1107 複數解答

1107 複數 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.方程式3x2 _{ 5x  4  0 的根為 (A)相等二實根 (B)相異二實根 (C)共軛虛根 (D)實根} 【龍騰自命題.】 解答 C （ ）2.若 21 13 24 1 5i z i i    ，試求z 的共軛複數為 (A)3  2i (B)3  2i (C)2  3i (D)2  3i 【課本練習題-自我評量.】 解答 B 解析 1 5₁₃ 21₂₄ 1 5 (1 5 )(1 ) 1 5 ₂ 52 6 4 3 2 1 (1 )(1 ) 1 2 i i i i i i i i z i i i i i i i                     ∴ z 3 2i （ ）3.設  為 x5  1 之一個虛根，則(2   )(2  2)(2  3)(2  4)  (A)10 (B)11 (C)12 (D)13 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ x5_{ 1  (x  1)(x}4_{ x}3_{ x}2_{ x  1)} ∴ 432 1  0 且 5 1 故原式  (2  )(2 4)(2 2)(2 3)  (5  2  2 4)(5  2 2 2 3)  25  10( 432 )  4( 432 )  25  10  4  11

（ ）4.問  3i 的極式為 (A)cos3 sin3

2i 2 (B) cos2 isin 2    (C) 3(cos sin ) 2 i 2    (D)3(cos3 sin3 ) 2 i 2 【龍騰自命題.】 解答 D （ ）5.設3 2 i a bi i  _{ } ，其中a、b 為實數且i 1，則a  b 之值為 (A)  1 (B)  2 (C)  3 (D)  4 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 3 3 1 1 3 2 2 2 2 i i i i  _  _{  }  ，故a  b  2

（ ）6.若z  cos20  isin20，則Arg(z)  (A)340 (B)20 (C)  20 (D)70

【龍騰自命題.】

解答 A

解析 z  cos20 isin20 cos(  20)  isin(  20)

 cos(  20 360)  isin(  20 360)  cos340 isin340 ∴ Arg(z)  340

（ ）7.問[3(cos23  isin23)][4(sin53  icos53)]  (A) 6 6 3i (B) 3 3i (C)12 (D) 12 3i

【龍騰自命題.】

解答 A

解析 原式  3  4(cos23 isin23)(cos37 isin37)  12(cos60 isin60)  6 6 3i

（ ）8.已知i 1，則(1  i)6  (A)  8i (B)8i (C)12  8i (D)12  8i

【092 年歷屆試題.】

解答 B

《另解》 6 1 1 6 7 7 6 (1 ) [ 2( )] [ 2(cos sin )] 4 4 2 2 i i  i      

_{2 (cos}3 21 _sin21 _{) 8(cos sin ) 8(0 1) 8}

2 i 2 2 i 2 i i             （ ）9.已知複數 z 與共軛複數 z 的和為 2 ，而1 z 的虛部為 1 2

 ，則複數z (A) 2i (B) 2i (C) 1 i (D) 1 i

【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 設z a bi，z a bi



 



2 2 1 z z abi  a bi  a   a 







2 1 1 1 1 1 1 1 1 bi bi z bi bi bi b               而1 z 之虛部，即 2 1 1 2 b b     2 _{2 1 0 1} b b b       故z  1 i

（ ）10.x、y 為實數，若(x  2i)  y(1  i)   2  x(5  3i)，則 3x  2y  (A)  3 (B)  1 (C)2 (D)4

【龍騰自命題.】

解答 D

解析 (x  2i)  y(1  i)  2  x(5  3i)  (x  y)  (y  2)i  (5x  2)  3xi 5 2 2 3 x y x y x          得x  0，y  2，則 3x  2y  4 （ ）11.下列各方程式何者有兩共軛虛根？ (A)x2 _{ 1  0 (B)x}2 _{ 3x  1  0 (C)x}2 _{ 3x  1  0 (D)x}2 _{ 3x  3  0} 【龍騰自命題.】 解答 D （ ）12.複數 cos4 sin4 3 3 z  i 的標準式為 (A) 1 3 2 2 i   (B) 3 1 2 2i   (C)1 3 2 2 i (D) 1 3 2 2 i   【龍騰自命題.】 解答 A （ ）13.設a、b 為實數，且 2  3i 為 x2  ax  b  0 的根，則 b  (A)13 (B)4 (C)4 (D)13 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 另一根為 2  3i 兩根積：(2  3i)(2  3i)  b ∴ b  13

（ ）14.複數 2 3 2i 的極式為 (A)4(cos150  isin150) (B)4(cos330  isin330) (C)4(cos300  isin300) (D)2(cos330  isin330) 【課本練習題-自我評量.】 解答 B 解析 2 2 (2 3) ( 2) 4 360 30 330 r              

