『方形』非『平行四邊形』？！－如何促進學生四邊形包含概念的理解

2

『方形』非『平行四邊形』？！

－如何促進學生四邊形包含概念的理解

李玉文1 姚如芬2 1 國立虎尾高中、2 國立嘉義大學數教所

摘要

在一個偶然的機會中，研究者遇到了兩位對於平行四邊形的包含概念有困擾 的學生，因此研究者安排適合他們倆人的教學活動『運用吸管拼湊出平行四邊 形』，在活動中除了讓這兩位學生看到平行四邊形的具體表徵外，並且利用這個 平行四邊形，使他們看到平行四邊形內角角度改變的歷程。教學活動完成後，學 生不單對於平行四邊形基本概念更加的清楚，而且對於平行四邊形包含概念的迷 思也消失了。這個教學活動在課室中相當容易實施，教學成效也相當顯著，因此 希望能提供給其他教師參考。 關鍵字：平行四邊形、包含概念

一、 前言

在日常生活中，四邊形隨處可見，而且在我們的課程中也把四邊形做了一連 貫的介紹，以國小四年級而言，在教育部頒布的九年一貫數學學習領域課程綱要 （第五版草案）中，針對四年級的幾何能力指標特別明確的指出：（4-s-02）學 生能透過操作，認識基本三角形與四邊形的性質，例如：平行四邊形的基本性質。 （4-s-06）理解平面上直角、垂直與平行的意義。（4-s-07）能夠運用直角、垂 直與平行的概念，認識簡單平面圖形，可以辨認三角形、梯形及平行四邊形等圖 形。

雖然透過現行的四邊形課程設計中，能使學生看見許多具體四邊形圖形，但 是根據相關研究（吳貞祥，1980；沈佩芳，2002；林軍治，1992；張英傑，2001； 謝貞秀，2002；Burger＆haughnessy,1986；Clement＆Battista,1992；Elizabeth,1995； Wilson,1990）指出學童在學習四邊形時，常常有許多的迷思概念，尤其是對於 平行四邊形的包含概念，更是感到相當困擾。研究中指出，學生無法清楚了解各 種四邊形之間的包含關係的主要原因有幾項：一、學生不了解四邊形的基本性 質。二、學生知道各種四邊形的基本性質，但是在判別平行四邊形時，常常無法 以性質去判別四邊形；三、受到了視覺的影響，無法去把四邊形做分類，更何況 是更進一步做相關性的連結。常見的例子有： Monghan（2000）的研究發現學 生會認為長方形不是平行四邊形，因為一般平行四邊形的原形擺設都是這樣 呈現，所以學生無法把長方形及正方形視為平行四邊形，認為長方形 及正方形是一個特殊四邊形，因此容易混淆四邊形的包含概念。但是四邊形相關 概念在數學課程中佔了很大的一部份，其中的包含概念，除了在幾何以外，學生 在高中學習集合概念時，亦有相關的概念結構，因此加深學生對平行四邊形的包 含性質關係的理解，將會對學生的數學思考更加有利。 數學的學習是一連串探索及連貫的過程，讓學生在經過設計的教學情境中去 觀察、發現問題、做出假設，並進而找出解答，將可以訓練學生的邏輯思考能力。 另外如果讓學生從活動當中去驗證自己的想法，建立由自己理解且獲得的知識， 這樣的知識將會使學生記憶深刻，並進而提昇學生問題解決的能力。美國教育學 家杜威博士倡導學習應該以學生為主題，讓學生在做中學，由做中思考，在實際 活動及生活歷程中，使學生知與行，如此一來，學生獲得知識將是一種行動而非 冥想。因此學生的數學學習不應只是單純由教師傳輸知識的模仿活動，應該是以 學生自主產生的探究活動為主軸。然而數學學習更應是個連貫、不間斷的過程， 必須要奠定紮實的基礎，才可以往下一個概念邁進。如果學生在學習一個新概念 的時候，有某一個部分概念無法理解，將來學生在學習更深一層的概念時，必定

