0304 數學第三冊解答

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(1)

0304 數學第三冊 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.求多項式(2x  1)5(x  1)之 x2項的係數為何? (A)  30 (B)  20 (C)20 (D)30 【102 年歷屆試題.】 解答 A 解析 (2x  1)5(x 1) (2x 1)5x (2x 1)5…… 在(2x  1)5的展開式之中 x 項:

C

54

(2 )( 1)

x

4

10

x

,x2項: 5 2 3 2 3

(2 ) ( 1)

40

C

x

 

x

則(2x  1)5x 的 x2項為 10x2 由可知(2x  1)5(x 1)的 x2項為 10x2 ( 40x2)  30x2 故 x2項的係數為 30

( )2.若 loga   1.0282,則 loga 之首數為何? (A)1 (B)0 (C)  1 (D)  2

【097 年歷屆試題.】 解答 D 解析 loga  1.0282  1  0.0282  1  (  0.0282  1)  1  2  0.9718 又 0  0.9718  1 ∴ loga 的首數為  2 ( )3.一袋中有大小相同的紅球 5 個、白球 3 個、黑球 2 個。今從袋中一次取 3 球,則所取 3 球中至少有 2 球顏色相同的機率為何?(A)

1

4

(B)

41

120

(C)

79

120

(D)

3

4

【098 年歷屆試題】 解答 D 解析 袋中有 5  3  2  10 個球 設袋中一次取 3 球的樣本空間為 S 而 3 球顏色均不同的事件為 A

n S

( )

C

103

120

, 5 3 2 1 1 1

( )

30

n A

C

C

C

( )

( )

30

1

( )

120

4

n A

P A

n S

故 P(至少 2 球顏色相同)  1  P (A)

1

1

3

4

4

 

( )4.設 p、q 為二相異正整數,且 an為一等差數列的第 n 項。若 ap  q,aq  p, 則 ap q  (A)0 (B)p (C)q (D)p  q 【098 年歷屆試題.】 解答 A 解析 an為等差數列的第 n 項 設首項 a1,公差 d ∵ ap q ∴ a1 (p 1)d q… ∵ aq p ∴ a1 (q 1)d p… 由   (p q)d q p

d

q

p

1

p

q

 

d  1 代回 a1 (p  1)(  1)  q a1 p q  1 因此 ap q a1 (p q 1)d (p q  1)  (p q  1)  (  1)  0 ( )5.中山高中一、二、三年級學生人數的比例分別為 40%、32%、28%,而一、 二、三年級男生人數占該年級的比例分別為 50%、60%、40%,現從全校學生中任 意選取 1 人,則此人為女生的機率為何?(A)43.2%(B)45.4%(C)47.8%(D)49.6% 【099 年歷屆試題.】 解答 D 解析 由題意,樹狀圖如下: 由、、知所求機率  40%  50%  32%  40%  28%  60%  49.6% 故選(D) ( )6.若

3

x2

3

x

24 3

,則 x  (A)

1

2

(B)1 (C)

3

2

(D)2 【102 年歷屆試題.】 解答 C 解析 3x  2 3x 32 9 3x 1 1 3 1 2 2 2

24 3

  

8 3

3

  

8 3 3

 

8 3

 

8 3

原式  3 3 3 2 2 2

9 3

x

3

x

 

8 3

9 3

 

x

3

x

 

8 3

8 3

x

 

8 3

3 8 2

3

x

3

3

2

x

( )7.某校全體新生測量身高結果近似常態分配,如圖。若身高的平均數 為 170 公分,標準差 為 4 公分,且全體新生中身高小於 166 公分的人數約為 120 人,則 此校新生人數與下列何者最接近? (A)375 (B)750 (C)1125 (D)1500 【102 年歷屆試題.】 解答 B 解析 設全校新生約有 x 人, ∵ 166  170  4  ∴ 小於 166 公分的人數為 以下的人數 即

1

(1 68%)

16

2

100

x

  

x

16

120

750

100

x

x

(2)

故新生約有 750 人 ( )8.在擲單顆骰子遊戲中,若甲每投一次骰子要先付給乙 x 元,且出現點數為 奇數時,乙需付給甲 10 元;出現點數為偶數時,乙需付給甲 40 元,但出現奇數點 的機率為出現偶數點機率的 2 倍,則 x 應訂為多少元,此遊戲才是公平的? (A)15 (B)20 (C)25 (D)30 【099 年歷屆試題】 解答 B 解析 設奇數點的機率為 P (A),偶數點的機率為 P (B) P (A) P (B)  1… ∵ 出現奇數點的機率為出現偶數點機率的 2 倍  P (A) 2P (B) P (A) 2P (B)代入得 2P (B) P (B)  1 

( )

1

3

P B

( )

2

3

P A

為了遊戲公平,付出的錢  得到的期望值 

( ) 10

( ) 40

2

10

1

40

20

3

3

x

P A

 

P B

   

(元) 故選(B) ( )9.下列各問題中,何者的解答是

C

106 (其中

!

