0924向量解答

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(1)

- 1 - 向量 0924 班級 姓名 座號 一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分) ( )1.若A

1, 1

B

3,1

,則 AB (A)2(B)3(C)2 5(D)3 5 解答 C 解析 AB  

3 1,1 

 

1

 

4, 2

 

2 2 4 2 20 2 5 AB      ( )2.設 abc 為平面上之三個向量且 a (cos 30 ,sin 30 )  , (cos150 ,sin150 ) b    , c (cos 270 ,sin 270 )  ,試求 abc (A)(1,0)(B)(0,1)(C)(1,1) (D)(0,0) 解答 D 解析 (cos30 ,sin 30 ) ( 3 1, ) 2 2 a     3 1 (cos150 ,sin150 ) ( , ) 2 2 b      (cos 270 ,sin 270 ) (0, 1) c      ∴ ( 3 3 0,1 1 1) (0,0) 2 2 2 2 abc       ( )3.在坐標平面上的平行四邊形 ABCD(按順序)中,若AB(4,8)、 (1, 4) AD ,則|AC||BD| (A)4 5 17 (B)18 (C)8 52 17 (D)36 解答 B 解析 (4,8) (1, 4) (5,12) ACAB AD    ( ) (1, 4) (4,8) ( 3, 4) BDBC CD AD BA AD ABAD AB      而 2 2 |AC| 5 12 13, 2 2 |BD| ( 3)  ( 4) 5 故|AC||BD| 13 5 18   ( )4.已知△ABC 中,AB5,BC7,AC8,則下列各內積中, 何者為最大?(A)AB AC (B)BC BA (C)CA CB (D)AB BC 解答 C 解析 2 2 2 2 2 2 cos 2 2 b c a AC AB BC A bc AC AB        2 2 2 | || | cos 2 AC AB BC AB AC AB AC A AB AC AC AB          1( 2 2 2) 1(82 52 7 )2 20 2 AC AB BC 2        同理 1( 2 2 2) 1(52 72 8 )2 5 2 2 BC BA  ABBCAC     2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) (7 8 5 ) 44 2 2 CA CB  BCACAB     ( ) ( ) 5 AB BC  BA BC   BC BA   ∴ CA CB 為最大

( )5.設 A(3, 7)、B( 2,1)、C(1,3),則△ABC 的面積為(A)9 (B)13 (C)15 (D)17 解答 D 解析 AB ( 5,8),AC ( 2,10)  △ABC 面積 1| 5 10 8 ( 2) | 17 2        ( )6.設 uv 為平面上的兩個單位向量,若其內積為1 2,則 uv 的夾角為何? (A)30 (B)45 (C)60 (D)90 解答 C 解析 ∵ uv 為單位向量 則| u | 1 ,| v | 1 ,且 1 2 uv  設 uv 的夾角為 又 uv | u || v | cos

1 1 1 cos 2    

cos 1 2

  ∴   60 ( )7.已知 A( 1,2),B(3, 5),C(1,6),設 G 為△ABC 的重心,M 為AC 的中點,則BG AM  (A)(  3,4) (B)(  1,8) (C)(  3,8) (D)(  1,4) 解答 A 解析 重心公式得 ( 1 3 1 2 5 6, ) ( , )3 3 (1,1) 3 2 3 3      G G G 又由中點公式得 ( 1 1 2 6, ) (0, 4) 2 2    M M

(2)