會有一個很大的鴻溝，很難跨越過去，更無法在不同概念間做相關性的連結。然 而在學習的過程中，如果所獲得的知識能夠與舊知識做恰當的連結，那麼這個知 識將不再只是一些片段的記憶，而是一個完整的概念。因此讓學生動手操作、自 我探索，遇到學生有疑惑出現時，老師從旁提示、指導，幫學生搭一個鷹架，可 以讓學生馬上獲得回饋，老師也能立即發現學生的迷思，矯正學生的錯誤，使學 生能有效的學習，獲得知識。因為如何使學生有效的學習，有系統組織的知識， 這是所有教師最大的期望，也是最終的目標。 在一個偶然的機會中，研究者接觸到兩個小五的學生：小盈及大偉（化名）。 小盈就讀雲林縣的國小，學業成績優異；大偉就讀於南投縣的國小，學業成績中 等，因為這兩個學生都已經在四年級時學過四邊形的相關概念，研究者認為這兩 個學生對於平行四邊形的相關概念應該不會有太大的問題，但是實際的情形，總 是跟想像有一大段的差距，雖然這兩個學生數學理解能力不同，但這兩個學生對 於平行四邊形的包含關係都有迷思，無法清楚了解四邊形彼此間的關係。有鑑於 此，研究者期望能夠以一個簡單的教學活動，透過讓學生自己動手做的過程中， 幫助學生補救平行四邊形的包含概念，使學生除了了解平行四邊形基本性質外， 也能夠由具體物的操作中，加深平行四邊形概念。

二、教學活動設計

本研究期望由學生自己動手做的過程中，使其看到四邊形的具體表徵，促使 學生知道平行四邊形的基本性質（對邊相等），並且透過具體平行四邊形的角度 變化過程中，去發現具有同樣邊長的兩個平行四邊形，會因為內角角度的改變， 而變成不同的平行四邊形，藉由讓學生看到平行四邊形內角改變的歷程中去補救 學生四邊形包含概念的迷思。雖然四邊形在生活中隨處可見，但是多數學生常常 遺忘必須要具備有兩雙相等的對邊，才可以構成平行四邊形。因此學生無法理解 長方形及正方形都是平行四邊形。如果加強學生平行四邊形的包含概念，將可以

讓學生真正理解四邊形間的包含概念，不再混淆。整個教學活動主要的目標是使 學生了解平行四邊形的基本性質為主，進而讓學生看到平行四邊形內角的變化， 而發現包含關係。活動流程總共分為兩部分進行，第一部份以加強學生平行四邊 形的基本概念為主，第二部份以加強學生平行四邊形的包含概念為要，進行步驟 如下： （一）1. 給予學生 6 根吸管（2 枝 6 公分、4 枝 4 公分），讓學生在這六根吸管中 任意拿出 4 根吸管，排出四邊形。 2. 學生把排出的四邊形畫下來，並從這些四邊形中，找出平行四邊形。 3. 學生檢視平行四邊形的構成要素，並且能知道如何去判別平行四邊形。 4. 透過操作，讓學生試著利用這些線段，問可建構出哪些不同的平行四邊 形。 （二）教師找出其中一個平行四邊形，並且調整平行四邊形的角度，讓學生看出平 行四邊形內角的變化。 在整個教學活動中，研究者依據教學現場實況，對學生進行提示以及提問， 並且逐步去加強學生的概念，讓學生去歸納出平行四邊形的性質，以及包含的概 念。研究者期望能夠藉由這個教學活動，讓學生在動手操作以及教師提示的教學 情境下，去加深學生本身的平行四邊形概念，並且明白了解平行四邊形相互包含 關係。

三、教學實踐結果

本研究主要目的是以加強學生平行四邊形的基本概念為主，使學生在動手操作的學 習情境中，發現自己的問題，同時老師再依現場活動情況從旁提示，除了可以增強學生 對於平行四邊形的基本性質概念外，並藉由平行四邊形內角轉變的過程，促使學生去發 現長方形、正方形是平行四邊形的一個特例，進而使學生可以去體會出平行四邊形的包 含性質。整個教學發現分述如下：

