海浪發電之理論計算

海浪發電之理論計算 71 物理教育學刊

2008, 第九卷第一期, 1-16 Chinese Physics Education2008, 9(1), 1-16 物理教育學刊

2012, 第十三卷第一期, 25-32 Chinese Physics Education2012, 13(1), 25-32

海浪發電之理論計算

周鑑恆 萬能科技大學 光電工程系 （投稿日期：民國100 年 11 月 28 日，修訂日期：100 年 12 月 30 日，接受日期：101 年 01 月 16 日） 摘要：本文提出點吸收式海浪發電之力學理論計算，理論計算的結果顯示：浮體 的質量越小，海浪能轉換的效率越大。相關的計算可用於力學教學。 關鍵詞：海浪發電、海浪能轉換器

壹、前言

覆蓋地球表面百分之七十的海洋對於地 球之生態、氣候，甚至大氣的成分都有很大 的影響。海洋同時也蘊藏著潮汐能、海水溫 差、洋流能、波浪能等，這些都是取之不竭， 用之不盡的綠色能源。 然而，潮汐發電有選址的限制，造價高 昂，既有泥沙淤積問題，又有岸邊設施龐大， 影響潮間帶動植物棲地的疑慮。海水溫差發 電之相關設備更所費不貲，是否影響海洋生 態也是問題。至於洋流發電，發電設備在水 下，設置地點也有限，維修成本很高，水下 電力傳輸之成本也高。唯獨海浪發電，只要 有較大平均海浪能的區域都可設置。 因為太陽輻射加熱大氣而造成風，風吹 過海面又形成波浪，因此海浪能可說是濃縮 的太陽能。海浪能的優點如下：1、乾淨，零 污染，零排放；2、二十四小時日夜連續不斷， 比只有半天日照的太陽能，或間歇的風力穩 定，也不受能源市場波動與國際情勢變化的 影響；3、海浪能源本身完全免費； 4、無土 地征收的麻煩，亦無需購買土地之成本；5、 若不轉換成電力，海浪能也會以其他自然機 制散逸，取用海浪能發電，與原本的自然機 制融為一體，對環境、生態完全無害；6、僅 需少數工作人員操作；7、能 源 需 求 量 大 的 冬 季 ， 恰 好 也 是 海 浪 能 較 大 的 時 期。而 全 世 界 許 多 大 城 市 都 在 海 邊 。 台灣四面環海，海岸線長達1448 公里， 周邊海域波濤起伏終年不歇，海洋能不啻為 台灣的在地能源。即使只開發百分之一，初 步估計也有高達10 萬 kW 的發電規模1。

貳、研究動機

海 浪 發 電 系 統 也 稱 為 海 浪 能 轉 換 器 (Wave Energy Converter；WEC)，通常包括「取

能裝置」以及「轉換裝置」兩部分。海浪對 取能裝置作功，就將能量轉換給取能裝置， 取能裝置的主要功能是獲取海浪能；轉換裝 置則將獲得的海浪能再轉換成其他形式的機 械能或電能。 歐 洲 海 洋 能 源 中 心(European Marine Energy Center)將現有取能裝置分類成六種 型式2與其它：1 水柱振盪式(oscillating water column)、 2 越頂式(overtopping device)、3 波 浪衰減式(attenuator)：其中最負盛名的是英 國 Pelamis Wave Power 公司的海蛇裝置 (Pelamis)、4 點吸收式(point absorber)：各種 海面上的浮體，受到來自各方的海浪推動而 上下運動，獲取海浪能。此類取能裝置有多 種 型 式 ， 代 表 作 是 美 國 Ocean Power Technologies 公司的 Power Buoy、 5 浪湧擺 盪式(oscillating wave surge converter)、6. 沉 潛壓差式(submerged pressure differential)： 7. 其它：還有些特殊的設計所使用的原理不容 易歸類。 雖全球有數十家公司殫精竭慮，但至 今為止，除了少數示範性海浪發電廠之外， 全世界還沒有真正商業化運轉的海浪發電系 統。號稱可以商業運轉的海蛇裝置(Pelamis) 發電原型機，因為技術問題，先是機器停止 運作，接著投資者之一宣告破產，此計畫終 於停擺。 問題在於，各種取能裝置未能有效獲取 海浪中的能量，在將機械能傳遞給各種發電 機發電的過程中，能量損耗太大、啟動條件 嚴苛、發電成本於是顯得太高。 雖然海浪發電之實驗與測試儀器相當昂 貴，作者的實驗室並無此龐大經費裝設，但 即使經費不足，也能建立適當的模型，並進 行計算，一方面大致理解海浪發電系統的限 制與研發方向，一方面能向學生示範科學研 究的基礎工作之一 _{ 理論計算，而相關} 的計算又與力學密切關聯，頗具物理學教學 價值。

