1205 第一二冊解答

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1205 第一二冊 班級 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.下列何者為 x3  6x2  11x  6 的因式? (A)x  1 (B)x  2 (C)x  4 (D)x  3 【091 年歷屆試題.】 解答 D 解析 令 f (x) x3 6x2 11x  6 ∵ f (1)  1  6  11  6  0 ∴ f (x)有因式(x  1) 1 6 11 6 1 1 5 6 1 5 6 , 0         f (x) (x 1)(x2 5x  6)  (x 1)(x 2)(x  3) ( )2.在坐標平面上,滿足不等式|x|  y  8 的區域面積為何? (A)16 (B)32 (C)64 (D)128 【094 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ |x| y  8 0 | | 0 8 8 8 x y x y y x y x y y y y                     不等式所成區域如圖所示 (為△OAB): ∴ 所成區域面積(即△OAB 面積) 1 16 8 64 2     ( )3.下列何者為多項式? (A)1 4 x (B) 2x8 (C) 13 5x4 (D) 6 x2 【094 年歷屆試題.】 解答 B 解析 1 4 x 及 13 5x4的 x 在分母中出現,故不為 x 的多項式 又6 x2的 x 出現在根號內,故不為 x 的多項式 ∴ 只有 2x8為 x 的多項式 ( )4.設 A(0,6)、B(  12,  24)、C(24,12)為坐標平面上之三點,試問 △ABC 之重心坐標為何?(A)(2,2)(B)(4,  2)(C)(9, 3) 2  (D)(18,  6) 【095 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ A(0,6)、B(  12,  24)、C(24,12) ∴ △ABC 之重心坐標為 0 ( 12) 24 6 ( 24) 12 ( , ) (4, 2) 3 3       ( )5.若在坐標平面上的平行四邊形 ABCD 中,點 A、B、C 的 坐標分別為(5,2)、(1,3)、(  4,3),則 D 點之坐標為何? (A)(1,8) (B)(0,2) (C)(2,7) (D)(3,9) 【096 年歷屆試題.】 解答 B 解析 利用平行四邊形對角線互相平分 設 D 點坐標為(x,y) 又 A(5,2)、B(1,3)、C(  4,3) ∵ AC中點BD中點 5 ( 4) 2 3 1 3 ( , ) ( , ) 2 2 2 2 x y         x 0,y  2 ∴ D 點坐標為(0,2) 《另解》 設 D 點坐標為(x,y) 又知 A(5,2)、B(1,3)、C(  4,3)  x  5  (  4)  1  0  y  2  3  3  2 ∴ D 點坐標為(0,2) ( )6.已知

3 2

 

3 2

3 2 3 5 xxkx  xxxk 的乘積中, 3 x 項 的係數為 7 ,則 k (A) 3 (B) 4 (C) 3 (D) 4 【隨堂測驗.】 解答 A 解析 x3項的係數k 5 3k 6 7   2k 6  k 3 ( )7.設 a、b、c、d、e、f 均為實數,若行列式 1 1 2 1 a d b e c f  , 則 2 3 4 2 3 4 10 15 20 a d b e c f      (A)120 (B)  120 (C)240 (D)  240 【096 年歷屆試題.】 解答 C 解析 2 3 4 1 2 3 4 2 ( 3) 4 1 10 15 20 5 5 5 a d a d b e b e c f c f             1 2 ( 3) 4 ( 5) 1 1 a d b e c f         2  (  3)  4  (  5)  2  240 ( )8.設 A (  13 ,  19)、B (x , y)為平面上相異兩點。若向量 AB 與向量 u (5,12)同方向且|AB|26,則 3x  4y  (A)  103 (B)  29 (C)29 (D)103 【100 年歷屆試題.】 解答 B

