期末考數學(數理)

國立師範大學附屬高級中學 97 學年度第二學期 高二 期末考 (數理班) 數學科題目卷

一、單選題(一)：(每題 4 分，答對得 4 分，答錯倒扣 1 分，不作答得 0 分，共 40 分)

1. 焦點 F(3,5)，準線 L：y= 1 的拋物線方程式為 (A) (x−3)2 = −8(y− 3) (B) (x−3)2 =8(y− 3) (C) (x−3)2 =8(y− 5) (D) (y−3)2=8(x− 3) (E) (x−3)2 = −4(y− 。 5) 2. 拋物線 1 2 1 13 4 2 4 y= x − x+ 之焦距為 (A) 1 4 (B) 1 2 (C) 1 (D) 2 (E) 4。 3. 拋物線Γ ： 2 8 y = − ，F 為 Γ 的焦點。在拋物線 Γ 上找一點 P，使得 P 到 F 與定點 A(－5,2)的距離和(即x PF+PA)最 小，此時 P 點座標為 (A) ( 1, 2) 2 − (B) ( 5, 2 10 )− (C) (－2,4) (D) ( 1, 2) 4 − (E) ( 5, 2)− 。 4. 設直線 y=mx－5 與雙曲線 2 2 1 4 5 x y − = 恰有一個交點，則實數 m 之值共有 (A) 1 個(B) 2 個(C) 3 個(D) 4 個(E) 5 個 。 5. 已知橢圓 2 2 (x−3) +(y−2) + 2 2 (x−3) +(y+4) =10，關於此橢圓的敘述下列何者為真？ (A) 中心(3, 2) (B) 長軸長 5 (C) x=－1 為其對稱軸 (D) (－1,－1 )為一頂點 (E) 短軸長為 4。 6. 若拋物線 2 8 y = − 的正焦弦長為 m，且橢圓x 2 2 2 2 5 3 x y + =1 的正焦弦長為 n，則 m＋5n 的值為下列何者？ (A) 26 (B) 27 (C) 28 (D) 29 (E) 30。 7. 已知雙曲線9x2 −25y2 =225，關於此雙曲線的敘述下列何者為真？

8. 已知雙曲線 | 2 2 (x+2) +(y−4) − 2 2 (x−8) +(y−4) |=8 ，關於此雙曲線的敘述下列何者為真？ (A) 貫軸長為 10 (B) (－1,4)為一頂點 (C) y=4 為其共軛軸 (D) (3, 4)為一頂點 (E) 共軛軸長為 8 。 9. 已知一橢圓的兩焦點與雙曲線 2 2 1 36 13 x y − = 兩焦點相同，且此橢圓的短軸長是 2 15 ，則橢圓的方程式為 (A) 2 2 1 36 15 x y + = (B) 2 2 1 49 15 x y + = (C) 2 2 1 64 15 x y + = (D) 2 2 1 81 15 x y + = (E) 2 2 1 38 15 x y + = 。 10. 已知數列<a >中，n a1 =1，且對所有自然數 n，an+1=a +(n－2)，則下列何者為真？ n (A) a₄ = 4 (B) a₁₀ =40 (C) a₂₂ =191 (D) a₁₀₂=4990 (E) a₂₀₀₂=1999000。

二、單選題(二)：(每題 6 分，答對得 6 分，答錯倒扣 1 分，不作答得 0 分，共 30 分)

11. 在坐標平面上，過 F(－1,0)的直線交拋物線 2 :y 4x Γ = − 於 P、Q 兩點，其中 P 在 x 軸上方，且知PF :QF ＝1：2， 則PF的長最接近下列何者？ (A) 3 (B) 1.1 (C) 1.2 (D) 1.3 (E) 1.4。 12. 設(0,－1)為橢圓 2 2 1 4 9 x y + = 的長軸上一點，若 A(a,b)為橢圓上距離(0,－1)最近之點， 且 a＞0，則 a＝？ (A) 6

5(B) 7 5 (C) 8 5 (D) 9 5 (E) 9 7 。 13. 設一雙曲線之漸近線為 3x-2y+9=0 及 3x+2y-3=0，且有一焦點為(－1,3+ 52 )，則雙曲線的共軛軸長為 (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 16。

