1205 第一二冊解答

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1205 第一二冊班級姓名座號

一、單選題 (25 題每題 4 分共 100 分)

（）1.下列何者為 x3  6x2  11x  6 的因式？ (A)x  1 (B)x  2 (C)x  4 (D)x  3 【091 年歷屆試題.】解答 D 解析令 f (x)  x3 6x2 11x  6 ∵ f (1)  1  6  11  6  0 ∴ f (x)有因式(x  1) 1 6 11 6 1 1 5 6 1 5 6 , 0         f (x)  (x  1)(x2 5x  6)  (x  1)(x  2)(x  3) （）2.在坐標平面上，滿足不等式|x|  y  8 的區域面積為何？ (A)16 (B)32 (C)64 (D)128 【094 年歷屆試題.】解答 C 解析 ∵ |x|  y  8 0 | | 0 8 8 8 x y x y y x y x y y y y            _  _  _       _{ }  不等式所成區域如圖所示 （為△OAB）： ∴ 所成區域面積（即△OAB 面積） 1 16 8 64 2     （）3.下列何者為多項式？ (A)1 4 x (B) 2x8 (C) 13 5x4 (D) 6 x2 【094 年歷屆試題.】解答 B 解析 1 4 x 及 13 5x4的 x 在分母中出現，故不為 x 的多項式又6 x2的 x 出現在根號內，故不為 x 的多項式 ∴ 只有 2x8為 x 的多項式（）4.設 A(0,6)、B(  12,  24)、C(24,12)為坐標平面上之三點，試問 △ABC 之重心坐標為何？(A)(2,2)(B)(4,  2)(C)(9, 3) 2  (D)(18,  6) 【095 年歷屆試題.】解答 B 解析 ∵ A(0,6)、B(  12,  24)、C(24,12) ∴ △ABC 之重心坐標為 0 ( 12) 24 6 ( 24) 12 ( , ) (4, 2) 3 3       _ _ （）5.若在坐標平面上的平行四邊形 ABCD 中，點 A、B、C 的 坐標分別為(5,2)、(1,3)、(  4,3)，則 D 點之坐標為何？ (A)(1,8) (B)(0,2) (C)(2,7) (D)(3,9) 【096 年歷屆試題.】解答 B 解析利用平行四邊形對角線互相平分 設 D 點坐標為(x,y) 又 A(5,2)、B(1,3)、C(  4,3) ∵ AC中點BD中點 5 ( 4) 2 3 1 3 ( , ) ( , ) 2 2 2 2 x y         x  0，y  2 ∴ D 點坐標為(0,2) 《另解》 設 D 點坐標為(x,y) 又知 A(5,2)、B(1,3)、C(  4,3)  x  5  (  4)  1  0  y  2  3  3  2 ∴ D 點坐標為(0,2) （）6.已知



3 2

 

3 2



3 2 3 5 x x kx  x  x  xk 的乘積中， 3 x 項 的係數為 7 ，則 k (A) 3 (B) 4 (C) 3 (D) 4 【隨堂測驗.】解答 A 解析 x3項的係數k 5 3k 6 7   2k 6  k 3 （）7.設 a、b、c、d、e、f 均為實數，若行列式 1 1 2 1 a d b e c f  ，則 2 3 4 2 3 4 10 15 20 a d b e c f      (A)120 (B)  120 (C)240 (D)  240 【096 年歷屆試題.】解答 C 解析 2 3 4 1 2 3 4 2 ( 3) 4 1 10 15 20 5 5 5 a d a d b e b e c f c f             1 2 ( 3) 4 ( 5) 1 1 a d b e c f         2  (  3)  4  (  5)  2  240 （）8.設 A (  13 ,  19)、B (x , y)為平面上相異兩點。若向量 AB 與向量 u (5,12)同方向且|AB|26，則 3x  4y  (A)  103 (B)  29 (C)29 (D)103 【100 年歷屆試題.】解答 B

