0304 數學第三冊解答

0304 數學第三冊 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.求多項式(2x  1)5_{(x  1)之 x}2_{項的係數為何？ (A)  30 (B)  20 (C)20} (D)30 【102 年歷屆試題.】 解答 A 解析 (2x  1)5_(x  ₁₎  _(2x  ₁₎5_x  _(2x  ₁₎5_…… 在(2x  1)5_{的展開式之中} x 項：

C

5₄

(2 )( 1)

x



4



10

x

，x2_項： 5 2 3 2 3

(2 ) ( 1)

40

C

x



 

x

則(2x  1)5_{x 的 x}2_{項為 10x}2 由可知(2x  1)5_(x  _{1)的 x}2_{項為 10x}2 ₍  _40x2₎  _30x2 故 x2_{項的係數為}  ₃₀

（ ）2.若 loga   1.0282，則 loga 之首數為何？ (A)1 (B)0 (C)  1 (D)  2

【097 年歷屆試題.】 解答 D 解析 loga  1.0282  1  0.0282  1  (  0.0282  1)  1  2  0.9718 又 0  0.9718  1 ∴ loga 的首數為  2 （ ）3.一袋中有大小相同的紅球 5 個、白球 3 個、黑球 2 個。今從袋中一次取 3 球，則所取 3 球中至少有 2 球顏色相同的機率為何？(A)

1

4

(B)

41

120

(C)

79

120

(D)

3

4

【098 年歷屆試題】 解答 D 解析 袋中有 5  3  2  10 個球 設袋中一次取 3 球的樣本空間為 S 而 3 球顏色均不同的事件為 A 則

n S

( )



C

10₃



120

， 5 3 2 1 1 1

( )

30

n A



C



C



C





( )

( )

30

1

( )

120

4

n A

P A

n S







故 P(至少 2 球顏色相同)  1  P (A) 

1

1

3

4

4

 

（ ）4.設 p、q 為二相異正整數，且 an為一等差數列的第 n 項。若 ap  q，aq  p， 則 ap  q  (A)0 (B)p (C)q (D)p  q 【098 年歷屆試題.】 解答 A 解析 an為等差數列的第 n 項 設首項 a1，公差 d ∵ ap q ∴ a1 (p  1)d  q… ∵ aq p ∴ a1 (q  1)d  p… 由   (p  q)d  q  p 

d

q

p

1

p

q





 



d  1 代回 a1 (p  1)(  1)  q  a1 p  q  1 因此 ap  q a1 (p  q  1)d  (p  q  1)  (p  q  1)  (  1)  0 （ ）5.中山高中一、二、三年級學生人數的比例分別為 40％、32％、28％，而一、 二、三年級男生人數占該年級的比例分別為 50％、60％、40％，現從全校學生中任 意選取 1 人，則此人為女生的機率為何？(A)43.2％(B)45.4％(C)47.8％(D)49.6％ 【099 年歷屆試題.】 解答 D 解析 由題意，樹狀圖如下： 由、、知所求機率  40％  50％  32％  40％  28％  60％  49.6％ 故選(D) （ ）6.若

3

x2



3

x



24 3

，則 x  (A)

1

2



(B)1 (C)

3

2

(D)2 【102 年歷屆試題.】 解答 C 解析 3x  2 ₃x ₃2 ₉  ₃x 1 1 3 1 2 2 2

24 3

  

8 3

3

  

8 3 3

 

8 3



 

8 3

原式  3 3 3 2 2 2

9 3



x



3

x

 

8 3



9 3

 

x

3

x

 

8 3



8 3



x

 

8 3

3 8 2

3

x

3







故

3

2

x



（ ）7.某校全體新生測量身高結果近似常態分配，如圖。若身高的平均數 為 170 公分，標準差 為 4 公分，且全體新生中身高小於 166 公分的人數約為 120 人，則 此校新生人數與下列何者最接近？ (A)375 (B)750 (C)1125 (D)1500 【102 年歷屆試題.】 解答 B 解析 設全校新生約有 x 人， ∵ 166  170  4  ∴ 小於 166 公分的人數為 以下的人數 即