(

)! !

n k

n

C

n k k

)? (A)10 位學生中任意挑選 6 位同學排成一列,共有幾種情形 (B)10 個不同顏色的球中任意 挑選 4 個出來,共有幾種情形 (C)10 張椅子排成一列,6 位同學各自任意挑選 1 張 椅子坐下,共有幾種情形 (D)10 個相同的白色球任意挑選 4 個出來,共有幾種情形 【098 年歷屆試題.】 解答 B 解析 (A)10 位同學挑 6 位排成一列,有

P

106 種方法 (B)10 個不同顏色的球挑選 4 個,有

C

104 種方法,其中

C

104

C

10 410

C

106 (C)10 張椅子由 6 位同學各挑 1 張,有

P

106 種方法 (D)10 個白色球均相同,任意挑 4 個,只有 1 種方法 ( )10.關於 8

2

x

x

展開式中,下列敘述何者正確? (A)常數項為

1160

(B)

x

2項係數為

448

(C)

x

4項係數為

112

(D)

x

8項係數為

256

【103 年歷屆試題.】 解答 B 解析 8 8

2

2

x

x

x

x

 

(A)常數項: 4 8 4 4

2

1120

C x

x

(B)

x

2項: 3 8 5 2 3

2

448

C x

x

x

 

,則 2

x

項係數為

448

(C)

x

4項: 2 8 6 4 2

2

112

C x

x

x

,則 4

x

項係數為112 (D)

x

8項: 8 8 0 8 8

2

256

C x

x

x

,則 8

x

 項係數為

256

( )11.某位老師想了解某班級學生數學程度,隨機抽取十一位同學得到他們入學 考的數學成績如下:

60

、55、

20

45

70

、90、30、

60

45

45

、30 (單位:分),已知其算術平均數等於50,則這些分數的樣本標準差為何?(註: 樣本標準差

2 1

1

1

n i i

S

X

X

n

(A)

15

分 (B)

20

分 (C)

25

分 (D)

30

分 【103 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ 算術平均數

50

∴ 離均差的平方和

60 50

 

2

55 50

 

2

20 50

 

2

45 50

2

70 50

 

2

90 50

 

2

30 50

 

2

60 50

2

45 50

 

2

45 50

 

2

30 50

2

4000

則樣本標準差

1

4000

11 1

400

20

(分) 〈另解〉 把成績均乘以

1

5

,則新成績如下:

12

、11、

4

、9、14、18、

6

、12、

9

、9、

6

其算術平均數

1

50 10

5

 

離均差的平方和

 

2

 

2

2

12 10

11 10

4 10

 

 

2

 

2

2

9 10

14 10

18 10

 

2

 

2

2

6 10

12 10

9 10

 

 

 

2

2

9 10

6 10

 

 

160

樣本標準差

1

160

16

4

11 1

(分) 故原來成績的標準差

  

5 4

20

(分) ( )12.有一組資料:0、3、6、9、12、15,設其平均值與標準差分別為

a

b

, 則關於另一組資料:

1

2

3

4

5

6

的平均值與標準差的敘述, 何者正確? (A)平均值為

 

3

a

1

,標準差為

9

b

(B)平均值為

1

3

a

 

,標準差為

3

b

(C)平均值為

 

3

a

1

,標準差為

3

b

(D)平均值為

1

3

a

 

,標準差為

9

b

【106 年歷屆試題.】 解答 B 解析 令

S

1

0,3,6,9,12,15

x k

k

1,2,3,4,5,6

S

1的平均值與標準差為

a

b

設題目的另一組資料為

S

22

1

1

1, 2,3, 4,5,6

3

k

S

 

x

k

其平均值為

1

1

1

3

3

a

a

     

標準差為

1

3

3

b

b

  

(3)

( )13.設 r 為有理數,且 3 2 3

5

5

4( 40

)

2

r

,則 r  (A)

8

3

(B)

10

3

(C)8 (D)10 【099 年歷屆試題.】 解答 A 解析 4 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 3

5

3

5

3

5

5 5

5

4( 40

)

4( 8 5

)

4(2 5

)

4(

)

4(

)

2

2

2

2

2

 

8 8 3 3

5

4

5

4

 

8

3

r

故選(A) ( )14.已知

log 3

10

0.4771

且 20

1

3

x

  

 

 

