1006 數學第一冊解答

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1006 數學第一冊複習 班級 姓名 座號

一、單選題 (10 題 每題 4 分 共 40 分)

（ ）1.若(a,b)在第二象限，則(a  b,a2_{b)在哪一象限？ (A)} 一 (B)二 (C)三 (D)四 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 (a,b)在第二象限 ∴ a  0，b  0  a  b  0，a2b  0，故(a  b,a2b)在第二象限 （ ）2.已知坐標平面上三點 (3 , 4)A 、 (5 , 2)B  、 ( , )C x y 共 線，若 B 在線段 AC 上，且AB2BC，求 C 點到原 點的距離為 (A) 6 (B) 5 (C) 61 (D) 65 【隨堂測驗.】 解答 C 解析 AB2BC  AB：BC2：1 1 3 2 5 2 1 1 4 2 2 2 1 x y     _     _{  }  _{ }  _  3 2 15 4 2 6 x y      _{  }  6 5 x y     _{ }  ∴ C(6 , 5) C點到原點距離 2 2 6 ( 5) 61 CO      （ ）3.設向量 a (3, 4)，向量 b// a ，且 a b  50，則 | 2 a 3 b | (A)20 (B)40 (C)60 (D)80 【102 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ a 與 b 互相平行且 a b   50 0 ∴ a 與 b 互為反向，即夾角為 180 2 2 | a | 3 4 5 | || | cos180 5 | | ( 1) 5 | | 50 a  b  a b    b     b    | b | 10 2 2 2 2 2 | 2 a 3 b | 4 | a | 12 a b 9 | b |     4 5 12 ( 50) 9 10  400 故| 2 a 3 b | 40020 〈另解〉 ∵ b// a ∴ 可設 b t a ，其中 t 為實數 則 b t(3, 4)(3 , 4 )t t (3, 4) (3 , 4 ) 3 3 4 4 25 a b   t t     t t t ∵ a  b  50 ∴ 25t  50  t  2 則 b   (3 ( 2), 4 ( 2))    ( 6, 8) 而 2 a 3 b 2(3, 4)   3( 6, 8) (6,8) ( 18, 24)  ( 12, 16) 故 2 2 | 2 a 3 b | ( 12)  ( 16)  40020 （ ）4.兩平行線 2x  3y  3 與  4x  6y  7 的距離為 (A) 13 2 (B) 13 3 (C) 2 13 (D) 3 13 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 設 L1:2x  3y  3  4x  6y  6 L2:  4x  6y  7  4x  6y  7 ∴ _{1 2} 2 2 | 6 ( 7) | 13 13 13 ( , ) 2 52 2 13 4 ( 6) d L L         （ ）5.ABCD 為平行四邊形，如圖， // EF BC ，GH//AB ，下列何者不為真？ (A)ABDC (B) FD AE (C) EA EB (D)CF OG (E) HD GC 【課本練習題-自我評量.】 解答 C 解析 ∵ EA與EB方向不同 ∴ EA與EB不可能相等 （ ）6.已知單位向量 a 與單位向量 b 的夾角為 3  且 3 a b 與 m a  b 互相垂直，則 m 的值等於 (A) 7 5  (B)7 5 (C)1 (D) 5 3  【龍騰自命題.】 解答 A

－ 2 － 解析 1 1 cos 1 3 2 a b      (a 3 b ) ( m a b )0  2 2 | | (1 3 ) 3 | | 0 m a   m a b  b   (1 3 )1 3 0 2 m  m    7 5 m 

（ ）7.△ABC 中，a 21，b  4，c  5，則 sinA  (A) 3 2 (B) 2 2 (C) 1 2 (D) 1 2  【龍騰自命題.】 解答 A 解析 2 2 2 4 5 ( 21) 1 cos 2 4 5 2 A      ∴ A  60 故sin 3 2 A

（ ）8.在△ABC 中，若B  60，a  6，c  9，則 b  (A) 3 7 (B) 3 10 (C) 65 (D) 101 【龍騰自命題.】 解答 A （ ）9.直線 L 的 x 截距為  1，y 截距為 2，則 L 的方程式為 (A)x  2y  1  0 (B)2x  y  2  0 (C)x  2y  1  0 (D)2x  y  2  0 【龍騰自命題.】 解答 D （ ）10.設為第二象限角， 為第一象限角，且sin 8 17   ， 5 cos 13   ，則sin



 



 (A)220 221 (B) 21 221 (C) 140 221  (D) 171 221  【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析





sin   sin cos cos sin 

8 5 15 12 17 13 17 13      _{ }   220 221 

二、填充題 (8 格 每格 4 分 共 32 分)

