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103指考數乙非選擇題參考答案

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Academic year: 2021

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103 學年度指定科目考試數學乙非選擇題參考答案

數學乙的題型有選擇、選填與非選擇題。非選擇題主要評量考生是否能夠清 楚表達推理過程,答題時應將推理或解題過程說明清楚,且得到正確答案,方可 得到滿分。如果計算錯誤,則酌給部分分數。如果只有答案對,但觀念錯誤,或 過程不合理,則無法得到分數。 數學科試題的解法通常不只一種,在此提供多數考生可能採用的解法以供各 界參考。關於較詳細的考生解題錯誤概念或解法,請詳見本中心將於 8 月 15 日 出刊的《選才電子報》。 103 學年度指定科目考試數學乙非選擇題各大題的參考答案說明如下:

第一題

第(1)題 解 1:1. 因AB=(12, 16)=4(3, 4),又直線 L 通過 A 點且與線段 AB 垂直,可知直 線 L 的方向向量為 (4, 3)− 或 ( 4, 3)− 2. 直線L 方向上的單位向量為 4 3 5 5 ,   −    或 4 3 5 5 ,   −     3. 由 11 2 5 4 3 15 1 5 5 ( , ) , ( , ) +  −  = −   及 4 3 11 2 5 7 5 5 5 ( , ) , ( , ) + −  =   , 得知: ,C D 兩點的坐標為 (15, 1), (7,5)解 2:1. 由直線 L 的方向向量 (4, 3),可設直線 L 的參數式: 11 4 2 3 x t y t = +   = −  , 其中 t 為實數 2. 由點 ,C D 與 A 點相距距離為 5,可列式: (11 4+ −t 11)2+ − −(2 3t 2)2 =5, 解得t= ±1,可知: ,C D 兩點的坐標為 (15, 1), (7, 5)解 3:列出聯立方程式 2 2 2 2 ( 23) ( 18) 425 ( 11) ( 2) 25 x y x y + − =  − + − =  ,再解出 ( , ) (15, 1),(7,5)x y = −

(2)

2 第(2)題 解 1:利用行列式求

OCD面積。面積 115 1 41 7 5 2 − = = 解 2:利用外積求

OCD面積。面積 1 (7,5, 0) (15, 1, 0) 1 (0, 0, 82) 41 2 2 = × − = − = 解 3:利用(底×高)÷2求

OCD面積。點O到直線 : 3L x+4y=41的距離為41 5 , 所以,

OCD的面積 1 10 41 41 2 5 = × × = 解 4:利用擴大矩形面積扣減 3 個小三角形面積求

OCD面積。 如圖,將

OCD擴大成一矩形, 故

OCD面積 15 6 1(15 1 7 5 8 6) 41 2 = × − × + × + × = 解 5:利用切割成 2 個小三角形求

OCD面積。 直線 : 3L x+4y=41的 x 軸截距為41 3 , 所以,

OCD的面積 1 41 5 1 41 1 41 2 3 2 3 = × × + × × = 解 6:利用正弦值求

OCD面積。由cos 100 226 74 OC OD COD OC OD ⋅ ∠ = = × × , 得知sin 82 226 74 COD ∠ = ×

OCD面積 1 sin 1 226 74 82 41 2OC OD COD 2 226 74 = × × ∠ = × × = ×

(3)

3

第二題

第(1)題 設工廠要買進x塊甲規格鐵板, y 塊乙規格鐵板。 1. 由甲規格的鐵板每塊的成本為 400 元,乙規格的鐵板每塊的成本為 320 元,得 目標函數為 ( , ) 400p x y = x+320y 2. 由題意知 ,x y 需滿足下列聯立不等式: 8 4 28 4 4 20 8 16 48 x y x y x y + ≥   + ≥   + (或 2 7 5 2 6 x y x y x y + ≥   + ≥   + 第(2)題 由聯立不等式可繪出此可行解區域如下圖的灰色區域(含邊界)。其四個頂點坐 標為 (6, 0), (4,1), (2, 3), (0, 7) 第(3)題 解 1:頂點法 1.將四個正確頂點代入目標函數 2.比較大小可知:當x=2,y=3時,工廠所需的最低成本為 (2, 3) 1760p = 元。 頂 點 (6, 0) (4,1) (2, 3) (0, 7) ( , ) 400 320 p x y = x+ y 2400 1920 1760 2240

(4)

4 解 2:平行線法 畫出正確的可行解區域下(必須標示邊界,且在可行解區域畫斜線或陰影),當 直 線 400x+320y=k 在 可 行 解 區 域 掃 動 時 , 因 目 標 函 數 所 決 定 直 線 之 斜 率 5 4 m= − 介於−1與−2之間,故得知在當 x=2,y=3時,工廠所需的最低成本為 (2, 3) 1760 p = 元。 註:1. 若以頂點法解題(解 1),必須將四個正確的頂點代入目標函數,求出正 確的目標函數值後,比較大小才能得到結論,否則將被扣分。 2. 若以平行線法解題(解 2),必須標示出正確的可行解區域,並說明目標 函數所決定直線之斜率 5 4 − 介於 1− 與 2− 之間,或在正確可行解區域圖 上,畫出與直 線 400x+320y=k平 行 的 一 組 平 行 線 ,才能得出最低成 本(1760)發生在頂點 (2, 3) 。

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