（一） 教學活動進行前，學生習慣以視覺去判別平行四邊形，較少由性質去判 別。 學生習慣由視覺的角度為圖形做分類或者判別，認為近似平行四邊形的圖 案，就是平行四邊形，不會依據平行四邊形性質去判別圖形；或者知道平行四邊 形的基本性質，卻對於正方形或長方形這種特殊圖形也會是平行四邊形的概念， 仍無法理解，本研究個案小盈就是屬於這一類的情形。 如下圖（一）為小盈教學前的答題表現，由答題表現中，研究者發現小盈對 於平行四邊形包含的概念不是很清楚，縱使知道平行四邊形的基本性質，但是， 卻無法將平行四邊形的性質當成判別的依據。 （圖一）小盈前測 因此研究者藉由教學前的已知結果，對小盈進行訪談，希望由訪談中，找出 小盈對於平行四邊形的真正迷思所在。下列為研究者對小盈訪談的部分原案： （941224 小盈訪談原案） 研究者：什麼樣的四邊形是平行四邊形？ 小盈：只要對邊相等、對角相等就是啦。我們老師有說過。 研究者：【指著 E】這個圖形呢？ 小盈：他是正方形啊(很肯定的說) 研究者：這是不是平行四邊形啊。 小盈：當然不是啊。他就是正方形啊，還能是什麼圖形嗎？(不容質疑的口氣) 由上述訪談中發現：對小盈而言，她確實知道平行四邊形的基本性質，並且

可以在圖（一）小盈的回答中，發現她可以看出長方形這個圖形（B）兩組對邊 相等，因此由平行四邊形的性質判別出長方形亦是平行四邊形。雖然小盈了解平 行四邊形的基本性質，但卻又認為正方形是特殊圖形，根本完全無法判別出正方 形也是平行四邊形，由此可知小盈只是去強記老師所敘述的平行四邊形的性質， 但卻無法把這個性質當成所有平行四邊形的判別依據。 另外，由另一個案大偉的教學前的表現（見圖二），研究者則是發現大偉對 於平行四邊形的概念完全缺乏，只是習慣由視覺去判別，根本無法真正了解平行 四邊形的基本性質，可見平行四邊形對他而言只是一個生活中的圖形而已，完全 不具任何意義。 （圖二）大偉前測 研究者對大偉進行訪談以確認大偉的迷思概念以及大偉對於平行四邊形基 本概念認知的多寡，並且希望能夠針對大偉真正的迷思概念做補救教學。下列為 研究者對大偉訪談的部分原案： （941228 大偉訪談原案） 研究者：為什麼 B 和 E 不是平行四邊形？ 大偉：因為 B 是長方形、E 是正方形啊，長方形、正方形跟平行四邊形是不一樣 的圖形啊。 由上述訪談中不難發現大偉對於平行四邊形的概念十分不足，他只是覺得 平行四邊形是一個平面上的圖形，所以對平行四邊形的判別，只是由直覺及視覺 去判斷，完全不知所以然。因此他認為長方形、正方形是特殊的四邊形，不是平

行四邊形，根本無法正確去判別哪一種圖形是平行四邊形，更無法發現包含的概 念。 （二） 透過以吸管拼湊平行四邊形的活動，學生可以輕易理解平行四邊形的對邊 長相等的關係，對平行四邊形的基本性質概念的了解也更加的深刻 教學活動進行時，研究者從旁觀察小盈以及大偉的活動表現，並在適時給予 提問及提示，讓他們兩個人在活動中可以思考，並且建構本身對於平行四邊形的 正確概念。由小盈在教學前的表現，我們發現小盈對於平行四邊形的概念不夠完 整，尤其是包含概念。因此小盈的補救教學還是由教學活動的「以吸管拼湊平行 四邊形」的活動開始進行，目的是希望使小盈複習平行四邊形的基本概念，並且 對於這個概念，能夠有強化的效果。以下為小盈跟研究者在活動進行中對談的部 分原案： （小盈原案 941225） 小盈：我如果拿的是 4446 就沒辦法拼出一個平行四邊形，所以我一定要拿一對 一對的吸管。我想我可以拿 4444 和 4466（4 根 4 公分的吸管，2 根 4 公分 的吸管及 2 根 6 公分的吸管）。 研究者：那如何去拼湊？ 小盈：4444 比較好拼，圖形如果 4466 就比較不好拼。 研究者：為什麼？ （小盈思考了 2 分鐘後，並且利用吸管排出四邊形，接著解釋她的想法） 小盈：如果是 4444 就只有一種拼法啊，4466 就有兩種 4466 以及 4646 排法（四 邊形的邊長順序），但是 4466 這樣沒有辦法拼成平行四邊形。 在拼湊四邊形的過程中，不難發現小盈在教學前，已經了解平行四邊形的對 邊相等的關係，但是卻無法把這個性質當成平行四邊形的判別依據，但是在排吸 管的活動中，她會思考如何才可以拼成平行四邊形的圖形，進而強化他本身對平 行四邊形的了解。由此可知，小盈藉由具體物的操作再加上研究者的提問以及自 我思考歷程中，強化了平行四邊形的基本概念，使得小盈對於平行四邊形的基本

