生成函數在計數問題的應用

多項式的係數

如果政請您寫出以 F 啊(凶多項式 p(X)=X+X2+X3+X4

fJi

l

q(X)=X+X3+X4 相乘的結果，您會怎麼做呢 ?I抖於 p(x)~可 有四項 rfrJ q(x) Tt il 三頂， [*J 此如果先不將 同次項合(井，那麼 p(x)q(x) 的展開式I-IJ 以 預測將台 1c~r

4x3

= 12 頃，每- J日那足 III p(x) 的某 -Jt'! £}jj q(x) 的某一項相乘而悴， 也就是由 F 出兩個集行中各選 IH--{[r\IJ己素 相乘而得: 、ilIII-IIIII-t 、rill--IIII-IIJ 11 、34 件

xxx

flIll-J < llIll-k ir--!li--i > lil--IIIIl -234

xxxx

fill--III-Ill--J 、 lIlli--Illi--i 、 經過|可次項合1f t 後則可何一 p(x)q(x) = 正+ 3

,,,

4

,

1 5

,,,

6

,,,

7

,

R xJ

+

2x'

+

3x一 + 2x"

+

2xI

+

x' 0 如果我在一開始時只問您 p(x)q(x) 的 展開式中封的係數是多少， fa:1171旦大費Pi] 章地將 p(x)q(x) 全部乘閒嗎?當然不需 要，此時您只須觀察在什麼情況 F 會犀牛

x

5_{mJ 可:不難看出總共有三種可能的情} 形: p(X) 的 x 與 q(x) 的計相乘、 p(x) 的正

與 q(x) 的計相乘、 p(x) 的計與 q(x) 的 x 仙

乘等，因此 p(x)q(x) 的展開式中計的係數 A 定是 3 。

許介彥

大葉大學電信工程學系

錯塊與鐵塊 J哼手 j慮慮意怠: →汁{I 鉛塊，重量分別為 l 、 2 、 3 、 4 公斤，此外 還有 1塊鐵塊，重量分圳市 1

'

3 、 4 公斤， 請問: [II 鉛塊fJi1鐵塊各卒，在i!若能湊 111 總

in

5 公斤的重且，總共有幾租 j奏法?您不 難看 ii'， 這個問題其宜只是剛才的問題經過 重新包裝而 U; 這兩個問題也都相當於希 望求 IH f :r~

e

l

+

e

2 =

5

總共有多少組解，其 It I 的 rl 巴 {I ，

2

,

3

,

4} 而且 e

₂

ε {1 ， 3， 4} ，凶此本題湊iI I5 公斤重呈的決 i1;總共打 3 程。 如果除 f 鉛塊干!I 鐵塊之外您還打三塊 鋁塊，重旦分日 I]M 2 、 3 、 7 公斤， Jilj!堂利 用鉛塊、鐵塊、鋁塊手年一，決If'，稅!重 10 公 斤的湊法又行幾祖呢?有1'1著上竿而的論述， 我們知道~~手法數一定就足 (x

+

x2

+

x3

+

x4)(x

+

x3

+

x4)(x2

+

x3

+

X7 ) 的)泛開式中 XID_{的{芳:數;雖然由上式也許可\} 站很快求得此係蚣，不過我們已經可以肯 定「符案就在此式中J '從某個層血來說我 們已經將這個問題解決( 0 上式除{!'t有湊 HI 10 公斤問題的答案 外，它其實也同時包合著 j 奏出其他重量的 問題的答案;例如 I三式的展開式中的 XHFj

f 的係數就分別是j奏出 8 公斤與 9 公斤的

湊i去數等。如果湊 if

\

n (n

=0， 1 立，... )公斤 的湊法有 an 種，那麼上式的展開式中的x0，

xi ，計，...的係數就分別等於。0，

OJ, a2

,'"

'

l忌、!