參、點吸收式的海浪發電

首先假設點吸收式的海浪發電機，由不 動的磁鐵與隨波上下起伏的浮體（浮體上附 設感應線圈）所構成，如圖1 所示。為了詳 細分析浮體受力的情形，茲分三部分加以討 論，細節如下：

一、海浪作用在浮體上的力為何？

本文強調以下幾點，以便讀者理解：為 什麼在波動的海面，海水的動態”浮力”（” 動態海水”的浮力已不完全遵守阿基米得原 理）與重力的合力，可以只寫成時間的正弦 函數。 （一）談到物體在水中的運動情形，許多人 想到教科書上的一個習題，也就是類似密度 計那樣的圓柱狀物體，浮心比重心高，穩定 浮在水中，將其稍壓入水深些，再放手，忽 略水的阻力，此圓柱狀物體就會發生簡諧運 動。如果『忽略水的阻力、不考慮磁阻力與 圖1：海浪作用力加上重力的淨力為F(t)，磁 阻力大致與浮體速度成正比，即： dt dx Fmd =−β 。

海浪造成的力的情形下』，本文的浮體受力情 形也如此，該浮體所受重力與浮力的淨力， 具有恢復力的數學形式；普物課本中都常有 此類習題。亦即海水平靜不動，浮體受浮力 和重力，但浮體本身上下移動時，因為吃水 深度不同，所受的淨力為恢復力的形式，即

kx

F

_net

=

−

；k =S

ρ

g………（1） k與浮體定值的橫截面S、重力加速度g與 水的密度

ρ

有關。 運動方程式即為： kx x m&&=− x x m k x=− =−

_ω

_n2 ⇒ && ………（2） 浮體作簡諧運動，給定初始條件，若解答為

)

cos(

)

(

t

A

t

x

=

ω

_n ………（3） 其中

m

g

S

m

k

n

ρ

ω

=

=

)

cos(

t

kA

kx

F

x

m

=

_net

=

−

=

−

_ω

_n

⇒ &&

…（4） 亦即：

)

cos(

t

kA

x

m

=

−

ω

_n

⇒ &&

………（5） 此時淨力也隨時間變化，由（5）式可見：淨 力是驅使力的數學形式，隨時間變化，而沒 有了恢復力，並不突兀。但本文所述之浮體 質量

m

很小，S很大，此振動的自然角頻率 n

ω

遠大於海浪振（驅）動的角頻率。 只是此情形，海面並沒有升降，而是浮 體升降造成淨力改變。此時沒有驅使的外 力，但淨力的形式也是時間的正弦函數。 （二）如圖2 所示，將水裝在燒杯中，燒杯 上下移動(模擬海浪)，如果使浮體運動的軌 跡與加速度完全與上述的課本習題相同。（這 一定能辦得到，因為浮體運動的軌跡是來回 經過某平衡點的運動，但此時海面起伏，由 海水的力量與重力決定浮體所受的淨力），則 在上下移動的燒杯中的浮體所受的淨力必然 是：

)

cos(

t

kA

F

x

m

&&

=

_net

=

−

_ω

………（5） 如果在上下移動海浪中的浮體運動的軌跡與 加速度完全與上述的課本習題相同，浮體所 受的力亦然是：

)

cos(

t

kA

F

x

m

&&

=

_net

=

−

_ω

………（6） 值得注意的是，此時海水的力量是如何 產生的？此時將物體所受之海水的力量，主 要因海浪高低與速度決定，與物體離開平衡 點的位移關係不大（與物體離開平衡點的位 移有關係的力，即所謂恢復力），物體高度

x

大於零時，物體所受的力可能仍然向上，此 時再硬要採用無浪時恢復力型式的浮力，就 不合理了。 （三）總體而言，海水的力量，是藉海面起 伏和海水衝擊而使浮體受到〝浮力〞。 此時 這〝浮力〞已不完全遵守阿基米德原理，因 為阿基米德原理要在水靜止時才能導出，海 水向上加速時〝浮力〞也許大些，海水向下 加速時〝浮力〞也許小些。 此外，浮體吃水 深度與浪高也會影響〝浮力〞。浪高變化遠大 於吃水深度的變化。 在有浪的情形下，也是〝浮力〞加上重 圖2：左側燒杯與其中的水都不動，物體穩定浮 在水中，將其稍壓入水深些，再放手，它就會簡 諧震動。中間的燒杯中有水，燒杯中與其中的水 上下運動，可模擬右側之海浪波動。

