3−1 利用提公因式做因式分解
本節課程學習重點：
◎能利用乘法公式和多項式的除法，理解因式、倍式、公因式與因式分解的意義。 ◎能利用提出公因式與分組分解法因式分解二次多項式。
一、因式與倍式：
如果多項式 A≠0 能被多項式 B 整除(餘式為 0)，商式為多項式 C，即 A÷B＝C，則 A＝B×C。 此時，多項式 B 和多項式 C 為多項式 A 的因式，而多項式 A 為多項式 B 和多項式 C 的倍式。 【說明】因為(x2－5x＋4)÷(x－4)＝x－1(整除)，則 x2－5x＋4＝(x－4)(x－1)， 所以 x－4 和 x－1 是 x2－5x＋4 的因式，而 x2－5x＋4 是 x－4 和 x－1 的倍式。 【觀念釐清】一般來說，對於兩個不為0 的多項式 A、B： 若 A 能被 B 整除(餘式為 0)，則 B 是 A 的因式，而 A 是 B 的倍式； 若 A 不能被 B 整除(餘式不為 0)，則 B 不是 A 的因式，A 也不是 B 的倍式。 練習1：(1)判別 x＋5 是不是 x2＋3x＋15 的因式。 (2)判別 x2－6x－27 是不是 x－9 的倍式。 練習2：已知 2x2－x－10＝(2x－5)(x＋2)，下列哪些敘述是正確的？ (A) 2x2－x－10 是 x＋2 的因式 (B) x＋2 是(2x－5)(x＋2)的因式 (C) 2x－5 是 2x2－x－10 的倍式 (D) 2x2－x－10 是 2x－5 的倍式 練習3：已知 x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)，判斷－x－2、2(x＋2)、 12 (x＋2)中，哪些是 x2＋3x＋2 的因式？ 二、因式分解：將一個 x 的二次式寫成兩個一次式的乘積，叫做這個二次式的因式分解。 【觀念釐清】因式分解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)。 乘積展開：(x＋1)(x＋2)＝x2＋3x＋2。 練習4：(1)判別 2x＋3 是不是 6x2＋5x－6 的因式。 (2)因式分解 6x2＋5x－6。
練習5：(1)判別 4x－7 是不是 20x2－11x－42 的因式。 (2)因式分解 20x2－11x－42。 練習6：已知多項式 2x2＋3x＋1 可因式分解成(2x＋1)(x＋m)，則 m 為多少？ 練習7：已知多項式 5x2＋34x－7 可因式分解成(5x－1)(x＋m)，則 m 為多少？ 練習8：已知多項式 3x2＋ax＋5 可因式分解成(3x＋1)(x＋5)，則 a 為多少？ 練習9：已知多項式 4x2＋ax＋b 可因式分解成(x－3)(4x＋1)，則 a、b 分別為多少？ 三、提出公因式： ◎公因式：如果多項式 C 同時為多項式 A 和多項式 B 的因式，則稱 C 為 A 和 B 的公因式。 【說明】因為 x＋2 是(x＋2)2的因式，也是(x＋2)(x－5)的因式，所以 x＋2 是(x＋2)2和(x＋2)(x－5)的 公因式。 練習10：下列各多項式中，哪些是－3x2和12x3的公因式？ (A) x (B)－3x (C) 3x2 (D)－3x2。 練習11：下列各多項式中，哪個是(3x＋1)(x＋4)和(3x＋1)(x＋5)的公因式？ (A) x＋4 (B) x＋5 (C) 3x＋1 (D)(x＋4)(x＋5)(3x＋1)
練習12：下列各多項式中，哪個是(3x＋1)2和(3x＋1)(x＋5)的公因式？ (A) 3x＋1 (B) (3x＋1)2 (C) x＋5 (D)(3x＋1)(x＋5) ◎提出公因式：當式子的各項都有一次以上的公因式時，可用分配律將公因式提出來，完成因式分解。 練習13：在下列各式中，提出公因式做因式分解。 (1)－2x2＋6x (2)x(2x＋1)－x(x＋2) (3)2(3x－1)2＋(3x－1) 練習14：在下列各式中，提出公因式做因式分解。 (1)－5x2＋10x (2)4x(2x－1)＋8x(x＋3) (3)(3x－5)2－(3x－5) 【觀念釐清】(1)b a− = − − ；(2)(a b) (b a− )2 =(a b− )2。 練習15：因式分解下列各式。(1)(x＋1)(x－5)－(x－2)(5－x) (2)