1

(1 68%)

16

2

100

x

  



x

則

16

120

750

100

x





x



故新生約有 750 人 （ ）8.在擲單顆骰子遊戲中，若甲每投一次骰子要先付給乙 x 元，且出現點數為 奇數時，乙需付給甲 10 元；出現點數為偶數時，乙需付給甲 40 元，但出現奇數點 的機率為出現偶數點機率的 2 倍，則 x 應訂為多少元，此遊戲才是公平的？ (A)15 (B)20 (C)25 (D)30 【099 年歷屆試題】 解答 B 解析 設奇數點的機率為 P (A)，偶數點的機率為 P (B)  P (A)  P (B)  1… ∵ 出現奇數點的機率為出現偶數點機率的 2 倍  P (A)  2P (B) P (A)  2P (B)代入得 2P (B)  P (B)  1 

( )

1

3

P B



則

( )

2

3

P A



為了遊戲公平，付出的錢  得到的期望值 

( ) 10

( ) 40

2

10

1

40

20

3

3

x



P A

 

P B



   



（元） 故選(B) （ ）9.下列各問題中，何者的解答是

C

10₆ （其中

!

(

)! !

n k

n

C

n k k





）？ (A)10 位學生中任意挑選 6 位同學排成一列，共有幾種情形 (B)10 個不同顏色的球中任意 挑選 4 個出來，共有幾種情形 (C)10 張椅子排成一列，6 位同學各自任意挑選 1 張 椅子坐下，共有幾種情形 (D)10 個相同的白色球任意挑選 4 個出來，共有幾種情形 【098 年歷屆試題.】 解答 B 解析 (A)10 位同學挑 6 位排成一列，有

P

10₆ 種方法 (B)10 個不同顏色的球挑選 4 個，有

C

10₄ 種方法，其中

C

10₄



C

_{10 4}10_



C

10₆ (C)10 張椅子由 6 位同學各挑 1 張，有

P

10₆ 種方法 (D)10 個白色球均相同，任意挑 4 個，只有 1 種方法 （ ）10.關於 8

2

x

x



_











展開式中，下列敘述何者正確？ (A)常數項為

1160

(B)

x

2項係數為



448

(C)

x

4項係數為



112

(D)

x

8項係數為



256

【103 年歷屆試題.】 解答 B 解析 8 8

2

2

x

x

x

x







_



_

_{ }





























(A)常數項： 4 8 4 4

2

1120

C x

x



_



_









(B)

x

2項： 3 8 5 2 3

2

448

C x

x

x



_



_{ }









，則 2

x

項係數為



448

(C)

x

4項： 2 8 6 4 2

2

112

C x

x

x



_



_









，則 4

x

項係數為112 (D)

x

8項： 8 8 0 8 8

2

256

C x

x

x





_



_









，則 8

x

 項係數為

256

（ ）11.某位老師想了解某班級學生數學程度，隨機抽取十一位同學得到他們入學 考的數學成績如下：

60

、55、

20

、

45

、

70

、90、30、

60

、

45

、

45

、30 （單位：分），已知其算術平均數等於50，則這些分數的樣本標準差為何？（註： 樣本標準差





2 1

1

1

n i i

S

X

X

n











(A)

15

分 (B)

20

分 (C)

25

分 (D)

30

分 【103 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ 算術平均數



50

∴ 離均差的平方和





60 50



 

2



55 50



 

2



20 50



 

2



45 50





2





70 50



 

2



90 50



 

2



30 50



 

2



60 50





2





45 50



 

2



45 50



 

2



30 50





2



4000

則樣本標準差

1

4000

11 1









400



20

（分） 〈另解〉 把成績均乘以

1

5

，則新成績如下：

12

、11、

4

、9、14、18、

6

、12、

9

、9、

6

其算術平均數

1

50 10

5

 



離均差的平方和



 

2

 

2



2

12 10

11 10

4 10









 





 

2

 