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解析 AB(x ( 13),y ( 19))(x13,y19) ∵ |AB|26, 2 2 | u | 5 12 13 且ABu 同方向, ∴ AB2 u (x 13 , y  19)  2(5 , 12)  (10 , 24)  x  3,y  5 因此 3x 4y  3  (  3)  4  5  29 ( )9.已知△ABC 中,AB5,BC7,AC8,則下列各 內積中,何者為最大? (A) AB AC (B) BC BA(C) CA CB (D) AB BC 【093 年歷屆試題.】 解答 C 解析 2 2 2 2 2 2 cos 2 2 b c a AC AB BC A bc AC AB        2 2 2 | || | cos 2 AC AB BC AB AC AB AC A AB AC AC AB          2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) (8 5 7 ) 20 2 AC AB BC 2        同理 1 2 2 2 1 2 2 2 ( ) (5 7 8 ) 5 2 2 BC BA  ABBCAC     2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) (7 8 5 ) 44 2 2 CA CB  BCACAB     ( ) ( ) 5 AB BC  BA BC   BC BA   ∴ CA CB 為最大 ( )10.在坐標平面上,若△ABC 之三頂點坐標分別為 A(2,0)、 B(4,0)與 C(4,3),則△ABC 之三邊上共有多少點與原點的距離 恰為整數值? (A)2 個 (B)4 個 (C)6 個 (D)8 個 【099 年歷屆試題.】 解答 C 解析 以原點為圓心,作出半徑為 2、3、4、5 的圓 這些圓與△ABC 的邊長共有 6 個交點, 也就是△ABC 之三邊上共有 6 個點與原點的距離恰為整 數值 故選(C) ( )11.設 a (4,3), b ( , )x y 為平面上兩向量,且 x2  y2 40,則此二向量內積 ab 的最大值為何? (A)10 10 (B)12 10 (C)14 10 (D)16 10 【098 年歷屆試題.】 解答 A 解析 a (4,3)  | a | 4232 5 2 2 ( , ) | | 40 2 10 bx ybxy   設 ab 的夾角為 則

| || | cos 5 2 10 cos 10 10 cos 10 10

aba b       (∵  1  cos 1) 故 ab 的最大值為10 10 《另解》 (4,3) ( , ) 4 3 ab   x yxy 由柯西不等式: (42 32)(x2 y2) (4x 3y)2  25 40 (4x 3y)2 (4x 3y)2 1000  0 [(4x 3 ) 10 10][(4y x 3 ) 10 10]y 0       10 10 4x 3y 10 10      故 ab 的最大值為10 10 ( )12.平面上四點 A(1 , 1)、B(a , 2)、C(b ,  1)、D(0 ,  2),其 中 b 為正數,若 AB 與 CD 互相平行,且 BD 與 AC 互相 垂直,求 a  2b 之值為何? (A)7 (B)8 (C)9 (D)10 【101 年歷屆試題.】 解答 D 解析 直線 AB 的斜率 1 2 1 1 1 AB m a a       ,直線 CD 的斜率 1 ( 2) 1 0 CD m b b       ,

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直線 BD 的斜率 2 ( 2) 4 0 BD m a a      ,直線 AC 的斜率 1 ( 1) 2 1 1 AC m b b       , ∵ AB CD// ∴ mAB mCD  1 1 1 a b     a b  1…… ∵ BDAC ∴ mBD mAC 1  4 2 1 1 a b    a(1 b)  8…… 由,a  1  b 代入 則(1  b)(1 b)  8  1  b2 8  b2 9  b 3(負不合)  a  1  3  4 故 a 2b  4  2  3  10 ( )13.設 A、B、C 為一圓之圓周上三點,若AB4、BC6、 8 CA ,則該圓之面積為何? (A)256 15  (B) 256 13  (C)81 4 (D) 81 2  【099 年歷屆試題.】 解答 A 解析 令圓的半徑為 R 由餘弦定理知: 2 2 2 2 2 2 4 8 6 11 cos 2 4 8 16 2 AB CA BC A AB CA           則 2 11 2 3 15 sin 1 cos 1 ( ) 16 16 A  A   由正弦定理知: 2 sin BC R A  6 2 3 15 16 R   16 15 R 因此圓面積 2 ( 16 )2 256 15 15 R        故選(A) ( )14.設向量 a (3, 4),向量 b// a ,且 ab  50,則 | 2 a 3 b | (A)20 (B)40 (C)60 (D)80 【102 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ ab 互相平行且 ab   50 0 ∴ ab 互為反向,即夾角為 180 2 2 | a | 3 4 5 | || | cos180 5 | | ( 1) 5 | | 50 aba b    b     b    | b | 10 2 2 2 2 2 | 2 a 3 b | 4 | a | 12 ab 9 | b |     4 5 12 ( 50) 9 10  400 故| 2 a 3 b | 40020 〈另解〉 ∵ b// a ∴ 可設 bt a ,其中 t 為實數 bt(3, 4)(3 , 4 )t t (3, 4) (3 , 4 ) 3 3 4 4 25 ab   t t     t t tab  50 ∴ 25t  50  t  2 則 b   (3 ( 2), 4 ( 2))    ( 6, 8) 而 2 a 3 b 2(3, 4)   3( 6, 8) (6,8) ( 18, 24)  ( 12, 16) 故 2 2 | 2 a 3 b | ( 12)  ( 16)  40020 ( )15.已知直線方程式 L:2x  y 1 0,Lym x1 2,L :2 2 3 ym x ,若L1//L 且L2L,則m1m2 ? (A) 3 (B) 5 2  (C) 3 2  (D) 1 【隨堂測驗.】 解答 B 解析 2 2 1 L m     1 1 2 2 2 // 2 1 1 2 L L L L m m L L m m m                ∴ 1 2 2 1 5 2 2 mm      ( )16.若點 (ab ab, )在第二象限內,則點 ( , )a b 在第幾象限? (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【隨堂測驗.】 解答 C

