行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告
應用柯西-史瓦茲不等式於最佳投資組合決策之研究
計畫類別： 個別型計畫 計畫編號： NSC93-2416-H-110-009- 執行期間： 93 年 08 月 01 日至 94 年 07 月 31 日 執行單位： 國立中山大學企業管理學系(所) 計畫主持人： 蔡憲唐 計畫參與人員： 陳信宏,姜昱伊 報告類型： 精簡報告 處理方式： 本計畫可公開查詢中 華 民 國 94 年 10 月 3 日
應用柯西-史瓦茲不等式於最佳投資組合決策之研究
An Application of Cauchy-Schwarz Inequality to Optimal Portfolio Decision
計畫編號：NSC 93-2416-H-110-009 執行期限：93 年 8 月 1 日~94 年 7 月 31 日 主持人：蔡憲唐 國立中山大學企業管理系摘要
一般基金管理單位經常採用Sharpe 指標 作為基金操作績效之評估指標，因此基金經 理人的主要目標通常為建立能夠獲得最大 Sharpe 指標之投資組合。過去的方法通常以 修改Markowitz 平均值-變異數投資組合模型 （MV 模型）之目標函數，並求解非線性規 劃問題，以得到最大Sharpe 指標之最佳投資 組合。在允許買空賣空（投資權重允許為負 值）的情況下，本研究利用柯西-史瓦茲不等 式(Cauchy-Schwarz inequality)提出一個可以 直接獲得最大Sharpe 指標投資組合之封閉解 (closed-form solution)，此運算步驟不需要利 用非線性規劃電腦程式求解，如此不但較傳 統方法更容易使用，且可以節省運算時間與 成本。在不允許買空賣空（投資權重不得為 負值）之投資環境與條件下，我們進一步利 用Kuhn-Tucker 條件求解最大 Sharpe 指標之 最佳投資組合。本研究採用國內外金融市場 歷史資料作實證分析，研究結果發現，本計 畫提出之封閉解可以利用較精簡之運算步驟 得到最佳解，因此其可行性與適用性也得到 確 認 。 本 研 究 將 多 變 量 分 析 中 之 Cauchy-Schwarz 不 等 式 與 非 線 性 規 劃 之 Kuhn-Tucker 條件應 用於投資組合決策領 域，使其理論更加完整，對實務界與學術界 均具有重大的意義。 關鍵詞：Cauchy-Schwarz 不等式；Sharpe 指 標；平均值-變異數投資模型；Kuhn-Tucker 條件Abstract
Since most financial institutions use the Sharpe Ratio to evaluate the performance of mutual funds, the objective of most fund managers is to select the portfolio that can generate the highest Sharpe Ratio. Traditionally, they can revise the objective function of the Markowitz mean-variance portfolio model and
resolve non-linear programming to obtain the maximum Sharpe Ratio portfolio. In the scenario with short sales allowed, this project proposed a closed-form solution for the optimal Sharpe Ratio portfolio by applying Cauchy-Schwarz inequality. This method without using a non-linear programming computer program is easier than traditional method to implement and can save computing time and costs. Furthermore, in the scenarios with short sales disallowed, we increased Kuhn-Tucker conditions to find the optimal Sharpe Ratio portfolio. In addition, empirical data of domestic and international investment instruments was used to examine the feasibility and fitness of the new proposed method. The results showed that the proposed closed-form solution can obtain the optimal solution by simpler algorithm steps than traditional method. And the feasibility and fitness were confirmed by empirical analysis. This study applied the methods of multivariate statistical analysis and non-linear programming to portfolio decisions. We believe the proposed method will complete portfolio model theory and will be meaningful for academic and business fields.
