行政院國家科學委員會補助專題研究計畫成果報告
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桁 架 式 三 明 治 複 合 材 料 構 件 的 研 製 （ I ） - 總 計 畫
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計畫類別：□個別型計畫
□整合型計畫
計畫編號：NSC 90-2212-E-009-057
執行期間：90 年 08 月 01 日至 91 年 07 月 31 日
計畫主持人：金大仁
共同主持人：
執行單位：國立交通大學機械系
中
華
民
國 九十一 年 十 月 四 日
桁架式三明治複合材料構件的研製（I）-總計畫
計畫編號：NSC 90-2212-E-009-057
執行期間：90 年 08 月 01 日至 91 年 07 月 31 日
主持人：金大仁教授
國立交通大學機械系
一、中文摘要 本計畫將應用理論和實驗的方法來 研究桁架式複合材料三明治板件的力學 行為。在第一年的驗究中，將建立分析三 明治板件動態行為的方法，此法是根據多 層一階變形理論推導而得，應用本方法預 測三明治板件的頻譜響應，並與實驗結果 作比較。 關鍵字：複合材料，三明治板，結構力學， 振動，頻譜響應。 Abstr actIn this project, the mechanical
behaviors of truss-type laminated composite sandwich plates are studied via both theoretical and experimental approaches. The dynamic responses of the laminated composite sandwich plates are predicted using the deformation modal derived on the basis of the layerwise linear deformation theory. Vibration experiments are performed and the results used to validate the proposed method.
Keywor ds： Composite materials, sandwich
plate, structural mechanics, vibration,
frequency response. 二、緣由與目的 桁 架 式 複 合 材 料 三 明 治 板 有 重 量 輕、剛性大和強度高的優點，並具有廣泛 的用途。一般研究複合材料三明治板的振 動時，只考慮低頻的響應，甚少探討寬頻 的振動行為，因而使用一般常用的分析方 法恐無法準確預測三明治板再高頻振動 時的行為。本研究將用里茲方法，假設合 適的變形函數，並根據漢米頓原理推導三 明治板的控制方程式。另外，進行三明治 板的振動實驗，並比較實驗與理論結果之 差異。 三、三明治板的振動分析 本研究主要運用多層一階剪變形平板 理論配合Rayleigh-Ritz方法求解板的自然 頻率和模態。 3.1 多層一階剪變形平板理論 由於複合材料三明治層板面層與夾 心層間材料性質差異很大，而且面層是由 不同纖維方向的複合材料層板所組成，因 此面層與夾心層間在同一方向的勁度會 有很大的差異。所以，複合材料三明治層 板沿整個厚度方向的位移，並不如一階剪 變形位移場平板理論所假設的整個板厚 為斜率相同的直線。故我們將整個複合材 料 板 每 一 層 當 做 一 個 一 階 剪 變 形 位 移 場，並且考慮每一層與層間位移的連續 性，如此沿平板整個厚度方向的位移會形 成許多不同斜率的線段所組成的折線。然 後即以此位移場為基礎，分析複合材料三 明治層板的自然頻率和模態。
多層一階剪變形平板理論是將複合 材料三明治層板的每一層當作一個一階 剪變形的平板來分析。假設層板任一層的 位移場為 ) , , 2 , 1 ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( N k y x w y x w w y x z y x v v y x z y x u u k k k k y k k k k x k k k L = = = + = + = φ φ (1) 本文中將層數設為三層，依據上式， 並考量每一層於交界面上的位移必須連 續，可得每一層的位移場。 3.2 複合材料層板的應變能與動能 考慮任一個單層複合材料層板，應變 能可表示為
[ ] [ ]
∫
= V k T k k p dV U( ) ( ) ( ) 2 1 ε σ k=1,2,3 (2) 應用上式，可求得 (1) p U 、U(p2)及 ) 3 ( p U ， 複合材料層板彎曲的應變能為∑
