1204 第一二冊解答

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1204 第一二冊 班級 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.△ABC 三內角A、B、C 之對應邊長分別為 a、b、 c,若a2 3,b  2,A  120,則 c  (A) 3 (B)2 (C)3 (D) 2 3 【091 年歷屆試題.】 解答 B 解析 題目中,a2 3,b  2,A  120 由此三條件只能先求B 利用正弦定理 sin sin a b A B   2 3 21 sin120 sin B    3  sinBsin120  3 1 2 1 sin 2 B   ( )2.三個半徑為 2 的圓,兩兩外切且內切於 正三角形,如圖,則此正三角形之邊長為何? (A)6 (B) 42 3 (C)8 (D) 4 4 3 【092 年歷屆試 題.】  B  30或 150(不合)  B  30 再推得C  30 ∵ B C  30  b c  2(等腰) 另解:利用餘弦定理 2 2 4 (2 3) cos120 2 2 C C       2 1 8 2 4 C C    C2 2C 8 0 C  4(不合)、2 解答 D 解析 如圖所示 ∵ △PQR 為正三角形  RPQ RQP  60  APC  30,BQD  30 已知圓半徑 r  2,則CDAB  2 r 4 cot 30 3 2 3 PCAC   r  cot 30 3 2 3 DQBD   r  2 3 4 2 3 4 4 3 PQ PC CD DQ          ∴ 此正三角形的邊長為44 3 ( )3.設 a 、 b 、 c 為平面上之三個向量且 (cos 30 ,sin 30 ) a    , b (cos150 ,sin150 )  , (cos 270 ,sin 270 ) c    ,試求 abc  (A)(1,0) (B)(0,1) (C)(1,1) (D)(0,0) 【095 年歷屆試題.】 解答 D 解析 (cos30 ,sin 30 ) ( 3 1, ) 2 2 a     3 1 (cos150 ,sin150 ) ( , ) 2 2 b      (cos 270 ,sin 270 ) (0, 1) c      ∴ ( 3 3 0,1 1 1) (0,0) 2 2 2 2 abc       ( )4.有一測量員發現:當他從 A 點測量時,山是在他的東 邊偏北 60且山的仰角為 45;若由 A 點向東直行 200 公尺到 B 點測量時,則山在他的西邊偏北 60。試求 山高是多少公尺?(若由低處觀測點仰望高處的目標 物時,則目標物和觀測點的連線與水平線的夾角稱為 仰角) (A)100 (B)100 2 (C)100 3 (D)200 【095 年歷屆試題.】 解答 D 解析 設山高為PQ,如下圖所示

在△AQB 中,QAB QBA  60

△AQB 為正三角形 AQAB200 在直角△PQA 中,PAQ  45 200 PQ AQ    (等腰直角三角形) ∴ 山高 200 PQ 公尺 ( )5.在坐標平面上,滿足不等式|x|  y  8 的區域面積為何? (A)16 (B)32 (C)64 (D)128

