1-4-1多項式-多項式的四則運算
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(2) 多項式的除法: 註: 1. 多項式的運算基本上就是要使同類項合併。 2. 多項式的乘法一般有橫式算法、直式算法、分離係數法。多項式的除法一般 有長除法、分離係數法、綜合除法。 【問題】 設 ( x + 1)( x + 2) " ( x + n) = a n x n + a n −1 x n −1 + " + a1 x + a 0 ,試以 n 表出 a n − 2 。 【原理】 除法原理: 設 f (x) 與 g (x) 是兩個多項式且 g ( x) = ( x − c) 不是零多項式, 則有唯一的多項式 q(x) 與 r (x) , 使得 f ( x) = g ( x)q ( x) + r ( x) 且 r ( x) = 0 或 deg r ( x) < deg g ( x) 。 【問題】 b 若 f (x) 除以 (ax − b) 之商為 q(x) 、餘式為 r ,則 f ( x) 除以 ( x − ) 之商及餘式各為 a 何? 【方法】 綜合除法: f ( x) 除以 g ( x) 時 若 f ( x) = a3 x 3 + a2 x 2 + a1 x + a0. = ( x − c)(b2 x 2 + b1 x + b0 ) + r = b2 x 3 + (b1 − cb2 ) x 2 + (b0 − cb1 ) x + (r − cb0 ) b2 = a3 ⎧ ⎪b − cb = a ⎪1 2 2 則⎨ b cb a − = 1 1 ⎪ 0 ⎪⎩ r − cb0 = a0 a3 ⎧b2 = ⎪ b = cb + a ⎪ 1 2 2 即⎨ ⎪b0 = cb1 + a1 ⎪⎩ r = cb0 + a 0 a3. 轉個方向表成. a2 cb2 b1. a1 cb1 b0. a0 cb0 r. c. b2 此即為綜合除法. 註:利用綜合除法可以求函數的近似值。 【性質】 多項式的係數: f ( x) = an x n + an−1 x n−1 + " + a2 x 2 + a1 x + a0 。 常數項: f (0) = a0 。 28.
(3) 各項係數和:. f (1) = an + an−1 + " + a2 + a1 + a0 。 偶次項係數和:. f (1) + f (−1) = a0 + a 2 + a 4 + " 。 2 奇次項係數和:. f (1) − f ( −1) = a1 + a3 + a5 + " 。 2 其他: f (i ) + f (−i ) = a0 − a2 + a4 − " 2 f (i ) − f (−i ) = a1 − a3 + a5 − " 2 【問題】 1. a0 − a 2 + a 4 − a6 + " ? 2. a1 − a3 + a5 − a 7 + " ? 【方法】 求多項式的未知係數: 1. 若已知根則將根代入。 2. 代某些值進去後比較係數?. 29.
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