94年數學統測試題B(含解答)

             ( Ａ ) 1. 若 x2 _{x 1 除 2x}3_x2_{ax b 的 餘 式 為  4x 5， 則 a b  ？　 (A)1 　(B)3} (C)4　(D)7。 【94 統測 B】 解 餘式  (a 1)x  (b  1)  4x  5 a 1  4，b  1  5 a  3，b  4 故 a  b  ( 3)  4  1 ( Ｃ ) 2. 設A(4,4)與 B(1,1)為坐標平面上之兩點，若點 C 在AB上且2AC3BC，則 點C 的坐標為何？　(A)(3,3)　(B)(2,2)　(C)(1,1)　(D)(。 【94 統測 B】 解 ∵2AC  3BC，而 C(x , y)為分點 分比 r  AC 3₂ CB  則 x 1 2 3 4 1 2 ₁ 3 1 ₁ 2 x rx r          _ ，y  1 2 3 4 ( 1) 2 ₁ 3 1 ₁ 2 y ry r     _{ }  _ 故 C 點坐標(x , y)  ( 1 , 1) ( Ｂ ) 3. 下列何者為多項式？　(A) 1 4 x  　(B) 2x8　(C) 13 5x4 　(D)6 x2。 【94 統測 B】 解 (A) 1 4 x  與(C) 13 5x4 為分式，而(D)6 x 2為根式 僅(B) _2x8為多項式 ( Ｃ ) 4. 試求(0.0625)1.5 _{ ？　(A)4　(B)16　(C)64　(D)128。 【94 統測 B】} 解 3 3 4 3 _{2 4 (} 3₎ 1.5 2 2 4 2 6 4 625 5 5 1 1 (0.0625) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10000 10 10 2 2                   6 2 64   ( Ｄ ) 5. 設「·」表示四則運算中的乘號，若 22x+1 _23x _{ 5·2}x+4_{，試求 x  ？　(A)0　(B)1} (C)2　(D)3。 【94 統測 B】 解 ∵22x  1 _{ 2}3x _{ 5．2}x  4_2x_．2x_．21 _{ 2}x_．22x _{ 5．2}x_．24 2x_(2．2x _{ 2}2x_{)  2}x_．(5．16)2．2x _{ 2}2x _{ 80} (2x₎2 _{ 2．2}x _{ 80  0}(2x _{ 8)(2}x _{ 10)  0} 2x _{ 8 或 2}x _{  10（不合）　∴x  3}        2 x x x2 x2 2 x2 x2 2 x  x x2_{  1} 1 ( + 1 )b x x x     2 x3 2 x3 A ( 4 , 4 ) ： 2 3 B (1 , 1 ) C x y( , )

( Ａ ) 6. 設 f (x)  ax2 _{ bx  c，g(x)  2x}2 _{ 3x  3，h(x)  2x}2 _{ cx b 為三個多項式，且} a , b , c 均為實數，若已知 f (x) g(x)  h(x)，則下列何者為二次多項式？　(A) f (x)  h(x)　(B) g(x)  h(x)　(C) f (x)  g(x)  h(x)　(D) f (x)  b[g(x)  h(x)]。 【94 統測 B】 解 ∵f (x) g(x)  h(x)_(ax2 _{ bx  c) (2x}2 _{ 3x  3)  2x}2 _{ cx b} (a 2)x2 _{ (b 3)x  (c 3)  2x}2 _{ cx b} a 2  2，b 3  c，c 3  ba  0，b  3，c  0 ∴f (x)  3x，g(x)  2x2 _{ 3x  3，h(x)  2x}2_3 (A) f (x)  h(x)  2x2 _{ 3x 3 為二次多項式} (B)、(C)、(D)均為一次多項式 ( Ｄ ) 7. 下列哪個函數 f (x)具有「對於任意兩正實數 a 及 b，f (ab)  f (a)  f (b)均成立」 的 性 質 ？ 　 (A) f (x)  3x  4 　 (B) f (x)  5x_{(C) f (x)  cos(} _{x) 　 (D) f (x) } logx。 【94 統測 B】

解 ∵log(ab)  loga  logb　∴當 f (x)  logx

f (ab)  log(ab)  loga  logb  f (a)  f (b)

( Ｃ ) 8. 試求 sin 240 cot 210 tan 315 cos120

  _

   ？　(A) 2　(B) 1　(C)1　(D)2。 【94 統測 B】

解 _tan315sin 240 cot 210__ _cos120_  _tan(360sin(180___{45 ) cos(180}60 ) cot(180__ __30 )_{60 )}_

3 3 ( ) 3 sin 60 cot 30 _{2 2 1} 1 3 tan 45 ( cos60 ) _{1 ( )} 2 2                 _{   } ( Ｃ ) 9. 設 為實數，若tan 5 12