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解析 0 , 0 a b a b ab ab       之中必有負數 同號 0 a   且b0 ∴ ( , )a b III ( )17.求 cos1560之值? (A)1 (B)1 2 (C) 1 2  (D) 1 【隨堂測驗.】 解答 C 解析 ∵ 1560  4 360 120 ∴ cos1560 cos120 1 2     

( )18.已知i 1。若 z  cos78  isin78,則 z15  (A)  i (B)  1 (C)i (D)1

【100 年歷屆試題.】 解答 C

解析 z15 (cos78 isin78)15 cos(15 78) isin(15 78)

 cos1170 isin1170 cos(3  360 90)  isin(3  360 90)  cos90 isin90 0  i i ( )19.設一扇形的半徑為 5 ,圓心角為 72,則此扇形的面積 為 (A)5 2 (B) 5 (C)10 (D) 15 2  【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 r5, 72 2 5      2 2 1 1 2 5 5 2r   2 5   ( )20. △ABC 中,AB5,BC6,CA7,則AB AC  (A)19 (B)15 (C)13 (D)11 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 2 2 2 5 7 6 19 cos 2 5 7 35       A ∴ 5 7 19 19 35      AB AC ( )21.如圖,OP15,tan 24 7    ,則 P 點坐標為 (A) 7, 24 5 5       (B) 7 24 , 5 5       (C) 21 72 , 5 5       D) 21 72 , 5 5       【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 設P

 

x y, ,其中x0,y0 24 24 tan : 7 : 24 7 7    y    x y  x  : :15 7 : 24 : 25  x y   ∴ 15 7 21 25 5          x 15 24 72 25 5    y 21 72 , 5 5        P ( )22.下列何者為一元二次不等式? (A)x 2 0 (B)x2  x 2 0 (C)x  y 1 0 (D) x 4 【隨堂測驗.】 解答 B 解析 (A)一元一次不等式 (C)二元一次不等式 (D)絕對值不等式 ( )23.設 6 a d g b e h c f k  , 5 a d l b e m c f n   ,則行列式 3 2 4 5 3 2 4 5 3 2 4 5 a d g l b e h m c f k n       的值為 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 所求 3 2 4 3 2 5 3 2 4 3 2 5 3 2 4 3 2 5 a d g a d l b e h b e m c f k c f n         24 30 a d g a d l b e h b e m c f k c f n       24 6 30 

 

5 6

( )24.設 seccsc 1,求 sec csc 之值為 (A) 2 1 (B) 2 1 (C) 2 1 (D) 21

【105 年歷屆試題.】 解答 C

(5)

解析 seccsc1  1 1 1 cos sin   sin cos 1 sin cos      

 sincossin cos   平方

 

2

2 sincos  sin cos 

2

1 2sin cos    sin cos 

tsin cos 

(∵ sin cos 1sin 2 2   ,且 1 sin 21 ∴ 1 sin cos 1 2   2    ,即 1 1 2 t 2    ) 式: 2 1 2t tt2  2t 1 0 

   

 

2 2 2 4 1 1 2 1 t         2 2 2 1 2 2     ∵ 1 1 2 t 2    ∴ t 1 2,即sin cos  1 2 所求 1 1 sec csc sin cos 1 2       

 

1 1 2 1 2 1 2       2 1    ( )25.若△ABC 中,AB5,BC9,CA10,則 cos(A  B)  (A) 13 15  (B) 7 15  (C) 7 15 (D) 13 15 【102 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ A B C  180 ∴ cos(A B)  cos(180C)  cosC 2 2 2 9 10 5 13 2 9 10 15        

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