數 理 人 文 11 40 一 維 複 曲 線 通 常 稱 為 黎 曼 面（Riemann surface）， 根 據 黎 曼 曲 面 的 分 類， 曲 線 是 依 幾 何 虧 格（genus）來分類。當 C 的虧格為 0 時， 運 用 歐 幾 里 得、 丟 番 圖（Diophantus）、婆羅摩 笈 多（Brahmagupta）、 勒 讓 德（Adrien-Marie Legendre）、高斯、哈澤（Helmut Hasse），閔可 夫斯基（Hermann Minkowski）等人的經典方法， 可以完全決定C 上的 K 有理點。例如： C1: 37x + 39y = 1 和 C2: x2 13y2= 1 用基本方法便能完全找出上面所有的無窮多個有 理點。但是一般而言，當C 的虧格是 1 時，我們 甚至無法確定C 是否有 K 有理點，遑論找出所有 屬於C(K) 的點。 舉例來說，在虧格為0 時，我們可以用局部性質 來決定大域有理點的存在性。但是這個方法無法用 在底下的虧格1 曲線上： C : 3x3+ 4y3= 5 事實上，在此曲線上不含任何Q 有理點 1。 在數論、代數幾何、複分析、密碼學和物理等領 域的研究裡，橢圓曲線（elliptic curve）無所不在。 橢圓曲線也是算術幾何（arithmetic geometry）的 研究前沿，出現在懷爾斯（Andrew Wiles）的費 馬最後定理證明中（請參見本期〈2016 年阿貝爾 獎得主懷爾斯訪談〉）。一般來說，算術幾何的研 究目標是找出一數體（number field）K 代數解形 （algebraic variety）C 上的 K有理點集C(K)， 亦即C 上坐標屬於 K 的點。例如，費馬最後定理 可以敘述成：當 n 3 時，有理數體（Q）代數解 形xn+ yn= zn只有無聊解（trivial solution）。 在本文中，我們僅探討一維數體K 的代數解形， 也就是代數曲線 C。其中，K 通常是有理數體 Q 或高斯有理數體 Q(i)，亦即實、虛部皆為有理數 的複數體。
甚麼是橢圓曲線？
作者：丹尼爾斯 Harris B. Daniels．羅札諾 - 羅布雷多 Alvaro Lozano-Robledo 譯者：王夏聲 丹尼爾斯是美國安默斯特學院數學系助理教授
羅札諾- 羅布雷多是美國康乃狄克大學數學系副教授。
作者合影，羅札諾- 羅布雷多（左）和丹尼爾斯（右） 。（Keith Conrad 攝， 羅札諾- 羅布雷多提供）。
