0924向量解答

－ 1 － 向量 0924 班級 姓名 座號 一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分) （ ）1.若A



1, 1



、B



3,1



，則 AB (A)2(B)3(C)2 5(D)3 5 解答 C 解析 AB  



3 1,1 

 

1



 



4, 2



則

 

2 2 4 2 20 2 5 AB      （ ）2.設 a 、 b 、 c 為平面上之三個向量且 a (cos 30 ,sin 30 )  ， (cos150 ,sin150 ) b    ， c (cos 270 ,sin 270 )  ，試求 a  b  c (A)(1,0)(B)(0,1)(C)(1,1) (D)(0,0) 解答 D 解析 (cos30 ,sin 30 ) ( 3 1, ) 2 2 a     3 1 (cos150 ,sin150 ) ( , ) 2 2 b      (cos 270 ,sin 270 ) (0, 1) c      ∴ ( 3 3 0,1 1 1) (0,0) 2 2 2 2 a  b  c       （ ）3.在坐標平面上的平行四邊形 ABCD（按順序）中，若AB(4,8)、 (1, 4) AD ，則|AC||BD| (A)4 5 17 (B)18 (C)8 52 17 (D)36 解答 B 解析 (4,8) (1, 4) (5,12) ACAB AD    ( ) (1, 4) (4,8) ( 3, 4) BDBC CD AD BA AD AB AD AB      而 2 2 |AC| 5 12 13， 2 2 |BD| ( 3)  ( 4) 5 故|AC||BD| 13 5 18   （ ）4.已知△ABC 中，AB5，BC7，AC8，則下列各內積中， 何者為最大？(A)AB AC (B)BC BA (C)CA CB (D)AB BC 解答 C 解析 2 2 2 2 2 2 cos 2 2 b c a AC AB BC A bc AC AB        2 2 2 | || | cos 2 AC AB BC AB AC AB AC A AB AC AC AB          1₍ 2 2 2₎ 1₍₈2 ₅2 _{7 )}2 ₂₀ 2 AC AB BC 2        同理 1₍ 2 2 2₎ 1₍₅2 ₇2 _{8 )}2 ₅ 2 2 BC BA  AB BC AC     2 2 2 _{2 2 2} 1 1 ( ) (7 8 5 ) 44 2 2 CA CB  BC AC AB     ( ) ( ) 5 AB BC  BA BC   BC BA   ∴ CA CB 為最大

（ ）5.設 A(3,  7)、B(  2,1)、C(1,3)，則△ABC 的面積為(A)9 (B)13 (C)15 (D)17 解答 D 解析 AB ( 5,8)，AC ( 2,10)  △ABC 面積 1| 5 10 8 ( 2) | 17 2        （ ）6.設 u ，v 為平面上的兩個單位向量，若其內積為1 2，則 u 與 v 的夾角為何？ (A)30 (B)45 (C)60 (D)90 解答 C 解析 ∵ u ， v 為單位向量 則| u | 1 ，| v | 1 ，且 1 2 u  v  設 u 與 v 的夾角為 又 u  v | u || v | cos



1 1 1 cos 2    



cos 1 2



  ∴   60 （ ）7.已知 A(  1,2)，B(3,  5)，C(1,6)，設 G 為△ABC 的重心，M 為AC 的中點，則BG AM  (A)(  3,4) (B)(  1,8) (C)(  3,8) (D)(  1,4) 解答 A 解析 重心公式得 ( 1 3 1 2 5 6, ) ( , )3 3 (1,1) 3 2 3 3      _{ } G G G 又由中點公式得 ( 1 1 2 6, ) (0, 4) 2 2    _ M M