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【094 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ |x| y  8 0 | | 0 8 8 8 x y x y y x y x y y y y                     不等式所成區域如圖所示 (為△OAB): ∴ 所成區域面積(即△OAB 面積) 1 16 8 64 2     ( )6.下列何者為多項式? (A)1 4 x (B) 2x8 (C) 13 5x4 (D) 6 x2 【094 年歷屆試題.】 解答 B 解析 1 4 x 及 13 5x4的 x 在分母中出現,故不為 x 的多項式 又6 x2的 x 出現在根號內,故不為 x 的多項式 ∴ 只有 2x8為 x 的多項式 ( )7.在坐標平面上,滿足 x  y   2,x  2y   2,x  2 不 等式組的區域面積為何? (A)12 (B)20 (C)24 (D)28 【093 年歷屆試題.】 解答 A 解析 2 2 2 2 x y x y x             所成區域為△ABC(如下圖所示) 所求面積(即△ABC 面積) 1 2AB  (AB邊上的高) 1 6 4 12 2     ( )8.平面上兩點 A(5,  1)、B(3,4)。若 C 點在 y 軸上,且滿 足 ACBC,則 C 點坐標為何? (A)(0, 1) 10  (B)(0, 1) 15  (C)(0, 1) 15 (D) 1 (0, ) 10 【098 年歷屆試題.】 解答 A 解析 C 點在 y 軸上,設 C(0,t) ACBC ∴ 2 2 2 2 (5 0)   ( 1 t)  (3 0) (4t)  (5  0)2 (  1  t)2 (3  0)2 (4  t)2  1 10 t  故 (0, 1) 10 C( )9.設 ABCD 為一矩形,且BC3AB。令 P 點與 Q 點為 BC 上之點,且 BPPQQC,如圖。若DBC  ,且 DPC  ,則 tan(  )之值為何? (A) 1 3 (B) 2 3 (C)1 (D) 2 3 【098 年歷屆試題.】 解答 C 解析 由於BC3AB,且BPPQQCABx,其中 x  0 則BPPQQCCDx 在△DBC 中,tan 1 3 3 x x    在△DPC 中,tan 1 2 2 x x    故 1 1 tan tan 3 2 tan( ) 1 1 1 1 tan tan 1 3 2                ( )10.下列敘述何者錯誤? (A)直線 L:x  2y  4 的斜率為 1 2  (B)方程式 x  4 的圖形是一條通過點(4,5),且平 行 y 軸的直線 (C)通過點 A(1,2)、B(  2,3)的直線方 程式為 3x  y  1  0 (D)當點 A(  1,1)、B(2,x)、C(3,11) 為共線的三點時,則 17 2 x 【098 年歷屆試題.】

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解答 C 解析 (A)L:x 2y  4 的斜率為 1 2  (B)x  4 的圖形如下, 通過點(4,5),且平行 y 軸的直線 (C)通過點 A(1,2)、B(  2,3)的直線: 3 2 2 ( 1) 3 7 0 2 1 y   x  xy    (D) 1 1 2 ( 1) 3       AB x x m , 11 1 5 3 ( 1) 2      AC m ∵ A、B、C 三點共線 ∴ mABmAC 即 1 5 17 3 2 2 x x     ( )11.設三直線 L1:x  3y  2  0,L2:3x  y  2  0,L3: x  y  2  0,且 L1與 L2相交於 A 點,則過 A 點且與 L3平行的直線,不通過哪一個象限? (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【099 年歷屆試題.】 解答 D 解析 3 2 0 3 2 0 x y x y            3  得 x  1,代回得 y  1  A 點坐標為(  1,1) 設過 A 點且與 L3平行的直線為 L:x y k  0 A( 1,1)代入 L: 1  1  k  0  k  2 則 L:x y  2  0,圖形如下,不通過第四象限 ( )12.設 f (x)為一元二次多項式,若 f (1)  4,f (  1)  4,f (0)  0,則下列何者為 f (x)之因式? (A)x (B)x  1 (C)x  1 (D)x2  1 【095 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ f (x)為一元二次多項式 又 f (1) f (  1)  4 故設 f (x) a(x 1)(x  1)  4 已知 f (0)  0  a(0  1)(0  1)  4  0  a  4 即 f (x) 4(x 1)(x  1)  4  4x2 ∴ x 為 f (x)之因式 ( )13.下列何者為 x3  6x2  11x  6 的因式? (A)x  1 (B)x  2 (C)x  4 (D)x  3 【091 年歷屆試題.】 解答 D 解析 令 f (x) x3 6x2 11x  6 ∵ f (1)  1  6  11  6  0 ∴ f (x)有因式(x  1) 1 6 11 6 1 1 5 6 1 5 6 , 0         f (x) (x 1)(x2 5x  6)  (x 1)(x 2)(x  3) ( )14.設a、b 、c均為實數,若

ab b



c c



a

 2, 則 2 6 3 3 2 2 a b b c c b ca ca ca 之值為何? (A) 12 (B) 6 (C) 6 (D)12 【105 年歷屆試題.】 解答 D 解析 原式