此下式成立: (x+x2+X3+X4)(X+X3+X4)(X2+X3+X7) =

Lanx

n

在述語上，我們將

)

勻/ Y 他

+

司) X

+

勻 JM X

(

、 EY 凡且可 X

+

-X

+

X JSE 、 、 EY 4斗 X

+

、、 J X

+

勻各 X

+

X

(

稱作數列 a

_O

， a

j

， a

₂

，··· 的「快成 l永i 數 J

( generating

function) 。 而受]ITT 古一，對任意

1固數列 α0' 肉，肉，...我們定義此數列的 生成兩數為

。()+Gi

X

+tJ2X2+ 正1

3

X

3+... 上面的例子中，我們將計算個數的問 題透過生成函數轉化成求多項式係數的問 題，這種技巧對解決許多數學問題而言相 當有用。，以 F我們再看幾個例子。

籃子與球

例題一: 將五顆一模才華的球放入編號由l 令:4 的|叫個靶子中，而且每個籃子最多只能放 兩顆球，總共有幾種方法? 這個問題相當於求 ej +e

₂

+e

₃

+e

₄

=5 ， 0 三三角三 2 總共有多少組解，也相當於求由F 間凹個 集合中各選出一個元素來相乘，所得為x5 的可能情形有多少種: 、lIll-l 〉 lIll-lJ Ol2

xxx

fill--ttId--ll!lk 、 iIII-IIJltpill--III-J Oiz

xxx

fill---41ill--fL 、11111111 』11 、ri1111111111J AV--可 ι

xxx

flllll < Ill--L 、 llIll-LIl--llj AV--勻 JK

xxx

rIll-lJ 、 lIll-L 有 _{{I前面的觀念，我們知道此數一定} 就是 (1 +X+X2_{)4 的展開式中封的係數，因} 此有;案已在此式巾，只要技法求出其中封 的 1*數口 IJI J} 0 一般的1 汁，如果。Il 代表將 n 顆球放入 內個靶子而且待你!\'Iii. J亡最多只能放兩顆球 的方法數，那!堂 (I+X+X2_{)4 就是數列} 的 ， QI ， Q2"" 的 ~t.hX[>ri 數，也就是說 ， an 一 定就等於 (I +X+X2_{)斗的展開式中 f 的係數} (如何求山逗些係數是主J

--

[U] tf~ ;我們暫 且先以能寫出生成兩數借口標D 。 請 ftiE; 仁 i甜的生成函數其實足以應付 當 n=

0

,

I

,

2、..峙的情形，我們原來的問題 只是其中的一種情形(且 IJ

n

=5 時) ，這是生 成函數的相1 普遍的性質，也就是(盡管我 們原本只希望求得某種情形時的答案，不 過-[1.使用丹:成 l永l 數求解，所得的結果會 全面性地將所布同類問題的答案都包含於 其 rjj 。 考慮以 F 問題:從山種不同顏色的球 (假投何種顏色的球都有無窮多顆)中挑 r' Hh 顆球，而且每種顏色最多只能挑兩 顆，總共有多少種挑法?讀者不難看出這 也只是剛 2 的問題經過重新包裝而已。 例題二: 假設 all 代表從三種不同顏色的球(假 設每種顏色的球都有無窮多顆)中挑 lfJ

_r

月 顆球而且每種顏色都須被挑出至少兩顆的 挑法數，以

_F

我們將_{.>K IH 數列肉 ， a}

_l

_勻。

₂

_可 的生成[判數。 要求i

I

Ifan 的怕就相當於求r' f'，-r:式

22

-e

,

_{+e2 +e3}

= 月.， ej 三2 有多少和解;山於每種顏色的球iT IIJ 能他 選 UI 2， 3， 4 ，..顆，凶此求: af] 的 {IFO;f洗干IJ 叮於 求從下)曰:個正巾科選 U

\

·{u'il 元案件什II 乘，所何為 xn 的I-IJ 能的 )f~ 行多少 H1

:

吋F-可 J4 “可

xxx

f11111111111tlJ 、 fi--1 、 111ill--iii 〉 Ill­ 勻舟、 ji 且可

xxx

r!JIlt-)li--ttl' 、』 11111111111111 、 111ill--jllLflIll-III-J 234

xxx

...