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解析 AB(x ( 13),y ( 19))(x13,y19) ∵ |AB|26， 2 2 | u | 5 12 13 且AB與 u 同方向， ∴ AB2 u  (x  13 , y  19)  2(5 , 12)  (10 , 24)  x  3，y  5 因此 3x  4y  3  (  3)  4  5  29 （）9.已知△ABC 中，AB5，BC7，AC8，則下列各 內積中，何者為最大？ (A) AB AC (B) BC BA (C) CA CB (D) AB BC 【093 年歷屆試題.】解答 C 解析 2 2 2 2 2 2 cos 2 2 b c a AC AB BC A bc AC AB        2 2 2 | || | cos 2 AC AB BC AB AC AB AC A AB AC AC AB          2 2 2 ₂ ₂ ₂ 1 1 ( ) (8 5 7 ) 20 2 AC AB BC 2        同理 1 2 2 2 1 2 2 2 ( ) (5 7 8 ) 5 2 2 BC BA  AB BC AC     2 2 2 ₂ ₂ ₂ 1 1 ( ) (7 8 5 ) 44 2 2 CA CB  BC AC AB     ( ) ( ) 5 AB BC  BA BC   BC BA   ∴ CA CB 為最大 （）10.在坐標平面上，若△ABC 之三頂點坐標分別為 A(2,0)、 B(4,0)與 C(4,3)，則△ABC 之三邊上共有多少點與原點的距離 恰為整數值？ (A)2 個 (B)4 個 (C)6 個 (D)8 個【099 年歷屆試題.】解答 C 解析以原點為圓心，作出半徑為 2、3、4、5 的圓 這些圓與△ABC 的邊長共有 6 個交點， 也就是△ABC 之三邊上共有 6 個點與原點的距離恰為整 數值故選(C) （）11.設 a (4,3)， b ( , )x y 為平面上兩向量，且 x2_{ y}2_ 40，則此二向量內積 a b 的最大值為何？ (A)10 10 (B)12 10 (C)14 10 (D)16 10 【098 年歷屆試題.】解答 A 解析 a (4,3)  | a | 4232 5 2 2 ( , ) | | 40 2 10 b  x y  b  x y   設 a 與 b 的夾角為 則

| || | cos 5 2 10 cos 10 10 cos 10 10

a b  a b       （∵  1  cos 1）故 a b 的最大值為10 10 《另解》 (4,3) ( , ) 4 3 a b   x y  x y 由柯西不等式： (42₃2_)(x2_y2₎_(4x_3y)2 ₂₅₄₀_(4x_3y)2  (4x  3y)2 1000  0 [(4x 3 ) 10 10][(4y x 3 ) 10 10]y 0       10 10 4x 3y 10 10      故 a b 的最大值為10 10 （）12.平面上四點 A(1 , 1)、B(a , 2)、C(b ,  1)、D(0 ,  2)，其 中 b 為正數，若 AB 與 CD 互相平行，且 BD 與 AC 互相 垂直，求 a  2b 之值為何？ (A)7 (B)8 (C)9 (D)10 【101 年歷屆試題.】解答 D 解析直線 AB 的斜率 1 2 1 1 1 AB m a a       ，直線 CD 的斜率 1 ( 2) 1 0 CD m b b       ，

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直線 BD 的斜率 2 ( 2) 4 0 BD m a a      ，直線 AC 的斜率 1 ( 1) 2 1 1 AC m b b       ， ∵ AB CD// ∴ mAB mCD  1 1 1 a b     a  b  1…… ∵ BDAC ∴ mBD mAC 1  4 2 1 1 a b    a(1  b)  8…… 由，a  1  b 代入 則(1  b)(1  b)  8  1  b2 8  b2 9  b 3（負不合）  a  1  3  4 故 a  2b  4  2  3  10 （）13.設 A、B、C 為一圓之圓周上三點，若AB4、BC6、 8 CA ，則該圓之面積為何？ (A)256 15  (B) 256 13  (C)81 4 (D) 81 2  【099 年歷屆試題.】解答 A 解析令圓的半徑為 R 由餘弦定理知： 2 2 2 ₂ ₂ ₂ 4 8 6 11 cos 2 4 8 16 2 AB CA BC A AB CA           則 2 11 2 3 15 sin 1 cos 1 ( ) 16 16 A  A   由正弦定理知： 2 sin BC R A  6 2 3 15 16 R   16 15 R 因此圓面積 2 ₍ 16 ₎2 256 15 15 R        故選(A) （）14.設向量 a (3, 4)，向量 b// a ，且 a b  50，則 | 2 a 3 b | (A)20 (B)40 (C)60 (D)80 【102 年歷屆試題.】解答 A 解析 ∵ a 與 b 互相平行且 a b   50 0 ∴ a 與 b 互為反向，即夾角為 180 2 2 | a | 3 4 5 | || | cos180 5 | | ( 1) 5 | | 50 a b  a b    b     b    | b | 10 2 2 2 2 2 | 2 a 3 b | 4 | a | 12 a b 9 | b |     4 5 12 ( 50) 9 10  400 故| 2 a 3 b | 40020 〈另解〉 ∵ b// a ∴ 可設 b t a ，其中 t 為實數 則 b t(3, 4)(3 , 4 )t t (3, 4) (3 , 4 ) 3 3 4 4 25 a b   t t     t t t ∵ a  b  50 ∴ 25t  50  t  2 則 b   (3 ( 2), 4 ( 2))    ( 6, 8) 而 2 a 3 b 2(3, 4)   3( 6, 8) (6,8) ( 18, 24)  ( 12, 16) 故 2 2 | 2 a 3 b | ( 12)  ( 16)  40020 （）15.已知直線方程式 L：2x  y 1 0，L_１：ym x₁ 2，L ：₂ 2 3 ym x ，若L1//L 且L2L，則m1m2 ？ (A) 3 (B) 5 2  (C) 3 2  (D) 1 【隨堂測驗.】解答 B 解析 2 2 1 L m     1 1 2 2 2 // 2 1 1 2 L L L L m m L L m m m                ∴ ₁ ₂ 2 1 5 2 2 m m      （）16.若點 (ab ab, )在第二象限內，則點 ( , )a b 在第幾象限？ (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限【隨堂測驗.】解答 C

