數學史融入數學教學─以高中第三冊第一章「三角」為例
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(2) 誌 謝 記得結婚那天，身為教授的岳父，將太太的手交給我時，要求我一定要繼續 進修，不能只有學士的學歷，在承諾的當下，一直將這份期待牢記在心，三年暑 碩的時間，要感謝的人真的太多。 最感謝的當然是我的家人，特別是太太、岳母以及我的媽媽，每個暑假我到 台北念書，都要幫忙在家帶小孩，尤其是最後一個暑假，除了家裡要搬家外，老 二又剛出生，在家裡人力最吃緊的狀態下，還能接受我在台北兩個月專心完成論 文。偶爾假日回家幫忙時，都感受到三個大人要顧兩個小孩都已經很辛苦了，可 想而知，我在台北寫論文時，太太和岳母要兩個顧兩個，且太太還要上暑期輔導 課，肯定是非常辛苦，也給了我很大的壓力，在一個拋家棄子的狀態，完成論文。 感謝洪萬生教授，您不斷地鼓勵與期許，是我完成論文最重要的力量，您總 鼓勵我「寫論文是培養自己寫作能力最重要的目標」，並適時給予方向與建議， 我在過程中的收穫是很巨大的，也期許我能像您說的「經過論文階段的訓練，以 後看到數學普及的叢書，感受會很不一樣」。 感謝任教學校以及同事們給予的支持，學校提供公假讓我進修；同事更是主 動幫忙，分擔了我暑期輔導的課務以及導師的職務；班上同學們也很乖巧，讓我 專心完成學業。 三年來，我想若沒有家人、老師、夥伴、同學這些許許多多的支持，我想是 無法完成碩士學位的，也期待我能學以致用，將我學習到的東西，反饋在未來教 學之路，以報答支持我的人。. 江炳宏 謹致 中華民國 108 年 1 月. i.
(3) 摘. 要. 本研究目的在了解「數學史融入數學教育」是否有助於提升學生數學學習態 度。配合高中課綱第三冊第一章「三角」的內容，研究者設計三份主題式單元的 HPM 教案，並透過行動研究的方式，在過程中利用課堂觀察、學生的學習單回 饋與學生訪談等方式，不斷地反思與修正教案的方向，以達到研究目的。. 本研究採行動研究法，以研究者任教學校的高二兩個任課班級共 83 名學生 為研究對象，進行三個主題式共六節課關於 HPM 加深加廣的教學活動。研究工 具包含數學態度量表、教學活動學習單以及學生訪談紀錄，進行量化的分析與質 性的詮釋。. 研究結果發現，透過 HPM 的教學活動，對學生數學學習態度上的改變，不 僅在情意部分有所提升，另外也發現，在設計教案時，若能呈現數學家創造理論 的過程，學生亦能在認知的層次有所提升。. 研究者亦在過程中得到重要的反省，由於任教的兩個班的程度差異很大，得 到的回饋差異也很大，透過行動研究的反思，發現即使是 HPM 的教案設計，仍 須考量學生的起點行為，而調整教學活動的內容，以達到認知與情意部分皆能提 升的效果。. 關鍵詞：HPM、行動研究、數學學習態度. ii.
(4) Abstract The present study aims to investigate whetherintegrating history of mathematics into math pedagogy can promote students’ learning attitudes of learning mathematics. Based on the contents of triangleof teaching syllabus which is in Chapter One, Book Three of Senior High Mathematics, the researcher designed three History and Pedagogy of Mathematics (HPM) teaching plans that were presented in thematic units. In order to achieve the research goals, this study applied active research, completed class observation, collected students’ feedback through learning sheets, interviewed the participants, took teacher’s reflection and constantly adjusted the direction of teaching plans.. The subjects (N = 83) were the researcher’s 11-grade students who were divided into 2 classes. The researcher deeply and broadly integrated 3 HPM thematic units into six-hour teaching activities. The research tools included Mathematics Attitude Scale, Learning Sheet of Teaching Activities, and the records of student interview. The researcher statistically analyzed and quantitatively interpreted the collected data.. The results reveal that integrating HPM into teaching activities do not only change the participants’ mathematics-learning attitudes, but encourage their learning affection. In addition, if the instructors can present the processes mathematicians create theories when they design teaching plans, they can increase participants’ levels of recognition.. iii.
(5) In this study, the researcher learns 2 important reflections. Since the different math achievement between the students of two classes is very huge, the difference between students’ feedback is also very great. Through the reflection of active research, the researcher finds that even applying HPM into teaching activities, the instructors should take students’ start-behavior into their consideration. Meanwhile, they have to adjust the content of their teaching activities to promote students’ learning effects of both recognition and affection aspects.. Key words: HPM. Active research, attitudes of mathematics learning. iv.
(6) 目錄 第 1 章 緒論................................................................................................................ 1 第 1.1 節 研究背景與動機 ............................................................................................................... 1 第 1.2 節 研究目的 ........................................................................................................................... 2 第 1.3 節 名詞界定 ........................................................................................................................... 2 第 1.3.1 節 HPM .......................................................................................................................... 3 第 1.3.2 節 數學素養與數學學習態度 ....................................................................................... 3 第 1.3.3 節 行動研究................................................................................................................... 3 第 1.4 節 研究場域 ........................................................................................................................... 4 第 1.4.1 節 研究對象................................................................................................................... 4 第 1.4.2 節 教學內容................................................................................................................... 5. 第 2 章 文獻回顧........................................................................................................ 7 第 2.1 節 數學史對於數學教育之重要性 ....................................................................................... 7 第 2.1.1 節 數學史的意義 ........................................................................................................... 7 第 2.1.2 節 數學史融入數學教育對學生的幫助 ....................................................................... 8 第 2.2 節 行動研究對 HPM 的適用性 ........................................................................................... 11 第 2.3 節 設計 HPM 單元課程的方法 ........................................................................................... 12 第 2.3.1 節 教師本身對數學史發展脈絡的掌握度 ................................................................. 13 第 2.3.2 節 教案的單元在認知與情意面向與課綱所教單元的契合度 ................................. 14 第 2.3.3 節 學生的回饋與學習單評量工具的設計 ................................................................. 15 第 2.4 節 學生學習數學的態度 ..................................................................................................... 16. 第 3 章 研究方法...................................................................................................... 21 第 3.1 節 研究設計 ......................................................................................................................... 21 第 3.1.1 節 研究方法................................................................................................................. 21 第 3.1.2 節 採用行動研究法的原因 ......................................................................................... 22 第 3.2 節 研究對象 ......................................................................................................................... 22 第 3.2.1 節 學校背景分析 ......................................................................................................... 23 第 3.2.2 節 任教學生分析 ......................................................................................................... 23 第 3.2.3 節. 研究者本身與諍友分析 ......................................................................................... 24. 第 3.2.4 節. 研究教材分析......................................................................................................... 26. 第 3.3 節 研究工具 ......................................................................................................................... 26 第 3.3.1 節 數學學習態度量表 ................................................................................................. 26 第 3.3.2 節 教學活動與學習單設計 ......................................................................................... 27 第 3.3.3 節 訪談紀錄................................................................................................................. 27 第 3.4 節 實施步驟 ......................................................................................................................... 29 v.
(7) 第 3.4.1 節 前置階段(準備時間：105 年 9 月至 106 年 8 月) ............................................... 30 第 3.4.2 節 實驗階段(時間：106 年 9 月至 106 年 11 月)...................................................... 31 第 3.4.3 節 後置階段(準備時間：106 年 11 月至 107 年 8 月).............................................. 32 第 3.5 節 資料處理 ......................................................................................................................... 33 第 3.5.1 節 質性資料編碼 ......................................................................................................... 33 第 3.5.2 節 量化資料處理 ......................................................................................................... 33. 第 4 章 研究結果與討論.......................................................................................... 35 第 4.1 節 「數學態度量表」之分析與討論 ................................................................................. 35 第 4.1.1 節 檢驗數學態度量表的適用性 ................................................................................. 35 第 4.1.2 節 「數學態度量表」兩班分別之報表分析 ............................................................. 36 第 4.1.3 節 「研究者自編五題」兩班分別之報表分析 ......................................................... 38 第 4.2 節 質性資料的呈現與討論 ................................................................................................. 41 第 4.2.1 節 第一份教案「連續與離散的戰爭─第一次數學危機」 ..................................... 42 第 4.2.2 節 第二份教案「探索與發現的過程，以海龍公式為例」 ..................................... 46 第 4.2.3 節 第三份教案「托勒密如何編制弦表」 ................................................................. 50 第 4.3 節 研究者行動過程的省思 ................................................................................................. 54 第 4.3.1 節 研究者自身的反省 ................................................................................................. 55 第 4.3.2 節 對 HPM 教材實施的反省 ...................................................................................... 56. 第 5 章 結論與建議.................................................................................................. 59 第 5.1 節 結論 ................................................................................................................................. 59 第 5.2 節 建議 ................................................................................................................................. 60 第 5.2.1 節 待解決問題 ............................................................................................................. 60 第 5.2.2 節 建議......................................................................................................................... 60. 參考文獻...................................................................................................................... 62 中文部份 ........................................................................................................................................... 62 外文部份 ........................................................................................................................................... 63. 附 錄 一 ： 教 案 設 計 ................................................................................................ 64 教 案 一 ： 連 續 與 離 散 的 戰 爭 ， 第 一 次 數 學 危 機 ............................................................ 64 教案二：探索與發現的過程 教案三、三角函數表的發展史. 以 海 龍 公 式 為 例 ............................................................ 66 托 勒 密 如 何 編 制 弦 表 .............................................. 68. 附 錄 二 ： 學 生 學 習 單 ............................................................................................ 70 附 錄 三 ： 課 堂 教 學 PPT 簡 報 檔 ......................................................................... 82 教 案 一 ： 連 續 與 離 散 的 戰 爭 ， 第 一 次 數 學 危 機 ............................................................ 82 教案二：探索與發現的過程 教案三、三角函數表的發展史. 以 海 龍 公 式 為 例 ............................................................ 87 托 勒 密 如 何 編 制 弦 表 .............................................. 93 vi.