r!lljill-'llJ 、 ill-III-Ill--、 閃此數列。 0 ， 0

₁

， 02 ， ···U<)It.成 I>ri 數為

(x 2 +x 3+x4 +...)3

而 anl.注~'\於Jt展 ~8 式 IIJI水) x /1 的係數。 由於 l=l+X+x2+...、 X

+

4“可 X

+

、‘ J X

+

吋/U Y也 一一 可牛 X

I-x

我們又可將上I甜的生成I>r]數問潔地去

(正)

例題三: 假設 an 代表將 n 顆咐:-樣的f:R放入 編號由 l 卡i 5 的 h{因1}:1f.--f[fl的 }J

i1;

1J}史，

Jl:

中編號 1

;flJ

2

1'1<月市手中的球數都必須足偶 數且不能多於八顆， I 而其他三個?在于中的 球數都不能少於三顆吐不能多於 h !l!Ji ; 以 下我們將求 1I1

₁

_{數列。O .， Q\ ， Q2'··' 的生成 I>同} 數。 gE 求出 a" 的{rFlJ祝宇LJ

'i

~;;於求r'

1'1

r:式

e\

+

e2

+

e

,

+

e4

+

e5

=

n

有多少組解，其 II' e

_l

， e

₂

ε {O， 2， 4， 6， 8} 可 E3 可 e

₄

， ε5ε{3， 4， 5}.

11

(前[甜的約 1 驗，手足 {["j 寸J 難立刻寫川數功 I QO ， QI ， 02"" 的生!走向 i數為

(I +

x 2

+

x 4

+

x 6

+

XR)2 (x 3

+

x 4

+

X5)3

|的I a/1 的怕就等於 1-. 式的展開式中 f 的係 數。 擲骰子問題 迪續投揖 I) '*£1骰子，性且持續地將每 次投擲所付的點數千 LJ 刀1I

;

{自投向代表點數 嗯!i'U 1;{6 月的 0J能投擲!明白干1至是千里 d1~例來 品，內 =8 '凶U;;點數總不11 為 4 的可能投擲 順序行以 F 八種:

1+1+1+

1.

1+1+2 勻 1+2 天J ，

2+1+

1.

1+3.

3+

1.

2+2.

4

以下我們將求 UI， 數列的 ， 0， 啥叫，...的生成 ~tj !故 n 如果原來的題 H 限制骰于只能投擲 次，即麼數列 00 ， 0， ， 02 司'"的中成 I>r] 數顯然

將;:[: (x

+

x

2

+ x

J

₊

_x

4

₊

_{x 5}

₊

_x

6

₎

_{， 因為拉 H'，}

111 I

-I

i

6 各點數的方法分別問:L 叫 J

'fiji;

0 ~ll·1果以來的題目中限制骰于須投擲不多不 少正好啊次Il)~ ?此時求代7 的(兩千H 常於求

e

,

_{+e2 =n}

, I 三 el f三 6

1'1<瓜干干J 幾組， I大l Jl:t 數列 °0 句 a， ， 02 可...自zj Ilc. 成

|呵數將是 (x+ 計+計 +x4

_{+x 5}

_+X6_{)2 。依此} 類、推，對任:豈非負整數 k ' 如果原來的題 fj 111_{1恨 nilj 骰子必須投擲不多不少 I 叫{k 次，數} 列 0o ， a， ， a

₂

，·· 的 !f.:. f灰白數都將是 (1+x2+d+ 計 +X5 _+X6_{)k 然而我們原來} 的思日重H交換I) 次數、)(i 役打任何限制，因此 間II數帽、不II 為 n 千~f I-IJ能是科過一次、兩次、

三次、... 投擲後的結果，由此可知原來問 題中的數列肉 ， a

_l

司馬 ，...的生成函數應用

1

+

(x + X

2

+

X

3

+

X

4

+

X

5

+

X

6

) +

(x+x 2 +X

3

+X 4 +X 5 +X

6

)2 +

(x+x 2 +X

3

_{+X4 +X 5 +X}

6₎₃

_+...