(x－4)2(x＋5)－(4－x)2(2x＋3) 練習16：因式分解下列各式。(1) (2x＋1)(x－3)＋(x－1)(3－x) (2) (2x＋1)(x－1)2－(1－x)2(x＋3) 四、分組分解：(先分組再提出公因式) 練習17：利用分組做因式分解 x2－2x＋ax－2a。
【觀念釐清】(1)分組方式不同，因式分解的結果仍會相同。 (2)利用分組做因式分解時，如果一時找不到公因式，應該要用不同的分組再試試看。 (3)如果還是無法分解，可能是這個多項式不能再分解，或是需要用其他的方法分解。 練習18：因式分解下列各式。(1)x2－5x－ax＋5a (2)x2－ax＋bx－ab 練習19：因式分解 ax＋bx＋cx＋ay＋by＋cy。 練習20：因式分解 3ax＋by＋3cx－ay－3bx－cy。 【觀念釐清】若原多項式的各括號之間沒有共同因式，可以先去括號，再重新分組提出公因式來做 因式分解。 練習21：因式分解 2(ab－2)－(8a－b)。 練習22：因式分解(a－2)x－(x2－2a)。 自我評量 1. 判別下列何者是 x2＋5x－14 的因式。(1) x－2 (2) x＋8
2. 已知 4x3－3x＋1＝(x＋1)(2x－1)2，則下列哪些是4x3－3x＋1 的因式？ (A) x＋1 (B) 2x－1 (C) x－1 (D) 2x＋1 (E) (x＋1)(2x－1) (F) (2x－1)2 (G) (x＋1)(2x－1) 2 (H) (x＋1)2(2x－1) 3. (1)判別 4x 是不是 16x2＋12x 的因式。 (2)因式分解 16x2＋12x。 4. 已知多項式 ax2－2x＋b 可因式分解成(3x＋4)(x－2)，則 a、b 分別為多少？ 5. 已知 A、B、C 三個多項式，x＋1 為多項式 A 與多項式 B 的公因式，x＋2 為多項式 B 與多項式 C 的 公因式，則下列哪個可能為多項式 B？ (1)(x＋1)(x＋5) (2)(x＋2)(x－3) (3)(x＋1)(x＋2)。 6. 因式分解下列各式。 (1)(2x－3)(x＋4)＋(x＋5)(2x－3) (2)(x＋1)(x－2)－(x＋3)(－x－1) (3)(x－6)2(x＋4)－(3x－1)(6－x)2 (4) 1－y＋ay－ay2 (5) x3＋x2＋x＋1 (6) (2x3－5)－(2x－5)x 7. (1)因式分解 (x－9)2－5x＋45。 (2)利用(1)的結果計算(114－9)2－5×114＋45。
習作
1. 已知 A 為一多項式，且(1)A÷(x＋3)的餘式為 0；(2)A÷(x＋1)的餘式為 6；(3)A÷(2x＋5)的餘式為 0。 則下列敘述哪些是正確的？ (A) x＋3 是 A 的因式 (B) x＋1 是 A 的因式 (C) x＋1 是 A－6 的因式 (D)(x＋3)(2x＋5)是 A 的因式 2. 判別下列式子是不是 x－3 的倍式。(1)7x2－19x－6 (2)73 x2－193 x－2 3. 下列四個式子展開化簡後都是 x2＋4x＋3，何者是它的因式分解？ (A)x(x＋4)＋3 (B)(x＋2)2－1 (C)(x＋3)(x＋1) (D)x(x＋3)＋(x＋3)。 4. 已知多項式－15x2＋11x－2 有因式 3x－1，請因式分解－15x2＋11x－2。 5. 已知多項式 16x2＋ax＋b 可因式分解成 8x(2x＋1)，則 a、b 分別為多少？ 6. 已知多項式 A＝(2x＋3)(3x－1)與多項式 B＝(3x－1)(4x－3)。試回答下列問題。 (1)在下列各多項式中，哪個是 A 與 B 的公因式？ (A) x－3 (B) 2x＋3 (C) 3x－1 (D) 4x－3。 (2)利用提公因式可將 A－B 因式分解成 。
7. 因式分解下列各式。 (1) 4a2b2－8a2b＋12ab2 (2)(x＋2)2＋3(x＋2) (3)(x－3)(x－2)－(x－4)(2－x) (4) 4x2＋x－4x－1 8. 若 x3－2x2＋ax＋b 為 x2－x－2 的倍式，則 a、b 的值分別為多少？ 9. 因式分解下列各式。 (1) x(p－q)－(x2－pq) (2) 3ax－2bx＋cx＋3ay－2by＋cy (3)(x＋1)2(y－2)＋(2－y)2(x＋1) 類題補充 1. 若 2x－7 是多項式 6x2－29x＋m 的因式，則 m＝ ，可將此多項式因式分解為 。 2. 設 x－2 為 5x2－11x＋a 及 x2＋bx－2 之因式，則 a＋b＝ 。 3. 當 x＝0.8、y＝2.75，求 4x(y－2)－3x(y－2)的值。