(8) 附錄四. 數 學 態 度 量 表 ...................................................................................... 97. vii.
(9) 第 1 章 緒論. 本研究主要是研究者在教學現場，為了提升學生在數學學習的態度所進行的 行動研究。研究者期望藉由 HPM (History and Pedagogy of Mathematics) 的觀點， 進行教學活動的發展與設計，以達到學生對數學能有更正面欣賞的態度，本研究 的歷程與結果，對於未來想要進行相關研究或學習活動設計的教師，或許也不無 參考價值。. 在本章中，研究者將針對本論文之研究動機、研究目的、名詞解釋與研究場 域分別做說明。. 第 1.1 節. 研究背景與動機. 在 20 世紀初，國外學者就有提出數學史融入數學教學的觀點，但一直到 1970 年左右，許多國家才開始重視數學素養的重要性。研究者在一次與台大教授蔡聰 明聚會時的對話中，他提到一句話： 「你無法了解一個定理，除非你知道它是怎 麼來的。」1，顯示出我們需要了解數學發展的脈絡是相當重要的。. 教學現場中遇到的狀況大部分仍是考試領導教學，導致學生只關心「這個會 考要學，這個不會考不用學」，而家長對成績要求的推波助瀾下，進一步造成了 老師也只好變成「這個可能會考我才教，不會考的我就不教。」的情況，數學這 科的影響尤其巨大，台灣在 PISA 數學素養的評比，一直是「高成就、低自信、 低興趣」 。洪有情教授上課時也與我們分享： 「學生為了大學入學考試取得高分， 不斷地反覆練習同樣類型的題目，對高成就的同學來說其實是浪費他寶貴的人生， 他應該做的事是繼續修習更高深的數學或是培養更寬廣的邏輯思維。」2，顯現 出學生心中的數學其實大都是指「數學成就」 。. 1. 引述自蔡聰明與研究者在聚會時的對話，2017 年 7 月 25 日，台北。 引述自洪有情上課對話，2018 年 8 月 17 日，台北。. 2. 1.
(10) 在學生的心中，數學主要功能有兩種，一是成績上可以取得成就，二是在自 然與科學領域可以解決問題。無論如何，數學幾乎以這種「工具觀」的形式出現 在學生心中，很少人真正去了解數學從何而來，為什麼一個定理被發展出來的過 程是如此美麗，進而站在欣賞的角度去學習數學。. 承上所述，研究者希望站在「文化觀」的角度切入，期望帶領學生發現數學 之美，重新認識數學，並提供新課綱特色課程的設計作為參考。. 第 1.2 節. 研究目的. 近幾年來，國內不斷有對高中課綱提出改革的浪潮，以提升學生的數學素養， 而一個具有數學素養的學生，固然受到他對於數學的成就與能力的影響，但是更 重要的應該是他對數學的態度，也就是他如何看待數學，在教育部日益強調素養 導向的學習下，108 課綱也要求高中學校要實施「特色課程」 ，以學生為學習主 體，從「老師該教什麼」修正為「學生想學什麼」期望打破考試領導教學的迷思。 3. 承上所述，本研究主要問題為：如何提升學生數學學習的態度。而主要目的 為：運用數學史與數學教學(History and Pedagogy of Mathematics)的觀點，設計一 套三個主題式單元的 HPM 教案，藉此提升學生對數學學習的態度。研究者透過 HPM 教案設計，針對自身在教學現場所教的兩個高二自然組的班級進行實際教 學，期望能藉由行動研究，改善教材教法的設計，並作為日後設計特色課程的依 據。. 第 1.3 節. 名詞界定. 本研究所採用的重要名詞之界定，如下所列。. 3. 參考網址為 https://goo.gl/Tty7zG。 2.
(11) 第 1.3.1 節 HPM. 所謂 HPM（International Study Group on the Relations between the History and Pedagogy of Mathematics），是指隸屬於國際數學教育委員會（ICMI）的一個研 究群，專門推動數學史與數學教學之關聯，後來，HPM 也用以簡稱數學史與數 學教學關聯之學門。簡單地說，它是數學史對數學教育的一種應用，目的當然是 利用數學史的研究成果、以及數學史與數學教育的互動，來提升數學教師的教學 品質與學生的學習成效。4. 第 1.3.2 節 數學素養與數學學習態度. 根據教育部(2012)所定義的數學素養係指：. 「個人的數學能力與態度，使其在學習、生活、與職業生涯的情境脈絡中面 臨問題時，能辨識問題與數學的關聯，從而根據數學知識、運用數學技能、 並藉由適當工具與資訊，去描述、模擬、解釋與預測各種現象，發揮數學思 維方式的特長，做出理性反思與判斷，並在解決問題的歷程中，能有效地與 他人溝通觀點。」5. 而「數學學習態度」一詞裡所指的態度，一般來說包含了的認知、情意與技 能(張春興，1989)，因此本研究對數學學習態度一詞的解釋為：個人在認知、情 意與技能於數學學習上的表現。. 第 1.3.3 節 行動研究. 行動研究一詞起源於 1950 年代，率先由美國提出，主要特性為「行動者即 研究者」。(Ranjit Kumar，2015)，其目的通常為：在特定場域下，研究者發現 問題想嘗試進行改變以達到問題的解決(Ranjit Kumar，2015)。也因為研究的場 域是特定的，因此在推廣至其他場域時是否適用需審慎評估，不具有通則性。 4. 引述自洪萬生等，〈發刊詞〉， 《HPM 通訊》，第 1 卷第 1 期。 參考 https://goo.gl/xLRWaF。 3. 5.
(12) 張子超(2000)認為行動研究的特性大致有下列三項：. ‧行動研究的研究對象是與實際工作情境中有關的問題或人物，如班級的學生、 教職員以及學生的學習表現等等。. ‧行動研究的研究設計是一種綜合性的整體架構，以解決實務上所遭遇的問題以 及尋找新的發展為目的，它必須仰賴真正的觀察結果以及行為的資料，而進 行的研究，屬於實證的研究。. ‧行動研究的研究設計及過程具有彈性與適應性，在研究進行期間，允許改變， 同時也會放棄控制措施，以利反應和現場的實驗與創新。6. 第 1.4 節. 研究場域. 第 1.4.1 節 研究對象. 在研究過程中，研究者針對兩個高二的教學班級進行之行動研究，班級屬性 分析如下。. ‧二年四班(以下簡稱 1104 班)：該班有 42 位學生，其中 22 位男生 20 位女生， 高二分組為自然組普通班，國中會考換算後的 PR 值7班平均約為 56。. ‧二年五班(以下簡稱 1105 班)：該班有 41 位學生，其中 25 位男生 16 位女生， 高二分組為自然組科學實驗班，國中會考成績換算後的 PR 值班平均為 87。. 其中二年四班為研究者之導師班，從高一就開始任教；二年五班為任課班， 從高二才接手為任課班級。. 6. 參考網址為 https://goo.gl/pSfJyk。 根據國中基測推動工作委員會定義，基測 PR 值又稱為百分等級，是先將該次測驗所有考生的 量尺總分排序後，依照人數均分成一百等分，該生大約會落在第幾個等分中。 4 7.
(13) 第 1.4.2 節 教學內容. 本研究以高二上學期所學的第一章「三角」這個章節之基礎課程外，進行額 外的三個與 HPM 相關的主題式課程，分別為「第一次數學危機」 、 「探索與發現 海龍公式的過程」以及「托勒密如何編制弦表」 。利用這些教學內容，期望透過 學生的學習表現與學習單的回饋，得到「教材對學生數學學習態度的提升是有幫 助的」的實證研究。. 5.
(14) 6.