也就是

L

(x + X

2

+

X

3

+

X

4

+

X

5

+

X

6/ 這又可簡潔地表為

l 一 (x + X2 + X

3

+

X4 + X5 + X

6) 附帶-提，對任意正整數 n' 我們也吋 以利用遞迴關係來求 f寺內的值 O 山於最後 ‘次投擲的點數介於 l 到 6 之間(含 l 和

6)

，因此如果經過若干次投擲後的點數總 和為 n' 那麼在最後一次投擲前的點數輯、和 必定是 n 一 I ，

n-2

,

n-3

,

n-4

,

n-5

,

n-6

等六數之. ，由此可得如下遞迴關係:

an = an-I + a n- 2 + a n-

3

+

a n- 4 + an- 5 + a n-

6 只要再配向適當的初始條件(例如內， 叭，則，吭，吭，冉的值) ，對任意正整數 n' 我們都能推算 iJJ an 的值。事實上，山數列 a

_O

， a

₁

， 則，...的遞迴定義我們也能導出本題 的生成兩數(見參考資料 [I ])。 展開式中的係數 雖然一個數列的生成函數隱含著數列 的所有資訊，不過要出生成函數實際求出 數列某特定項的值(或是求出數列的一般 式)的工作卻未必容易;這類工作常 uJ 藉 助部分分式(

partial

fractions) 和一些與三 項式定理 (binomial theorem) 有關的恆等

-

24-式來達成。以下列出了幾個這方面較常用 的恆等式:

(1)川iC)xk

(2) 川t= 名叫;jx

(3)

__1_=

l+x+x2

+. I-x

(4)ι才(n+:-1Jxk

'一 n+1

(5

)工二土一=

I

+x+x 2 +···+x n

I-x

(6) 有 h(x)

=

f(x)g(x)

， 其中 f(x)

=

Z>k Xk

且

g(x)

=

~)kxk ， 則

h(x)

= αob

o

+

(αobi +a1bo)x+

(a Ob2 +a1b

l

+a2bo)x

2

_+...

到玄。 b

k

_-

i

JX

k

接下來我們看幾個實際的例子。 例題一: 某數列肉，利，悶，...的生成函數為

(x 2

+ 計 +x4

+...)5

，以下我們將設法求出 其展開式中xl 前的係數(也就是內的值)。 由於

(x

2

+x

3

+x

4

+000)5

=[x2

(l

+X+X

2

+000)]5

=X

I0

_(l

_+X+X

2

_+..0)5

x

lO (1-x)5 因此所求為 (1- x)-5 的展開式中 XI6_-IO ₌

_{x 6}

=(~已Jltf=(l-xllt)7

e

+:

-I)

=

C~)

=

210

我們可令 f(x)= (I -xll_{) 且 g(x)=(l-x)一7 如}

果。k 與仇分別是 f(x) 與 g(x) 中計的係

而數列。0 ， QI ， Q2"" 的(

數，那!蟹。II

=1

,

all = 一I(其他內的值為0)'

、、\Ill-l/

kk

+

勻/ /ttllIll--、、 一-k '。

1M

f(x)g(x) 中 X

25

_{的係數等於}

L

Q

;b

_{2S -;}

=

Q_O

b

₂₅

+

Q

_{l1 bl4}

且 例題二: 某數列

_a

_O

_{， QI ， Q2"}

_{的生成函數為}

(I

+X)19(I+x+x 5)

， 我們將設法求出其展開

式中 X

l5

_的係數。

此生成函數可看成是兩個函數f(x) 不fJ 、\Il--/ AVA 且可 弓，且 11 /Ill-t\ \、 till--JJ/ '-4J 、、以勻 4 /jjtIll--\ 、 其值為 g(x) 的乘積，其中

f(x)

= 川19 主化}k

而 g(x)