- 2 - ∴ BG AM  (1 3,1 ( 5))    (0 ( 1), 42) ( 2,6)(1, 2) ( 3, 4) ( )8.在△ABC 中,若 D 為線段BC的中點,且AB9、AC5,則 向量內積AD BC  (A)  28(B)  14(C)14(D)28 解答 A 解析 ∵ D 為BC的中點 ∴ BDDC1:1  1 1 2 2   AD AB AC BCBA AC  AB AC 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 AD BC  ABAC  AB AC   ABAC 1 92 1 52 28 2 2        ( )9.設向量 u ( , 2)av (3, 2 )aw  ( 1, 2),則下列敘述何 者正確? (A)若2 uvw 平行,則 a  3 (B)若 (2 uv ) w 0,則 5 2 a  (C)若| 2 uv | 5 ,則 1 2 a  (D)若 | 2 uv | | w |,則 a  0 解答 B 解析 2 uv 2( , 2)a (3, 2 )a (2 , 4)a (3, 2 )a (2a3, 42 )a 2 2 | 2 uv | (2a3)  (4 2 )a 2 2 (4a 12a 9) (16 16a 4a )        8a228a25 2 2 | w | ( 1) 2  5 (A)∵ 2 uvw 平行 ∴ 2 3 4 2 1 2 aa   2  (2a  3)   (4  2a)  4a  6   4  2a  6a   10  a  5 3  (B)∵ (2 uv )  w  0 ∴ (2a  3 , 4  2a)(  1 , 2)  0  (2a  3)  (  1)  (4  2a)  2  0  (  2a  3)  (8  4a)  0  2a  5  0  5 2 a  (C)∵ | 2 uv | 5 ∴ 8a228a255  平方 8a2  28a  25  25  8a2  28a  0 4   2a2  7a  0  a(2a  7)  0  a  0 或 7 2  (D)∵ | 2 uv | | w | ∴ 8a228a25 5  平方 8a2  28a  25  5  8a2  28a  20  0 4   2a2  7a  5  0  (2a  5)(a  1)  0  5 2 a  或  1 ( )10.△ABC中,AB

x, 2

AC 

2, 4

CB

 

3,y ,試求  x y之值為 (A)4 (B)2 (C)3 (D)5 解答 D 解析 ∵ △ABC中,ABBCCAAA 0 0 ABCB  AC           

x, 2

   

3,y 2, 4

  

0, 0       3 2 0 2 4 0 x y           得x1,y 6 故x     y 1

 

6 5 ( )11.求兩直線 3x 4y  7  0 與 4x 3y  2  0 所夾鈍角平分線方程式 為 (A)2x 5y  16  0 (B)5x 2y  11  0 (C)x y  9  0 (D)x y  9  0 解答 D 解析 設角平分線上的點為(x,y)到角兩邊的直線距離相等 2 2 2 2 | 4 3 2 | | 3 4 7 | 4 3 3 4 xyxy     取  (4x  3y  2)   (3x  4y  7)  x  y  9  0 為所求的鈍角平分線 ( )12.過點(1,  4)且與原點距離為 1 的直線有幾條? (A)1 條 (B)2 條 (C)3 條 (D)無限多條 解答 B 解析 設所求直線 y  4  m(x  1),即 mx  y  m  4  0 2 2 2 2 | 4 | 1 ( 4) 1 ( 1) m m m m           15 8 15 8 m m       另有一條無斜率之直線 x  1,故共 2 條 ( )13.若正△ABC的邊長為6,則AB BC 之值為 (A)18 3 (B)18 3 (C)18 (D)18 解答 D 解析 正△ABC內角均為60

(3)

- 3 - 而 cos120 6 6 1 18 2 AB BC  ABBC         ( )14.設 A(1,1),B(4,5),C(8,2)為△ABC 三頂點,求∠B  (A)0 (B)45 (C)90 (D)60 解答 C 解析 ABBC為∠B 的兩鄰邊 已知BA  ( 3, 4),BC(4, 3) ,則cos 0 | || | BA BC B BA BC    ∴ ∠B  90 ( )15.設 A (1,1)、B (3,4)、C (  1, 2)、D (0, 1),則ABCD上的正 射影為 (A)( , )5 5 2 2 (B) 3 3 ( , ) 2 2 (C) 5 5 ( , ) 2 2   (D)( 5 , 5 ) 2 2 解答 A 解析 AB(3  1,4  1)  (2,3) CD(0  (  1), 1  (  2))  (1,1) ABCD上的正射影為 2 2 2 2 2 1 3 1 ( ) ( )(1,1) ( 1 1 ) | | AB CD CD CD       5 2(1,1)  ( 5 5 , 2 2) ( )16.設二向量 ab ,且| a | 2 ,| b | 5 , ab 的夾角 為 3