－ 2 － ∴ BG AM  (1 3,1 ( 5))    (0 ( 1), 42) ( 2,6)(1, 2) ( 3, 4) （ ）8.在△ABC 中，若 D 為線段BC的中點，且AB9、AC5，則 向量內積AD BC  (A)  28(B)  14(C)14(D)28 解答 A 解析 ∵ D 為BC的中點 ∴ BD：DC1：1  1 1 2 2   AD AB AC BCBA AC  AB AC 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 AD BC  AB AC  AB AC   AB  AC 1 ₉2 1 ₅2 ₂₈ 2 2        （ ）9.設向量 u ( , 2)a ， v (3, 2 )a ， w  ( 1, 2)，則下列敘述何 者正確？ (A)若2 u  v 與 w 平行，則 a  3 (B)若 (2 u  v ) w 0，則 5 2 a  (C)若| 2 u  v | 5 ，則 1 2 a  (D)若 | 2 u  v | | w |，則 a  0 解答 B 解析 2 u  v 2( , 2)a (3, 2 )a (2 , 4)a (3, 2 )a (2a3, 42 )a 2 2 | 2 u  v | (2a3)  (4 2 )a 2 2 (4a 12a 9) (16 16a 4a )        8a228a25 2 2 | w | ( 1) 2  5 (A)∵ 2 u  v 與 w 平行 ∴ 2 3 4 2 1 2 a _  a   2  (2a  3)   (4  2a)  4a  6   4  2a  6a   10  a  5 3  (B)∵ (2 u  v )  w  0 ∴ (2a  3 , 4  2a)(  1 , 2)  0  (2a  3)  (  1)  (4  2a)  2  0  (  2a  3)  (8  4a)  0  2a  5  0  5 2 a  (C)∵ | 2 u  v | 5 ∴ 8a228a255  平方 8a2  28a  25  25  8a2  28a  0 4   2a2  7a  0  a(2a  7)  0  a  0 或 7 2  (D)∵ | 2 u  v | | w | ∴ 8a228a25 5  平方 8a2  28a  25  5  8a2  28a  20  0 4   2a2  7a  5  0  (2a  5)(a  1)  0  5 2 a  或  1 （ ）10.△ABC中，AB



x, 2



，AC 



2, 4



，CB

 

3,y ，試求  x y之值為 (A)4 (B)2 (C)3 (D)5 解答 D 解析 ∵ △ABC中，ABBCCAAA 0 0 AB  CB  AC   _{  }  _    



x, 2

   

3,y 2, 4

  

0, 0       3 2 0 2 4 0 x y      _{   }  得x1，y 6 故x     y 1

 

6 5 （ ）11.求兩直線 3x  4y  7  0 與 4x  3y  2  0 所夾鈍角平分線方程式 為 (A)2x  5y  16  0 (B)5x  2y  11  0 (C)x  y  9  0 (D)x  y  9  0 解答 D 解析 設角平分線上的點為(x,y)到角兩邊的直線距離相等 2 2 2 2 | 4 3 2 | | 3 4 7 | 4 3 3 4 x y x y     取  (4x  3y  2)   (3x  4y  7)  x  y  9  0 為所求的鈍角平分線 （ ）12.過點(1,  4)且與原點距離為 1 的直線有幾條？ (A)1 條 (B)2 條 (C)3 條 (D)無限多條 解答 B 解析 設所求直線 y  4  m(x  1)，即 mx  y  m  4  0 2 2 2 2 | 4 | 1 ( 4) 1 ( 1) m m m m           15 8 15 8 m m       另有一條無斜率之直線 x  1，故共 2 條 （ ）13.若正△ABC的邊長為6，則AB BC 之值為 (A)18 3 (B)18 3 (C)18 (D)18 解答 D 解析 正△ABC內角均為60

－ 3 － 而 cos120 6 6 1 18 2 AB BC  ABBC     _ _    （ ）14.設 A(1,1)，B(4,5)，C(8,2)為△ABC 三頂點，求∠B  (A)0 (B)45 (C)90 (D)60 解答 C 解析 AB、BC為∠B 的兩鄰邊 已知BA  ( 3, 4)，BC(4, 3) ，則cos 0 | || | BA BC B BA BC    ∴ ∠B  90 （ ）15.設 A (1,1)、B (3,4)、C (  1, 2)、D (0, 1)，則AB在CD上的正 射影為 (A)( , )5 5 2 2 (B) 3 3 ( , ) 2 2 (C) 5 5 ( , ) 2 2   (D)( 5 , 5 ) 2 2 解答 A 解析 AB(3  1,4  1)  (2,3) CD(0  (  1), 1  (  2))  (1,1) AB在CD上的正射影為 2 2 2 2 2 1 3 1 ( ) ( )(1,1) ( 1 1 ) | | AB CD CD CD       5 2(1,1)  ( 5 5 , 2 2) （ ）16.設二向量 a ， b ，且| a | 2 ，| b | 5 ， a 與 b 的夾角 為 3