=

I

+x+x

5 0 如果我們令 Q

_k

與b

_k

分別 例題四: ~之 11\

(x

2+ 計 +x4

+x

5+X6)7 的展開式

為 f(x) 與 g(x) 中 x

k _{的係數，那麼} \Illi11/

WK

/， lili---1 、\ 一­ Lκ G

Ij1

x2S

的係數

O 由於

(x

2

+x

3

+x 4 +X

S

+X

6

)7

b

o

= bl = b

5

= I

而其他恥的值為 o 0 由 (6) 式叮知我們所求

的 X

l5

_{的係數等於}

1

=[X

2

(1

+X+X

2

+x

3

+x

4

)f

Qob lS

+

Q

_{lbl4 +}

_{Q 2 b 13}

+... +

_QIsbo

14"

2 3 4 、 7 =X'~(\+X+XL +x 一 +x~) 把等於 O 的項拿掉俊剩下 |大|此我們相當於希望求[IiX25-

14

= Xii 在

I

+x+x

2

山

x4)

7 =

(月7

=

(I

-X 5)7

(l

-X)-7

的展開式中的係數。仿照前例，令 f(x)= (l -x5_{)7 且 g(x)}

₌

_(1-

_X)-7

_{; 如果向與}

b

_k

分別是 f(x) 與 g(x) 中 x

k_{的係數，到}

₁

_麼

?的一

I)k

例題三:

ilijlili--i

alobS+al4bl +

alSbO 、、 iIll--/J AYζJ

ll

/Ftllllk\

+

\Ill-J/ 仇YA 且可

ll

//lilt-\

+

\Illi--J/ 几YAυ

ll

/rill--lt\ 其值為 (其他內的值為 0) 求出 (I +x+ 正 +'''+xl_{刊(l +x+ 正 +...)6}

的展開式中 X

25_的係數。 由於

日一 可 zL4 r1rH

數

玄巾 , dTI J 扒』 priiι 「 \il---III-/BE 斗 X

KKFq

+pu 7-A /t!|ll\ 、日叫川 =m 叩 ι υ I 吋lu hn 、

..

F Y屯 vh

x

,, .. ‘.‘ JIJ I • L ιμ 凶

LO/)II-i 立正1

_l

h

I

+

0sb

6

+

°IObl l士。 Jt{1出 \IIll--/ 「 /El /illit--\ 、 \ill--1/ 勻/吋/-'，iitttitti111 、\

+

、、、 ilIII-1 ，/ 7-/O l /lIlli--\ \tlli--1/ 勻 /'l /'， jlfIII-Ill--III-1 、、、 \、 till--JJ/ 勻 /'l ll /Ill-t\ 拉卡一*我們再看/主成 l圳股1'+JI 數 I ，'\J 題 的幾個應用。

多項式的個數

多項式 p(x) 的每-頃的係數部足小於 4 的非負輕數(即屬於集合 {O、 l 、 2勻 3}

) ,

I而 且 p(2)= n 0 對任意非負罪數月，這樣的多 項式 p(x) 輯、共行幾{[Ii]

?

去[]~ p(x)=

b

_o

+

hlx+

b

_2x2

+

b]x3

+ '"

那!雪山 p(2) =

n

i:1J J;日

b

_o

+

2b

_l

+

4b

₂

+

8b

₃

+...

=

n

凶此我們相常於希 EH 得一生11 r. 式;有幾組解， 其中 b

_i

ε 悶， 1 ， 2可 3} 。 假設。/I代表 f: 式 1J 多少紅l 解 ， J}lj 麼數 夕IJ a

_O

， a

_l

， a

₂

可﹒..的 1!". )71( 1永i數為

(\ +

x

+

x2

+

x3)(\

+

x2

+

X4

+

Xl. )

(1+x

4+x8+XI2)

(1

+X8

+X

16+X24)... 也就是 1 6 . 64 I-x"'

l-x

o

I-x'\)

I-x

I-x

l-x

2

_l-x

4

_l-x

8 (1-x)

(1

-x2) (l+x)(\-x)2 干IJJI] 月15分分式叫N守仁吉 +一一一一一一+一一一一一 4(\+x) 4(I-x) 2(1-x)L

---=-+

2

(1

-x") 2 (1 -x)但 二 1--.+---.I

211-x"

(I

-x)"1

寸[三戶 ?+ij

l

)

+

勻，心 X 司J

+

X

吋/-+

(

+

)

+

A斗 X

+

勻­ X

+

(

i

l-2

一一 =

I

+

x

+

2x2

+

2x3

+

3x4

+

3xs

+...

