1107 複數解答

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(1)

1107 複數 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.方程式3x2  5x  4  0 的根為 (A)相等二實根 (B)相異二實根 (C)共軛虛根 (D)實根 【龍騰自命題.】 解答 C ( )2.若 21 13 24 1 5i z i i    ,試求z 的共軛複數為 (A)3  2i (B)3  2i (C)2  3i (D)2  3i 【課本練習題-自我評量.】 解答 B 解析 1 513 2124 1 5 (1 5 )(1 ) 1 5 2 52 6 4 3 2 1 (1 )(1 ) 1 2 i i i i i i i i z i i i i i i i                     ∴ z 3 2i ( )3.設  為 x5  1 之一個虛根,則(2   )(2  2)(2  3)(2  4)  (A)10 (B)11 (C)12 (D)13 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ x5 1 (x 1)(x4 x3 x2 x 1) ∴ 432 1  0 且 5 1 故原式  (2  )(2 4)(2 2)(2 3)  (5  2  2 4)(5  2 2 2 3)  25  10( 432 )  4( 432 )  25  10  4  11

( )4.問  3i 的極式為 (A)cos3 sin3

2i 2 (B) cos2 isin 2    (C) 3(cos sin ) 2 i 2    (D)3(cos3 sin3 ) 2 i 2 【龍騰自命題.】 解答 D ( )5.設3 2 i a bi i  ,其中a、b 為實數且i 1,則a  b 之值為 (A)  1 (B)  2 (C)  3 (D)  4 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 3 3 1 1 3 2 2 2 2 i i i i    ,故a b  2

( )6.若z  cos20  isin20,則Arg(z)  (A)340 (B)20 (C)  20 (D)70

【龍騰自命題.】

解答 A

解析 z  cos20 isin20 cos(  20)  isin(  20)

 cos(  20 360)  isin(  20 360)  cos340 isin340 ∴ Arg(z)  340

( )7.問[3(cos23  isin23)][4(sin53  icos53)]  (A) 6 6 3i (B) 3 3i (C)12 (D) 12 3i

【龍騰自命題.】

解答 A

解析 原式  3  4(cos23 isin23)(cos37 isin37)  12(cos60 isin60)  6 6 3i

( )8.已知i 1,則(1  i)6  (A)  8i (B)8i (C)12  8i (D)12  8i

【092 年歷屆試題.】

解答 B

(2)

《另解》 6 1 1 6 7 7 6 (1 ) [ 2( )] [ 2(cos sin )] 4 4 2 2 i ii      

2 (cos3 21 sin21 ) 8(cos sin ) 8(0 1) 8

2 i 2 2 i 2 i i             ( )9.已知複數 z 與共軛複數 z 的和為 2 ,而1 z 的虛部為 1 2

 ,則複數z (A) 2i (B) 2i (C) 1 i (D) 1 i

【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 設z a biz a bi

 

2 2 1 z z abia bi  a   a 



2 1 1 1 1 1 1 1 1 bi bi z bi bi bi b               而1 z 之虛部,即 2 1 1 2 b b     2 2 1 0 1 b b b       故z  1 i

( )10.x、y 為實數,若(x  2i)  y(1  i)   2  x(5  3i),則 3x  2y  (A)  3 (B)  1 (C)2 (D)4

【龍騰自命題.】

解答 D

解析 (x 2i) y(1 i)  2  x(5 3i) (x y) (y 2)i (5x  2)  3xi 5 2 2 3 x y x y x          得x 0,y 2,則 3x 2y  4 ( )11.下列各方程式何者有兩共軛虛根? (A)x2  1  0 (B)x2  3x  1  0 (C)x2  3x  1  0 (D)x2  3x  3  0 【龍騰自命題.】 解答 D ( )12.複數 cos4 sin4 3 3 z  i 的標準式為 (A) 1 3 2 2 i   (B) 3 1 2 2i   (C)1 3 2 2 i (D) 1 3 2 2 i   【龍騰自命題.】 解答 A ( )13.設a、b 為實數,且 2  3i 為 x2  ax  b  0 的根,則 b  (A)13 (B)4 (C)4 (D)13 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 另一根為 2  3i 兩根積:(2  3i)(2 3i) b ∴ b  13

( )14.複數 2 3 2i 的極式為 (A)4(cos150  isin150) (B)4(cos330  isin330) (C)4(cos300  isin300) (D)2(cos330  isin330) 【課本練習題-自我評量.】 解答 B 解析 2 2 (2 3) ( 2) 4 360 30 330 r              

(3)