(15) 第 2 章 文獻回顧 在近二十年 HPM 的發展趨勢下，已有相當多的文獻可以進行探討。國內在 洪萬生教授發行《HPM 通訊》8，自 1998 年至今，許多中學教師也參與其中， 分享他們實行數學史與數學教育的成果。由於本研究主題就是 HPM 之課程設計， 以下各節分別討論數學史對於數學教育之重要性、行動研究對 HPM 的適用性、 設計單元課程的方法、以及學生學習數學的態度。. 第 2.1 節. 數學史對於數學教育之重要性. 第 2.1.1 節 數學史的意義 李文林(2000)在他的《數學史概論》9指出：. 與其他知識部門相比，數學是一門歷史性或者說累積性很強的科學，重大的 數學理論總是在繼承和發展原有理論的基礎上建立起來的，它們不僅不會推 翻原有的理論，而且總是包容原先的理論。例如數的理論的演進就表現出明 顯的累積性；在幾何學中，非歐幾何可以看成是歐氏幾何的拓廣等，在數學 的進化過程中，幾乎沒有發生過徹底推翻前人的情況。如果對比於天文學的 地心說、物理學的乙太說、化學的燃素說的命運，就可以看清數學發展不同 於其他學科的這種特點，可以說，唯獨數學，每一代人都在古老的大廈上添 增一層樓，因此當我們要為這幢大廈添加磚瓦時，更有必要了解它的歷史。 因此不瞭解數學史就不可能全面了解數學科學。. 顯然，數學知識的這種累積特性，使得我們必須要追溯源頭，才能更好地理 解數學。事實上，我們也可以得到偉大數學家的忠實見證：. 萊布尼茲(1646-1716)曾說：「經過深思熟慮而得到的重大發明，去了解它的 8. 參考網址 https://goo.gl/hAUwU8。 李文林，2000， 《數學史概論》 ，頁 2。. 9. 7.
(16) 起源是很有益的。」10。龐加萊(1854~1912)認為：「如果我們希望預知數學的將 來，適當的途徑是研究這門學科的歷史和現狀。」11。H.Weyl(1885-1955)也說過： 「除了天文學以外，數學是所有學科中最古老的一門科學，如果不去追溯自古希 臘以來各個時代所發現與發展起來的概念、方法和結果，我們就不能理解數學的 目標，也不能理解他的成就」。12. 此外，國內外學者對數學史的重要性也有許多註解。譬如，謝佳叡(1999)也 提到：. 數學是一門累積的學科，它的過去將永遠融會於它的現在以至未來當中。一 個已被證明為真的定理，絕不會因為時代的演進或文化的遷移而變成偽的， 這是數學的特性，也使的學習它的發展史更富有意義及價值。13. 我們必須要了解歷史最重要的原因就是要鑑往知來，歐陽絳(1994)說： 「歷 史從哪裡開始，思維就應該從那裡開始。」14。. 第 2.1.2 節 數學史融入數學教育對學生的幫助. 學生了解數學史可以大概有以下幾點作用：. ‧增加學習動機。一個概念或是定理是如何被發現的，一定有其背後的時代背景 以及原因，在電影《風暴佳人(2009)》中，描述海巴夏對於托勒密所提的天 動說「地球是宇宙的中心，太陽繞著地球轉，並且軌道是一個圓。」感到困 惑，因為如此便不會有晝夜長短之分，進而猜測也許軌道是橢圓，奠定日後 科普勒的行星三大運動定律。若我們能了解歷史的來龍去脈，可以更增添學 生學習數學的興趣。. 10. 參考網址為 https://goo.gl/hmtZbC。 參考網址為 https://goo.gl/hmtZbC。 12 參考網址為 https://goo.gl/hmtZbC。 13 引自謝佳叡，1999， 〈幾何原本第Ⅶ卷定義之解讀（上）〉，《HPM 通訊》 ，第 2 卷第 4 期。 14 參考歐陽絳，1994， 《數學的藝術》 。 8 11.
(17) ‧更深入的學習。對於一個概念或定理可以知其所以然，甚至可以了解古人曾經 犯過哪些錯誤，有時錯誤反而提供新的發現，如此不斷循環下創造更豐富的 數學，而非只是把前人發現的東西死記，對數學更增添韻味。. ‧培養學生的文化觀。一個理論不一定單一數學家所發現的，有些是分別發展後 以不同的路徑得到答案，或是中西方尚未交流前各自就有彼此的成就，如畢 氏定理在中國最早的歷史記載裡，周朝的商高也已經了解這個公式，或是高 斯消去法的原理，在中國魏晉時的劉徽也有類似的想法，甚至 17 世紀的歐 洲，牛頓與萊布尼茲分別以不同的路徑發明了微積分等，在學生學習數學上， 情意方面的增進會是很大的幫助。. 以下，舉幾位國內外知名學者對於 HPM 的必要性。Barbin(2000)提出數學教 學中融入歷史維度最常見的兩個理由是：. ‧對於「數學究竟為何？」的觀點，數學史提供了我們另一種思考的機會。 ‧數學史讓我們對於概念和理論有更好的瞭解。15. Tzanakis 和 Arcavi (2000)等人對數學史可以幫助數學教學則有五大立論：. ‧幫助數學學習 ‧對於數學本質和數學活動的發展，可有另一個觀點 ‧提升教師自己教學知識 ‧讓教師能喜好數學 ‧視數學為一項文化成果。16. Grugnetti(2000)對於數學史在教學上的影響有如下三點：. ‧引發學習動機, 從而使學生及教師本人保持對數學的興趣和熱情。 ‧以歷史建構數學的技能和概念。 15. 參考蘇俊鴻課堂講義，〈用數學史來看高中數學由《溫柔數學史》談起〉。 參考蘇俊鴻課堂講義，〈用數學史來看高中數學由《溫柔數學史》談起〉。 9. 16.
(18) ‧經由歷史的分析，讓教師了解為何某一特定概念對於學生造成困難。17. 蘇意雯(2011)對 HPM 的文獻整理如下：. 「數學史融入數學教學所能達成的目標，可以涵蓋三個範疇，那就是情意、 認知及文化活動。(1) 情意：引發學習動機、激起學習興趣、藉由數學家傳 記啟發學生人格成長。(2) 認知：幫助學生經由歷史脈絡，了解數學概念發 展。藉由文本讓學生比較不同解題方法或思考方向，解放對數學的單一思考 方式。 (3) 文化活動：經由認識各民族各具特色之數學發展，珍視數學文 化性，達成有意義的學習。」18. 蕭文強(1992)在總結 J.Fauvel 的“Using History in Mathematics Education” (J.Fauvel， 1991)中，提到運用數學史於數學教育的理由包括：. ‧引發學習動機, 從而使學生及教師本人保持對數學的興趣和熱情。 ‧為數學平添“人情味”，使它易於親近。也使學生明白前人創業的艱辛，並且明 白到不應把自己碰到的學習困難歸咎於自己愚笨。同時，教師也可以從歷史 發展中的絆腳石瞭解學生的學習困難，可以參考歷史發展作為計劃課題安排 的指引。 ‧瞭解數學思想發展過程，能增進理解。對比古今，能更好明白現代理論和技巧 的優點。 ‧對數學整體有較全面的看法和認識。 ‧滲透多元文化的觀點，瞭解數學與社會發展的關係，並提供跨科合作的通識教 育。 ‧數學史提供學生進一步探索的機會和素材。19. 2017 年七月，台大退休教授蔡聰明跟研究者說過一句話： 「你無法理解一個. 17. 參考蘇俊鴻課堂講義，〈用數學史來看高中數學由《溫柔數學史》談起〉。 參考科學教育研究與發展季刊，2011，” Research and Development in Science Education qualterly 2011”， 第 62 期，75-96 頁。 19 引自蕭文強，1992， 〈數學史和數學教育：個人的經驗和看法〉 ， 《數學傳播》 ，第 16 卷第 3 期。 10 18.
(19) 理論，除非你知道它是如何被創造出來的」 ，顯示出我們對數學的態度應從「工 具觀」轉變成「文化觀」。對於近年來的教育變革，如翻轉教室等，大多都是要 將「以老師為中心」的教學方式，轉變為「以學生為中心」的學習方式，數學史 融入數學教育也希望能達到這樣的目的。學生以往學習數學普遍以工具導向為主， 要學好數學是因為它有用，也許是可以考試取得高分，或是可以解決一些科學上 的問題。而結合數學史的數學教學更能使得學生從認知與技能面向，更增添了情 意面向。以畢氏定理的諸多證明為例，一者是古希臘歐幾里得《幾何原本》第一 冊命題 47，這即是所謂的「面積證法」 。二者是古中國三國時代趙爽註解《周髀 算經》時，所提供的「弦圖證法」 。三者也是歐幾里得所貢獻，記載在《幾何原 本》第六冊命題 31，由於它的證法運用了相似三角形的比例性質，因此被稱為 「比例證法」20，其餘還有許多偉大的名人都給過不同的證明方式，這些人甚至 有些不是數學家，如達文西也給過美妙的證明，因此學生學習數學史能以更高觀 點來欣賞數學之美。. 第 2.2 節. 行動研究對 HPM 的適用性. 在傳統的數學教育以解題導向為主流的教學方式，很多人不認為 HPM 能夠 在數學教室的教學活動中，而行動研究的主要目的為：以實務問題的解決或改善 為主要導向，強調研究的應用價值性21，因此對行動研究而言，任何主張都是可 以質疑的，近二十年來，有許多教學現場的教師透過行動研究，設計 HPM 教學 活動，使學生感受到數學的溫度。以下舉國內一些教學現場的先輩，藉由行動研 究所得到的結論，支持 HPM 教學活動。. 王淑明(2014)在《數學史融入國中七年級數學社團活動之行動研究》的論文 中提到，透過三階段的行動環，學生對數學學習的看法有如下之結論：. 數學史融入教學活動，讓學生了解學習數學的重要性，提升學習動機。從數 學史發展脈絡中去了解，其實數學是為了要解決生活中的需要而產生的，數 20. 引自洪萬生，〈HPM 隨筆（三）：勾股定理的『非常』遐想〉， 《HPM 通訊》，第 7 卷第 1 期。 參考 Ranjit Kumar(黃國光譯)，2015， 《研究方法：入門與實務》 ，頁 156。 11. 21.