一嘉[l~J+l)"

(主f{毛店買股 x

'

Lx

J

(l

'1

{[i'(f:&月1有小於或等

於 x 的特數巾最大的中在數 υ) |大|此， l'Hf 立 JI: 白位數月，符行要求的

多年i;:~ 總共有 L

n /

2

J

+

I1!'\lο

雖然利用問.. If!;:~ 定坤一;有關的恆等式

full 多時 {I吏 IJ[ 以求，'IL+. 成函數中的係數， 不過還足打比場行且不能(或者很難)單 純地只芋迋 ~'I川等式將係數求 lU ;以下我 們介紹圳你l 干IJ nJ Jt 他方式求 IH 係數的例 技零錢問題 某 m]1喝家發行的相幣 11

1

)已、 5 元、 10 元、 50

)

L;

";r;p q 啊。如果某人擁有這同種硬 幣件州的多枚，他 if 幾相方法可湊出的

)L;

?

主111:;已~JI:f·! 程數月，求 i~IHn 元的方法 數十I !'r;fl }j~ 求!'"式

26

-e

_l

+

e

₂

+

e

₃

+

e

₄ =

n

有多少組解，其中 e， ε{。可 1 ， 2， 3 ，...}， e

₂

ε {0， 5 ，

10

,

15

,...},

eJε{0， 10， 2。可 3。可...}， e

₄

ε {O， 50， 100，...}. 如果湊出 n 元的方法干J DFY 種，芽I;麼數 列 D

_O

， D

₁

， D

₂

，··· 的生成印數為 (1

+x+x

2

+x

3

+"')(1

+x

5

+x

10

+X15+...) .(1

+x

10

_+x

20

_+x

30 +...)(1

+x

50

_{+x IOO +00.)}

這可簡 j草地表為 (1 -

x)

(1 - X5)(1 - XI0)(1 _

x

50) 上式的展開式中 x60 _{的係數是多少} 呢?如果 X A 凡

∞ZM

l-H

L

_一寸

_{B， x}

k

(1-

x)( 卜 xJ ) ~“

1一一一一=可-:'CI.x

k (1 - x)(1 - x·')(1 - X '" )

bii

l = t f D L X (1-

x)

(I -

x)

)(1 - XIυ )(I -x 付出 H 那麼由於

LAkx

k

=

(I-X

5

{名叫

=ZBKXK-ZBKXM 因此下面的遞迴闢係成立:

A

_k =

B

_k -

B

也就是

B k

=A

_{k +Bk}

_

₅

依此類推，我們叉口

I

得

C

_k =

B

_k

+C

D

_k

=

C k

+

D

_{k- 5}

等。由於當Ie =0

_，

1句

_2'00'

日、']

,

A

_k

自I']_{rl(都是 ₁

_'

I

而當_k<O時 _，

_Ak

₌

_Bk

₌

_{C k}

₌

_Dk

₌

₀

_'有了 這些初始條件，對{IX!非民整數 Ie

_'

Bk

_，

Ck

_，

D

_k

的_{rl'(都可求

_a~

;例如

B

O=

A

O

+

B_

5=

1

+

0

= 1

、

B

I = Al

+

8_

4=

1

+

0

= I司

B

₅=

A

₅

₊

B

_O=

1

+

1

=

2

等;當數列

_(B

_k

₎

已算出的項數多到→個地

5J，;-DIJ可開始持

_i

_!'r

_Co

_{啥叫，已，...的值， In]}常數 列

_(C

_k

₎

已算

i+

_，

的項數多到 {[;li

_l

地步即司開 始算

_iH

_月

_p

_叫

，

D

_{2 ，···}

的值。 政們的問題希望求得 D帥的值。由於 D制) =

C

60

+D

10 '因此在

DO'