，則| 3 a  b | (A) 31 (B)31 (C) 15 (D)15 解答 A 解析 | || | cos 2 5 1 5 3 2 a b  a b



    2 2 2 2 2 | 3 a  b | 9 | a | 6 a b | b |  9 2   6 5 5 31 ∴ | 3 a  b | 31 （ ）17.若OB

 

b,4 ，OA



10,5



，則OB在OA上之正射影為

 

4, 2 ，則b之值為 (A)3 (B)2 (C)2 (D)3 解答 A 解析 OB OA 

  

b, 4 10,5



10b20 10



b2



 

2 ₂ 10 5 5 5 OA   OB在OA上正射影為





 



  

2 2 10 2 10,5 4, 2 5 5 b OB OA OA OA    _  _  _{   }       得b 2 5  b3 （ ）18.試求A



3, 4



到直線 : 1 3  4 x y L 的距離為 (A)18 5 (B) 16 5 (C)12 5 (D) 8 5 解答 C 解析 直線 : 1 3 4 x y L    4x 3y 12 0     ，A點



3, 4



則





 

 

2 2 4 3 3 4 12 12 , 5 4 3 d A L          （ ）19.設 a 、b 為非零向量，若| a  b | | a || b |，則 a 與 b 的夾角為何？ (A)0 (B)30 (C)60 (D)90 解答 A 解析 | a  b | | a || b |，兩邊同時平方，則 2 2 | a  b | (| a | | b |) 又 2 2 2 | a  b | (a  b ) ( a  b ) | a | 2 a b | b | 2 2 2 (| a || b |) | a | 2 | a || b || b | ∴ a  b | a || b | 若 a b 夾角 ，則cos 1 | || | a b a b



   ∴ 可知 cos   1，即   0 （ ）20.設 a (2, 4) ， b (3,5)，則4 a 5 b  (A)(  3,8) (B)(  7,  41) (C)(10,  37) (D)(  10,  28) 解答 B （ ）21.如圖，C、D、E、F 將AB五等分，若ACx BC，則 x  (A)  4 (B) 1 4  (C)1 4 (D)4 解答 B （ ）22.已知 a (1,3)， b (4, 2)，若| a t b |為最短，則 t 等於 (A)1 2 (B)2 (C)  2 (D) 1 2  解答 D

－ 4 － 解析 | a | 10 ，| b | 2 5 ， a b 10， 2 2 2 2 2 | a t b | | a | 2t a b t | b | 1020t20t 2 1 1 2 1 20( ) 20[( ) ] 2 2 4 t t t       ∴ 1 2 t  時最短 （ ）23.設兩向量 a 、 b ，| a |3，| b |2， a 與 b 的夾角為 2 3



，則| a 2 b | (A) 7 (B) 19 (C) 17 (D) 13 解答 D 解析 a  b | a || b |cos  3  2  cos2 3



  3 | a2 b |2  | _{a |}2  4 _a  _b 2 4 | b |   9  4  (  3)  16  13 ∴ | a 2 b | 13 （ ）24.設P的坐標為

 

3,5 ，且PQ



7, 5



，試求Q點坐標為 (A)



2,12



(B)



12, 2



(C)



10,0



(D)



0,10



解答 C 解析 設Q x y

 

, 則PQ



x3,y 5

 

7, 5



∴ 3 7 10 5 5 0 x x y y             故Q



10,0



（ ）25.設平面二向量 u 



2cos ,sin







， v 



sin ,2cos







且其內 積 u v 1，若0 2





  ，則之值可能為何？ (A) 12



(B) 6



(C) 4



(D) 3



解答 A 解析

u v 



2cos ,sin





 

 sin , 2cos







2cos sin





sin



2cos



 2 2sin cos





2sin 2



∵ u v 1 ∴ 2sin 2



1  sin 2 1 2



 又0 2





  2 02

 

 而sin sin5 1 6 6 2



_

_

_ 則2 6





 或5 6



 12





 或 5 12



故選(A)