2 2 3 3 3 2 a b b c c b c a c a c a       (第一行提出 2 , 第二列提出3 , 第三列提出

ca

) ( 1)   ( 1)   2 3

1 1 1 a b b c a c c b      6

0 1 0 0 a b a b a c a c b c       (第三列降階展開) 6

1 0 b a b a c a b c        (第一列提出

ba

) 6

 

1 1 0 c a b a b c       6

ca b a



     

1

b c

0 1

6 c a  

ba

bc

6 c

a

 

a b

bc

 6 a

b b



c c



a

   6

 

2 12 ( )15.設 t 為實數,且三元一次聯立方程式

 

1 1 1 1 3 1 5 t x t z t y z t y tz                無解,則 t 可為下列何者? (A)2 (B) 0 (C)1 (D) 2 【106 年歷屆試題.】 解答 C

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解析 原方程組:

1 0 1 1 0 1 3 0 1 5 t x y t z x t y z x t y tz                   1 0 1 0 1 1 0 1 t t t t t       (第一、二行提出

t1

2 1 0 1 1 0 1 1 0 1 t t t     (第一行降階展開)

2 1 1 1 1 1 t t    

 

2

    

2 1 1 1 1 1 1 1 t t t t           若 0,則t 1或1 (1)當t 1時:原方程組: 2 1 3 5 z z z          無解 (2)當t1時:原方程組: 2 1 2 3 2 5 x y z y z           無解 由(1)和(2)可知: 當方程組無解時,t可為1或1 故選(C) ( )16.若、 為方程式x 3 1 x    的兩相異實根,則 2 2 ( 1)( 1)     (A)  1 (B) 1 3 (C)1 (D) 5 3 【100 年歷屆試題.】 解答 B 解析 x 3 1 x    左右同乘 x x2 3  x x2 x  3  0  1 1 1       , 3 3 1     2 2 4 2 2 4 1 1 4 ( 1)( 1) 1 2( ) 1 2   1                          4 2 1 1 1 3 3 3         ( )17.設



5 124 3



12 53 4

i i z i i      ,i 1,則 z 之值為何? (A)1 (B) 2 (C) 2 (D)13 【103 年歷屆試題.】 解答 A 解析



5 124 3



12 53 4

i i z i i      5 12 3 4 4 3 12 5 i i i i     

 

 

2 2 2 2 2 2 2 2 5 12 3 4 4 3 12 5           13 5 1 5 13     ( )18.已知a、 b 為實數,若

 

3 2 6 f xxaxbx ,

 

2 7 6 g xxx ,且f x 可被

 

g x 整除,求

 

2a3b之值為 (A)23 (B)36 (C)39 (D) 45 【105 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ f x

 

可被g x

 

整除 ∴ f x

 

除以g x

 

的算式如下:

1 1 1 7 6 1 6 1 7 6 7 6 6 1 7 6 0 a b a b                則

  

7 1 0 6 7 0 a b             a 8,b13 所求2a3b    2

 

8 3 1323 ( )19.設 0  x  2,試問函數 f(x)  sin2x  2cosx  2 之最大 值為何? (A)1 (B)2 (C)4 (D)5 【095 年歷屆試題.】 解答 C

解析 f(x)  sin2x 2cosx 2 1 cos2x 2cosx 2  (cos2x

2cosx  1)  4  (cosx  1)2 4 但 0  x  2  |cosx|  1 ∴ 當 cosx  1 時 f(x)有最大值  (  1  1)2 4  4 ( )20.今有人欲測一山的高度,當此人在此山的正東方一點 A,測得山頂 C 的仰角為 45,又當他在山的南 60西 方向一點 B ,測得山頂 C 的仰角為 60,如圖所示。 若 A、B 兩點相距 500 公尺,則此山高 h 為多少公尺? (A)500 3 3 (B) 500 21 7 (C) 500 21 3 (D) 500 3 【104 年歷屆試題.】 解答 B 解析 設山的底部為O點,山高h 3x(公尺) 在 OAC之中,OA 3xOBC之中,OBx