  且 sin <0，則 sin cos ？　(A) 12 13  　(B) 7 13  (C) 7 13 　(D) 12 13 。 【94 統測 B】 解 tan 5 12 y x    ，且 sin < 0_在第三象限，令 x  12，y  5 _{r x}2_y2 _{13　∴sin} _cos 5 ( 12) 7 13 13 13 y x r r        ( Ａ ) 10. 設 為實數，若 sin cos 3 5

 _{，則 tan cot ？　(A)} 5

2 　(B) 5 4 　(C) 4 5 　(D) 2 5 。 【94 統測 B】

解 ∵sin cos 3 1 2sin cos 9

5 5     平方得     _sin cos 2 5    而 2 2

sin cos sin cos 1 5

tan cot

cos sin sin cos sin cos 2

                    

( Ｃ ) 11. 在△ABC 中，設 a，b，c 分別為∠A，∠B，∠C 的對邊長。若 a 2b  c  0 且 3a  b 2c  0 ， 則 下 列 何 者 正 確 ？ 　 (A)∠A>∠B >∠C 　 (B)∠B>∠C>∠A (C)∠C>∠B>∠A　(D)∠C>∠A>∠B。 【94 統測 B】 解 ∵ 2 0 2 (1) 3 2 0 3 2 (2) a b c a b c a b c a b c                   _ (2)×2+(1)得 7a  3c_{a } 3 7 c代入(2)： 9 5 2 3 2 7 7 b c a c c c ∴ : : 3 : 5 : 3:5: 7 7 7

a b c c c c _{sinA : sinB : sinC  a : b : c  3 : 5 : 7}

∠A < ∠B < ∠C ( Ｂ ) 12. 設 a ， b ， c ， d 四 正 數 成 等 比 數 列 ， 若 81 cd ab ， 則 此 數 列 的 公 比 為 何 ？ (A)2　(B)3　(C)9　(D)81。 【94 統測 B】 解 設公比為 r，則 b  ar，c  ar2_{，d  ar}3 又∵ 2 3 ( ) ( ) ( ) 81 81 cd ar ar ab a ar   _{81a r a r}2_{ } 2_{ }5 _r4 _{81 3} 4 ∴r  3(r > 0) ( Ｂ ) 13. 設{ }an n 1   為 一 無 窮 數 列 ， 若 2 ( 1) 5 n n n n a    ， 則 1 n n a   



？ 　 (A) 1 5 　 (B) 1 2 (C) 2 3 　(D) 5 6 。 【94 統測 B】 解 1 1 1 1 2 1 2 ( 1) 2 1 _{5 5} 2 1 3 1 ( ) ( ) 2 1 5 5 5 _{1 1 ( )} 3 6 6 2 5 5 n n n n n n n n n n a                        









( Ａ ) 14. 設 L1 : 2x  y  1，L2 : x ay  2，L3 : 2x y  3，L4 : bx  4y  4 為四直線，其中 a 與 b 均為實數。若 L1與 L2平行，且 L3與 L4平行，則 ab ？　(A)4　(B)3 (C)2　(D)1。 【94 統測 B】 解 ∵L1 // L2 2 1 1 1  a   a 2 ；L3 // L4 2 1 8 4 b b      故 ( 1) ( 8) 4 2 ab    

( Ａ ) 15. 兩 平 行 線 5x 12y  14 與   5x  12y  38 之 間 的 距 離 為 何 ？ 　 (A)4 　 (B)13

(C)24　(D)52。 【94 統測 B】 解 兩平行線： 5 12 14 5 12 14 0 5 12 38 5 12 38 0 x y x y x y x y                   其距離 ₂14 38_{2 13}52 4 5 ( 12) d      