2



2

9 10





14 10





18 10





 

2

 

2



2

6 10

12 10

9 10

 





 



 

2



2

9 10

6 10

 

 

160



樣本標準差

1

160

16

4

11 1











（分） 故原來成績的標準差

  

5 4

20

（分） （ ）12.有一組資料：0、3、6、9、12、15，設其平均值與標準差分別為

a

、

b

， 則關於另一組資料：



1

、



2

、



3

、



4

、



5

、



6

的平均值與標準差的敘述， 何者正確？ (A)平均值為

 

3

a

1

，標準差為

9

b

(B)平均值為

1

3

a

 

，標準差為

3

b

(C)平均值為

 

3

a

1

，標準差為

3

b

(D)平均值為

1

3

a

 

，標準差為

9

b

【106 年歷屆試題.】 解答 B 解析 令

S

₁





0,3,6,9,12,15







x k

_k



1,2,3,4,5,6



則

S

₁的平均值與標準差為

a

、

b

設題目的另一組資料為

S

₂ 則 ₂

1

1

1, 2,3, 4,5,6

3

k

S

 





x



k











其平均值為

1

1

1

3

3

a

a

     

標準差為

1

3

3

b

b

  

（ ）13.設 r 為有理數，且 3 2 3

5

5

4( 40

)

2

r

_

_

_{，則 r  (A)}

8

3

(B)

10

3

(C)8 (D)10 【099 年歷屆試題.】 解答 A 解析 4 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 3

5

3

5

3

5

5 5

5

4( 40

)

4( 8 5

)

4(2 5

)

4(

)

4(

)

2

2

2

2

2





 









8 8 3 3

5

4

5

4

 



∴

8

3

r



故選(A) （ ）14.已知

log 3

₁₀



0.4771

且 20

1

3

x

  

 

 

，其中

log x

10 的首數為

m

，而尾數 的小數點後第一位數字為

n

，則

m

 

n

(A)



9

(B)



7

(C)



6

(D)



5

【106 年歷屆試題.】 解答 C 解析

 

20 20 1 1 20 20

1

3

3

3

3

x



 

_{ }







 





 





20 10 10 10

log

x



log 3



 

20



log 3



20



0.4771

9.542

10 0.458

 



 

  

10

log x

的首數

m

 

10

，尾數為

0.458

而尾數的小數點後第一位數字為

n

，則

n



4

故

m n

     

10 4

6

（ ）15.設

1

1

2

70

a

  

 

 

，

1

1

4

2500

b

  

 

 

，

1

1

8

216000

c

  

 

 

，則

a

、

b

、

c

三 個數的大小關係為何？ (A)

b

 

c

a

(B)

c

 

b

a

(C)

c

 

a

b

(D)

a

 

b

c

【103 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵

1

1

4

2500

b

  

 

 

 2 2

1

1

2

50

b



_{ }



_

_





 







 













 2 2

1

1

2

50

b



_{ }



_

_





 







 













∴

1

1

2

50

b

  

 

 

∵

1

1

8

216000

c

  

 

 

 3 3

1

1

2

60

c



_{ }



_

_





 

_{ }





_



_









 3 3

1

1

2

60

c



_{ }



_

_





 

_{ }





_



_









∴

1

1

2

60

c

  

 

 

而

1

1

1

50



60



70



1

1

1

2

2

2

b c a

 

_

 

_

 

 

 

 

 

 

 

∵

1

2

x

y

  

 

 

為遞減函數 ∴

b

 

c

a

（ ）16.設

1

9

3

y x



，則下列何者正確？(A)2x  y(B)x  2y (C)2x   y (D)x   2y 【092 年歷屆試題.】 解答 D 解析 ∵

1

9

3

y x



 3  x ₃2y   _x  _2y ∴ x  2y （ ）17.若

2



3

8



5

64



4

a_{，則 a  (A)}

19

20

(B)

29

30

(C)

19

10

(D)

