)135 【103 年歷屆試題.】解答 C 解析令ABc，BCa，CAb 設a5k，b3k，c7k，其中k0 ∵ △ABC的邊AB最長 ∴ C為最大內角

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2 2 2 5 3 7 cos 2 5 3 k k k C k k      2 2 15 1 30 2 k k     ∵ cos120 1 2    ∴  C 120 故最大內角為120 （）25.設△ABC三內角 A 、 B 、 C 的對應邊分別為a、 b 、c，且 2 3 a  bc b c﹐求 A 之值為 (A) 2  (B)2 3  (C)3 4  (D)5 6  【105 年歷屆試題.】解答 B 解析 a23bc b c  平方

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

2

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

2 2 3 a  bc  bc  2 2 2 3 2 a  bcb  bcc  b2c2a2 bc 由餘弦定理： 2 2 2 1 cos 2 2 2 b c a bc A bc bc        ∵ cos120 1 2    ∴ 120 2 3 A     

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