Key words: Cauchy-Schwarz inequality; Sharpe Ratio; mean-variance portfolio model; Kuhn-Tucker conditions
一、前言
自從Markowitz（1952）提出平均數-變 異 數 投 資 組 合 模 型 架 構 （Mean-Variance Portfolio Framework）（簡稱MV模型）以來， 如何在MV模型所建立的投資組合效率前緣 （efficient frontier）上決定最佳投資組合，一 直是各界不斷探討的議題。由於效率前緣上 的投資組合通常會有高報酬伴隨著高風險或 低報酬伴隨低風險的特性，使得投資者因無 法在期望報酬率與風險之間取捨而造成決策 兩難。針對這個問題，Markowitz（1959）曾1 提出「最大期望效用法」（Expected Utility Maximum Method）來加以解決，其方法為尋 找效用函數（utility function）的極大點或是 無異曲線（indifference curve）與效率前緣的 切點來決定最佳投資組合。過去有相當多的 文 獻 探 討 這 個 方 法 ， 例 如Borch (1969) 、 Feldstein (1969)、Hanoch and Levy (1970)、 Chipman (1973)等，其中Hanoch and Levy (1970)認為期望效用極大的投資組合不一定 位於效率前緣上。另外有論文關心若只用期 望值與變異數的近似函數是否可以真正的極 大化效用函數的期望值，例如Tsiang (1972)、 Levy (1974)、Levy and Markowitz (1979)、 Kroll, Levy and Markowitz (1984)等。其中， Levy and Markowitz (1979)針對MV模型之實 證顯示無論投資報酬率為何種分配，其所形 成之投資組合，仍視為位於效率前緣之上。 Kroll, Levy and Markowitz (1984)又以美國共 同基金為研究對象，針對不同之效用函數進 行研究，其結果仍支持上述之結論。 關於這個問題，Sharpe (1966) 曾提出 Sharpe指標用來評估共同基金之績效，此一 指標一直是學術界與實務界衡量投資績效的 重要工具，其基本概念為期望報酬率減去無 風險報酬率再除以標準差，以求得每一單位 風險具有最高風險溢酬的投資組合。由於 Sharpe指標不像效用函數必須選擇函數形式 與估計參數，使用上較為方便且容易被投資 大眾接受，因此自Sharpe指標被提出後，一 般的共同基金均是以該指標當作基金操作績 效與決定最佳投資組合的指標，其重要性不 言可喻。近年來，部份學者曾提出一些新的 投資組合績效指標，例如Murthi, Choi and Desai (1997) 以 資 料 包 絡 分 析 法 （ data envelopment analysis, DEA）提出 DPEI (DEA portfolio efficiency index)，Dowd (2000) 則提 出 一 般 化Sharpe 指 標 （ generalized Sharpe Ratio），Campbell, Huisman and Koedijk (2001) 以風險值(Value-at-Risk, VaR)為基礎，建構一 個類似Sharpe指標的投資組合績效指標。鄭 錦亞、遲國泰(2001)提出極小化變異係數以求 取最佳投資組合的方法，在不考慮無風險報 酬率的情況下，Sharpe指標與變異係數兩者 互為倒數關係。另外，有部分論文提出其他 方法來選擇最佳投資組合。例如Lucas and Klaassen (1998) 採 用 風 險 值 (Value-at-Risk, VaR) 為 選 擇 最 佳 投 資 組 合 之 標 準 ， Chunhachinda et al. (1997)及 Prakash, Chang and Pactwa (2003) 則採用目標規劃法。但 是，這些指標與方法由於使用上較為複雜且 提出的年代較近，因此均尚未被廣泛地應用。 儘管近年來有部分學者提出新的投資 組合績效指標與決定最佳投資組合的方法， Sharpe指標仍然是目前最重要的共同基金績 效衡量指標。一般發行共同基金較具規模的 證券商與投信公司均會提供其共同基金過去 幾年的Sharpe指數，提供投資大眾作選擇投 資標的之參考。因此對基金操作單位與基金 經理人而言，建構一個能夠表現最高Sharpe 指數的投資組合，實為其最重要的決策事項。 理 論 上 ， 基 金 經 理 人 可 以 利 用 Markowitz的MV模型先找出投資組合的效率 前緣，再從效率前緣上，求出最高Sharpe指 標的投資組合。另外，我們也可以將MV模型 的目標函數改為極大化Sharpe指標，而直接 利用非線性規劃（non-linear programming） 法，求出更精確的最高Sharpe指標的投資組 合，Elton and Gruber (1995)曾經提及這個架 構模型，我們將在研究方法中詳述這個模 型。事實上，在這個模型中，我們發現可以 利用多變量統計理論中的 Cauchy-Schwarz 不等式來得到closed-form的解，這個應用方 法不需要求解非線性規劃問題，較過去求解 非線性規劃的方法更為方便。
