1204 第一二冊解答

1204 第一二冊 班級 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.△ABC 三內角A、B、C 之對應邊長分別為 a、b、 c，若a2 3，b  2，A  120，則 c  (A) 3 (B)2 (C)3 (D) 2 3 【091 年歷屆試題.】 解答 B 解析 題目中，a2 3，b  2，A  120 由此三條件只能先求B 利用正弦定理 sin sin a b A B   2 3 21 sin120 sin B    3  sinBsin120  3 1 2 1 sin 2 B   （ ）2.三個半徑為 2 的圓，兩兩外切且內切於 正三角形，如圖，則此正三角形之邊長為何？ (A)6 (B) 42 3 (C)8 (D) 4 4 3 【092 年歷屆試 題.】  B  30或 150（不合）  B  30 再推得C  30 ∵ B C  30  b  c  2（等腰） 另解：利用餘弦定理 2 2 4 (2 3) cos120 2 2 C C       2 1 8 2 4 C C    C2 _2C  ₈  ₀ C  4（不合）、2 解答 D 解析 如圖所示 ∵ △PQR 為正三角形  RPQ RQP  60  APC  30，BQD  30 已知圓半徑 r  2，則CDAB  2 r 4 cot 30 3 2 3 PCAC   r  cot 30 3 2 3 DQBD   r  2 3 4 2 3 4 4 3 PQ PC CD DQ          ∴ 此正三角形的邊長為44 3 （ ）3.設 a 、 b 、 c 為平面上之三個向量且 (cos 30 ,sin 30 ) a    ， b (cos150 ,sin150 )  ， (cos 270 ,sin 270 ) c    ，試求 a  b c  (A)(1,0) (B)(0,1) (C)(1,1) (D)(0,0) 【095 年歷屆試題.】 解答 D 解析 (cos30 ,sin 30 ) ( 3 1, ) 2 2 a     3 1 (cos150 ,sin150 ) ( , ) 2 2 b      (cos 270 ,sin 270 ) (0, 1) c      ∴ ( 3 3 0,1 1 1) (0,0) 2 2 2 2 a  b  c       （ ）4.有一測量員發現：當他從 A 點測量時，山是在他的東 邊偏北 60且山的仰角為 45；若由 A 點向東直行 200 公尺到 B 點測量時，則山在他的西邊偏北 60。試求 山高是多少公尺？（若由低處觀測點仰望高處的目標 物時，則目標物和觀測點的連線與水平線的夾角稱為 仰角） (A)100 (B)100 2 (C)100 3 (D)200 【095 年歷屆試題.】 解答 D 解析 設山高為PQ，如下圖所示

在△AQB 中，QAB QBA  60

 △AQB 為正三角形  AQAB200 在直角△PQA 中，PAQ  45 200 PQ AQ    （等腰直角三角形） ∴ 山高 200 PQ 公尺 （ ）5.在坐標平面上，滿足不等式|x|  y  8 的區域面積為何？ (A)16 (B)32 (C)64 (D)128