(20) 學的發展過程，也是人類歷史文化的一部分。數學史讓學生了解數學與日常 生活是息息相關的，了解學習數學的重要性，提升學生學習數學的意願。. 數學史融入教學活動，讓學生體會數學的多元性，改變對數學的想法。一般 人以為數學就是枯燥的一堆計算，很麻煩加上很難懂。透過數學史的介紹， 學生可以效法古代數學家做學問的精神、數學史發展的過程、見識到古人的 智慧等多元的面向，了解數學其實有很有趣的一面，不再對數學感到害怕。 22. 蘇意雯在《數學教師專業發展的一個面向：數學史融入數學教學之實作與研 究》的論文中提到，透過協同行動研究進行HPM教學也得到學生的回饋： 把數學史融入數學課程中，學生更能掌握虛數的概念的問題。23. 郭乂愷在《高雄地區高職一年級數學史融入教學之行動研究-以三角函數單 元為例》的論文中提到：. 將數學史融入三角函數的課程中，透過數學史中對於三角函數的鋪陳，學生 可以去體會當時數學的時空背景所要遇到的困難，以及為了要解決問題進而 由幾何學而外發展出三角學，讓學生了解數學的發展與定理的假設的由來， 有助於提升數學學習動機與興趣。24. 由以上幾位專家學者研究的結果顯示，在數學教室的教學活動中，學生透過 HPM的教學活動，可以有更多元的體會。. 第 2.3 節. 設計 HPM 單元課程的方法. 國內對於國高中 HPM 經過 30 年的萌芽、奠基與錘鍊，目前設計出的教案 22. 引自王淑明，2014， 《數學史融入國中七年級數學社團活動之行動研究》 ，頁104。 參考蘇意雯，2004， 《數學教師專業發展的一個面向： 數學史融入數學教學之實作與研究》 ， 頁 133。 24 引述郭乂愷，2016， 《高雄地區高職一年級數學史融入教學之行動研究-以三角函數單元為例》 ， 摘要。 12 23.
(21) 已經涵蓋許多單元，師大數學系洪萬生教授所創刊的「HPM 通訊」中就有許多 知名的現任教師分享教案設計，研究者總結，設計一份好的教案大致需要涵蓋三 個面向：教師本身對數學史發展脈絡的掌握度、教案的單元在認知與情意面向與 課綱所教單元的契合度、學生的回饋與學習單評量工具的設計，以下就上述三點 分別敘述。. 第 2.3.1 節 教師本身對數學史發展脈絡的掌握度. 謝佳叡提及數學教師的數學觀： 有些教師認為從歷史的角度注入數學活動，實踐多元文化與人文的關懷，讓 數學成為有血有肉的學門，但不可輕忽的是，這事說來容易做起來可就不簡 單，因為此將涉及更專門的數學文化史或數學社會史，並非每個教師對這些 領域都有接觸。有些教師認為數學史可讓教學更有系統，讓學生知道所學的 數學從何而來。. 25. 一個教案的設計，背後都是需要有相當的專業知識的支持，設計者才能以更 高觀點來看待這份教案。研究者之前修數學科教材教法的教授曾說： 「教一個學 生至少要比這個學生高兩個水平，不能只有高一個水平。」 ，意指教國中最好能 掌握大學以上的知識水平，教高中應有研究所以上的知識水平。以此觀點來看， 要設計一份 HPM 的教案，設計者本身要能對數學史發展的脈絡要能正確地掌握， 這裡的數學史發展的脈絡，不單指對數學家的生平或對數學的貢獻，或奇聞軼事 等，而是更深層的了解也許在某個時代背景下，對數學的創造性。. 國內出版社有許多都有出數學普及的叢書，多廣泛閱讀，不一定只局限於數 學史的書，如三民書局的鸚鵡螺叢書就是專門在講高中數學的加深加廣的內容， 閱讀不僅可以增加我們知識的涵養，當我們在不同書籍當中讀到有介紹相同的內 容時，也可感受不同觀點的回饋，甚至還可以有自己獨到的見解，增進教師本身 數學史的涵養。 25. 引自謝佳叡， 〈從對數學式子的評價探數學教師的數學觀─數學史知識需求面向的另一種思考〉 ， 《HPM 通訊》，第 3 卷第 10 期。 13.
(22) 第 2.3.2 節 教案的單元在認知與情意面向與課綱所教單元的契合度. 課綱由於受到授課時數的關係，若要在達成課綱所需涵蓋的範圍之餘，又要 能融入 HPM 教學，教材的選定與使用時機就變得更為重要，以蘇俊鴻所獲得的 2006 高中優良科學的教案餘弦定理為例26，設計者設計之理念，主要強調餘弦定 律的發現脈絡，結合課綱中高二第一章「三角」的內容，能使學生對公式的了解 更為深入，也能比較出餘弦定律與畢氏定理中的差量2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶更有體悟。因此適 當地使用 HPM 教材可以幫助學生對認知與情意兩個層面都能有更好的學習。以 下略舉一些教學現場老師在配合課綱所設計的 HPM 教案。. ‧高一第二冊第三章，機率－巴斯卡與費馬給了賭金分配問題不同的解法：. 在 1654 年左右，愛好賭博的法國人米爾(Chevalier de Mẻrẻ)向巴斯卡 (Blaise Pascal)提出了類似的分配賭金問題，引發了巴斯卡與費馬(Oeuvres de Fermat)之 間探討機率問題的多封通信，而他們的通信中利用組合方法給 出了這類問題的正 確答案，並在機率論中創立了一些基本結果。米爾的問 題如下：兩人比賽各出資 32 金幣，規定必須要贏三局才能贏得賭金，但後 來比賽因故終止，且勝局比為(1,0)，問此時應如何分配賭金？27. ‧高一第一冊第三章，指數與對數，數學史融入教學－以對數為例： 蘇俊鴻（2002）在對數單元的教學，介紹文藝復興時期法國數學家 Nicholas Chuquet(死於 1487 年)將巴比倫人級數研究的成果延拓，將 2 的次方由 20 1 寫到 220 1048576 ，並觀察任兩個 2 的次方相乘的結果。主要說明兩個平行 的數列之間運算關係對應的發現。接著介紹 John Napier（1550～1617）如 何產生對數的概念，進而將乘法運算透過對數轉換成加法運算，並創造對數 表的過程，加深學生的體悟。28. 26. 參考網址 https://goo.gl/v1Kka9 引自蘇慧珍，〈 『數學期望值』學習工作單〉，《HPM 通訊》，第 6 卷第 8 期。 28 引自蘇俊鴻，〈數學史融入教學--以對數為例 〉， 《HPM 通訊》，第 6 卷第 2 期。 14 27.
(23) ‧高二第三冊第一章，三角－和角公式中的托勒密方法：. 在托勒密的《The Almagest》的第一冊中，記載了托勒密如何做出他的弦表， 給出圓心角及其相對應的弦長。托勒密為了要製作他的弦表，證明了一連串 的幾何命題，從他對正弦的定義（圓心角所對的弦長） ，或是餘弦的定義（圓 心角之補角所對之弦長，他稱之為半圓的剩餘，remainder of the semicircle） ， 可以得到現今所謂的和角、差角、半角公式，其中，以托勒密定理（圓內接 四邊形對角線的乘積等於對邊的乘積和）作為證明的工具。29. ‧高三第五冊第一章，極限：. 在現行高中數學教材中，高一課本有一章內容為數列與級數。其中級數單元 的教學目標之一，即是無窮等比級數的求和問題。在南一版本的教科書中， 編者提到季諾 (Zeno of Elea, 490BC~430 BC) 的「阿基里斯悖論」(Achilles paradox)，與阿基米德 (Archimedes of Syracuse, 287 BC ~ 212 BC)求拋物線 弓形面積，似乎是一個合適的引起學習興趣的切入點。但是，如果我們能夠 還原歷史真相，盡量貼近這些古代學者的歷史脈絡，將會發現另一種數學學 習的樂趣。同時，或許還能幫助我們多少瞭解學生在學習無窮概念時，所隱 含的認知障礙。30. 綜合以上所述，數學史中有趣的奇聞軼事可以提升學生的情意態度，而若能 配合教科書中所學，也可以對認知態度有所提升。. 第 2.3.3 節 學生的回饋與學習單評量工具的設計. 一個教材是否可以達到教學成效，主要還是要看學生的回饋，顯示不同場域 的學生對於同一份教材的收穫也會是不同的，這裡的回饋可以分為：. ‧短程的回饋，學生對於這堂課感覺很有趣。 29. 引自蘇惠玉，〈三角函數公式的托勒密方法〉 ，《HPM 通訊》，第 4 卷第 5 期。 引自蘇惠玉，〈從一個問題說起：無窮〉， 《HPM 通訊》，第 5 卷第 1 期。 15. 30.