4. 因式分解下列各題：
(1) (y＋3)2－8y－24＝ 。 (2) 36x2－9x－4x＋1＝ 。 (3) 2x2＋2x－ax－a＝ 。
(4) 2ax－8x＋3by＋2xb＋3ay－12y＝ 。
5. (1)因式分解 ab＋2b－3a－6。 (2)若 a＝998，b＝228，求 ab＋2b－3a－6＝？
6. 下列何者是 2x2＋13x－24 的因式？ (A) x－2 (B) x－8 (C) x＋8 (D) 2x＋3。
7. 下列哪一個多項式是 3x－5 的倍式？
(A) 6x2－13x－5 (B) 6x2＋7x－5 (C) 6x2－7x＋5 (D) 6x2－7x－5。
8. 下列何者是(a＋b)(x－y－z)－(a－b)(z＋y－x)的因式？ (A)－2a (B) 2b (C) a＋b (D) a－b。
10. 有兩多項式 A＝x2(2x－3)(5x＋6)，B＝(5x＋6)2(4x2－9)。關於 A、B 兩多項式，下列敘述何者正確？ (A) x(5x＋6)為 A、B 的公因式 (B) (2x－3)(5x＋6)為 A、B 的公因式 (C) x(2x－3)(5x＋6)為 A、B 的公倍式 (D) (2x－3)2(5x＋6)2為 A、B 的公倍式 11. 下列何者為 x2－x－2 與 x2－5x＋6 的公因式？ (A) x－6 (B) x－3 (C) x－2 (D) x－1。 12. 因式分解(3x－1)2＋x(1－3x)＝？ (A) (3x－1)(4x－1) (B) (3x－1)(2x－1) (C) (3x－1)(2x＋1) (D) (3x－1)2。 13. 因式分解 ab＋ac－bd－dc＝？
(A) (ad)(－bc) (B) (a－d)(c－b) (C) (b＋c)(d－a) (D) (a－d)(b＋c)。
14. 若 x－2 是 x2－x＋c 的因式，則 c＝ 。(Hint：餘式定理)
15. 若 x2＋mx＋nx－6 為 x＋2 與 x－3 的倍式，則 m＋n＝ 。
16. 已知 x3＋4x2＋mx－10 可因式分解成(x－2)與另一個二次多項式之乘積，則 (1) m 之值。 (2)依題意因式分解 x3＋4x2＋mx－10 成兩多項式之乘積。
17. 因式分解下列各式。 (1) x3－2x2＋3x－6＝ 。 (2) (x－2y)2－3x(2y－x)＝ 。 (3) x(p－q)＋(x2－pq)＝ 。 (4) y2＋yz＋xy＋xz＋5y＋5z＝ 。 (5) (2x＋y)(y－5)－(x－3y)(y－5)－3y＋15＝ 。 18. 將兩張長 5x－1cm、寬 2x＋3cm 的長方形，依右圖的方式 相互重疊(灰色部分為重疊)，以因式分解的形式表示最右圖 (倒 L 形圖形)整個的面積。 19. 若 3x－2 為 6x2－13x＋k 的因式，則 6x2－13x＋k 的另一個因式為下列何者？ (A) 2x－3 (B) 2x＋3 (C) 2x＋1 (D) 2x－1。 20. 若多項式 Q 是兩多項式 A、B 的公因式，則下列何者不一定是 Q 的倍式？ (A) A＋B (B) A－B (C) A×B (D) A÷B。
21. 若多項式 A 和 3a2x 的公因式是 3ax，則哪一個不可能是多項式 A？ (A) a3x (B) 6ax (C) 21ax2 (D) 12ax3。
22. 已知 6x2－19x＋15＝(2x－3)(3x－5)，則下列哪些式子是 6x2－19x＋15 的因式？(以代號作答) 甲：1 乙：3x－5 丙：4x－6 丁：6x2－19x＋15。
2x＋3
23. 已知(x＋1)(2x＋4)－(x＋1)(x－5)可因式分解為(x＋a)(x＋b)，則 a＋b 的值為何？
24. 因式分解 1.2x2＋2.4x－0.9x－1.8＝？
(A) (4x－3)(x＋2) (B) 0.3(4x－3)(x＋2) (C) (4x＋3)(x－2) (D) 0.3(4x＋3)(x－2)。
25. 將 x2－(2－a)x－2a 因式分解，則結果為下列哪一項？
(A) (x－2)(x－a) (B) (x－2)(x＋a) (C) (x＋2)(x－a) (D) (x－1)(x＋2a)。