性質能夠更加的熟悉，並且可以澄清平行四邊形的迷思概念。因此對於一般不是 很了解平行四邊形性質的學生而言，運用吸管拼湊圖形，可以加深本身平行四邊 形的基本概念。 至於另一個案大偉，研究者在教學前發現大偉對於平行四邊形的概念並不是 很清楚，大偉只是知道這是一個平面上的一種四邊形。然而經過了教學後，我們 可以發現他初步具備了平行四邊形的基本概念。在研究者與大偉在活動進行中的 對談中，我們可以發現在活動之初，大偉無法知道四個邊長相等的四邊形亦是平 行四邊形（大偉：我覺得好難歐，我排了好久，只有找了一個平行四邊形(4646)。 沒有其他的了，你準備太少的吸管啦。）因而研究者只好多準備兩根 3 公分的吸 管，讓大偉可以多排一些平行四邊形並且能找出平行四邊形的性質，大偉拿到吸 管之後，共排出了三組平行四邊形（4646、3636、3434），接著研究者利用大偉 排出的平行四邊形，與他有了這樣的互動： 研究者：這些平行四邊形有什麼特質？ 大偉：我想一下(2 分鐘後)，有兩組一樣長的邊，相對的邊要一樣長。 研究者：很好，那你幫我解決一個問題，4444 可不可以排成平行四邊形？ 大偉：恩，可以分兩組邊，相對的邊一樣長，這樣可以排得出來。 從大偉的活動表現以及跟研究者的對談中，發現儘管大偉一開始對平行四邊 形的性質不了解，無法知道平行四邊形對邊相等的性質，因此對於四邊等長的四 邊形亦是平行四邊形的概念無法清楚了解，但是讓大偉拼湊的過程中，透過具體 操作的歷程，可以幫助研究者察覺大偉的迷思概念，並且給予恰當的協助，大偉 對於平行四邊形的概念，也正逐步的建構中，由（圖三）大偉後測中，我們可以 看出，此時他已經了解平行四邊形對邊長相等的關係，並且知道這是平行四邊形 必備的基本性質，這也是一大進步啊。 平行四邊形有什麼特色？ 請說說看如何知道一個圖形是不是平行四邊形？ 你是怎麼判斷？