(24) ‧中程的回饋，學生對於學習數學的意願提高。 ‧長程的回饋，學生看待數學的態度有所改變。. 設計者設計一份好的評量工具，具有兩個重要功能： ‧學生本身能從學習單中思考所學，並且對學生來說，完成學習單的過程也 是學習。 ‧提供好的訊息可以修正教材的內容，一份教案對於學生的學習成效，除了 受到教案本身的內容影響外，也會受到實施對象的影響，因此學生的回饋可以使 教師能做微調與修正，教師可以藉由評量工具的回饋，了解學生學習需求，適時 地調整教案設計的方向。. 第 2.4 節. 學生學習數學的態度. 心理學家張春興指出： 「『態度』是一種抽象的概念，是個人憑其認知及好惡 對周遭人、事、物所表現的一種相當持久與一致的行為傾向， 任何一種態 度都是有組織且因不同對象所導致的。」31. 李佳芬等將數學態度歸納為：. 在環境的影響下，個體於學習數學過程中，對學習數學的內容，逐漸形成的 看法與行為表現的特質，是與數學相關的認知、情意、技能三面向之間的綜 合表現。32. 以下就三個面向探討學習數學的態度之相關文獻. ‧教師對學生學習數學的影響。蕭文強認為：「除了傳授知識以外，數學教師更 有責任培養學生的數學素養、眼光和品味。固然，這不是一樁輕而易舉的工 作，但只有身在第一線工作的教師才能肩負這項任務，再周全再詳盡的課程. 31. 引自張春興，1989， 《張氏心理學辭典》。 李佳芬等，2003， 《不同教學策略活化課程對國小三年級學童數學成就及其態度之影響》。 16. 32.
(25) 綱要亦只能起指引作用而已。數學教師應該設法在日常教學裡滲透這種文化 觀點和歷史眼光，讓學生暢泳其中，漸漸形成自己的數學觀。要這樣做，教 師必須充實自己的學識。數學的學識可作縱橫看，縱是追溯數學概念和理論 的來龍去脈，橫是認識數學的本質和意義，經緯交織而成。一個數學教師也 像一個獨奏表演者，憑著自己的理解、領會、功力去詮釋音樂作品。要作美 妙的詮釋，表演者本人先必須瞭解該作品和喜愛該作品。數學教師亦復一樣， 要把數學教好，教師本人亦必須保持自己對數學的興趣和熱情,充實自己的 學識，培養那種文化觀點和歷史眼光。在這幾方面，數學史肯定是有幫助的。 33. ‧台灣學生普遍學習數學的態度。臺灣學生學習數學的方式已長期受「高成就、 低自信、低興趣」矛盾模式的影響而存在著（李佩芬，2013） ，不少學生是 從高成就中取得學習動機，形成一種「考試能取得高分，所以我願意學」的 學習模式，而在這當中有許多學生能取得高成就的方式是靠著花大量時間練 習解題，更精確地說是練習考試常考題型的解題技巧，反覆操作相同步驟， 或是補習取得的高成就。實際上他們對數學是低自信，害怕困難與具有挑戰 的題目，只要考試考的題目是他們沒看過的題型，他們便會產生恐懼，因此 這類的學生也是低興趣的，他們願意學數學只是為了考試取得高分。而隨著 年級的增長，教材難度也日益增加之下，這些學生一旦開始遭遇到挫折與困 難，很可能會反覆循環，在挫折與無法解決困難下更加挫折，他們將成為「低 成就、低自信、低興趣」的學生，因此提高學生對數學的興趣，是學生能否 產生「終生學習」的重要因素。. ‧108 課綱的目標。教育部在 108 課綱數學領綱中的基本理念就有闡述：. 數學是一種人文素養，宜培養學生的文化美感 數學能成為一種與自然界對 話的語言，是經過人類數千年來一連串探究、歸納、臆測與論證的成果。數 學有其內在理路的發展走勢，也因為回應社會的需求，在文明裡扮演不可或 缺的角色。人類各種族文明造就出不同的思維文化，例如，古代東方數學偏 33. 引自蕭文強，1992， 〈數學史和數學教育：個人的經驗和看法〉 ， 《數學傳播》 ，第 16 卷第 3 期。 17.
(26) 向具象方式的歸納推理，而西方則傾向抽象方式的演繹思考，數學史能夠幫 助我們理解數學發展在不同文化的差異。認識數學的文化面向，不僅有助於 讓數學學習從工具性層次延伸到智識性層次，也更彰顯數學知識的人文價值， 達到「適性揚才」與「終身學習」的教育目標。34. 顯示教育部在課綱的制定過程，對數學學習也相當重視態度，近年來有許多 創新的教學法，包括翻轉教學、合作學習、差異化教學等，都是為了致力提升學 生學習數學的動機與興趣，十二年國教也要求各校要有「選修特色課程」 ，教師 可以依據各個學校的學生特質設計屬於自己學校的特色課程，而 HPM 也是設計 特色課程很好的想法。. ‧HPM 對於學生數學態度的影響。許多文獻都提出學習一個事物，應該了解它 的歷史，圖 2-4-1 顯示出學習數學是由心理學層面結合歷史層面學習數學35. 圖 2-4- 1. 學生學習數學的層面. Furinghetti 與 Paola 認為在課堂上融入歷史可能達到的兩個取向： 「(1) 歷史 主要功能在於激發學生在數學上的興趣」，此處的歷史含括了問題的出處、 軼事和插圖的出處、趣聞的來源等。(2) 整合歷史進入數學教學，就是以數 學為主體，安排實行的課程，探討教育的議題、數學的脈絡，從一個新的觀. 34. 參考教育部，2016， 《數學領綱》。 參考 Fauvel&van Maanen，2000， 《History in mathematics education》 ，頁 144。 18. 35.
(27) 點以及佈置一個新的工作環境，以幫助達成數學的目標。」36. 2015年台灣學生在PISA的分數，數學為全球第四，然而台灣學生對數學的 興趣卻是落後許多國家，本研究期望能藉由HPM教案在教學現場的行動研究， 提供設計特色課程的一些想法。. 36. 參考 Furinghetti&Paola，2003， 《History as a crossroads of mathematical culture and educational needs in the classroom. Mathematics in School》 。 19.
(28) 20.
(29) 第 3 章 研究方法. 本章主要說明在研究的過程中，從研究前的規畫、研究過程的調整、到研究 後的資料處理進行討論。本章共分為五節，第 3.1 節為研究設計、第 3.2 節為研 究對象、第 3.3 節為研究工具、第 3.4 節為研究步驟、第 3.5 節為資料處理，以 下各節分別做說明。. 第 3.1 節. 研究設計. 本節主要說明本研究所使用的研究法，以及原因。. 第 3.1.1 節 研究方法. 本研究採行動研究法，採用美國社會心理學家勒溫（Kurt Lewin，1946）提 出之螺旋式循環的研究流程(圖 3-1-1). 教案設計 發現問題. 文獻探討 檢討反省 圖 3-1- 1 研究概念架構圖. 21. 教案實施.
(30) 第 3.1.2 節 採用行動研究法的原因. 大致有以下三個因素使研究者決定使用行動研究法。. ‧誠如第 1.1 節研究動機所述，研究者想改變教學現況中，學生普遍對數學的態 度大多呈現「成就觀」與「工具觀」 ，即學生學習數學通常只是為了能取得 好成績、或是想考取的學校學測要採計數學、或是自然科老師如物理、化學、 地科不斷強調學該學科會用到許多數學，才把數學當作一種工具，學數學另 一目的是為了解決自然科的問題。. ‧由於研究者的研究目的為：設計一套有助於提升學生對數學的態度之 HPM 課 程，研究者必須在過程中不斷透過反思並修正教案的方向，以達到研究目的； 除此之外，更期望能達到前面第 2.4 節所述「中程的回饋：學生對於學習數 學的意願提高」與「長程的回饋：學生看待數學的態度有所改變」，而行動 研究的核心價值即為研究者的自我省思，因此研究者期望透過「行動者及研 究者」的研究過程中，不斷改進 HPM 教學活動的設計，確實可以促成學生 對數學學習的態度的改變。. ‧研究者受到研究場域的關係，所教的兩個班差異相當大，評估並不適合採用實 驗研究法，且由研究目的的面向來看，亦較適合採用行動研究法，第 2 章文 獻回顧中，第 2.2 節亦有許多先輩老師，在行動研究的過程獲得很大的反思 與收穫。. 第 3.2 節. 研究對象. 本研究的研究對象為研究者所任教學校高二的兩個班級。以下就學校背景分 析與任教學校分析分別說明。. 22.