二、研究目的
由 於 多 變 量 統 計 理 論 中 的 Cauchy-Schwarz 不等式及作業研究領域中 的Kuhn-Tucker 條件過去均較少被應用於財 務管理領域，求解最大Sharpe指標的投資組 合通常仍需利用非線性規劃模型。因此本研 究之主要目的即是利用 Cauchy-Schwarz 不 等式及Kuhn-Tucker 條件，提出一個求解最 高Sharpe 指 標 投 資 組 合 的 標 準 步 驟 與 closed-form解。這個應用方法，不但較過去 求解非線性規劃的方法更為方便，更可以節 省大量的運算時間與成本，相信對實務界與 學術界均具有重大的意義。三、研究方法
根據上述研究背景與目的，本計畫主要 採用文獻資料蒐集及計量研究方法進行研 究。文獻及財經資料方面，必須透過各種學 術期刊及資料庫，蒐集各項投資工具包含國 內外股票市場、貨幣市場、定期存款、國庫 券、政府公債等歷年來之報酬率與利率以計 算其平均報酬與風險（變異數）。最佳投資組 合之計量模型包含兩種方法。1.利用傳統 Markowitz MV 模型求出投資組合效率前緣 後，再找尋最高 Sharpe 指標的投資組合。2. 修改傳統 Markowitz MV 模型之目標函數， 直接求解最高Sharpe 指標的投資組合。研究 過 程 包 括 非 線 性 規 劃 (Non-Linear Programming)模式的建立，並利用 LINDO 或 LINGO 程式求解最佳投資組合之權重。更重 要的是，本研究利用 Cauchy-Schwarz 不等 式及 Kuhn-Tucker 條件，提出一個求解最高 Sharpe 指 標 投 資 組 合 的 標 準 步 驟 與 closed-form 解，並比較此應用方法的解是否 與傳統非線性規劃方法相同，以確認其適用 性。這個方法不但不需求解線性規劃，而且 可以節省大量的運算時間與成本。研究之情 境包括允許買空賣空（投資權重可以為負 值）、不允許買空賣空（投資權重不得為負值） 等不同投資環境與條件。 茲將其具體計量研究方法說明如下: (一) Markowitz MV 模型建立與運算： 現代投資組合理論中所稱的效率前緣 (efficient frontier)為最小變異投資組合機會 集合(minimum variance portfolio opportunity set)，也就是在既定的平均報酬與投入資金 下，求風險最小時之各資產投資比重。或是 在既定的風險（變異數）下求期望報酬最大 的資產配置組合。 根據Markowitz 的 MV 模型，由 n 種資產 所構成的投資組合（portfolio），在既定的投 資報酬率下，欲求最小變異數投資組合，可 以用非線性規劃法表示如下： Min n w w s wTSw 1 i n 1 j ij j i 2 = = σ
∑∑
= = (1) s.t.∑
= =µ = r w r w T n 1 i i i =既定期望報酬率； 1 w n 1 i i =∑
= ; 其中各項符號的定義如下： µ：投資組合之期望報酬率； 2 σ ：投資組合報酬率之變異數，即投資風險； i r ：第 i 種投資工具之歷史平均報酬率； T n 2 1,r ,...,r ) r ( r= ； i w ： 第 i 種 投 資 工 具 之 投 資 比 例 ； T n 2 1,w ,...,w ) w ( w = ； ij s ：第i與第j種投資工具之報酬共變異數； S=(sij)nxn：n 種投資工具報酬率的共變異數 矩陣； MV 模型可依投資法規、政策及環境加 入不同之限制式，例如限制不得買空賣 空 ， 則 增 加 權 重 不 為 負 數 之 限 制 ： 1 w 0≤ i ≤ 。本計畫將依上述模型，探討投 資組合在不同期望報酬下，最低風險之資 產配置組合（即效率前緣）後，再求出效 率前緣上最大Sharpe指標的投資組合。 (二)修正目標函數之 Markowitz MV 模型建 立與運算： 修正目標函數之 Markowitz MV 模型可 以直接求解最大 Sharpe 指標的投資組合，Elton and Gruber (1995)曾經提出此模型。其
模型可以非線性規劃法表示如下： Max (µ -Rf)/σ (2) s.t. w 1 n 1 i i =
∑
= ; 上式中： µ = rw′ = 投資組合期望報酬;