（圖三）原案大偉後測 941231 （三） 學生在實際的操作過程中，由於看見平行四邊形內角角度的改變，使其更 加清楚地了解正方形以及長方形亦是平行四邊形的包含概念 學生在學習四邊形的概念中，對於包含的概念時常會有迷思概念，往往無法 清楚辨別平行四邊形的包含關係，尤其以長方形及正方形這兩個圖形。學生會認 為長方形及正方形是特殊四邊形，根本不是平行四邊形，最主要的原因是他們對 平行四邊形的基本性質概念不夠清楚。然而在這整個補救教學活動歷程中，研究 者運用使學生具體操作，讓學生先理解平行四邊形的性質，再利用吸管拼湊而成 的平行四邊形，可以輕易的改變角度的性質，使學生在把平行四邊形的邊長性質 確定後，由角度改變的過程中，他們就發現到正方形以及長方形都是平行四邊 形，進而加強他們平行四邊形的包含概念。以小盈及大偉這兩個學生而言，他們 對於包含的概念都不足，但是經由補救教學活動之後，他們可以清楚的理解到如 何去判別平行四邊形。下列為研究者與小盈在活動進行中對談的部分原案： （小盈原案 941225） 研究者：4444 真的只能拼出一種平行四邊形嗎？如果我把你的平行四邊形壓扁 呢？(研究者把平行四邊形的內角改變) 小盈：那有很多種不同的平行四邊形ㄟ，只要角度不一樣(小盈一直在調整平行 四邊形的內角)。我如果把角度變成 90 度？應該也會是平行四邊形吧。 （思考中） 研究者：那 4 個邊都相等，4 個角都是 90 度。是什麼圖形啊？ 小盈：啊！我知道了，正方形也是平行四邊形。 由上述對談中發現，研究者在活動中運用改變平行四邊形角度的策略，讓小 盈看到角度的改變。由於小盈已經知道平行四邊形的基本性質，可以了解角度改 變以後的平行四邊形依然是平行四邊形，因此知道了正方形亦是平行四邊形。在

這整個活動完成後，研究者發現在教學活動前，原本對於平行四邊形的包含概念 不了解的小盈，經過教學活動中看到角度的改變，使得他完全了解了平行四邊形 的包含概念。 至於另一個案大偉，他在教學前，對於平行四邊形性質完全不懂，更何況是 包含概念更是不了解，可是在教學活動中，大偉明瞭了平行四邊形的基本性質， 而在接續的教學活動中，研究者藉由大偉自己提出的疑問中，適時引導大偉去發 現內角角度改變之後的平行四形依然還是平行四邊形，讓大偉看到具有同樣邊長 的平行四邊形，會因為角度的改變，而呈現出許多不同的平行四邊形，當然在角 度的變化過程中，也讓大偉發現正方形以及長方形都是平行四邊形，大偉也因此 了解到平行四邊形的包含概念。下列為研究者與大偉在活動進行中對談的部分原 案： （大偉原案 941228） 大偉：我覺得好難歐，我排了好久，只有找了一個平行四邊形(4646)。沒有其他 的了，你準備太少的吸管啦。 研究者：(拿著他排的平行四邊形調整角度)這樣是平行四邊形嗎？ 大偉：恩，是啊！那我把角度變一下，就有好多平行四邊形。所以我的邊長不要 改變，角度變，就可以啦。那還是一樣是平行四邊形。 大偉就開始玩了起來，但還是無法發現長方形也是平行四邊形。所以研究者幫他 把平行四邊形的角度調成了 90 度。 大偉：變成了長方形ㄟ，那邊長不變，他還是一樣是平行四邊形。我剛才寫的答 案好像錯了。 研究者：很好，那你幫我解決一個問題，4444 可不可以排成平行四邊形？ 大偉：恩，相對的邊一樣長，這樣可以排的出來。如果角度是 90 度的也可以。 剛剛有說過那這樣就變成的正方形。 研究者：那正方形是不是平行四邊形啊？ 大偉：對啊，我了解啦。

研究者：那你可以跟我說什麼是平行四邊形？ 大偉：相對的邊一樣長就是平行四邊形啊。 由（上述）發現，活動中大偉看到了平行四邊形內角的改變，使得他發現了 平行四邊形的包含關係。而大偉從一開始對平行四邊形的概念模糊不清，到由拼 湊平行四邊形的教學活動與研究者的對答過程中，以及看到平行四邊形的內角角 度改變，逐漸地加深平行四邊形的相關概念。我們可以由（圖四、五）發現大偉 對於平行四邊形的概念以及包含概念，已更加的清楚，而且迷思概念也消失了， 這樣的教學活動對這位學生而言是成功有效的。 長方形 是不是平行四邊形？為什 麼？ 正方形 是不是平行四邊形？為什麼？ （圖四）大偉後測原案 941231 這個活動我學到了： （圖五）大偉後測原案 941231