叫

，···，

q~9

諸項 中我們其實只用得 t.D

_IO

的_{II哇，其他項並.-1<

m

求的;

_I

司王唔，

_FtJ於

_C

₆₀

_{=丸。+抖。，因此}

且不足仇，叭，...、 C

₅₉

的每→頃都用得到;透 過這種事前的規畫目，我們可以省

_F

許多不 必要的計算。 T'表顯示

T

TI:

U\

D

₆₀

過程中戶月 1日到的各項的伯: n

10

5

B

IJII 2

en

II

D_n

10 15 20 25 30 35 4045 50 55 60

3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3

4

9

16

25

36

49

4

53

l

大|此湊 H'160 元的方法總共有 53 種。 整數的表示法 對任意

i

f:負整數月，將 n表為一半進{I'/:數 的方法只有一種(見練習題 1

)

，不過如果 我們允許每個位數可以是 0或 _l 或 _{2 ，也就} 是將 _n表為:

n

=

h

_O+

hi

·2+

h

2

.2

2

+

h

3

.2 3 + 00.

-

27-其中 O~三 b， 三 2 那麼方法就 uJ能有不 [r·. 一種;例如當 n=6 時總共有三種表示法:

6

=o+l·i 十 1·22

=2+0·i+I·2

2

=2+2.2

1

+0.2

2 假設_{an 代表將 n 用上述方式表示的方法數} (因此。6 =3 )。請問 G

2

帥的怕是多少? 求。

_n

的怕相常於求下式 Co 十 e_l 十 e₂ 十 ...

=n

有多少組解，其中

e

_iε {O·

2'

,

1·2\2· 2'}

因此，數列肉，肉，則，...的生成函數為 A' 。 因而() '"'1 -.0 吋 、1 、、 l (XV 斗 +X'C +XL 心 _{)(X" 主 +X'}C + γι) “1 ← ? 可 (xv 一 +x'C

₊

X 一~

)...

這可簡潔地表為 HLi+x2J+xf1)

求廿~ x

200S

_{在土式中的係數的工作用紙莘做}

起來雖然相當費力，不過如果能藉助電腦 程式的話其實已不難求出答案。另外，由

於

il ₌

₂₀₄₈

_{>凹的，因此我們可以忽略上} 式中 x 的指數大於 II 的項，我們只須求LU

位(I

+

x2'

+

x2_·+1 )

的展開式中 x

200S

_{的係數是多少自IJ 可。}

如果只靠紙筆是否真的很難求出 α200S 的值呢?不盡然;對任意正暫數 n' 考慮、 n-b

_O

的值，其值顯然一定是偶數:

n -

b

_o

=

b

_l.

2 +

b

2.

2

2

₊

_{b} .}

_{2} + .. .}

=

2(b

_l

+

b

₂

·2 +

b}

.2

2

_+...)

28

-=2M

其中的 M 也被表成了符合題日所述的形 式。 如果 nl奇奇數(

n

=

2t+

I

),

b。一定是卜 此時 n-I

=

2t= 2M

' 因此 M=t ' 而 n 的任 何 'ff直符合題日所述的表示方式都對應到 M( 即 1 ) 的 J禪:表示)j式;反過來說也成 缸 '11IJ 1 的任何一祖表示方式都對應到2t+l 的一輯表/1\方式( [大|為我們只要將I 自己J 任何 一祖去方式的仔細 2 的指數加 l 即得 山，而力ILl'. 1 叫得 21

+

I )。因此 2t+ I 的表示 )j 式與 I 的表示方式之間存有|映射關係

( bijection)

;可知 a

₂₁

+

₁

- 角，也就是說， 't~';{i

n

~奇數時 ， an 三。(n-I) !2 。 如果 n 為偶數 (n=2t)'n 的表示方式 可分為|初大類， -，.類是恥的{[l'{為 0 ，另一類 是仇的細情 2; 只要我們能得知這兩大類各 有多少種表示方式，此兩數的和就是將 n 表為題日所述形式的方法數。 如果 h()