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解析 0 , 0 a b a b ab ab      _ _  之中必有負數同號 0 a   且b0 ∴ ( , )a b III （）17.求 cos1560之值？ (A)1 (B)1 2 (C) 1 2  (D) 1 【隨堂測驗.】解答 C 解析 ∵ 1560  4 360 120 ∴ cos1560 cos120 1 2     

（）18.已知i 1。若 z  cos78  isin78，則 z15  (A)  i (B)  1 (C)i (D)1

【100 年歷屆試題.】解答 C

解析 z15_(cos78_isin78₎15_cos(15₇₈₎_isin(15₇₈₎

 cos1170 isin1170 cos(3  360 90)  isin(3  360 90)  cos90 isin90 0  i  i （）19.設一扇形的半徑為 5 ，圓心角為 72，則此扇形的面積為 (A)5 2 (B) 5 (C)10 (D) 15 2  【隨堂講義補充題.】解答 B 解析 r5， 72 2 5      2 2 1 1 2 5 5 2r   2 5   （）20. △ABC 中，AB5，BC6，CA7，則AB AC  (A)19 (B)15 (C)13 (D)11 【隨堂講義補充題.】解答 A 解析 2 2 2 5 7 6 19 cos 2 5 7 35       A ∴ 5 7 19 19 35      AB AC （）21.如圖，OP15，tan 24 7    ，則 P 點坐標為 (A) 7, 24 5 5  _      (B) 7 24 , 5 5 _      (C) 21 72 , 5 5  _      D) 21 72 , 5 5 _      【隨堂講義補充題.】解答 D 解析設P

 

x y, ，其中x0，y0 24 24 tan : 7 : 24 7 7    y    x y  x  : :15 7 : 24 : 25  x y   ∴ 15 7 21 25 5      _ _   x 15 24 72 25 5    y 21 72 , 5 5     _ _   P （）22.下列何者為一元二次不等式？ (A)x 2 0 (B)x2  x 2 0 (C)x  y 1 0 (D) x 4 【隨堂測驗.】解答 B 解析 (A)一元一次不等式 (C)二元一次不等式 (D)絕對值不等式（）23.設 6 a d g b e h c f k  ， 5 a d l b e m c f n   ，則行列式 3 2 4 5 3 2 4 5 3 2 4 5 a d g l b e h m c f k n       的值為 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 【隨堂講義補充題.】解答 D 解析所求 3 2 4 3 2 5 3 2 4 3 2 5 3 2 4 3 2 5 a d g a d l b e h b e m c f k c f n         24 30 a d g a d l b e h b e m c f k c f n       24 6 30 

 

5 6

（）24.設 seccsc 1，求 sec csc 之值為 (A) 2 1 (B) 2 1 (C) 2 1 (D) 21

【105 年歷屆試題.】解答 C

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解析 seccsc1  1 1 1 cos sin   sin cos 1 sin cos      

 sincossin cos   平方



 

2



2 sincos  sin cos 







2

1 2sin cos    sin cos 

令tsin cos 

（∵ sin cos 1sin 2 2   ，且 1 sin 21 ∴ 1 sin cos 1 2   2    ，即 1 1 2 t 2    ） 式： 2 1 2t t  t2  2t 1 0 

   

 

2 2 2 4 1 1 2 1 t         2 2 2 1 2 2     ∵ 1 1 2 t 2    ∴ t 1 2，即sin cos  1 2 所求 1 1 sec csc sin cos 1 2       







 



1 1 2 1 2 1 2       2 1    （）25.若△ABC 中，AB5，BC9，CA10，則 cos(A  B)  (A) 13 15  (B) 7 15  (C) 7 15 (D) 13 15 【102 年歷屆試題.】解答 A 解析 ∵ A B C  180 ∴ cos(A B)  cos(180C)  cosC 2 2 2 9 10 5 13 2 9 10 15        