26. 若 x3－2x2＋ax＋b 為 x2－x－2 的倍式，則數對(a , b)＝ 。
27. 若 2x3－3x2＋ax＋b 可分解為(x＋2)(x－2)(2x＋c)，則 a＋b＋c 的值為多少？
28. 設 ab≠0，若 x2＋ax＋b 與 x2＋bx＋a 有相同的一次公因式，則此一次公因式為何？
加強練習 1. (1)若 x－3 是 2x3＋7x2－k 的因式，則 k＝ 。 (2)已知 2x2－mx＋3 為 2x＋1 的倍式，則 m＝ 。 2. 已知 x－1 與 x＋2 皆為 x3＋mx2＋nx＋10 的因式，則 (1) m＝ ，n＝ 。 (2)因式分解 x3＋mx2＋nx＋10＝ 。 3. 若 x－2 是 5x2－11x＋a 和 x2＋bx－2 的公因式，則在直角坐標平面上，點 P(a , b)位於哪一個象限內？ (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限。
4. 若 a－b＝99，ab＝124，則 a2b－a－ab2＋b＋ab－1＝ 。
5. 已知一三角形的面積為 6x2－13x＋6，底為 3x－2，則此三角形的高為何？ (A) 4x＋6 (B) 4x－6 (C) 2x＋3 (D) 2x－3。 6. 已知 3x2＋5x－12＝(3x－4)(x＋3)，則下列哪一個選項是－3x＋4 的倍式？ (A) －x－3 (B) 3x2－5x＋12 (C) 6x2＋10x－24 (D) －x2－ 53 x－4。 7. 因式分解下列各式： (1) m2－5m＝ 。 (2) (4x＋3)(3x－2)－(x－1)(3x－2)＝ 。 (3) (x－3)2(x＋2)＋(3－x)(x＋2)2＝ 。 (4) 1＋ay＋y＋ay2＝ 。 (5) (ac＋bd)－(bc＋ad)＝ 。 (6) －4mx－8ny＋8nz＋8nx＋4my－4mz＝ 。 (7) (a＋b)(x＋y－z)－(a－b)(z－y－x)＝ 。 (8) 3(a－b)(y－x)＋c(a－b)(x－y)＝ 。 8. 如右圖，魯夫有甲、乙、丙、丁四種不同大小的長方形，已知邊長均為正整數。今魯夫欲將 8 個 甲、2 個乙、12 個丙、3 個丁拼成一個大長方形，則其長方形的邊長分別是多少？ (A) 2x＋3a、4x＋1 (B) 4x＋3a、2x＋1 (C) 2x＋a、4x＋3 (D) 4x＋a、2x＋3 9. 已知 2x＋9 是 2x2＋5x＋m 的因式，則下列哪一個選項也是 2x2＋5x＋m 的因式？ (A) x－2 (B) x＋5 (C) x－7 (D) x＋11。 10. 因式分解(a－b)(a－b＋c)＋(a＋b)(－a＋b－c)的結果為何？
(A) 2a(a－b＋c) (B) 2b(a－b＋c) (C) －2a(a－b＋c) (D) －2b(a－b＋c)。 11. 若 12x3－5x2＋mx＋n 可因式分解成(3x＋4)(4x－3)(ax＋b)，則： (1) m＋n＝ 。 (2) a¯b＝ 。 12. 若 x3＋ax2＋5x＋b 是 x2－2x＋3 的倍式，則 a＋b＝ 。 13. 已知 A＝6x2＋x－1，B＝－2x2＋9x＋5，且 2x＋1 是 A 的因式也是 B 的因式，則 (1) 將 A、B 因式分解成一次式的乘積。 (2) 2x＋1 也是 3A＋2B 的因式，因式分解 3A＋2B。 14. (1)因式分解 4(x2－xy)＋4(y2－xy)。
(2)承(1)，若 x＝－53，y＝47，求 4(x2－xy)＋4(y2－xy)之值。
a a 1 1 x x x x 甲 乙 丙 丁
Ans：1.(1) 117，(2)－7；2.(1)－4，－7，(2) (x－1)(x＋2)(x－5)；3.(D)；4. 12300；5.(B)；6.(C)； 7.(1) m(m－5)，(2) (3x－2)(3x＋4)，(3) 5(3－x)(x＋2)，(4) (1＋y)(1＋ay)，(5) (a－b)(c－d)，
(6) 4(x－y＋z)(x＋2)(2n－m)，(7) 2a(x＋y－z)，(8) (a－b)(x－y)(c－3)；8.(D)；9.(A)；10.(D)； 11.(1)－7，(2)－1；12.－6；13.(1) A＝(2x＋1)(3x－1)，B＝(2x＋1)(－x＋5)，(2) 7(2x＋1)(x＋1)； 14.(1) 4(x－y)2，(2) 40000。