,其中

log x

10 的首數為

m

,而尾數 的小數點後第一位數字為

n

,則

m

 

n

(A)

9

(B)

7

(C)

6

(D)

5

【106 年歷屆試題.】 解答 C 解析

 

20 20 1 1 20 20

1

3

3

3

3

x

 

 

 

 

20 10 10 10

log

x

log 3

 

20

log 3

20

0.4771

9.542

10 0.458

 

 

  

10

log x

的首數

m

 

10

,尾數為

0.458

而尾數的小數點後第一位數字為

n

,則

n

4

m n

     

10 4

6

( )15.設

1

1

2

70

a

  

 

 

1

1

4

2500

b

  

 

 

1

1

8

216000

c

  

 

 

,則

a

b

c

三 個數的大小關係為何? (A)

b

 

c

a

(B)

c

 

b

a

(C)

c

 

a

b

(D)

a

 

b

c

【103 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵

1

1

4

2500

b

  

 

 

 2 2

1

1

2

50

b

 

 

 

 2 2

1

1

2

50

b

 

 

 

1

1

2

50

b

  

 

 

1

1

8

216000

c

  

 

 

 3 3

1

1

2

60

c

 

 

 

 3 3

1

1

2

60

c

 

 

 

1

1

2

60

c

  

 

 

1

1

1

50

60

70

1

1

1

2

2

2

b c a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

x

y

  

 

 

為遞減函數 ∴

b

 

c

a

( )16.設

1

9

3

y x

,則下列何者正確?(A)2x  y(B)x  2y (C)2x   y (D)x   2y 【092 年歷屆試題.】 解答 D 解析 ∵

1

9

3

y x

 3  x 32y   x 2y ∴ x  2y ( )17.若

2

3

8

5

64

4

a,則 a  (A)

19

20

(B)

29

30

(C)

19

10

(D)

29

15

【100 年歷屆試題.】 解答 A 解析

2

3

8

5

64

6 1 6 1 21 1 21 1 7 1 7 19 1 1 1 1 1 3 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 2 5 10 2 2 2 2 2

2

(2

2 )

2

(2

)

2

(2 )

2

2

2

2

2

2

而 4a (22)a 22a 因此

2

19

10

a

19

20

a

( )18.設 a  0 且 a  1,若 loga3  loga7  3,則 a (A)3

21

(B)

21

(C)3 (D)7

【096 年歷屆試題.】 解答 A

解析 ∵ loga3  loga7  3  loga21  3  a3 21

a

3

21

( )19.求 2 4

2

3

27

36

log

log

log

2

160 2

25

(A)

5

2

(B)

7

2

(C)

9

2

(D)

11

2

【100 年歷屆試題.】 解答 C 解析 所求 2 2 2 4 2 2 2 ( 2 )

3

27

36

9

27

6

log

( )

log

log

log

log

log

2

160 2

25

4

160 2

5

1 1 4 4 2 2 2 2 2 2

9

27

6

log [(

)

]

log 16 2

log (2

2 )

log 2

4

160 2

5

9 2 2

9

log 2

2

( )20.化簡 10 10 10 10 2 2 2 8 4 4

1

1

1

2 log 4

log 216

log 625

log 243

3

4

5

5

6

7

8

9

1 log

log

log

3log

2log

log 9

3

5

6

7

8

得其 值為何? (A)

1

(B)

3

2

(C)

2

(D)

3

【103 年歷屆試題.】 解答 D

解析 原式的分子

2 log 4

10

1

log 6

10 3

1

log 5

10 4

3

4

 

5 10

1

log 3

5

2 log 4

10

1

3log 6

10

3

 

 

1

4log 5

10

1

5log 3

10

4

5

 

 

(4)

 

2

log 4 log 6 log 5 log 3

10

10

10

10

10

4 5 3

2 log

6

 

 

 

2 log 10

10

 

2 1

3

原式的分母

1 log

2

5

log

2

6

log

2

7

3

5

6

 

3 2 2

2

2 2 2

8

9

3log

2log

log 3

7

8

2 2 2

5

6

7

1 log

log

log

3

5

6

 

3

1

log

2

8

2

1

log

2

9

log 3

2

3

7

2

8

 

 

1

log

2

5

log

2

6

log

2

7

3

5

6

 

2 2 2

8

9

log

log

log 3

7

8

1 log

2

5

6

7

8

9

log 3

2

3

5

6

7

8

 

   

 

1 log 3 log 3

2

2

1

故原式

3

3

1

 

( )21.已知

a

b

為實數,且

3

a

5

5

b

9

,則

ab

(A)

log 45

15 (B)

log 5

3 (C)

2

(D)