【094 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ |x|  y  8 0 | | 0 8 8 8 x y x y y x y x y y y y            _  _  _       _{ }  不等式所成區域如圖所示 （為△OAB）： ∴ 所成區域面積（即△OAB 面積） 1 16 8 64 2     （ ）6.下列何者為多項式？ (A)1 4 x (B) 2x8 (C) 13 5x4 (D) 6 x2 【094 年歷屆試題.】 解答 B 解析 1 4 x 及 13 5x4的 x 在分母中出現，故不為 x 的多項式 又6 x2的 x 出現在根號內，故不為 x 的多項式 ∴ 只有 2x8為 x 的多項式 （ ）7.在坐標平面上，滿足 x  y   2，x  2y   2，x  2 不 等式組的區域面積為何？ (A)12 (B)20 (C)24 (D)28 【093 年歷屆試題.】 解答 A 解析 2 2 2 2 x y x y x             所成區域為△ABC（如下圖所示） 所求面積（即△ABC 面積） 1 2AB  （AB邊上的高） 1 6 4 12 2     （ ）8.平面上兩點 A(5,  1)、B(3,4)。若 C 點在 y 軸上，且滿 足 ACBC，則 C 點坐標為何？ (A)(0, 1) 10  (B)(0, 1) 15  (C)(0, 1) 15 (D) 1 (0, ) 10 【098 年歷屆試題.】 解答 A 解析 C 點在 y 軸上，設 C(0,t) ∵ ACBC ∴ 2 2 2 2 (5 0)   ( 1 t)  (3 0) (4t)  (5  0)2 (  1  t)2 (3  0)2 (4  t)2  1 10 t  故 (0, 1) 10 C  （ ）9.設 ABCD 為一矩形，且BC3AB。令 P 點與 Q 點為 BC 上之點，且 BPPQQC，如圖。若DBC  ，且 DPC  ，則 tan(  )之值為何？ (A) 1 3 (B) 2 3 (C)1 (D) 2 3 【098 年歷屆試題.】 解答 C 解析 由於BC3AB，且BPPQQC 設ABx，其中 x  0 則BPPQQCCDx 在△DBC 中，tan 1 3 3 x x    在△DPC 中，tan 1 2 2 x x    故 1 1 tan tan _{3 2} tan( ) 1 1 1 1 tan tan ₁ 3 2              _{ } （ ）10.下列敘述何者錯誤？ (A)直線 L:x  2y  4 的斜率為 1 2  (B)方程式 x  4 的圖形是一條通過點(4,5)，且平 行 y 軸的直線 (C)通過點 A(1,2)、B(  2,3)的直線方 程式為 3x  y  1  0 (D)當點 A(  1,1)、B(2,x)、C(3,11) 為共線的三點時，則 17 2 x 【098 年歷屆試題.】

解答 C 解析 (A)L:x  2y  4 的斜率為 1 2  (B)x  4 的圖形如下， 通過點(4,5)，且平行 y 軸的直線 (C)通過點 A(1,2)、B(  2,3)的直線： 3 2 2 ( 1) 3 7 0 2 1 y   x  x y    (D) 1 1 2 ( 1) 3       AB x x m ， 11 1 5 3 ( 1) 2      AC m ∵ A、B、C 三點共線 ∴ m_AB m_AC 即 1 5 17 3 2 2 x x     （ ）11.設三直線 L1：x  3y  2  0，L2：3x  y  2  0，L3： x  y  2  0，且 L1與 L2相交於 A 點，則過 A 點且與 L3平行的直線，不通過哪一個象限？ (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【099 年歷屆試題.】 解答 D 解析 3 2 0 3 2 0 x y x y            3  得 x  1，代回得 y  1  A 點坐標為(  1,1) 設過 A 點且與 L3平行的直線為 L：x  y  k  0 A(  1,1)代入 L： 1  1  k  0  k  2 則 L：x  y  2  0，圖形如下，不通過第四象限 （ ）12.設 f (x)為一元二次多項式，若 f (1)  4，f (  1)  4，f (0)  0，則下列何者為 f (x)之因式？ (A)x (B)x  1 (C)x  1 (D)x2  1 【095 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ f (x)為一元二次多項式 又 f (1)  f (  1)  4 故設 f (x)  a(x  1)(x  1)  4 已知 f (0)  0  a(0  1)(0  1)  4  0  a  4 即 f (x)  4(x  1)(x  1)  4  4x2 ∴ x 為 f (x)之因式 （ ）13.下列何者為 x3  6x2  11x  6 的因式？ (A)x  1 (B)x  2 (C)x  4 (D)x  3 【091 年歷屆試題.】 解答 D 解析 令 f (x)  x3 6x2 11x  6 ∵ f (1)  1  6  11  6  0 ∴ f (x)有因式(x  1) 1 6 11 6 1 1 5 6 1 5 6 , 0         f (x)  (x  1)(x2 5x  6)  (x  1)(x  2)(x  3) （ ）14.設a、b 、c均為實數，若



ab b



c c



a



 2， 則 2 6 3 3 2 2 a b b c c b c a ca ca 之值為何？ (A) 12 (B) 6 (C) 6 (D)12 【105 年歷屆試題.】 解答 D 解析 原式