(31) 第 3.2.1 節 學校背景分析. 研究者所任教的學校位於花蓮縣的某私立學校，為國高中完全中學，高中部 一個年段有五個班，與一般學校最大不同的特點是學生來自全省各地，許多學生 在國中時就離開家鄉來就讀，因此學生來源大致有三種：. ‧國中部直升高中部，大約佔 50%，當中又有 50%是從外縣市來就讀的學生； 國中部直升高中部的學生程度較高，家長也較關心學生的學習，特別是外縣 市且從國中部就開始就讀的學生，102 年的學測考 75 級分的學生便是直升 高中部的外縣市學生。. ‧高中從外縣市跨區到花蓮就讀，大約佔 20%，大部分願意高中才跨區來的學生 都是家長認同學校辦學理念，強調品德教育，國中時沒考上本校國中部的學 生，這部份學生家長也很關心學生的成長，不過成績方便通常不會太要求， 學生學習成就相對沒有直升的同學高。. ‧在地花蓮的學生，大約佔 30%，受到十二年國教政策的影響，高中私校有補助 的關係，在地花蓮的學生來就學的比例也有增加，相對前面兩部分的學生來 說，在地花蓮的學生學習意願與學習成就較低，父母社會經濟背景相對也較 底層，有放學後要回家幫忙父母親顧商店的學生。. 學生整體表現大致呈常態分佈，以去年高三學測表現，頂標比全國頂標低 5 級分、前標比全國前標低 4 級分、均標比全國均標低 2 級分、後標比全國後標高 2 級分，底標比全國底標高 5 級分。37. 第 3.2.2 節 任教學生分析. 在研究對象方面，研究者有高二年段的兩個任教班級，共計 83 位學生，其 中「1104 班」42 位，「1105 班」41 位，班級屬性說明如下： 37. 依照大考中心定義之：頂標為前 25%學生的平均、前標為前 50%學生的平均、均標為全體學生 的平均、後標為後 50%學生的平均、底標為後 25%學生的平均。 23.
(32) ‧ 「1104 班」 ：導師班，高一時便接任導師的工作，高二分組後為自然組普通班， 雖然有重新分組，仍然有 30 位同學留在原班，變動不大，入學時將數學的 會考成績換算成 PR 值大約為 56。. ‧ 「1105 班」 ：任課班，高一由另一位數學老師教，高二才換成研究者接任。高 一時已經是特色班級「科學實驗班」 ，因此在高二時班級組成沒有變動，入 學時的數學會考成績換算成 PR 值大約為 87，另外，當中有 11 位在國中時 數學是研究者的任課班學生。. 另外，將兩個班做比較，在段考的班平均大約差 20 分左右；兩個班都是自 然組，但是一個班是科學實驗班，班級屬性差異甚大，誠如 3.1 節研究設計所述， 也是本研究採取行動研究法的其中一個考量原因。. 第 3.2.3 節 研究者本身與諍友分析. 本研究除了研究者本身為主要教案設計與實施者外，也有許多諍友提供寶貴 的意見作為教案設計之參考，以下分別作說明。. ‧研究者本身：在完全中學任教 8 年，每學年皆有在國中部與高中部授課，在任 教第 4 年受到昔日大學教授與大學同學的影響，開始接觸數學史，並對融入 數學教學產生興趣。平常課餘時間除了閱讀數學史相關的書籍，也會閱讀許 多數學普及的叢書，並嘗試在課堂上與學生分享。在完全中學任教對教學有 一個很大的幫助，就是熟悉國中的教材對高中的教學是很有幫助的，舉例來 說，國中所學大角對大邊，大邊對大角，是定性的概念；到了高中的正弦定 理可知a，b，c 三邊長是和 sinA，sinB，sinC成正比，是定量的概念。也因 此研究者期望透過行動研究的方式，不僅能設計出 HPM 的教案提升學生的 數學學習態度，也藉此反思自身的教學，了解需要改進的地方。. 24.
(33) ‧阿興老師：研究者的大學同學。曾在北部國中任教 3 年，因為人生規劃的考量， 阿興老師對台灣的數學教育有遠大的抱負，因此轉換跑道考取北部某大學數 學系的博士班。目前是博士班四年級的學生。阿興老師與研究者平常在 line 群組上就會互相討論數學，也經常有定期的聚會，因為聚會的同學大多是數 學系的同學，因此聊天的內容也多半與數學有關，舉例來說，桌遊「七大奇 蹟」中有領袖卡牌的設計，其中有阿基米得、歐幾里得、畢達哥拉斯、托勒 密、海巴夏等古希臘數學家，阿興老師便會分享這些數學家的故事，是研究 者在數學史與數學教育的啟蒙恩師。另外在研究者設計的教案也會提供寶貴 意見，並且在態度量表的分析也提供研究者很大的協助。. ‧阿婷老師：研究者的另一位大學同學。是一起修教育學程的夥伴，現在在北部 一所高中任教，已有八年的教學經驗，在定期聚會中，我們常常分享教學。 阿婷老師也提供優良教案設計的作品給研究者參考與實施，與研究者可謂是 亦師亦友。. ‧阿明教授：研究者大學時期的數學科教材教法的教授。教授在定期聚會或是 line 群組常常會分享數學教育的心得，給予研究者在數學教育上的觀點有很大的 轉變與成長。阿明教授也寫了許多數學普及的書，裡面許多內容皆有提供研 究者作為設計教案時的重要參考，是研究者在數學教育領域的啟蒙恩師。. ‧阿男老師：校內同事。已有 11 年的教學經驗，在學校也是國高中部皆有任教。 另外由於阿男老師與研究者在師大數學系在職進修，許多觀點也能透過彼此 分享而成長。在教案設計的過程，阿男老師亦提供許多寶貴意見，包含學生 起點行為的狀況、教案內容順序安排上的建議，給研究者很大的幫助。. ‧阿賢老師：校內同事。已有 11 年的教學經驗，在學校也是國高中部皆有任教。 在這次研究者的行動研究中，阿賢老師對數學史算是較為陌生，但阿賢老師 的態度非常積極，除了對教案的內容協助上網查詢相關的補充知識外，還主 動觀課並協助攝影與教學紀錄，課堂觀察時，也協助研究者了解學生上課的 學習狀況，對於研究者教案執行的結果，能更加掌握學生的學習狀況，作為 25.
(34) 研究者的反思。. 第 3.2.4 節 研究教材分析. 本研究主要為透過有效的教案設計，以提升學生數學的學習態度。由於研究 者這學期任教年段為高二，配合課綱的內容，配合課本第一章「三角」為主題。 相較於與高一的課程，三角不僅在符號的使用上更加抽象，符號間的轉換也更加 困難，學生普遍在學習上會遇到較大的挑戰，研究者期望能在「三角」的教材中， 利用 HPM 的教案設計，提升學生學習數學的態度。. 第 3.3 節. 研究工具. 本研究使用的研究工具有：數學學習態度量表、教學活動設計、訪談紀錄， 分別說明如下：. 第 3.3.1 節 數學學習態度量表 採用曹宗萍與周文忠所編定的數學態度量表38，該量表雖為國小數學態度量 表之研究，但根據文獻紀載，該量表分為學習數學的信心(1-9題)、數學有用性 (10-18題)、數學探究動機(19-26題)、對數學成功的態度(27-34題)、重要他人的數 學態度(35-46題)、數學焦慮(47-55題)等六個分量表，共55題。研究者經與同事討 論，認為仍可適用於反應高中學生學習數學的態度，譬如數學焦慮的部分，隨著 學習數學的時間越久，難度也越深的情況下，更能反應長期以來學生學習數學的 態度。如第50題：「想到要上數學課我就覺得不快樂」 ，國小生也許受到教材較 為容易或老師授課方式較為活潑的影響，短期並不感到數學焦慮，經過國高中難 度更深，老師授課內容更扎實的情況下，長期聽不懂便漸漸對學生數學學習產生 焦慮；該論文結論也指出，四年級的數學態度總分顯著高於五年級，五年級數學 態度總分顯著高於六年級。另一方面，本研究目的是了解HPM教材是否有助於 38. 引自曹宗萍與周文忠，1998， 《八十七學年度教育學術研討會論文集》 。 26.