σ = w'Sw= 投資組合標準差;
Rf =無風險利率;
將上述模型建立完成後，透過實際資料 的運算，求解最高Sharpe指標的投資組合。 而式(1)與式(2)的求解均需利用非線性規劃 電腦程式或軟體。 (三) 在允許賣空的情況下，應用 Cauchy-Schwarz 不等式求解最佳投資組合 在多變量統計理論中， Cauchy-Schwarz 不等式 被加以應用而產生以下的極大值定 理。3 令 B 為 p×p 的正定矩陣，而 d 為一 p×1的向量。則對非全部為零的p×1 向量 x 而言， Max Bx x' d x' )2 ( = d′B-1d (3) 當 x = c B-1
d 時（for any constant c≠0），上
式會有極大值。. 事實上，(3)式的左邊與(2)式的目標函數 存在某種關係。換言之，我們認為(2)式可以 利用(3)式得到 closed-form 解。在正常情況 下，最高Sharpe指標的投資組合，其Sharpe 指標應為正值，因此利用(3)式所求得的最佳 投資組合，理論上應與(2)式相同。至於(2)式 中 n w 1 1 i i =
∑
= 的限制式，(3)式可以利用 c 值 得大小調整至符合該限制式，因此我們初步 認為，Cauchy-Schwarz 不等式所衍生出之極 大值定理（Maximization Lemma）可以提供 模型(2)式之closed-form 解。 換言之，如果投資組合中投資工具的共 變異數矩陣S 以及風險溢酬向量e已知，則 可 以 應 用 Cauchy-Schwarz 極 大 值 定 理（Cauchy-Schwarz Maximization Lemma）建
立 一 個 演 算 法 ， 我 們 稱 之 為 CSM-Algorithm， 來 求 得 效 率 前 緣 上 最 大 Sharpe 指標之投資組合，其具體演算步驟如 下： 步驟 1：計算 w′ = S-1 e 得到投資權重的初 始解。 步驟 2：調整投資權重，使權重總合為 1。 即令w = c w′ , 其中c = (1/
∑
= n i 1 w′i)， 而w′i 為投資權重的初始解。則 w 即為最大 Sharpe 指標之投資組合比 重向量。 然而，值得注意的是利用(3)式所求得的 最佳投資組合，可能產生投資比重wi小於零 的情況，在允許買空賣空的條件下，投資比 重可以為負值。但在不得買空賣空的條件 下，(2)式必須增加權重不為負數之限制wi ≥ 0。在此情形下，(3)式所求得的最佳投資組合 可能為不可行解（infeasible solution）。因此， 在不得買空賣空的環境時，(3)式可能必須配 合 Kuhn-Tucker 條件的觀念方能求得可行的 最佳投資組合。 (四)應用Kuhn-Tucker 條件求解不得買空賣 空情況下之最佳投資組合 一般基金管理單位不論是自行操作，或 是委託專業機構經營，均會先擬定投資政策 說明書，以對基金管理者揭櫫相關基本要求 之條件，並憑以為投資過程進行評估之依 據，其目的在於引領基金之投資方向，並設 定投資活動所欲達成之目標。這些投資政策 其中一項重要的限制條件可能包含不得買空 賣空，例如我國政府基金中的退撫基金、郵 儲基金、勞退基金與勞保基金等四大基金均 規定不得買空賣空，一般民營投信公司所操 作的共同基金通常也限制不得賣空股票。另 外，某些金融資產例如債券、短期票券或放 款等的交易行為便不允許放空。因此，限制 不得買空賣空成為基金管理經常設定的投資 政策或受限條件，本節將討論在限制不得買 空賣空的情境下，如何利用 Kuhn-Tucker 條 件求解最佳投資組合。 事實上，上述情境可以透過增加限制式 加以求解，例如將(2)式加上 wi ≥ 0 等限制 式。則將(2)式將成為二次規劃模式（quadratic programming problem），其運算過程可以透過 作業研究領域中的 Kuhn-Tucker 條件加以求 解。 Kuhn-Tucker 條件應用於此模型的觀念 為，假設θ 為目標函數Sharpe指標，則欲求 θ 的極大值可以將其對wi作一階微分，並令 其等於零。其結果可能為圖1.(a)或圖1.(b)， 當限制 wi ≥ 0 時，圖 1.(a)的情況顯示M 為 極大點，但是圖1.(b)的情況，M是為不可行 解，M’
才是最佳解，換言之θ 的極大值必定 出現在wi =0時。 利用 Kuhn-Tucker 條件的觀念我們可 以將圖1.(a)與圖1.(b)的情況，歸納出四個條 件： dθ/dwi + xi = 0 (4) wixi = 0 wi ≥ 0 xi ≥ 0 依照Kuhn-Tucker 條件的理論，符合上述四個條件的解，必然是模式(2)加上限制式 wi ≥ 0的最佳解。 因此，我們初步認為，在限制不得買空 賣空的條件與限制投資比重的情況下，可以 利用Kuhn-Tucker 條件的觀念，調整上述 Cauchy-Schwarz 不等式求解步驟，來求得此 特定情境下最高Sharpe指標的投資組合。 換言之，如果要求得不允許買空賣空條 件下的最大Sharpe指標投資組合，則可以應 用 Cauchy-Schwarz 極 大 值 定 理