( 0 , 9 0 ) ( 4 5 , 0 ) P ( 3 0 , 1 5 ) B ( 0 , 4 5 ) O A ( 3 6 , 0 ) L 1 L 2 x y y x 0 9 0   0 y x 0 4 5   0 ( Ｄ ) 16. 若 A(6,3)與 B( 4,5)為坐標平面上之兩點，則通過AB線段中點，且與直線 3x  5y 29  0 垂直的直線方程式為何？ 　(A)5x  3y 17  0　(B)5x  3y  7  0 (C)5x 3y 17  0　(D)5x 3y  7  0。 【94 統測 B】 解 AB 之中點M(6 ( 4) 3 5 ₂ , ₂ ) (1,4) 設 3x  5y 29  0 的中垂線為 L : 5x 3y  k  0 令 x  1，y  4 代入 L 中，得5 1 3 4      k 0 k 7 故 L : 5x 3y  7  0 ( Ｂ ) 17. 若不等式 ax2 _{ bx  c < 0 之解為 1 < x < 2，則不等式 bx}2 _{ cx  a}_{0 的整數解有} 幾個？　(A)1　(B)2　(C)3　(D)4。 【94 統測 B】 解 ∵ax2 _{ bx  c < 0  1 < x < 2  a(x 1)(x 2) < 0}  a(x2_{3x  2) < 0  ax}2_{3ax  2a < 0} 得 a > 0，且 b  3a，c  2a 故 bx2 _{ cx  a  0}_3ax2 _{ 2ax  a  0}_3x2_{2x 1  0} _{(3x+1)(x 1)  0} 1 1 3 x    且 x 為整數 故得 x  0，1 共兩個解 ( Ｃ ) 18. 在坐標平面上，滿足不等式組 5x  2y180，x  y45，x0，y0 區域面積 為何？　(A)270　(B)675　(C)945　(D)1620。 【94 統測 B】 解 5 2 180 45 0 0 x y x y x y           ，  設 L1 : 5x  2y  180，L2 : x y  45 且 5 2 180 45 x y x y         L1，L2交點 P(x , y)  (30 , 15) 原不等式組的圖形為右圖四邊形 OAPB 區域 區域面積 _{ △OAP 面積  △OBP 面積}  1 36 15 1 45 30 270 675 945 2    2      ( Ｂ ) 19. 在坐標平面上，若不計單位，一圓之面積為圓周長 2 倍，則此圓半徑為何？ (A)2　(B)4　(C)6　(D)8。 【94 統測 B】 解 設半徑為 r，則圓面積 A  πr 2_{，圓周長  2πr，由題意得 πr} 2 _{ 2(2πr)r  4} ( Ｄ ) 20. 某排球隊共有 10 位選手，任選 6 位上場比賽，共有幾種不同選法？　(A)64 (B)105　(C)128　(D)210。 【94 統測 B】 解 本題為一般組合問題：共有 10 10 6 4 10 9 8 7 ₂₁₀ 4 3 2 1 C C         (種選法)

( Ｂ ) 21. 將 10 個相同的棒球全部放入 3 個不同箱子中，若每箱球數不限，則共有多少 種不同放法？　(A)55　(B)66　(C)220　(D)286。 【94 統測 B】 解 本題為重複組合問題：其法有 3 3 10 1 12 12 10 10 10 2 12 11 ₆₆ 2 1 H _C   _C _C _  _  (種) ( Ｄ ) 22. 若 n m P 及 n m C 分 別 表 示 從 n 個 相 異 物 任 取 m 個 的 排 列 數 與 組 合 數 ， 若 2 2 5 120 4 n n P   C  ，則 n ？　(A)4　(B)5　(C)6　(D)7。 【94 統測 B】 解 ∵ 2 2 5 4 ( 2)( 1) ( 1) 120 ( 2)( 1) ( 1)( 2) 120 4 3 2 1 n n n n n n P  _{ }C  _{ }n n_{   }n n n_{  }         n  2  5n  7 ( Ａ ) 23. 在 (2x y2₎6_{的 展 開 式 中 ， x}4_y4_{項 的 係 數 為 何 ？ 　 (A)240 　 (B)260 　 (C)280} (D)300。 【94 統測 B】 解 ∵(2x y2₎6_{展開式的一般項為：} 6 _{(2 )}6 r ₍ 2₎r 6 ₂6 r _{( 1)}r 6 r 2r r r C _ x  _{ }y _C _  _{  }x  _y 令 6 r  4，2r  4_{r  2} 故係數為： 6 6 2 2 2 2 ( 1) 15 16 240 C _  _{    } ( Ｂ ) 24. 投擲兩枚公正的骰子，出現點數和為 7 的機率為何？　(A) 5 36 　(B) 6 36 　(C) 7 36 　(D) 8 36 。 【94 統測 B】 解 設投擲兩骰子樣本空間 S_{n(S)  6}2 _{ 36} 設和為 7 點的事件 A  {(1,6)，(6,1)，(2,5)，(5,2)，(3,4)，(4,3)}_{n(A)  6} 故 P(A)= ( ) 6 ( ) 36 n A n S  ( Ｄ ) 25. 設某班男女學生人數相等，已知男生中的 30%與女生中的 20%戴眼鏡；若從 該班 戴眼 鏡的 學生 中任 意抽 取一 人， 則此 人為 男生 的機 率為 何？ 　 (A) 1 2 (B) 2 3 　(C) 3 4 　(D) 3 5 。 【94 統測 B】 解 設帶眼鏡的事件為 G，則 P(G)  P(男)‧P(G 男)  P(女)‧P(G 女) 1 30% 1 20% 25% 2   2   故 1 _30% ( ) ( ) ₂ 15 3 ( ) ( ) 25% 25 5 G P P G P P G    男 男    男