∴ 2 3 2i 4(cos 330 isin 330 ) ( )15.已知a、b 為實數,i 1。若( 3 )8 1 i a bi i   ,則a 2  b2 (A)16 (B)64 (C)256 (D)1024 【102 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ 3 8 ( ) 1 i a bi i   ∴ 8 3 | ( ) | | | 1 i a bi i  而 2 2 8 8 8 8 2 2 ( 3) ( 1) 3 3 | 3 | | ( ) | | | ( ) ( ) 1 1 |1 | 1 ( 1) i i i i i i         2 8 8 2 4 4 ( ) ( 2) [( 2) ] 2 16 2      且 2 2 |a bi | ab ,因此 2 2 16 ab  ,故a2 b2 162 256 ( )16.設



5 124 3



12 53 4

i i z i i      ,i 1,則 z 之值為何? (A)1 (B) 2 (C) 2 (D)13 【103 年歷屆試題.】 解答 A 解析



5 124 3



12 53 4

i i z i i      5 12 3 4 4 3 12 5 i i i i     

 

 

2 2 2 2 2 2 2 2 5 12 3 4 4 3 12 5           13 5 1 5 13     ( )17.下列敘述何者正確? (A) 2 ( 2) 2 (B) 2 6 3 3  i  (C)    2 3 6 (D) 2  3 6i 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 (A) 2 2 ( 2) ( 2 )i     2 ( 1) 2 (B) 2 2 2 3 6 3 3 3 3 3 i i i i i        (C)    2 3 ( 2 ) ( 3 )ii   6 (D) 2  3 2 ( 3 ) i  6i ( )18.若、 為方程式 2 4 1 0    x x 之兩根,則下列何者正確? (A)  4 (B)0, 0 (C)    6i (D)      【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 、 為方程式x24x 1 0之兩根 (A)   4 (B) 1 ∵   0,0 0    , 0 (C)

  

  

2  2 2    

 

 2      2    4 2 1 6 故    6i (D) 2 i i i             ( )19.把1 的 6 個六次方根畫在複數平面上,所形成之六邊形面積為何? (A)3 (B)3 2 (C) 3 3 2 (D) 3 3

(4)

【龍騰自命題.】 解答 C 解析 1 的 6 個六次方根在複數平面上,落在以原點為圓心,1 為半徑的圓上,形成正六邊形。 ∴ 面積6 1 1 1 sin 2 3      6 1 3 3 3 2 2 2    ( )20. 1 3 60 ( ) 2 i  

 (A)1 (B)1 (C)i (D)i

【龍騰自命題.】 解答 A 解析 1 3 60 ( ) 2 i   1 3 60 ( ) 2 2 i   (cos4 sin4 )60 3 i 3     cos80 isin80 1  0i  1 ( )21.設為x3  1 之一虛根,則下列各式何者錯誤? (A)3  1 (B)1    2  0 (C)(1  2  22)10  1 (D)(1  )(1  2)  0 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 (A)是x3 1 之虛根 代入方程式得3 1 (B)x3 1 x3 1 0 (x 1)(x2 x 1) 0 ∴ 是x2 x 1 0 之根 2 1  0 (C) (1  2 22)10 [1  2(2)]10 [1  2(1)]10 (1)10 1 (D) (1 )(1 2)  (2)() 3 1  0 ( )22.化簡 4 3 ( 2)  ( 3)  (A)12 3 (B) 12 3 (C)12 3i (D) 12 3i 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 4 3 4 3 7 ( 2)  ( 3) ( 2 )i ( 3 )i  4 3 3  i 12 3i ( )23.化 4 3   z

i為極式為 (A)2 cos330

 isin 330

(B)2 cos300

 isin 300

(C) cos210 isin 210 (D) cos240 isin 240 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析



 

2

2 4 3 4 3 4 3 3 3 3 3 i i z i i i i i          

 

2

 

2 3 1 3 1 2 2i          (∵ 3 cos 2  ,sin 1 330 2      )

2 cos330 isin 330     ( )24.

 

2 2

 

2 2 之值為 (A) 0 (B) 4 (C) 2i (D) 2 2i

(5)

【隨堂測驗.】 解答 A 解析

 

2

 

2 2 2 2i 2i 2      ,

 

2 2  42 ∴

 

2 2

   

2 2    2 2 0 ( )25.已知i 1,a為複數,若二次方程式x2ax  4 7i 0有一根為 2 i ,則另一根為 (A) 3 2i  (B) 2 3i(C) 2 3i (D) 2 i 【隨堂測驗.】 解答 A 解析 設另一根為,則

2 1 4 7 2 1 a i a i i                   ∴ 4 7 2 i i    

4 7



2

5 i i     8 4 14 7 5 i i        3 2i

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