(35) 提升學生數學學習態度，實驗期間僅約八周，前後測的時間沒有很大的間距，因 此研究者認為，此量表仍可用於檢視高中數學學習態度，只是年齡的差異，數學 態度量表的總分應會低於小學生的數學態度量表總分。. 另外研究者與同事討論後，設計了五題對數學史認知與情意的態度部分(如 附錄四)，在課程實施前後作前測與後測，比較教案是否有助於提升學生學習數 學的態度。. 第 3.3.2 節 教學活動與學習單設計. 本研究在行動過程中，共設計了三份 HPM 教案(如附錄一)，每個教案皆實 施兩堂課，使用 PPT 授課，並觀察課堂上學生的反應。每份教案皆有學習單作 為同學的回家作業，收回後利用學生給予的回饋，提供下一份教案設計的參考。 各單元教案與學習單詳見附錄。. 學習單的設計理念：主要目的是以情意為主的開放式問題，但為了提升同學 作答的意願，會搭配部分知識性的封閉性問題，主要想法是透過較簡單的封閉性 問題，讓學生產生親切感後，較願意回答開放性的問題。(詳見附錄二). 第 3.3.3 節 訪談紀錄. 以下分訪談時間、訪談對象、以及訪談方式三個部分說明訪談紀錄的實施流 程。. ‧訪談時間。在教案實施後，研究者會批閱學生的回饋單，將學習單內容，作為 訪談的依據，考量即時性的效度，會在教案實施後的一周內完成訪談。. ‧訪談對象。根據學生學習單回饋的內容，挑選幾位作答比較有意思的學生作為 訪談對象，這裡指的有意思不局限於正面的回饋，也包含負面的回饋，作為 之後教案設計的依據。 27.
(36) ‧訪談方式。由於研究目的為設計有用的教案與教師自我增能，本研究採無結構 式訪談，根據學生學習單的回饋，作進一步的提問，藉此更深入地了解學生的想 法。. 28.
(37) 第 3.4 節. 實施步驟. 本研究主要有三個階段分別為前置前置階段、實驗階段、後置階段，流程圖 如圖 3-4-1 前 置 階 段. 文獻探討. 閱讀數學普及的書 閱讀 HPM 通訊. 編製數學態度量表. 發展第一份教案. 分析學生起點行為. 與同事討論、修正、定稿. 實 驗 階 段. 實施教案. 實施態度量表前測. 批閱學習單. 訪談、回饋與反思. 發展下一份教案. 實施態度量表後測. 後 置 階 段. 資料處理與分析. 撰寫研究報告. 圖 3-4- 1 實施步驟流程圖. 29. 行 動 環.
(38) 第 3.4.1 節 前置階段(準備時間：105 年 9 月至 106 年 8 月)。準備內容大致如下。. ‧閱讀數學普及的叢書與電影。在教師自我增能的部分，必須先對教學內容有更 深入與更寬廣的了解，因此這段時間研究者先大量閱讀坊間許多數學叢書或 電影，舉例如《爺爺證明題》 、 《數學的發現趣談》 、 《數學拾貝》 、 《數學史概 論》 、 《溫柔數學史》 、 《當數學遇見文化》 、 《博士熱愛的算式》 、 《天才無限家》 、 《風暴佳人》等，與高中數學或是數學史脈絡較有相關的書籍與電影，增進 自己對相關知識的豐富度，也藉由閱讀提供研究者更多教案設計的發想。. ‧參加 108 課綱的研習。教育部推行 108 課綱要求各校皆要開設 「特色選修課程」 ， 數學領綱期許教師能夠以學生為中心的學習，設計課程盡量以「學生該學什 麼」為出發，並非以「老師想教什麼」 ，因此在教材設計上，研究者設計教 案時，盡量配合教科書的內容設計 HPM 教案，研究者也認為，了解數學領 綱的目標有助於設計教案。 ‧閱讀《HPM 通訊》39。HPM 通訊是由師大洪萬生教授與許多教學現場的老師 們所創刊的網站，2000 年發刊至今已有 21 卷，裡面有非常豐富的內容，包 含 HPM 的源起、許多優良的教案、數學史料、讀者的回饋等，可以提供教 學現場的老師閱讀，進一步分享給學生。. ‧文獻探討。閱讀相關文獻可以提供研究者設計教案的原理，或是許多碩博士論 文所進行的相關研究，所得到的結論與建議，也可以提供研究者須注意的問 題，以及研究的方向，擬定研究計畫。. ‧分析學生起點行為。由於研究者教學班級的原因，本研究以高二兩個班級，學 校共有五個班，為了分析與比較，事先蒐集了學生入學的會考成績、高一時 的段考成績。. 39. 參考網址 https://goo.gl/hAUwU8。 30.
(39) ‧編製態度量表。除了採用曹宗萍與周文忠數學態度量表40外，研究者與同事討 論後，另外設計了 5 題與 HPM 相關的自編量表，學生前測與後測的改變， 亦可作為參考。. ‧發展第一份教案。與學校老師討論後，雖然第一章節是在講三角，理論上應該 從三角函數的發展史來切入，不過在討論過程中在還沒學過三角的符號就帶 入歷史的難度相當大，要從印度改良托勒密弦表的定義，甚至要從更早的天 文學家西帕切斯（Hipparchus，約 180~125B.C）對於天文學的需要而構想做 弦表的脈絡出發，介紹三角函數的定義是不太可行的，學生至多了解背景與 聽聽數學家的故事，對認知應該是沒有幫助。. 由於是第一份融入數學史的教案，研究者與校內老師討論認為以數學史的開 端，也就是泰利斯與畢達哥拉斯開始提起，從畢氏學派萬有皆整數介紹到西帕索 斯發現無理數的過程，引入離散與連續的問題讓學生思考，最後介紹第一次數學 危機的歷史(詳見附錄三)，理由如下：(1) 畢氏定理學生學過，並且畢氏定理是 幾何學最根本也最重要的定理，三角學是幾何的重要概念。(2) 情意為主，主要 介紹畢氏學派，但有兼顧認知部分，提到連續與離散的概念。(3) 加強學生對有 理數和無理數的概念，對日後三角函數表的近似與估算誤差有正確的概念。. 第 3.4.2 節 實驗階段(時間：106 年 9 月至 106 年 11 月). 本實驗共實行八週，於開學後的第一堂課實施「數學態度量表」的前測後， 隨即開始執行第一行動環，三個行動環的詳述如下。41. ‧第一行動環。在前置準備中已經完成規劃，行動的時間為進入第三冊 1-1「直 角三角形的邊角關係」之前，先實施第一份教案「離散與連續的戰爭─第一 次數學危機」 ，綜合課堂觀察、學習單回饋與訪談紀錄回收回來的資料(詳見 第四章研究結果)做以下的反省。. 40. 引用自《八十七學年度教育學術研討會論文集》，卷 3。 本行動研究的三個行動環如 3.1.1 研究設計所述：教案設計→教案實施→檢討反省→發現問題 31. 41.
(40) ‧第二行動環。根據第一行動環的反省，研究者在「重新規劃」階段，所做的調 整著重於兩個部分，一個是教材與課程的契合度，另一個是態度層面，教案 需增加認知的比例。因此在教材的選取上，決定以「海龍公式的探索」作為 教案的單元，原因有三個：(1) 教科書在 1-3 餘弦定理介紹完，有介紹海龍 公式，並且用代數方法證明，有配合到課本的內容。(2) 帶領學生探索海龍 公式發現的過程。(3) 提供阿基米德手稿的幾何證明(李文林，數學史概論)， 學習單的設計也介紹中國南宋時期的數學家秦九韶所發現的「三斜求積術」 ， 兼顧認知、情意與文化的層面。教案實施階段的時間設定在課本 1-3「正弦 定理與餘弦定理」教完後實施。. ‧第三行動環。根據第二行動環的反省，研究者在「重新規劃」階段，做了兩個 調整。(1)由數學史根源出發，還原數學家建構一個知識的過程中，最根本 的想法。(2) 教學時間將兩堂課增加為三堂課，增加學生實際操作與思考的 時間。配合教科書的內容，研究者第三份教材選擇「托勒密如何編制弦表(蔡 聰明，2009)」作為 HPM 的教案設計(見附錄一)。主要有以下兩個原因：(1) 學生對三角函數已有基本的理解。(2) 教材能契合教科書內容，學生在學為 三角函數的查表後，深入了解三角函數表的由來，能有更深刻的體會。而在 「行動」階段，考量認知的層面比重更高，除了時間增加外，前置作業也先 給定托勒密定理的證明作為回家作業，讓同學先回家思考後，並在下一堂課 補充幾何與代數的證明後，才實施這份教案，期望學生在有工具的狀態下可 以較為順利的操作。. 第 3.4.3 節 後置階段(準備時間：106 年 11 月至 107 年 8 月)。後置工作大致如 下：. ‧數學態度量表後測。請同學作答與前測相同的數學態度量表，藉此比較教學前 32.