=0

'那麼 M=t; 與前面的情形 類似，此時2t 的表示方式與 I 的表示方式 之間ι f-j nj煒、I 關{系，因此2t 的表示方法數 等於 f 的表示方法數。 如果 h() 斗，那麼 M=I-I ' 情況還是類 似，此時 2t 的表示方式與t-I 的表示方式之 間存在著|映射關係， [大|此 2t 的表示方法數 等於 t-I 的表示方法數。 綜合以上分析，我們知道ZZ n 為奇數 時， α=α_{(n一 1)12'} 而當 n 為偶數時， α= 。十 Gn!2 . U(n!2 )-1.

有了這些遞迴關係，我們已經不難求得 。2005 的倍(配合初始條件。0=1

) :

= alA'"

-α+α 2005 一 1002

-

~501

'

~500 =α250

+ [a

₂₅₀

+ a

_{249 ]}

= 2a

₂₅₀

+ a

249

= 2[a

₁₂₅

+ a

_{124 ]}

+ a

_l24

= 2a

₁₂₅

+ 3a

_l24

= 2a

₆₂

+

3[α62 +a

₆₁

]=5正1

₆₂

+

3a

₆₁

= 5[a

₃₁

+ a

_{30 ]}

+ 3a

₃₀

= 5a

₃₁

+ 8a

₃₀

= 5a

₁₅

+ 8[a

₁₅

+ a

_{14 ]}

_{= 13al5 + 8al4}

= 13a

₇

+ 8[a

₇

+ a

_{6 ]}

= 21a

₇

+ 8a

₆

=21a

3

+8[a

3+a

2

]=29α3+ 8α2

=29a

_l

+8[a

l

+a

o

]=37a

1+8αo

= 37a

_o

+

8a

_o

=

45a

_o

=

45

因此，凹的總共干T 45 種表示方式。

結語

數學家 H.

S.

Wilf 曾經用 -11) 話很生動 地描述了生成函數的概念:“ A

generating

function is a clothesline on which we hang up

a sequence of numbers for

display." 他寫過 一本關於生成函數的專吉(參考資料[4])

,

有興趣的讀者可以參考。 生成函數用寸問 I函數來表示 -i[叫數列 的概念雖然奇怪，卻可以用來解決許多重 要的計數問題，也常被用來求川遞迴關係 的解，是組合數學中威力相當強大的一項 t 具。 練習題 以下是幾個與本文本[1 關的問題，提供 讀者參考。 1.試由

于L=(l+x)(1+x2)(l+x4)(l+x8)...

I-X 說明每個非負整數表白干二進位數的方法是 u仕司的。 2. 假設。11 代表 e

_l

+e

₂

+e

₃

+e

₄= 月的正整數 向中有幾組，其中 e

₂

與內須為奇數而且到 不能大於3 。試寫出數列。

o ， a

_l

， °

₂

，... 的生

成!永i 數。 3.假設。n 代表將非負整數 n 表為相異正整 數的和l 的方法數:例如 I

a

₆

=4

'閃為當 n=6 日寺總共有 1+2+3 ， 1+5 ， 2+4 ， 6 等 問種方法 O 試寫出數列 a

_O

， a

_l

， 02'··· 的生 成函數 υ 4.求:11

\

(I訂) -5 的展開式 rt1 xl2_的係數。 5. 費氏數列(

Fibonacci

sequence) 可用遞迴 的方式定義市凡=o ， F1=1' 而且 n 汁， 凡 =

F

_{n -2}+ 凡 I ; Itt 數列的生成函數為

x

1-x-x

2 也就是

X

(l

+(X+X

2

_)+(X+X

2₎₂

_+(X+X

2₎₃

_+...)

R 卡 IJ+(n~刊 ;3J+

參考資料

I.訐介彥 (2005) ，數學悠哉避，第九章， 三民吉局。

2.K. H. Rosen

,

Discrete Mathematics and

It

s

Applications

,

5th

edition

,

McGraw-Hill

,