2 2 3 3 3 2 a b b c c b c a c a c a       （第一行提出 2 ， 第二列提出3 ， 第三列提出



ca



） ( 1)   ( 1)   2 3





1 1 1 a b b c a c c b      6





0 1 0 0 a b a b a c a c b c       （第三列降階展開） 6





1 0 b a b a c a b c        （第一列提出



ba



） 6



 



1 1 0 c a b a b c       6



ca b a



     



_1



b c



0 1_





6 c a  



ba





bc



6 c



a



_ 



a b



_



bc



 6 a



b b



c c



a



   6

 

2 12 （ ）15.設 t 為實數，且三元一次聯立方程式



 











1 1 1 1 3 1 5 t x t z t y z t y tz                無解，則 t 可為下列何者？ (A)2 (B) 0 (C)1 (D) 2 【106 年歷屆試題.】 解答 C

解析 原方程組：

















1 0 1 1 0 1 3 0 1 5 t x y t z x t y z x t y tz                   1 0 1 0 1 1 0 1 t t t t t       （第一、二行提出



t1



）





2 1 0 1 1 0 1 1 0 1 t t t     （第一行降階展開）





2 1 1 1 1 1 t t    

 

2



    

2 1 1 1 1 1 1 1 t t t t           若 0，則t 1或1 (1)當t 1時：原方程組： 2 1 3 5 z z z          無解 (2)當t1時：原方程組： 2 1 2 3 2 5 x y z y z    _{ }   _{ }  無解 由(1)和(2)可知： 當方程組無解時，t可為1或1 故選(C) （ ）16.若、 為方程式x 3 1 x    的兩相異實根，則 2 2 ( 1)( 1)     (A)  1 (B) 1 3 (C)1 (D) 5 3 【100 年歷屆試題.】 解答 B 解析 x 3 1 x    左右同乘 x  x2 3  x  x2 x  3  0  1 1 1       ， 3 3 1     2 2 4 2 2 4 1 1 4 ( 1)( 1) 1 2( ) 1 2   1                          4 2 1 1 1 3 3 3         （ ）17.設









5 124 3



12 53 4



i i z i i      ，i 1，則 z 之值為何？ (A)1 (B) 2 (C) 2 (D)13 【103 年歷屆試題.】 解答 A 解析









5 124 3



12 53 4



i i z i i      5 12 3 4 4 3 12 5 i i i i     





 

 

2 2 2 2 2 2 2 2 5 12 3 4 4 3 12 5           13 5 1 5 13     （ ）18.已知a、 b 為實數，若

 

3 2 6 f x x ax bx ，

 

2 7 6 g x x  x ，且f x 可被

 

g x 整除，求

 

2a3b之值為 (A)23 (B)36 (C)39 (D) 45 【105 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ f x

 

可被g x

 

整除 ∴ f x

 

除以g x

 

的算式如下：

_

_

_

_

1 1 1 7 6 1 6 1 7 6 7 6 6 1 7 6 0 a b a b                則



  





7 1 0 6 7 0 a b             a 8，b13 所求2a3b    2

 

8 3 1323 （ ）19.設 0  x  2，試問函數 f(x)  sin2x  2cosx  2 之最大 值為何？ (A)1 (B)2 (C)4 (D)5 【095 年歷屆試題.】 解答 C

解析 f(x)  sin2_x  _2cosx  ₂  ₁  _cos2_x  _2cosx  ₂  _(cos2_x 

2cosx  1)  4  (cosx  1)2 4 但 0  x  2  |cosx|  1 ∴ 當 cosx  1 時 f(x)有最大值  (  1  1)2 4  4 （ ）20.今有人欲測一山的高度，當此人在此山的正東方一點 A，測得山頂 C 的仰角為 45，又當他在山的南 60西 方向一點 B ，測得山頂 C 的仰角為 60，如圖所示。 若 A、B 兩點相距 500 公尺，則此山高 h 為多少公尺？ (A)500 3 3 (B) 500 21 7 (C) 500 21 3 (D) 500 3 【104 年歷屆試題.】 解答 B 解析 設山的底部為O點，山高h 3x（公尺） 在 OAC之中，OA 3x 在 OBC之中，OBx