29

15

【100 年歷屆試題.】 解答 A 解析

2



3

8



5

64

6 1 6 1 21 1 21 1 7 1 7 19 1 1 1 1 1 3 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 2 5 10 2 2 2 2 2

2

(2

2 )

2

(2



)

2

(2 )

2

2



2

2

2



2



























而 4a ₍₂2₎a ₂2a_， 因此

2

19

10

a





19

20

a



（ ）18.設 a  0 且 a  1，若 loga3  loga7  3，則 a (A)3

21

(B)

21

(C)3 (D)7

【096 年歷屆試題.】 解答 A

解析 ∵ loga3  loga7  3  loga21  3  a3 21

∴

a



3

21

（ ）19.求 _{2 4}

2

3

27

36

log

log

log

2



160 2



25



(A)

5

2

(B)

7

2

(C)

9

2

(D)

11

2

【100 年歷屆試題.】 解答 C 解析 所求 2 2 2 4 2 2 2 ( 2 )

3

27

36

9

27

6

log

( )

log

log

log

log

log

2

160 2

25

4

160 2

5













1 1 4 4 2 2 2 2 2 2

9

27

6

log [(

)

]

log 16 2

log (2

2 )

log 2

4

160 2

5

















9 2 2

9

log 2

2





（ ）20.化簡 10 10 10 10 2 2 2 8 4 4

1

1

1

2 log 4

log 216

log 625

log 243

3

4

5

5

6

7

8

9

1 log

log

log

3log

2log

log 9

3

5

6

7

8





















得其 值為何？ (A)

1

(B)

3

2

(C)

2

(D)

3

【103 年歷屆試題.】 解答 D

解析 原式的分子

2 log 4

₁₀

1

log 6

₁₀ 3

1

log 5

₁₀ 4

3

4

 





5 10

1

log 3

5



2 log 4

₁₀

1

3log 6

₁₀

3

 

 

1

4log 5

₁₀

1

5log 3

₁₀

4

5

 

 

 

2



log 4 log 6 log 5 log 3

₁₀



₁₀



₁₀



₁₀



10

4 5 3

2 log

6

 

 

 

2 log 10

₁₀

 

2 1



3

原式的分母

1 log

₂

5

log

₂

6

log

₂

7

3

5

6

 





3 2 2

2

2 2 2

8

9

3log

2log

log 3

7

8







2 2 2

5

6

7

1 log

log

log

3

5

6

 





3

1

log

₂

8

2

1

log

₂

9

log 3

₂

3

7

2

8

 

 



1

log

₂

5

log

₂

6

log

₂

7

3

5

6



 

_







2 2 2

8

9

log

log

log 3

7

8







_





1 log

₂

5

6

7

8

9

log 3

₂

3

5

6

7

8





 

_

   

_







 

1 log 3 log 3

2



2



1

故原式

3

3

1

 

（ ）21.已知

a

、

b

為實數，且

3

a



5

，

5

b



9

，則

ab



(A)

log 45

₁₅ (B)

log 5

₃ (C)

2

(D)

3

【104 年歷屆試題.】 解答 C 解析 由對數的定義：

3

a



5

_ 3

log 5



a

5

b



9

_ 5

log 9



b

則

ab



log 5 log 9

₃



₅



log 9

₃



2

（ ）22.已知

log 2

₁₀



p

，

log 3

₁₀



q

，求 _{1 6}

6

6

log

36 log 6 log





12

之

值為 (A)

5

2

2

2

p

q

p

q







(B)

2

3

2

2

p

q

p

q







(C)

2

3

2

2

p

q

p

q







(D)

2

5

2

2

p

q

p

q







【105 年歷屆試題.】 解答 A 解析 1 2 2 6 6 6

2

log

36

log

6

log 6

4

1

2







1 1 6 6 6

1

log 6

log

6

log 6

1

1







 



6

log

12

1 10 2 6 6 10

log 12

1

1

log 12

log 12

2

2

log 6





 









2 ₂ 10 _{10 10} 10 10 10

log

2

3

_{log 2}

_{log 3}

1

1

2

log

2 3

2

log 2

log 3



_

 