力等於合力，此合力就是與海浪運動有關的 函數，也許是較複雜的週期函數，所以將其 作傅立葉展開：

∑

+ = j j j j net A t F cos(

_ω

_α

)；

ω

_j <<

ω

_n（7） （四）此外，如果浮體是個大的重型船，因 為浮力和重力遠遠大於浪造成的力，所以可 以將浪的力量視為微擾；而大的重型船的各 種晃動的頻率，才會低到與海浪波動的頻率 接近。但此並非本文討論的情形。在船舶設 計時，一開始就使得浪的作用力越小越好(相 對而言)，以求船隻平穩；但本文之設計，要 浪對浮體的影響越大越好，以求浪的能量轉 換到浮體上。設計浮體時，決不可以使得浪 的作用力成為微擾，相關計算時，浪的作用 力就絕不可視為微擾。

二、感應電流作用在浮體上的力為何？

在實驗與理論上，只要用如圖3 所示的 構造，就可使浮體所受的磁阻力(magnetic damping)大致與浮體速度成正比，其中磁場 分布不太重要。但筒狀鋁片中之感應電流， 其能量直接就在鋁片中消耗了3。 若鋁片改成感應線圈，若發電機的感應 線圈加上發電機的負載(發電機的負載與如 何儲存電力或輸出電力有關)之等效電阻，使 感應電流正比於感應電動勢時，且感應線圈 在適當區間振動時，磁阻力就會大致與浮體 的速度成正比。磁阻力與浮體速度成正比， 即可以是相當好的逼近。 此問題答案的重點不完全在於磁場的分 布，發電機的負載更為重要。為簡化求出解 析解，作者選擇最簡單，但實驗上可以做到， 理論上合理的假設，即磁阻力大致與浮體速 度成正比。 雖然實際工程上儲存電力或輸出電力可 能複雜化磁阻力，亦即磁阻力與浮體速度的 關係更為複雜。

三、運動方程式與計算

已知海浪的作用力加上重力對浮體的淨 力為F(t)，此淨力對浮體作的功，就等於海 浪對浮體作的功。因為重力位能的變化也源 於海浪的作用，浮體上下晃動，平均位移量 為零，方向與大小均不變的重力所作的功， 在一段相當長的時間中必然為零。 隨時間複雜變化的淨力為F(t)，可以傅 立葉級數展開：

∑

+

=

j j j j

t

A

t

F

(

)

cos(

_ω

_α

)

………（8） 其中，A_j是分量大小，

ω

_j為該分量的角頻 率，

α

_j是該分量的相位角。忽略海水之黏滯 力，假設發電機負載造成的磁阻力(magnetic damping)大致與浮體速度成正比，亦即： v dt dx F_md =−

_β

=−

_β

………（9） 其中，

β

為比例係數。則浮體的運動方程式 為： 圖 3 ： 在 實 驗 上 很 容 易 做 到 磁 阻 力 (magnetic damping)大致與浮體速度成正。在實際設計線性 發電機時，情形會較圖中的情形更加複雜。但假 設磁阻力成正於浮體速度，是合理的。

∑

+ = = + j j j j t A t F dt dx dt x d m ₂ ( ) cos( ) 2 α ω β （10） 為了使用相量法(phasor method)，(3)式可改 寫為：

∑

=

=

+

j t j j j j j

e

e

A

t

F

dt

dx

dt

x

d

m

2₂

_β

(

)

α ω （11） 令 t j j j e t x( )=

∑

Χ ω ………（12） 代入(4)式後，求下式之解，

(

)

j t j j j j

e

A

j

m

_ω

+

_ω

_β

Χ

=

α

−

2 …………（13） 求出

Χ

之後，運動方程式的解可寫成:

∑

+ +Φ + − = j j j j j j j t m A t x() 1 cos( ) 2 2 4 2_{ω β ω} ω α ………（14） 其中， j j

m

_ω

β

=

Φ

tan

………（15） 則浮體的速度為:

∑

+ +Φ + = j j j j j j t m A t x( ) sin( ) 2 2 2

_ω

_β

ω

α

& ………（16） 因此，海浪對浮體作功的功率(power) 為： ) cos( ) sin( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 k k j j j j j j k j k Wave t t m A A t F t v t F t x t P α ω α ω ω β ω + + +Φ + = ⋅ = ⋅ =