(41) 後是否有所差異，進行量化研究。. ‧資料整理與分析。包括學習態度量表整理，反向題重新計分，以利於資料分析 (見第 3.5 節)，以及學習單批閱，整理、訪談紀錄整理等。. ‧與同事討論質性資料的詮釋、並撰寫研究報告。. 第 3.5 節. 資料處理. 本研究同時蒐集了質性與量化的資料，質性的資料有課堂活動學習單與訪談 紀錄，量化資料有數學態度量表前後測，分別說明如下：. 第 3.5.1 節 質性資料編碼. ‧課堂活動學習單。以「學 110401」代表 11 年 4 班 1 號的課堂活動學習單內容 ‧訪談紀錄。以「訪 110501」代表 11 年 5 班 1 號的訪談紀錄。 ‧課堂上課反應。以「課 110402」代表 11 年 4 班 2 號在課堂上的發言與討論。. 第 3.5.2 節 量化資料處理. ‧採五點量表計分。每題答非常同意得 5 分，答同意得 4 分，答不一定得 3 分，答不同意得 2 分，答非常不同意得 1 分，輸入 excel 紀錄原始檔案. ‧反向題重新計分。根據「國小數學態度量表編製之研究」論文中，反向題 有 4,6,12,14,15,16,18,20,22,23,24,26,30,31,33,36,38,39,40,41,43,46,48,50,51,53,55 題，答非常同意得 1 分，答同意得 2 分，答不一定得 3 分，答不同意得 4 分，答 非常不同意得 5 分。. ‧前測與後測使用 SPSS 23.0 統計軟體進行獨立樣本 t 檢定。. 33.
(42) 34.
(43) 第 4 章 研究結果與討論 本章主要目的是呈現研究者藉由行動研究，進行所設計的三份 HPM 教學活 動，將所得到的研究結果進行討論。. 本章共分為三節，第一節先呈現量化資料「數學態度量表」的分析與討論， 第二節呈現課堂上課情境、教學活動學習單與訪談紀錄等質性資料的分析與討論， 第三節為研究者行動研究的省思。. 第 4.1 節. 「數學態度量表」之分析與討論. 本節主要分別分析研究者所任教的兩個班學生，在「數學態度量表」以及研 究者自己所編五個問題的前測與後測，所給予的回饋進行分析，採用的是成對樣 本 t 檢定。以下分別說明如下。. 第 4.1.1 節 檢驗數學態度量表的適用性. 根據「八十七學年度教育學術研討論會文集」 ，曹宗萍與周文忠所著「國小 數學態度量表的編制與研究」中，所編 55 題的信度可靠性α值為 0.92，而研究者 在兩個班進行前測所蒐集到的資料，信度可靠性α值為 0.91，顯示給予高中生做 這份量表，仍然具有參考價值。另外，量表的六個面向：學習數學的信心(1-9 題)、 數學有用性(10-18 題)、數學探究動機(19-26 題)、對數學成功的態度(27-34 題)、 重要他人的數學態度(35-46 題)、數學焦慮(47-55 題)，做進一步分析分項內部一 致性後，發現第 6 題「在所有的科目當中我對數學最沒有信心」 、第 10 題「學好 數學對讀國中高中比較有幫助」 ，第 13 題「要繼續升學就要把數學學好」 、第 20 題「遇到困難的數學題目我常會停下來不再想它」 、第 27 題「假如我的數學很厲 害同學會來問我數學問題」、第 31 題「數學成績好大部分同學會嫉妒我」 ，為無 效的試題，分析時不採計；而第四面項「重要他人的學習態度」(35~46 題)，內 部一致可靠性α值僅 0.674，經與專家討論後，認為重要他人的數學態度，會隨著 35.
(44) 年齡上升，重視的程度會減弱。舉例而言，小學生很重視家長的態度與獎懲，家 長也較注重孩子的成績表現，但到高中許多學生學習成就降低，家長也不再如此 重視孩子的成績，作量表分析時，亦先不採計 35~46 題，其餘分項的內部一致性 α值皆大於 0.7，適合進行分析。. 表 4-1- 1. 數學態度量表不採計之題目. 態度向度. 刪除之題目. 學習數學的信心(1~9 題). 6. 「在所有的科目當中我對數學最沒有信心」. 數學有用性(10~18 題). 10. 「學好數學對讀國中高中比較有幫助」 13. 「要繼續升學就要把數學學好」. 數學探究動機(19~26 題). 20. 「遇到困難的數學題目我常會停下來不再想 它」. 對數學成功的態度(27~34 題). 27. 「假如我的數學很厲害同學會來問我數學問 題」 31. 「數學成績好大部分同學會嫉妒我」. 重要他人的數學態度(35~46. 皆不採計. 題) 數學焦慮(47~55 題). 皆採計. 第 4.1.2 節 「數學態度量表」兩班分別之報表分析. 以下將分別對 1104 與 1105 班做「數學態度量表」做分析與解釋。. 表 4-1- 2. 1104 班之「數學態度量表」報表 成對樣本 t 值. 顯著性. 2.97. -.883. .384. 3.51. 3.24. -1.939. .062. 3.12. 3.06. -.594. .557. 態度向度. 前測平均. 後測平均. 學習數學的信心. 3.05. 數學有用性 數學探究動機. 36.
(45) 對數學成功的態度. 3.71. 3.58. -1.213. .234. 數學焦慮. 3.37. 3.35. -.146. .885. 表 4-1- 3. 1105 班之「數學態度量表」報表. 態度向度. 前測平均. 後測平均. t值. 顯著性. 學習數學的信心. 3.16. 3.31. 1.706. .098. 數學有用性. 3.52. 3.75. 2.168. .038*. 數學探究動機. 3.50. 3.48. -.241. .811. 對數學成功的態度. 3.74. 3.75. .210. .835. 數學焦慮. 3.31. 3.51. 2.363. .025*. 註：*表示 p<.05. 從兩個班數學態度量表的表現可以發現 1104 班與 1105 班的結果差異很大， 1104 班在六個面向的平均都是退步的，也就是後測的分數低於前測的分數，在 「數學有用性」的面向，t 值為-1.939，差一點達到顯著差異；而 1105 班後測分 數僅「數學探究動機」比前測低 0.02，在其餘的面向，後測都比前測高，並且在 「數學有用性」 、 「數學焦慮」、與量表總分皆達到顯著差異(p<.05)。. 造成兩班差異如此大的原因，研究者經過分析有以下原因：. ‧學生程度與教案設計的難易度之關聯。在第三章說明研究對象時有提到，1104 班學生的 PR 值為 56，1105 班學生為 87，而在第二份教案與第三份教案設 計，認知的比例比重增加，情意的比重減少，當學生的超出他所能理解的程 度太多時，容易呈現放棄學習的狀態，因此對 1104 班許多學生而言，第三 份教案反而降低他們學習數學的態度，再加上新近效應的影響，也有可能是 造成態度量表分數下降的因素；而 1105 班的學生程度較高，在第一份教案 的學習單回饋，也是該班的學生認為應該增加認知的比重，因此當教案設計 中認知的比重增加時，對他們學習數學抱持更正面的態度不減反增。 37.
(46) ‧教材本身單元的影響。從表 4-1-2 與 4-1-3 的報導可以發現，兩個班在「數學 有用性」的前測分數是很接近的，經過兩個月「三角」的課程學完後，1104 班的後測下降了 0.27 分，1105 班的後測增加了 0.23 分，研究者分析，在算 術與代數以及排列組合的學習，學生較能感受數學是有用的，而許多中低成 就的學生，在學習三角時會遇到很多挫折，並且也不認為學習三角對未來或 理解其他知識有幫助，而高成就的學生較能認同學習三角是很有用的，如物 理、天文與測量等。研究者在一次課程外的時間，利用晚自習分別帶兩個班 欣賞電影《風暴佳人》時，1105 班的反應也較 1104 班好得多。. ‧HPM 教材與態度量表的關聯性。數學史融入數學教學最主要目的是要培養學 生欣賞數學的美，進而喜歡數學，也就是文化觀，在數學態度量表中不見得 能夠反映 HPM 的成果，實施教案以外的時間，仍舊有大部分比例是在上課 本內容；再者，1104 班高一時即為研究者之任教班級，而 1105 為研究者高 二才接任的教學班級，亦有可能造成兩班態度量表之差異，不宜過度推論。. 第 4.1.3 節 「研究者自編五題」兩班分別之報表分析. 以下將分別對 1104 與 1105 班做「研究者自編五題」做分析與解釋. 表 4-1- 4. 1104 班之「研究者自編五題」報表 前測平均. 後測平均. t值. 顯著性. 56. 「我對數學發展的歷史有興趣」. 2.81. 2.81. .000. 1.000. 57. 「我了解數學發展的歷史」. 2.34. 2.75. 2.272. .030*. 58. 「我認為了解數學發展的歷史，. 2.84. 2.97. .701. .489. 3.34. 3.09. -1.489. .147. 3.43. 3.43. .000. 1.000. 問題. 對我學習數學有幫助」 59. 「若我了解數學是如何發展的， 可以提升我對數學的興趣」 60. 「了解數學知識是如何被創造出 來的，有助於我對知識的體會」. 註：*表示 p<.05 38.
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