 





10 10 10 10

2log 2 log 3

1

1

2

2

2

log 2 log 3

2

2

2

p

q

p

q

p

q

p

q







 

 









所求

4

 

1

2

5

2

2

2

2

2

p

q

p

q

p

q

p

q





   

 





（ ）23.將 0、0、2、2、9、9、9、9 八個數字全取，排成一列，可得幾個不同的 八位數？ (A)155 (B)210 (C)315 (D)420 【101 年歷屆試題.】 解答 C 解析 八個數字有二個 0，二個 2，四個 9 所求 (任意排)  (0 排首位)

8!

7!

2!2!4!



2!4!

 420  105  315（個） （ ）24.已知一袋中有大小相同的球共

200

顆，每顆球上都印有一個不同的號碼， 分別是

1

至

200

號，今從袋中隨機抽出一球，假設每球被抽中的機會均等，則下列 敘述何者正確？ (A)被抽中的球號是

3

的倍數或者是

5

的倍數的機率為

94

200

(B) 被抽中的球號不是

3

的倍數而且是

5

的倍數的機率為

30

200

(C)被抽中的球號是

3

的倍數而且不是

5

的倍數的機率為

53

200

(D)被抽中的球號不是

3

的倍數而且不是

5

的倍數的機率為

113

200

【103 年歷屆試題.】 解答 C 解析 設

S

為樣本空間，

A

_k為被抽中的球號是

k

的倍數之事件（如：

A

₃為被抽 中的球號是3的倍數之事件） 則

n S

 



200

∵

200 3 66

 

2

∴

n A

 

₃



66

∵

200 5

 

40

∴

n A

 

₅



40

∵

200 15 13

 

5

∴

n A

 

₁₅



13

(A)



3 5



n A



A



n A

    

₃



n A

₅



n A

₃



A

₅





n A

     

₃



n A

₅



n A

₁₅



66 40 13







93

所求





 

3 5

n A

A

n S





93

200



(B)



3 5



n A

 

A



n A

  

₅



n A

₃



A

₅





n A

   

₅



n A

₁₅



40 13





27

所求





 

3 5

n A

A

n S

 



27

200



(C)



3 5



n A



A





n A

  

₃



n A

₃



A

₅





n A

   

₃



n A

₁₅



66 13





53

所求





 

3 5

n A

A

n S







53

200



(D)



3 5



n A





A





n S

  



n A

3



A

5





200 93





107

所求





 

3 5

n A

A

n S



_





107

200



（ ）25.設

a

、

b

、

c

三數成等比數列，且滿足

a b c

  

9

及 2 2 2

₁₈₉

a



b



c



，則等比中項

b



(A)



6

(B)



2

(C)

1

2

(D)

6

【106 年歷屆試題.】

解答 A

解析 〈法一〉

∵

a

、

b

、

c

成等比數列

∴

_b

2



_ac

2 2 2

189

a



b



c





a

2



c

2



189



b

2

9

a b c

  



a c

  

9

b





a c



 

2

 

9

b



2



2 2 2

2

81 18

a



ac



c





b b







2 2



a



c



2

ac



81 18b b





2





2



189 b





2

_b

2



_{81 18b b}





2



18

b

 

108



6

b

 

〈法二〉

設等比數列

a

、

b

、

c

的公比為

r

則

b



ar

，

2

c



ar

9

a b c

  



2

9

a



ar



ar







2



1

9

a

 

r

r



2 2 2

₁₈₉

a



b



c





₂

 

2

 

₂ 2

189

a



ar



ar





2 2 2 2 4

189

a



a r



a r





2



2 4



1

189

a



r



r



：









2 2 4 2

1

₁₈₉

9

1

a

r

r

a

r

r







 













2 2 2 2

1

1

21

1

a

r

r

r

r

a

r

r

 

 



 







2

1

21

a

 

r

r





_a



_ar



_ar

2



₂₁



：

2

ar

 

12



ar

 

6

∵

b



ar

∴

b

 

6