(5)

A點在山的正東方且B點在山的南60西 ∴ AOB150 在 OAB之中,由餘弦定理可知: 2 2 2 500 x ( 3 )x   2 x 3x cos150 x23x22 3x2 3 ( ) 2  2 2 2 2 3 3 7 xxxx  2 5002 7  x  500 500 7 7 7   x 故山高h 3x 3 500 7 7   500 21 7  (公尺) ( )21.已知 0   、    。下列各選項中,何者恆為正確? (A)若 cos   cos  ,則    (B)若 cos(    )  0,則    (C)若 sin   sin  ,則    (D) 若 sin(    )  0,則   

【100 年歷屆試題.】 解答 A

解析 (A)當 0  x  時,y cosx 的圖形如下

為 1 對 1 函數,即 cos  cos    (B)反例:cos(5 2 ) cos1 0 6 6  2  ,但 5 2 6 6 (C)反例:sin sin2 3 3  ,但 2 3 3  (D)反例:sin(  0)  sin  0,但  0 ( )22.試問下列哪一個三角函數值與 sec250°相等? (A)  csc70° (B)  sec110° (C)  sec340° (D)  csc160° 【101 年歷屆試題.】 解答 D

解析 sec250°  sec(180°  70°)  sec70° (A)  csc70°  csc(90°  20°)  sec20°

(B)  sec110°  sec(180°  70°)  (  sec70°)  sec70° (C)  sec340°  sec(360°  20°)  sec20°

(D)  csc160°  csc(180°  20°)  csc20°  csc(90°  70°)  sec70°

( )23.設平面二向量 u

2cos ,sin 

v

sin ,2cos 

且其內積 uv 1,若 0 2     ,則 之值可能為 何? (A) 12  (B) 6  (C) 4  (D) 3  【103 年歷屆試題.】 解答 A 解析

uv

2cos ,sin 

 

 sin , 2cos 

2cos sin  sin 2cos

  

 2 2sin cos  2sin 2

uv 1 ∴ 2sin 2 1  sin 2 1 2  又0 2     2 02  而sin sin5 1 6 6 2    則2 6    或5 6  12   或 5 12 故選(A)

( )24.設 seccsc 1,求 sec csc 之值為 (A) 2 1 (B) 2 1 (C) 2 1 (D) 21 【105 年歷屆試題.】 解答 C 解析 seccsc 1  1 1 1 cos sin   sin cos 1 sin cos     

 sincossin cos   平方

 

2

2

sincos  sin cos 

2

1 2sin cos    sin cos  令tsin cos 

(∵ sin cos 1sin 2 2    ,且 1 sin 21 ∴ 1 sin cos 1 2   2    ,即 1 1 2 t 2    ) 式: 2 1 2t tt2   2t 1 0 

   

2

 

2 2 4 1 1 2 1 t          2 2 2 1 2 2     ∵ 1 1 2 t 2    ∴ t 1 2,即sin cos  1 2

(6)

所求 1 1 sec csc sin cos 1 2       

 

1 1 2 1 2 1 2       2 1    ( )25.已知三角形的三邊長分別為 3 公分、3 公分、4 公分, 則此三角形之外接圓半徑為何? (A)2 5 5 (B)3 5 5 (C) 7 5 10 (D) 9 5 10 【104 年歷屆試題.】 解答 D 解析 設外接圓的半徑為R, 1 (3 3 4) 5 2     s ABC的面積 5(5 3)(5 3)(5 4)   2 5 又 ABC的面積 3 3 4 9 4     R R 則 9 2 5 R  9 9 5 10 2 5   R

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