∑∑

& ………（17） 根據（8）式， 2 2 2 sin

β

ω

β

+ = Φ j j m ， 2 2 2 cos

β

ω

ω

+ = Φ k k k m m ………（18） (10)式可以重寫成：

(cos( )cos sin( )sin( ))

) sin( ) cos( ) sin( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 k k k k k k k k j j j j k j _j k j k k k k j j j j k _{j j} k j Wave t t t m A A t t m A A t P Φ Φ + + + Φ Φ + + Φ + + + = Φ − Φ + + Φ + + + = ∑∑ ∑∑ α ω α ω α ω ω β ω α ω α ω ω β ω ) cos( ) sin( 2 2 2 2 2 2 k k k j j j j k j k k j k t t m m m A A Φ + + Φ + + + + =∑∑ ω α ω α β ω β ω ω ) sin( ) sin( 2 2 2 2 2 2 k k k j _k j j j j k j k t t m m A A Φ + + Φ + + + + +∑∑ ω α ω α β ω β ω β ………（19） 轉換成電能的功率為： ) sin( ) sin( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 k k k j _k j j j j k j k y Electricit t t m m A A t x t x t P Φ + + Φ + + + + = ⋅ = ∑∑ ω α ω α β ω β ω β β& & ………（20） 而浮體動能的變化可表示為： x x m dt x m d dt dK && & & ⋅ =       = 2 2 1

∑

+ +Φ + = j j j j j j _t m A ) sin( 2 2 2_{ω β} ω α

∑

+ +Φ + × k k k k k k k _t m m A ) cos( 2 2 2_{ω β} ω α ω _（21） ) cos( ) sin( 2 2 2 2 2 2 k k k j j k j j j k k j k t t m m m A A Φ + + Φ + + + + =∑∑ ω α ω α β ω β ω ω 比較(11)式、(13)式、(14)式，即得：

dt

t

dK

t

P

t

P

_Wave

(

)

₌

_Electricity

(

)

₊

(

)

，……（22） 也就是說，就每一個瞬間而言，海浪所 做功的功率，等於轉換為電力的功率與轉換 為動能之功率的總和。 海浪在相當長時間間隔T 中對浮體所 作的功（work）為：

) 2 1 ( ) sin( 2 1 ) ( 2 2 2 2 2 2 4 2 0 T m A T m A A dt t P W j j j jk j j j j k j k T Wave wave

∑

∑∑

∫

+ = Φ + = = β ω β δ ω β ω ………（23） 在長時間間隔T 中轉換成電能的功為： dt t t m A m A dt x x W k k k j j j j k k j j k T T E ) sin( ) sin( 2 2 2 2 2 2 0 0 Φ + + Φ + + + + = ⋅ = ∑∑ ∫ ∫ α ω α ω β ω β ω β β& & ) 2 1 ( 2 2 2 2 T m A j _j j

∑

₊ =

β

ω

β

………（24） 即海浪在長時間間隔T 對浮體所作的 功，等於轉換成的電能。 根據（23）、（24）式，可得兩項重要結 論： （一）浮體質量m 越小，長時間間隔T 轉換 成的電能越多。 （二）當_{β =}m_ωj時，長時間間隔T 轉換成 的電能有極大值。當然，值得注意的是，實 際的發電機因發電而造成的磁阻力，不見得 完全與速度成正比，也不見得總是維持定值。 根據計算結果，作者刻意減輕浮體的質 量，設計一種創新的點吸收式海浪發電系 統，成功發出電力。此海浪發電系統主要的 構造有4,5,6：（1）浮柱（2）平台（3）磁鐵（4） 浮體和線圈。因為 1. 細長浮柱垂直伸入海 中，當海浪通過時，浮柱受到的浮力變化不 大，所以不易晃動支架平台。2.房屋、風車 發電、太陽能發電、海浪發電、淺層低溫冷 卻系統、質量大的物件均置於海上平台上， 使支架平台之轉動慣量和質量極大化，以致 於支架平台不易晃動。3.浮柱在支架平台四 周，即使支架平台稍有晃動，在幾何形狀中 心置放的磁鐵幾乎不會晃動。所以，浮體很 容易與安裝在平台上的磁鐵有相對運動。 為了減輕質量，此浮體上就只有感應線 圈，以使其質量盡可能較小，浮體質量極小 化，隨機波動的海水，很容易對很輕的浮體 作功，使浮體有效率地獲得海水的能量，提 高海浪能轉換的效率。