,則| 3 ab | (A) 31 (B)31 (C) 15 (D)15 解答 A 解析 | || | cos 2 5 1 5 3 2 aba b

    2 2 2 2 2 | 3 ab | 9 | a | 6 ab | b |  9 2   6 5 5 31 ∴ | 3 ab | 31 ( )17.若OB

 

b,4 ,OA

10,5

,則OBOA上之正射影為

 

4, 2 ,則b之值為 (A)3 (B)2 (C)2 (D)3 解答 A 解析 OB OA 

  

b, 4 10,5

10b20 10

b2

 

2 2 10 5 5 5 OA   OBOA上正射影為

 

  

2 2 10 2 10,5 4, 2 5 5 b OB OA OA OA           得b 2 5  b3 ( )18.試求A

3, 4

到直線 : 1 3  4 x y L 的距離為 (A)18 5 (B) 16 5 (C)12 5 (D) 8 5 解答 C 解析 直線 : 1 3 4 x y L    4x 3y 12 0     ,A

3, 4

 

 

2 2 4 3 3 4 12 12 , 5 4 3 d A L          ( )19.設 ab 為非零向量,若| ab | | a || b |,則 ab 的夾角為何? (A)0 (B)30 (C)60 (D)90 解答 A 解析 | ab | | a || b |,兩邊同時平方,則 2 2 | ab | (| a | | b |) 又 2 2 2 | ab | (ab ) ( ab ) | a | 2 ab | b | 2 2 2 (| a || b |) | a | 2 | a || b || b | ∴ ab | a || b | 若 ab 夾角 ,則cos 1 | || | a b a b

   ∴ 可知 cos   1,即   0 ( )20.設 a (2, 4) , b (3,5),則4 a 5 b  (A)(  3,8) (B)(  7,  41) (C)(10,  37) (D)(  10,  28) 解答 B ( )21.如圖,C、D、E、F 將AB五等分,若ACx BC,則 x  (A)  4 (B) 1 4  (C)1 4 (D)4 解答 B ( )22.已知 a (1,3), b (4, 2),若| at b |為最短,則 t 等於 (A)1 2 (B)2 (C)  2 (D) 1 2  解答 D

(4)

- 4 - 解析 | a | 10 ,| b | 2 5 , ab 10, 2 2 2 2 2 | at b | | a | 2t abt | b | 1020t20t 2 1 1 2 1 20( ) 20[( ) ] 2 2 4 t t t       ∴ 1 2 t  時最短 ( )23.設兩向量 ab ,| a |3,| b |2, ab 的夾角為 2 3

,則| a 2 b | (A) 7 (B) 19 (C) 17 (D) 13 解答 D 解析 ab | a || b |cos  3  2  cos2 3

  3 | a2 b |2  | a |2  4 ab 2 4 | b |   9  4  (  3)  16  13 ∴ | a 2 b | 13 ( )24.設P的坐標為

 

3,5 ,且PQ

7, 5

,試求Q點坐標為 (A)

2,12

(B)

12, 2

(C)

10,0

(D)

0,10

解答 C 解析 設Q x y

 

, 則PQ

x3,y 5

 

7, 5

∴ 3 7 10 5 5 0 x x y y             故Q

10,0

( )25.設平面二向量 u

2cos ,sin

v

sin ,2cos

且其內 積 uv 1,若0 2

  ,則之值可能為何? (A) 12

(B) 6

(C) 4

(D) 3

解答 A 解析

uv

2cos ,sin

 

 sin , 2cos

2cos sin

sin

2cos

 2 2sin cos

2sin 2

uv 1 ∴ 2sin 2

1  sin 2 1 2

 又0 2

  2 02

 

 而sin sin5 1 6 6 2

則2 6

 或5 6

 12

 或 5 12

故選(A)

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