1.若 在第四象限， 在第二象限，且已知cos 3 5  ，sin 5 13   ， 則 tan(   )  ____________。 【龍騰自命題】 解答 63 16  解析 ∵  為第四象限角， 為第二象限角且cos 3 5  ， 5 sin 13   ∴ tan 4 3    ，tan 5 12    故 4 5 ( ) ( ) tan tan _{3 12} 63 tan( ) 4 5 1 tan tan _{1 ( )( )} 16 3 12                 _{  } 2.已知 為銳角，若 sincos 2，則 (1)tan  cot  ____________ (2)sin3  cos3  ____________ (3)sin  cos  ____________。 【龍騰自命題】 解答 (1)2;(2) 2 2 ;(3)0 解析 (1) 2 2

(sincos )  1 2sin cos   ( 2)  1 2sin cos 

1 1

1 2sin cos sin cos tan cot 2

2 sin cos

     

 

       

(2)sin3 _cos3 _(sin _cos _)(sin2 _sin _cos _cos2 ₎

1 2 (1 ) 2    （∵ sin2_ cos2 1） 2 1 2 2 2    (3) 2 2 2 1

(sin cos ) (sin cos ) 4sin cos ( 2) 4 2 2 0 2              ∴ sin cos 0 3.設二點A



1, 2



、B

 

2,5 ，且AP : BP3 : 2 (1)若P 點在 AB 上，則P 點坐標為____________， (2)若P 點在 AB 的延長線上，則P 點坐標為____________。 【隨堂講義-綜合練習】

－ 3 － 解答 (1) 4 19, 5 5      ;(2)



8,11



解析 (1)如圖，設P點坐標為



x y,



∵ 3 5 AP  AB 且AP和AB同向 ∴ 3 5 AP AB 



1, 2



3

 

3,3 9 9, 5 5 5 x y    _    9 1 5 9 2 5 x y          



,



4 19, 5 5 x y   _   (2)如圖，設P x y



,



∵ AP 3AB 且AP和AB同向 ∴ 3 AP AB 



x1,y2

    

3 3,3  9,9  1 9 2 9 x y        



x y,

 

 8,11



4. (1 2sin sin )(1 cos 2cos )

6 4 4 3         ____________。 【龍騰自命題】 解答 7 2 解析 原式 1 2 2 1 2 2 1 7 (1 2 ) (1 2 ) (2 ) (2 ) 4 2 2 2 2 2 2 2 2                5.通過點2 , 5



，且與直線x2y 1 0垂直之直線方程式為 ____________。 【隨堂測驗】 解答 2x  y 1 0 解析 設所求為2x  y k 0 過



2 , 5



    4 5 k 0  k 1 ∴ 所求為2x  y 1 0

三、計算題 (7 小題 每小題 4 分 共 28 分)

1.化簡

cos(180 )cos( ) sin(270 )sin(450 )

cos(90 ) sin(180 ) sin(90 ) cos(360 )     _{ }                     。 【隨堂測驗】 解答 1 解析 原式

cos cos cos cos

( ) ( ) (sin ) (sin ) cos cos     _{ }           2 2 cos  sin  1   

2.設asin 46，bcos46，ctan 46，比較其大小。

【隨堂測驗】 解答 c a b 解析 x y r sin 46 cos 46 y x y x 0 a b r r r           1 a b    …… 又c tan 46 y x     c1…… 由、知c a b 3.設 A(2,3)、B(7,  9)、C(0,6)、D(  4,  3)，求 (1) ABCD (2) ABBCCD 【課本練習題-隨堂練習】 解答 (1)(1,  21);(2)(  6,  6) 解析 (1) (5, 12) ( 4, 9) (5 4, 12 9) (1, 21) ABCD           (2)ABBCCDAD       ( 4 2, 3 3) ( 6, 6) 4.試利用1 2  或 3 2  ，求下列三角函數值： (1)cos135 (2)sin210 【基礎練習（仿課本例題）】 解答 (1) 2 2  ;(2) 1 2  解析 利用1 2  或 3 2  時，要注意何時改變三角函數 (1)因為 135在第二象限，所以利用 90

－ 4 － cos135 cos(90 45)  sin45（此時才需改變三

角函數，同時加負號） 2 2   135為第二象限角，「負號」由題目 cos 決定，而非 由 sin 決定 (2)因為 210在第三象限，所以利用 270 sin210 sin(270 60)  cos60（此時才需改變三角函數，且同時 加負號） 1 2   210為第三象限角，「負號」由題目 sin 決定，而非由 cos 決定 5.試求 5sinx  12cosx 的最大值與最小值。 （提示：設 u (sin ,cos )x x ，試著寫出另一向量 v ，利用內積） 【高手挑戰（105 新命題）】 解答 最大值為 13，最小值為  13 解析 令 u (sin ,cos )x x ， v (5,12)

(5sinx  12cosx)2 (sin2x  cos2x)  (25  144)

  13  5sinx  12cosx  13 ∴ Max  13，Min  13