（Cauchy-Schwarz Maximization Lemma）以
及 Kuhn-Tucker 條件建立一個演算法，我們 稱之為CSM- KT-Algorithm，來求得效率前 緣上最大Sharpe指標之投資組合，其具體演 算步驟如下： 步驟 1：計算 w′ = S-1 e 得到投資權重的初 始解。 步驟 2：如果初始解矩陣w′中的變數均為正 值，則進行步驟 4。若w′中包含部 份負值，則進行步驟3。 步驟 3：假設 w-表初始解中變數為負值投資 權重的向量，w+表初始解中投資權 重為正值部份的向量，則w′ = [w+, w-]T。令w-中的投資權重全部為0， 即將這些投資工具排除於投資組合 之外。另以 w+中的投資工具重新計 算共變異數矩陣的逆矩陣S′-1 及風 險溢酬向量e′，並進行步驟1。 步驟 4：調整投資權重使總合為1，即令w = c w′ , 其中c = (1/
∑
= n i 1 w′i )，而w′i為 投資權重的初始解。則 w 即為最大 Sharpe指標之投資組合比重向量。四、結果與討論
(一)實例一：允許買空賣空之投資組合 實例一以五種不同金融資產組成投資組 合，驗證CSM-Algorithm 的運算步驟。在實 例一的資產配置中將包含五種不同的國際金 融資產，分別為銀行存款、債券、以及三種 國際股價指數基金。存款利投資報酬率以國際的London InterBank Offered Rate (LIBOR)
的歷史資料估計；債券投資報酬率以Salomon
Smith Barney U.S. government bond index 估
計；而三種國際股價指數基金分別以標準普
爾（S&P500）指數, 摩根史坦利（Morgan
Stanley Capital International (MSCI)）指數以
及台灣股票加權指數(TWSE)為代表。我們採 用1984至2001之年報酬率估計各項金融資 產平均報酬率、標準差及共變異數。表1為 各項金融資產之平均報酬及風險(標準差)，表 2為這五項金融資產報酬率之共變異數矩 陣。由表1我們可以發現，通常具有高報酬 率的金融資產相對的具有較高的風險（標準 差）。唯一的例外是MSCI加權指數基金，與 S&P500指數基金比較，MSCI加權指數基金 具有較低的平均報酬，卻有較高的標準差。 表1 金融資產之平均報酬及標準差
Assets Cash Bonds S&P500 MSCI TWSE
Mean (%) 6.40 8.71 12.34 11.08 24.21 Standard Deviation (%) 1.77 4.95 14.48 16.32 48.31
Resource: Merrill Lynch International Bank Limited
M θ wi 圖1.(a) θ M wi M’ 圖1.(b)
6
表2 金融資產報酬率之共變異數矩陣
Covariance Cash Bonds S&P500 MSCI TWSE
Cash 3.12 4.21 3.62 4.76 2.28 Bonds 4.21 24.49 23.25 18.91 -12.54 S&P500 3.62 23.25 209.78 175.73 22.91 MSCI 4.76 18.91 175.73 266.18 361.36 TWSE 2.28 -12.54 22.91 361.36 2333.78 我們採用表1及表2的資料，求取馬可 維茲MV模型之效率前緣，並將其資料代入 式(2)以程式求解非線性規劃問題，求得精確 的最大Sharpe指標資產配置，表3第二列列 出以非線性規劃求精確解的運算結果，包含 其期望報酬、標準差及各項金融資產投資比 重 。 其 中 ，MSCI 指 數 基 金 之 投 資 比 重 為–11.186%。 在本實例中也應用CSM-Algorithm的步 驟求解最大Sharpe指標的投資組合。我們以 表 2 共變異數矩陣的資料，求取其逆矩陣 後，再以表 1 的資料求得各金融資產的風險 溢酬，並將兩者相乘。其結果為(Cash, Bonds, S&P500, MSCI, TWSE) = (0.33158, 0.08392,