肆、物理教學上的應用

受迫阻尼振動是力學中一個非常重要的 主題。大多數學生常常一時無法理解這現象 的細節和相關理論計算的確實意義。因為在 處 理 這 個 問 題 的 過 程 中 ， 需 要 用 相 量 法 (phasor method)來解微分方程，必須先建立 一個複數的微分方程，大部分學生因此更感 困惑，初學者很難想像為什麼真實的力學現 象會與虛數有關。 本文的計算與典型的受迫阻尼振動的不 同之處是，作為海浪發電系統取能裝置的浮 體不受恢復力(restoring force)，但本文的計算 與受迫振動的計算相似，都用相量法來解微 分方程。 本文主題可謂是另一個受迫振動的例 題，既具有研究海浪發電的價值，又呈現一 個與教科書中受迫阻尼振動互相比較的難得 實例，以便學生熟悉如何使用「相量法」和 了解受迫振動現象。 浮體計算的重要和有趣的結果如下： （一）當浮體的質量越小，振動的幅度就越 大，海浪能對浮體所作的功也越大。 （二）海浪施加在浮體上的力量的角頻率越 小，浮體振動的振幅就越大。這一點不同於 受迫阻尼振動。因為受迫阻尼振動多了恢復 力，當外力的角頻率近乎所謂的共振頻率， 受迫阻尼振動的振幅才變得特別大；當外力 的角頻率近乎零或太大時，振受迫阻尼振動 的振幅又變小。 （三）在任何一瞬間，受迫阻尼振動的系統 中外力所做的功等於，回復力位能和振子動

能的變化量以及因阻泥力而消散的能量的總 和。但是，本文章所提的情況則是，海浪所 做的功變成浮體的動能變化量和因發電而消 散的能量。 （四）平均一段夠長的時間，受迫阻尼振動 系統中外力所做的功，就等於最終以熱消散 的能量。同樣的，平均一段足夠長的時間， 海浪對浮體做功的系統中，海浪所做的功就 全部轉換成電力。 （五）在頻率等於共振頻率，振幅最大時， 受迫阻尼振動轉換成熱的功率最大。在本文 的海浪發電中，磁阻力須適當配合浮體的質 量和海浪施力的頻率，浮體的振幅才會最 大，轉換成電力的能量也最大。 比較本文討論浮體振動的結果與一般教科 書中受迫阻尼振動的結果，學生可以更理解 數學計算的細節與所得結論的實際意義，並 且比較物理直觀的結論與計算結果相符之 處，而更有信心使用相關數學技巧。

伍、結論

點吸收式的海浪發電系統之理論計算， 可與教科書中受迫阻尼振動並陳，有助於力 學之教學。 理論計算的結果顯示：海浪發電系統之 浮體的質量越小越好；而發電造成的磁阻尼 力，須適當配合浮體的質量和海浪力量的頻 率，才能最佳化海浪發電的效率。 實務上，多個海浪發電系統可結合風力、 太陽能發電系統，形成陣列，共同提供穩定 電力。同時依需要安排海浪發電系統陣列的 大小和形狀，發揮防波堤和防風林的功能， 形成風平浪靜而可多元應用的海域空間。海 浪發電系統設置在近海上，不在岸上，不會 破壞生態與海岸環境，非常可行、實用。

參考文獻

1. 北台灣科學技術學院、國立中央大學能源 科技人才培育資源中心主辦之 2011 全國 新興能源暨綠色能源專題創意競賽中，榮 獲銅獎。 2. 周鑑恆、劉源俊、楞次定律（Lenz’s Law） 教學裝置之改進，物理教育，2 卷 2 期， 1998 年。 3. 周鑑恒，海浪發電的美好前景，國語日報 第八版科學教室，2011 年 11 月 12 日。 4. 周鑑恒，海上綠建築，萬能科技大學第六 屆電資科技應用與發展學術研討會，2011 年12 月 16 日。 5. 徐泊樺、顏志偉。淺談我國海洋能源之開 發前景，物理雙月刊，29(3)，720-735， 2007 年

6. Callaway, E (2007), Energy: To catch a wave, Nature News, Vol. 450 (7167),

Theoretical Calculations for Wave Powered Generators

Chien-Heng Chou

Vanung University

Abstract

This paper presents theoretical calculations for wave-powered generators classified as point absorber type. The results of theoretical calculations yield that the wave energy conversion efficiency is greater as the mass of floating body becomes smaller. The relevant calculations can be used for teaching mechanics.