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1-4-1多項式-多項式的四則運算

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Academic year: 2021

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(1)4-1 多項式-多項式的四則運算 【定義】 多項式的定義: x 與實數的加減乘所組成的式子稱為 x 的多項式,即形如 f ( x) = a n x n + a n −1 x n −1 + " + a1 x + a 0 的式子,稱為 x 的多項式,其中 a n , a n −1 ," , a1 , a 0 稱為多項式 f (x) 的係數,且若 a n ≠ 0 時, a n 稱為領導(首項)係 數, a 0 稱為常數項。 次數: f (x) 中係數非零者中,次數最高者稱為 f (x) 的次數,記為 deg f ( x) = n ,此時 f (x) 稱為 n 次多項式。 單項式: 只含一個項的多項式。 常數多項式: f ( x) = c, c ≠ 0 時,稱零次多項式,其次數為零次。 f ( x) = 0 時,稱零多項式,不 定義次數。 多項式的相等: 設 f ( x) = a n x n + a n −1 x n −1 + " + a1 x + a 0 , g ( x) = bm x m + bm −1 x m −1 + " + b1 x + b0 ,則 f ( x) = g ( x) 的充要條件為 n = m, a n = bm ," , a1 = b1 , a 0 = b0 。 【性質】 多項式的排列方法有: 1. 遞增排列(升羃排列),形如 f ( x) = a 0 + a1 x + " + a n −1 x n −1 + a n x n 。 2. 遞減排列(降羃排列),形如 f ( x) = a n x n + a n −1 x n −1 + " + a1 x + a 0 。 多項式的呈現方法有: 1. 因式形(多用於求解),形如 f ( x) = ( x − x1 )( x − x 2 ) " ( x − x n ) 。 2. 層套形(多用於計算器求值),形如 f ( x) = x( x(ax + b) + c) + d 。 若一個多項式 f (x) 的每項係數都屬於同一個集合 S ,就稱 f (x) 是布於 S 的多項 式,記為 f ( x) ∈ S[ x] 。一般討論的有 Z , Q, R, C 等情形,即整系數多項式、有理系 數多項式、實系數多項式、複數系數多項式、,且在各種集合中的因式分解方法 不盡相同。 【定義】 多項式的加法、減法: 設 f ( x) = a n x n + a n −1 x n −1 + " + a1 x + a 0 ,. g ( x) = bm x m + bm −1 x m −1 + " + b1 x + b0 , n ≥ m ,則 f ( x) + g ( x) = (a n + bn ) x n + " + (a m + bm ) x m + " + (a1 + b1 ) x + (a 0 + b0 ) f ( x) − g ( x) = (a n − bn ) x n + " + (a m − bm ) x m + " + (a1 − b1 ) x + (a 0 − b0 ) 且 deg( f ( x) + g ( x)) ≤ max(deg f ( x), deg g ( x)) 。 多項式的乘法: 設 f ( x) = a n x n + a n −1 x n −1 + " + a1 x + a 0 , g ( x) = bm x m + bm −1 x m −1 + " + b1 x + b0 , n ≥ m ,則 f ( x) × g ( x) = a n bm x n + m + " + (a1b0 + a 0 b1 ) x + a0 b0 。 且當 f ( x) ≠ 0, g ( x) ≠ 0 時, deg( f ( x) × g ( x)) = deg f ( x) + deg g ( x) 。 27.

(2) 多項式的除法: 註: 1. 多項式的運算基本上就是要使同類項合併。 2. 多項式的乘法一般有橫式算法、直式算法、分離係數法。多項式的除法一般 有長除法、分離係數法、綜合除法。 【問題】 設 ( x + 1)( x + 2) " ( x + n) = a n x n + a n −1 x n −1 + " + a1 x + a 0 ,試以 n 表出 a n − 2 。 【原理】 除法原理: 設 f (x) 與 g (x) 是兩個多項式且 g ( x) = ( x − c) 不是零多項式, 則有唯一的多項式 q(x) 與 r (x) , 使得 f ( x) = g ( x)q ( x) + r ( x) 且 r ( x) = 0 或 deg r ( x) < deg g ( x) 。 【問題】 b 若 f (x) 除以 (ax − b) 之商為 q(x) 、餘式為 r ,則 f ( x) 除以 ( x − ) 之商及餘式各為 a 何? 【方法】 綜合除法: f ( x) 除以 g ( x) 時 若 f ( x) = a3 x 3 + a2 x 2 + a1 x + a0. = ( x − c)(b2 x 2 + b1 x + b0 ) + r = b2 x 3 + (b1 − cb2 ) x 2 + (b0 − cb1 ) x + (r − cb0 ) b2 = a3 ⎧ ⎪b − cb = a ⎪1 2 2 則⎨ b cb a − = 1 1 ⎪ 0 ⎪⎩ r − cb0 = a0 a3 ⎧b2 = ⎪ b = cb + a ⎪ 1 2 2 即⎨ ⎪b0 = cb1 + a1 ⎪⎩ r = cb0 + a 0 a3. 轉個方向表成. a2 cb2 b1. a1 cb1 b0. a0 cb0 r. c. b2 此即為綜合除法. 註:利用綜合除法可以求函數的近似值。 【性質】 多項式的係數: f ( x) = an x n + an−1 x n−1 + " + a2 x 2 + a1 x + a0 。 常數項: f (0) = a0 。 28.

(3) 各項係數和:. f (1) = an + an−1 + " + a2 + a1 + a0 。 偶次項係數和:. f (1) + f (−1) = a0 + a 2 + a 4 + " 。 2 奇次項係數和:. f (1) − f ( −1) = a1 + a3 + a5 + " 。 2 其他: f (i ) + f (−i ) = a0 − a2 + a4 − " 2 f (i ) − f (−i ) = a1 − a3 + a5 − " 2 【問題】 1. a0 − a 2 + a 4 − a6 + " ? 2. a1 − a3 + a5 − a 7 + " ? 【方法】 求多項式的未知係數: 1. 若已知根則將根代入。 2. 代某些值進去後比較係數?. 29.

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參考文獻