四、結語

對許多的學生而言，平行四邊形的包含關係令他們感到困擾、恐懼以及排 斥，而研究者所找的這兩個個案，正是有這樣的問題，因此研究者為這兩位學生 安排適合他們的教學活動，利用這個活動幫這兩位學生進行補救教學，由活動中 加深學生的數學概念，並且希望加強學生的上課興趣。在這整個教學活動中，針 對這兩位學生個別的需求，採取一對一教學。在這樣教學情境下，研究者可以真

正的看到每一位學生的迷思，並且適時的給予協助。小盈這個學生在教學活動 前，原本已經具備平行四邊形的基本概念，但是對於平行四邊形的包含概念卻無 法完全理解，但在教學活動中小盈看到了平行四邊形內角角度改變的歷程，讓小 盈對於平行四邊形的包含概念迷思消失了，而另一個個案大偉在教學前對於平行 四邊形的概念完全模糊不清，但研究者利用機會提出問題，讓大偉思考並且發現 正確的答案，逐步的去加強大偉的平行四邊形基本概念，另外大偉也因為看到了 平行四邊形內角角度改變的歷程，而發現到長方形及正方形都是平行四邊形，對 於平行四邊形的包含概念亦更加的清楚，因為這樣的一個教學活動，讓大偉對於 平行四邊形的基本概念更加清楚了解，而平形四邊形的包含概念迷思也消失了。 戲法人人會變，巧妙各有不同，一個小小的活動，也會有大大的功效產生。 運用固定的線段去拼湊出多種四邊形的教學活動，在課室中很容易去施展，不需 要太多的器材，就可以使學生獲得強大的學習效果。運用具體平行四邊形角度的 改變，讓學生實際去體會幾何概念，比起老師在黑板上說的口沫橫飛，更加的可 以加深學生的概念，使學生容易理解平行四邊形的性質。雖然平行四邊形包含概 念對於多數的學生而言，比較難以理解，因為他們一直覺得正方形及長方形是特 殊的四邊形，無法真正去理解彼此的關係。但是運用學生動手操作與教師的提 示，可以在學生已知平行四邊形的情況下，讓學生看到角度改變，更容易加深學 生對平行四邊形的了解，並且可以讓學生發現以前未曾注意到的平行四邊形的包 含性質，讓學生由具體實物去了解數學的抽象概念，在心中加深印象，成為自己 的知識。

五、參考文獻

吳貞祥（1973）。新數學圖形教學。國民小學教師科學教育小叢書。台北縣：台 灣省國民學校教師研習會。 沈佩芳（2002）。國小高年級學童的平面幾何圖形概念之探究。未出版之碩士論 文。國立台北師範學院數理教育研究所，台北。

林軍治（1992）。兒童幾何思考之 Van Hiele 水準分析研究-VHL、城鄉、年級、 認知型式與幾何概念理解及錯誤概念之關係。台中：書恒。 張英傑（2001）。兒童幾何形體概念調查及診斷教學之研究（國科會專題研究計 劃成果報告編號：NSC89-2511-S-152-022）。台北：中華民國行政院國家科 學委員會。 謝貞秀（2002）。國小中年級學婷平面幾何圖形概念之探究。未出版之碩士論文。 國立台北師範學院數理教育研究所，台北。 謝金助（2002）。國小六年級學童四邊形迷思概念的診斷研究。未出版之碩士論 文。國立台北師範學院數理教育研究所，台北。 教育部（2003）。九年一貫數學學習領域課程綱要（第五版草案）。 Burger,W.F.,＆Shaughessy,F.M.（1986）Characterizing the van Hiele levels of

development.Journal for Research in Mathematics Education,17（1）,31-48 Clements,D.H.& Battista,M.T.（1992）.Geometry and spatial reasoning.In

Grouws,D.A.Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning.420 －427.

Elizabeth.W.（1995）.Facility with Plane Shapes：A Multifaceted Skill.Educational Studies in Mathematics,28（4）649－672

Mason,F.（2000）What difference does it make ？Child’s views of the differences between some quadrilaterals.Educational Studies in Mathematics 42,179－196. Wilson,P.S.（1990）.Inconsistent Ideas Related to Definitions And Examples.Focus on