3

【104 年歷屆試題.】 解答 C 解析 由對數的定義:

3

a

5

3

log 5

a

5

b

9

5

log 9

b

ab

log 5 log 9

3

5

log 9

3

2

( )22.已知

log 2

10

p

log 3

10

q

,求 1 6

6

6

log

36 log 6 log

12

值為 (A)

5

2

2

2

p

q

p

q

(B)

2

3

2

2

p

q

p

q

(C)

2

3

2

2

p

q

p

q

(D)

2

5

2

2

p

q

p

q

【105 年歷屆試題.】 解答 A 解析 1 2 2 6 6 6

2

log

36

log

6

log 6

4

1

2

1 1 6 6 6

1

log 6

log

6

log 6

1

1

 

6

log

12

1 10 2 6 6 10

log 12

1

1

log 12

log 12

2

2

log 6

 

2 2 10 10 10 10 10 10

log

2

3

log 2

log 3

1

1

2

log

2 3

2

log 2

log 3

 

 

10 10 10 10

2log 2 log 3

1

1

2

2

2

log 2 log 3

2

2

2

p

q

p

q

p

q

p

q

 

 

所求

4

 

1

2

5

2

2

2

2

2

p

q

p

q

p

q

p

q

   

 

( )23.將 0、0、2、2、9、9、9、9 八個數字全取,排成一列,可得幾個不同的 八位數? (A)155 (B)210 (C)315 (D)420 【101 年歷屆試題.】 解答 C 解析 八個數字有二個 0,二個 2,四個 9 所求 (任意排)  (0 排首位)

8!

7!

2!2!4!

2!4!

 420  105  315(個) ( )24.已知一袋中有大小相同的球共

200

顆,每顆球上都印有一個不同的號碼, 分別是

1

200

號,今從袋中隨機抽出一球,假設每球被抽中的機會均等,則下列 敘述何者正確? (A)被抽中的球號是

3

的倍數或者是

5

的倍數的機率為

94

200

(B) 被抽中的球號不是

3

的倍數而且是

5

的倍數的機率為

30

200

(C)被抽中的球號是

3

的倍數而且不是

5

的倍數的機率為

53

200

(D)被抽中的球號不是

3

的倍數而且不是

5

的倍數的機率為

113

200

【103 年歷屆試題.】 解答 C 解析 設

S

為樣本空間,

A

k為被抽中的球號是

k

的倍數之事件(如:

A

3為被抽 中的球號是3的倍數之事件) 則

n S

 

200

200 3 66

 

2

n A

 

3

66

200 5

 

40

n A

 

5

40

200 15 13

 

5

n A

 

15

13

(A)

3 5

n A

A

n A

    

3

n A

5

n A

3

A

5

n A

     

3

n A

5

n A

15

66 40 13

93

所求

 

3 5

n A

A

n S

93

200

(B)

3 5

n A

 

A

n A

  

5

n A

3

A

5

n A

   

5

n A

15

40 13

27

所求

 

3 5

n A

A

n S

 

27

200

(C)

3 5

n A

A

n A

  

3

n A

3

A

5

n A

   

3

n A

15

66 13

53

所求

 

3 5

n A

A

n S

53

200

(5)

(D)

3 5

n A

A

n S

  

n A

3

A

5

200 93

107

所求

 

3 5

n A

A

n S

107

200

( )25.設

a

b

c

三數成等比數列,且滿足

a b c

  

9

及 2 2 2

189

a

b

c

,則等比中項

b

(A)

6

(B)

2

(C)

1

2

(D)

6

【106 年歷屆試題.】

解答 A

解析 〈法一〉

a

b

c

成等比數列

b

2

ac

2 2 2

189

a

b

c

a

2

c

2

189

b

2

9

a b c

  

a c

  

9

b

a c

 

2

 

9

b

2

2 2 2

2

81 18

a

ac

c

b b

2 2

a

c

2

ac

81 18b b

2

2

189 b

2

b

2

81 18b b

2

18

b

 

108

6

b

 

〈法二〉

設等比數列

a

b

c

的公比為

r

b

ar

2

c

ar

9

a b c

  

2

9

a

ar

ar

2

1

9

a

 

r

r

2 2 2

189

a

b

c

2

 

2

 

2 2

189

a

ar

ar

2 2 2 2 4

189

a

a r

a r

2

2 4

1

189

a

r

r

2 2 4 2

1

189

9

1

a

r

r

a

r

r

 



2 2 2 2

1

1

21

1

a

r

r

r

r

a

r

r

 

 

 

2

1

21

a

 

r

r

a

ar

ar

2

21

2

ar

 

12

ar

 

6

b

ar

b

 

6

數據

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參考文獻

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