∴ 2 3 2i 4(cos 330 isin 330 ) （ ）15.已知a、b 為實數，i 1。若₍ 3 ₎8 1 i a bi i  _{ }  ，則a 2 _{ b}2 _{ (A)16 (B)64 (C)256 (D)1024} 【102 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ 3 8 ( ) 1 i a bi i  _{ }  ∴ 8 3 | ( ) | | | 1 i a bi i  _{ }  而 2 2 8 8 8 8 2 2 ( 3) ( 1) 3 3 | 3 | | ( ) | | | ( ) ( ) 1 1 |1 | _{1 ( 1)} i i i i i i    _  _  _    _{ } 2 8 8 2 4 4 ( ) ( 2) [( 2) ] 2 16 2      且 2 2 |a bi | a b ，因此 2 2 16 a b  ，故a2 b2 162 256 （ ）16.設









5 124 3



12 53 4



i i z i i      ，i 1，則 z 之值為何？ (A)1 (B) 2 (C) 2 (D)13 【103 年歷屆試題.】 解答 A 解析









5 124 3



12 53 4



i i z i i      5 12 3 4 4 3 12 5 i i i i     





 

 

2 2 2 2 2 2 2 2 5 12 3 4 4 3 12 5           13 5 1 5 13     （ ）17.下列敘述何者正確？ (A) 2 ( 2) 2 (B) 2 6 3 3  i  (C)    2 3 6 (D) 2  3 6i 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 (A) 2 2 ( 2) ( 2 )i     2 ( 1) 2 (B) 2 2 2 3 6 3 3 3 3 3 i i i i i        (C)    2 3 ( 2 ) ( 3 )i  i   6 (D) 2  3 2 ( 3 ) i  6i （ ）18.若、 為方程式 2 4 1 0    x x 之兩根，則下列何者正確？ (A)  4 (B)0， 0 (C)    6i (D)      【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 、 為方程式_x2_4x _{1 0之兩根} (A)   4 (B) 1 ∵   0，0 0    ， 0 (C)



  

  

2  2 2    

 

 2      2    4 2 1 6 故    6i (D) 2 i i i             （ ）19.把1 的 6 個六次方根畫在複數平面上，所形成之六邊形面積為何？ (A)3 (B)3 2 (C) 3 3 2 (D) 3 3

【龍騰自命題.】 解答 C 解析 1 的 6 個六次方根在複數平面上，落在以原點為圓心，1 為半徑的圓上，形成正六邊形。 ∴ 面積6 1 1 1 sin 2 3      6 1 3 3 3 2 2 2    （ ）20. 1 3 60 ( ) 2 i  

 (A)1 (B)1 (C)i (D)i

【龍騰自命題.】 解答 A 解析 1 3 60 ( ) 2 i   _ 1 3 60 ( ) 2 2 i   _(cos4 _sin4 ₎60 3 i 3     cos80 isin80 1  0i  1 （ ）21.設為x3 _{ 1 之一虛根，則下列各式何者錯誤？ (A)}3  1 (B)1    2  0 (C)(1  2  22₎10 _{ 1 (D)(1  )(1  }2)  0 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 (A)是x3_{ 1 之虛根  把代入方程式得}3 ₁ (B)x3_{ 1  x}3_{ 1  0  (x  1)(x}2_{ x  1)  0} ∴ 是x2_{ x  1  0 之根  }2 1  0 (C) (1  2 22)10 [1  2(2)]10 [1  2(1)]10 (1)10 1 (D) (1 )(1 2)  (2)() 3 1  0 （ ）22.化簡 4 3 ( 2)  ( 3)  (A)12 3 (B) 12 3 (C)12 3i (D) 12 3i 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 4 3 4 3 7 ( 2)  ( 3) ( 2 )i ( 3 )i  4 3 3  i 12 3i （ ）23.化 4 3   z

i為極式為 (A)2 cos330



 isin 330



(B)2 cos300



 isin 300



(C) cos210 isin 210 (D) cos240 isin 240 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析











_{ }



2



2 4 3 4 3 4 3 3 3 3 ₃ i i z i i i i _i           _

 

2

 

_{2 3 1} 3 1 2 2i      _  _  （∵ 3 cos 2  ，sin 1 330 2      ）





2 cos330 isin 330     （ ）24.

 

2 2

 

2 2 之值為 (A) 0 (B) 4 (C) 2i (D) 2 2i

【隨堂測驗.】 解答 A 解析



 



2

 

2 2 2 2i 2i 2      ，

 

2 2  42 ∴

 

2 2

   

2 2    2 2 0 （ ）25.已知i 1，a為複數，若二次方程式x2ax  4 7i 0有一根為 2 i ，則另一根為 (A) 3 2i  (B) 2 3i (C) 2 3i (D) 2 i 【隨堂測驗.】 解答 A 解析 設另一根為，則









2 1 4 7 2 1 a i a i i            _{ }      ∴ 4 7 2 i i    



4 7



2



5 i i     8 4 14 7 5 i i        3 2i