14. 平面上有一橢圓，已知其焦點為(0,0),(6,8)，且 3x＋4y=60 為此橢圓的切線，若此橢圓的短軸長為 2b，則 2 b 的值為下列何者？ (A) 24 (B) 20 (C) 16 (D) 12 (E) 10。 15. 已知橢圓Γ 的兩焦點為( 4, 0)及(－4, 0)，若直線 x＋y－8=0 與 Γ 相切，則 Γ 的標準式為下列何者？ (A) 2 2 1 46 30 x y + = (B) 2 2 1 44 28 x y + = (C) 2 2 1 42 26 x y + = (D) 2 2 1 40 24 x y + = (E) 2 2 1 49 33 x y + = 。 三、多選題：(每題 5 分，每題答案最少 1 個最多 5 個；錯一個選項得 2.5 分，錯兩個選項以上(含兩個)得 0 分， 共 20 分)

16.

設E為空間中的平面，已知在平面E上，有一雙曲線Γ，且此雙曲線的貫軸所在的直線方程式為 2 2 y z x= = ，若PQ為 雙曲線Γ的正焦弦，且坐標為P(－9, －1, 1)與Q(a, b, c)，下列何者為真 Γ ？ (A) a＝7 (B) b＝3 (C) c＝5 (D) a+b+c=－1 (E) (－2,－2,－4)為雙曲線 的焦點。 17. 設c>0，而F c1( , 0),F2(−c, 0)為橢圓 2 2 2 2 1 5 3 x y + = 的兩個焦點，且拋物線Γ的焦點為F ，準線為y軸，而P為拋物線₁ Γ上 的一點，已知PF₂ = 192，則下列那些選項為真 Γ ？ (A) c=4 (B) 拋物線 的方程式為 2 4( 2) y = x− (C) PF₂−PF₁= 192− 4 (D) 拋物線Γ的正焦弦長＝16 (E) △PF F 的面積 16 3_{1 2} = 。

18. 設一橢圓Γ 的兩焦點分別為F₁(0, 0),F₂(3,1)，點A(0,－3)是橢圓Γ 圖形上的一點，已知直線L過A點且與橢圓 Γ 相切， 則下列何者為真 Γ ？ (A) 橢圓 的短軸長為 6 (B) 橢圓Γ 的短軸所在之直線的方程式為x+3y=3 (C) 直線L 的方程式為x＋2y+6=0 (D) 直線L 的x軸截距為 －9 (E) 直線L、x軸及y軸三直線所圍成的三角形面積為 9 平方單位。 19. 設P(－ 2 ,0)是拋物線Γ ：y2=4 2x 外一點，已知過P點有兩直線與Γ 相切，且其切點分別為A與B，則下列何者為 真 Γ ？ (A) 拋物線 的對稱軸垂直平分AB (B) AB＝8 (C) 設O為拋物線Γ 的頂點，則△OAB的面積=4 (D) 向量PA與向量PB的內積為－1 (E) 直線 y=2(x＋ 2 )與Γ 相切。

============================================撕截線===============================

班級: ___________座號:______姓名:__________________

四、證明題：(每題 5 分，共 10 分，請直接寫在題目下面，沿===撕截線===撕下繳回！)

1. a, b, c, d ∈N，且a4_＋b4_＋c4_＋d4 = 4abcd，證明：a = b = c = d 。 (初中數學競賽P.319) 2. 若a1a2= 2 (b1+ b2)，證明：方程式 x 2 + a1x + b1 = 0 和x 2 + a2 x + b2 = 0 最多有一個方程式無實根。 (初中數學競賽 P.331)

國立台灣師範大學附屬高級中學 97 學年度第二學期 高二 期末考(數理班)數學科答案

一、單選題(一)：(每題 4 分，答對得 4 分，答錯倒扣 1 分，不作答得 0 分，共 40 分)

答案：BCADD AEBCE

二、單選題(二)：(每題 6 分，答對得 6 分，答錯倒扣 1 分，不作答得 0 分，共 30 分)

答案：ECBA D

三、多選題：(每題 5 分，每題答案最少 1 個最多 5 個；錯一個選項得 2.5 分，錯兩個選項以上(含兩個)得 0 分，

共 20 分) 答案： AD, AE, D, AC

四、證明題：(每題 5 分，依作答狀況給分，共 10 分)

答案：略