1119 不等式解答

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1119 不等式 班級 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.在坐標平面上，滿足不等式|x|  y  8 的區域面積為何？ (A)16 (B)32 (C)64 (D)128 【094 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ |x|  y  8 0 | | 0 8 8 8 x y x y y x y x y y y y            _  _  _       _{ }  不等式所成區域如圖所示 （為△OAB）： ∴ 所成區域面積（即△OAB 面積） 1 16 8 64 2     （ ）2.利用柯西不等式，則 5sin12cos 的最大值為 (A)5

(B)12 (C)13 (D)17

【龍騰自命題.】 解答 C

解析 ∵ (52 122)(sin2cos2)  (5sin12cos )2 ∴ 169  1  (5sin12cos)2  13  5sin12cos 13 （ ）3.在坐標平面上，滿足不等式方程組 2 6 0 3 3 0 0 x y x y y             的區 域，其面積為何？ (A)22 5 (B) 32 5 (C) 42 5 (D)48 5 【098 年歷屆試題.】 解答 D 解析 滿足不等式方程組的區域如圖所示： 面積 1 [3 ( 1)] 24 48 2 5 5       （ ）4.若 x、y、z 為實數，且 x2  y2  z2  4，則 x  y  z 的最 大值為 (A) 2 2 (B) 2 3 (C)4 (D) 5 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ (x2 y2 z2)(12 12 12)  (x  y  z)2 ∴ 4  3  (x  y  z)2  2 3   x y z 2 3 （ ）5.不等式 x2 _{ x  1  0 的解為 (A)  1  x  1 (B)x   1} 或 x  1 (C) 1 3 2   _{ x } 1 3 2   (D)全部實數 (E)無解 【課本練習題-自我評量.】 解答 D 解析 多項式 x2 _x  _{1 的 b}2 _4ac  ₍  ₁₎2 ₄  ₁  ₁  ₃  ₀ 故不等式 x2_ x  1  0 的解為全部實數 （ ）6.不等式 x  2y  6  0，7x  2y  18，x  y  0 所成區域 面積為 (A)15 (B)16 (C)17 (D)18 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 △面積  4 5 1 1 | 2 2 1 | 18 2 2 2 1    （ ）7.在不等式組 0 0 3 2 6 x y x y        ， 之條件下，5x  4y 的最小值為 (A)0 (B)10 (C)12 (D)22 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 0 0 3 2 6 x y x y        ， 的圖形如下 令 f (x , y)  5x  4y，f (0 , 0)  0，f (0 , 3)  12，f (2 , 0)  10 因此 5x  4y 的最小值為 0 （ ）8.設 a  0，b  0，若 a  b  9，則 ab2_{的最大值為 (A)108} (B)81 (C)54 (D)9 【龍騰自命題.】 解答 A

－ 2 － 解析 ∵ 2 2 3 3 2 2 b b a b b a      ∴ ₃ 1 2 3 4 a b ab    2 3 9 1 3 4ab  ab 2 ₁₀₈ （ ）9.設 x、y  0，若 xy2 _{ 36，則 3x  y 的最小值為 (A)9} (B)12 (C)18 (D)27 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 ∵ 3 3 2 2 ₃ 3 2 2 y y x y y x      ∴ 2 3 3 3 3 4 x y xy    3x  y  33 3 2 4xy  9 （ ）10.試問圖中斜線部分（包含邊界）為下列哪一個不等式 組之解？ (A) 3 4 3 12 2 3 6 x y x y x y           (B) 3 4 3 12 2 3 6 x y x y x y    _{ }   _{ }  (C) 3 4 3 12 2 3 6 x y x y x y           (D) 3 4 3 12 2 3 6 x y x y x y    _{ }   _{ }  【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 ∵ 區域在 3 4 3 12 2 3 6 x y x y x y           的右側 的左側 的左側 故選(B) （ ）11.下列何者的圖形包含原點？ (A)x  2y  0 (B)x  2y  1  0 (C)2x  y  2  0 (D)2x  y  1  0 【龍騰自命題.】 解答 C （ ）12.滿足不等式 x2  4x  5  0 的整數解有幾個？ (A)6 個 (B)7 個 (C)8 個 (D)9 個 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 x2 4x  5  0  (x  5)(x  1)  0  1  x  5 故整數解為1、0、1、2、3、4、5，共 7 個 （ ）13.在 x  0、y  0、3x  4y  12、2x  y  6 的條件下，f (x , y)  5x  3y 的最大值為 (A)9 (B)15 (C)12 (D)78 5 (E) 88 5 【課本練習題-自我評量.】 解答 D 解析 圖解聯立不等式，並將可行解區域的頂點一一求出，如 圖所示。 f (0 , 0)  5  0  3  0  0 f (0 , 3)  5  0  3  3  9 f (12 6, 5 5)  5  12 5  3  6 5 78 5 f (3 , 0)  5  3  3  0  15 故 f (x , y)  5x  3y 的最大值為78 5 （ ）14.不等式 x2  8x  20  0 的解為 (A)x  10 或 x  2 (B)x  5 或 x  4 (C)x  2 或 x  10 (D)x  4 或 x  5 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 x2 _8x  ₂₀  ₀  _(x  _10)(x  ₂₎  ₀  _x  _{2 或 x} 10 （ ）15.設 a、b、x、y 為實數，且 a2  b2  6、x2  y2  24， 則 ax  by 的 (A)最大值為 30 (B)最大值為 12 (C) 最小值為  6 (D)最小值為  18 (E)最小值為  144 【課本練習題-自我評量.】 解答 B 解析 由柯西不等式知