∵ A點在山的正東方且B點在山的南60西 ∴ AOB150 在 OAB之中，由餘弦定理可知： 2 2 2 500 x ( 3 )x   2 x 3x cos150 _x2_3x2_{2 3x}2 3 ( ) 2  2 2 2 2 3 3 7 x  x  x  x  2 5002 7  x  500 500 7 7 7   x 故山高h 3x 3 500 7 7   500 21 7  （公尺） （ ）21.已知 0   、    。下列各選項中，何者恆為正確？ (A)若 cos   cos  ，則    (B)若 cos(    )  0，則    (C)若 sin   sin  ，則    (D) 若 sin(    )  0，則   

【100 年歷屆試題.】 解答 A

解析 (A)當 0  x  時，y  cosx 的圖形如下

為 1 對 1 函數，即 cos  cos    (B)反例：cos(5 2 ) cos1 0 6 6  2  ，但 5 2 6 6 (C)反例：sin sin2 3 3  _{ } ，但 2 3 3  _{ } (D)反例：sin(  0)  sin  0，但  0 （ ）22.試問下列哪一個三角函數值與 sec250°相等？ (A)  csc70° (B)  sec110° (C)  sec340° (D)  csc160° 【101 年歷屆試題.】 解答 D

解析 sec250°  sec(180°  70°)  sec70° (A)  csc70°  csc(90°  20°)  sec20°

(B)  sec110°  sec(180°  70°)  (  sec70°)  sec70° (C)  sec340°  sec(360°  20°)  sec20°

(D)  csc160°  csc(180°  20°)  csc20°  csc(90°  70°)  sec70°

（ ）23.設平面二向量 u 



2cos ,sin 



， v 



sin ,2cos 



且其內積 u v 1，若 0 2     ，則 之值可能為 何？ (A) 12  (B) 6  (C) 4  (D) 3  【103 年歷屆試題.】 解答 A 解析

u v 



2cos ,sin 

 

 sin , 2cos 



2cos sin  sin 2cos

  

 2 2sin cos  2sin 2

∵ u v 1 ∴ 2sin 2 1  sin 2 1 2  又0 2     2 02  而sin sin5 1 6 6 2  _   則2 6    或5 6  12   或 5 12 故選(A)

（ ）24.設 seccsc 1，求 sec csc 之值為 (A) 2 1 (B) 2 1 (C) 2 1 (D) 21 【105 年歷屆試題.】 解答 C 解析 seccsc 1  1 1 1 cos sin   sin cos 1 sin cos      _

 sincossin cos   平方



 

2



2

sincos  sin cos 







2

1 2sin cos    sin cos  令tsin cos 

（∵ sin cos 1sin 2 2    ，且 1 sin 21 ∴ 1 sin cos 1 2   2    ，即 1 1 2 t 2    ） 式： 2 1 2t t  t2   2t 1 0 

   

2

 

2 2 4 1 1 2 1 t          2 2 2 1 2 2     ∵ 1 1 2 t 2    ∴ t 1 2，即sin cos  1 2

所求 1 1 sec csc sin cos 1 2       







 



1 1 2 1 2 1 2       2 1    （ ）25.已知三角形的三邊長分別為 3 公分、3 公分、4 公分， 則此三角形之外接圓半徑為何？ (A)2 5 5 (B)3 5 5 (C) 7 5 10 (D) 9 5 10 【104 年歷屆試題.】 解答 D 解析 設外接圓的半徑為R， 1 (3 3 4) 5 2     s ABC的面積 5(5 3)(5 3)(5 4)   2 5 又 ABC的面積 3 3 4 9 4     R R 則 9 2 5 R  9 9 5 10 2 5   R