0.05963, -0.04935, 0.01541),這個結果為金融 資產投資比重的原始解。我們必須先求得原 始解的總合，再取得其倒數得到 2.2666，然 後將原始解分別乘以 2.2666，就可以得到最 大Sharpe指數資產配置的精確解，其結果如 表3第一列。 在實例一中，CSM-Algorithm 可以求得 與非線性規劃相同的最佳解。值得注意的 是，在本實例中，最大Sharpe指標之資產配 置組合，包含了一個負值的投資比重－即 MSCI指數基金的–11.186%。這個結果隱含 投資者必須賣空MSCI指數基金，才能夠達 到最大Sharpe指標之資產配置組合。 表3 實例一最大Sharpe指標資產配置
Solutions Cash Bonds S&P500 MSCI TWSE µ(%) σ(%) Sharpe Ratio
CSM-Algorithm 0.7516 0.1902 0.1352 -0.11186 0.0349 7.74 2.49 1.100 Non-linear Programming 0.7516 0.1902 0.1352 -0.11186 0.0349 7.74 2.49 1.100 (二)實例二：不允許買空賣空之投資組合 實例二沿用實例一資產配置的數據資 料，將資金投入五種不同的國際金融資產， 分別為銀行存款、債券、以及三種國際及國 內股價指數基金分別為標準普爾（S&P500） 指數, 摩根史坦利（Morgan Stanley Capital
International (MSCI)）指數以及台灣股票加權 指數(TWSE)，並加入不允許買空賣空（金融 資產投資比重不得小於 0）的限制條件後， 求取馬可維茲MV模型之效率前緣，並利用 非線性規劃的程式求解在不允許買空賣空條 件下之最大Sharpe指標資產配置投資組合之 精確解。表 4 第三列列出以非線性規劃程式 求解所得之最佳解，其中包含最佳資產配置 之期望報酬、標準差及Sharpe指數。 為了驗證 CSM-KT-Algorithm 的求解步 驟可以得到相同之最佳解，我們以表 2 共變 異數矩陣的資料，求取其逆矩陣後，再以表 1 的資料求得各金融資產的風險溢酬，並將
兩者相乘。其結果為(Cash, Bonds, S&P500, MSCI, TWSE) = (0.33158, 0.08392, 0.05963, -0.04935, 0.01541),這個結果為金融資產投資 比重的原始解。由於這個原始解，包含了一 個 負 值 的 投 資 比 重 － 即 MSCI 指 數 基 金 的–11.186%。這個結果隱含投資者必須賣空 MSCI 指數基金，才能夠達到最大 Sharpe 指 標之資產配置組合。但是在限制不得買空賣 空的條件下，這個原始解是不可行解。因此， 應 用 CSM-KT-Algorithm 的 求 解 步 驟 ， 令 MSCI 指數基金的投資比重 w4 為 0，即將 MSCI 指數基金排除於資產配置投資組合之 外，然後重新計算其餘四項金融資產的共變 異數矩陣之逆矩陣後乘以其風險溢酬。則我 們 可 以 得 到 新 的 原 始 解 －(Cash, Bonds, S&P500, MSCI, TWSE) = (0.30748, 0.08441,
0.01944, 0, 0.00819)。這個新的原始解是為可
行解，因此我們可以將新的原始解加總後取 其倒數得到常數2.3837。
為了使投資比重之總合為 1，新的原始 解投資比重必須分別乘以 2.3837，以得到表 4 第二列之最佳解。表 4 的第一列列出允許 賣空情況下，利用CSM -Algorithm所求得的 最佳解，其中包含一個負值。比較表 4 第二 列與第三列我們可以確認，在這個實例中， 經由 CSM-KT-Algorithm 之矩陣運算步驟， 可以求得與非線性規劃相同之最佳解。 表 4 不允許買空賣空條件下之最大Sharpe指標資產配置組合
Solutions Cash Bonds S&P500 MSCI TWSE µ(%) σ(%) Sharpe Ratio
CSM-Algorithm 0.7516 0.1902 0.1352 -0.1119 0.0349 7.74 2.49 1.100 CSM-KT-Algorithm 0.7329 0.2012 0.0463 0 0.0195 7.49 2.44 1.022 Non-linear Programming 0.7329 0.2012 0.0463 0 0.0195 7.49 2.44 1.022
五、計畫成果自評
本研究乃在利用 Cauchy-Schwarz 不等 式及Kuhn-Tucker 條件，提出一個求解最大 Sharpe 指 標 投 資 組 合 的 標 準 步 驟 與 closed-form解。這個應用方法，不但較過去 求解非線性規劃的方法更為方便，更可以節 省大量的運算時間與成本，相信對實務界與 學術界均具有重大的意義。本研究成果與與 原計畫之預期相符並達成預期目標，且主要 研究成果目前已整理完成並準備投稿於學術 期刊。參考文獻
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