(a2 _b2_)(x2 _y2₎  _(ax  _by)2  ₆  ₂₄  _(ax  _by)2

  12  ax  by  12 所以 ax  by 的最大值為 12，最小值為  12， 故選(B) （ ）16.下列何點在不等式 2x  3y 所表示的區域中？ (A)(1 , 1) (B)(2 , 1) (C)(1 , 2) (D)(0 , 0) 【龍騰自命題.】 解答 D （ ）17.若函數 y  x2  (k  2)x  (2  k)之圖形與 x 軸不相交， 則 k 之範圍為 (A)k  2 或2 (B)2  k  2 (C)k < 2 或 k  2 (D)k  1 或 k  3

－ 3 － 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ y  x2 (k  2)x  (2  k)之圖形與 x 軸不相交  判別式 0  (k  2)2 4  1  (2  k)  0  (k  2)2 4(k  2)  0  (k  2)(k  2)  0  2  k  2 （ ）18.不等式 x2 _{ 25  10x 之解為 (A)所有實數 (B)所有} 實數但 x  5 (C)x  5 (D)無解 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 x2 25  10x  x2 10x  25  0  (x  5)2 0 ∵ 實數的平方都大於或等於 0 ∴ 此題無解 （ ）19.圖中所示的斜線部分，是下列哪一個不等式的圖形？ (A)2x  y  2  0 (B)2x  y  2  0 (C)x  2y  2  0 (D)x  2y  2  0 (E)2x  y  2  0 【課本練習題-自我評量.】 解答 D 解析 經過(0 , 1)、(2 , 0) 兩點的直線方程式為 1 2 1 x_{ }y  x  2y  2  0 圖解區域在直線 x  2y  2  0 的右側， 就 x 項而論不等式應為「x  」，故所求的不等式為 x  2y  2  0 （ ）20.求不等式 _x2 _6x _{9 0的解為何？ (A)無實數解} (B)所有實數 (C)x3 (D)所有不等於 3 的實數 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析  _x2 _6x _{9 0} 2 6 9 0 x x     又 2





2 6 9 3 0 x  x  x  ∴ 所求為所有不等於 3 的實數 （ ）21.不等式 x  y  1  0 的圖形不含哪個象限的點？ (A) 一 (B)二 (C)三 (D)四 (E)三和四 【課本練習題-自我評量.】 解答 D 解析 將不等式 x  y  1  0 繪圖 由圖得知不等式 x  y  1  0 不包含第四象限 （ ）22.不等式 x2 _{ 1  0 的解為 (A)1  x  1 (B)x  1} (C)x  1 (D)無解 【龍騰自命題.】 解答 D （ ）23.已知實數a、 b 滿足 3a2b10，當 2 2 4 a  b 為最小 值時，此時a (A) 3 (B) 1 (C)1 (D)3 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 利用柯西不等式

 

2

 

2





2 2 2 2 3 1 3 2 a b a b  _   _{ } _{ }    



2 2



4 10 100 a b     2 ₄ 2 ₁₀ a b    ∴ _a2_4b2_{之最小值為} 10 此時 2 3 1 a b t    3 a t   ， 1 2 b  t 代入3a2b10得 t1  a3 （ ）24.已知正數a、 b 滿足ab16，當 4a b 為最小值時， 此時a (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 利用算幾不等式 4 4 64 8 2 a b a b  _{   } 4a b 16    4a b 的最小值為16，此時4ab ∴ 4a b 8  a2，b8 （ ）25.設a、 b 、c均為實數，若一元二次函數

 

2 ₀ f x ax bx c 對任意實數x恆成立，則下列 何者正確？ (A)a0， 2 4 0 b  ac (B)a0， 2 4 0 b  ac (C)a0， 2 4 0 b  ac (D)a0， 2 4 0 b  ac 【隨堂測驗.】 解答 A