= = 3 1 ) ( k k p p U U (3) 對於在平板邊界上有彈性支承的情 況(如圖1)，由橫向(translational)及旋轉彈 簧所引起的應變能表示為∫
∫
∫
∫
− =− − =− − = − =− + + + = 2 / 2 / 2 2 4 2 / 2 / 2 2 3 2 / 2 / 2 2 2 2 / 2 / 2 2 1 2 2 2 2 a a y b a a y b b b x a b b x a t dx w dx w dy w dy w U τ τ τ τ( )
( )
( )
( )
+ + + =∫
∫
∑
∫
∫
− =− − =− = − =− − = 2 / 2 / 2 2 ) ( 4 2 / 2 / 2 2 ) ( 3 3 1 2 / 2 / 2 2 ) ( 2 2 / 2 / 2 2 ) ( 1 2 2 2 2 a a y b k y a a y b k y k b b x a k x b b x a k x r dx dx dy dy U θ γ θ γ θ γ θ γ (4) 這 裡 n τ 為 平 板 四 邊 的 橫 向 剛 性 (translational stiffness)，γ 為平板四邊的旋n 轉剛性(rotational stiffness)。 如果一彈簧k 作用在板0 (a′,b′)上，可 將此彈簧的應變能表示為 ) , ( 2 0 0 ( , ) 2 w x y x a x b k U ′ − = ′ − = = (5) 總應變能 U 為複合材料層板彎曲的 應 變 能 (U ) 、 彈 性 支 承引 起 的 應 變 能p (U 、t U )及板內彈簧r k 的應變能(0 U )總0 和。 0 U U U U U = p + t + r + (6) 每一單層板的動能為 0 2 ) ( 2 ) ( ) ( 2 2 ) ( 0 2 ) ( 0 ) ( ) ( 2 2 T dxdy t t I dxdy t w t v t u T k y k x k k k k k + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∫∫
∫∫
φ φ ρ (7) 其中 0 T 為集中質量的動能，應用上式可求 得 (1) T 、T(2)及T(3)，複合材料三明治板的 最大動能為∑
= = 3 1 ) ( k k T T k=1,2,3 (8) 複合材料層板的總能量泛函Π可表 示為 T U − = Π (9) 3.3 雷利-里茲法(Rayleigh-Rize method) 在 本 文 中 ， 我 們 假 設 的 撓 度 函 數 (deflection function) 及 橫 切 面 轉 角 函 數 (cross-sectional rotation function)共有七個分別是 w、 (1) x φ 、 (1) y φ 、 (2) x φ 、 (2) y φ 、 (3) x φ 及 ) 3 ( y φ ，每一個函數可表示為兩多項式函數 的相乘，以 w為例可表為
∑∑
= = Ψ Φ = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 ( ) ( ) ( ) , ( I i J j yj xi j i C wξ η ξ η (10) 其中 (1) 1 1j i C 為未定係數，ξ 、η 為無因次 參數，且x=aξ，y=bη， x Φ 、 y Ψ 係由Gram-Schmidt 正交 化法所 產生的多 項 式 函數。以 x Φ 為例： ), ( ) ( ) ( ) ( 1 1 ξ ξ ξ − ξ + = −Θ Φ −Ξ Φ Φxn n n xn m n=1,2,3,L, (11) 其中
∫
∫
− − Φ Φ = Θ 0.5 5 . 0 2 5 . 0 5 . 0 2 ) ( ) ( ξ ξ ξ ξ ξ d d xn xn n ,∫
∫
− − − Φ Φ = Ξ 0.5 5 . 0 2 1 5 . 0 5 . 0 2 ) ( ) ( ξ ξ ξ ξ d d xn xn n 這 裡 0 x Φ 定義 為零，令Φ 1(ξ)=1 x 及 1 ) ( 1 = Ψy η 。 為求未定係數，令 0 = ∂ Π ∂ Cij (12) 可得一典型的特徵值方程(
K −ω2M)
{ } { }
C = 0 (13) 求解上式即可得到複合材料層板振 動的自然頻率ω 及振型。 四、振動試驗 在振動試驗上使用的設備包括頻譜 分析儀(3560C)、激振器、加速度計，在實 驗前先在試片上繪出適當的激振位置及 加速度量測位置，將試片固定於夾具中， 連接激振器(如圖 1)、頻譜分析儀、加速 規。實驗進行時先由頻譜分析儀產生一掃 頻(Sweep Sine)訊號，送入激振器以激振試 片，並以加速規量測試片之振動訊號傳給 頻譜分析儀，分析儀利用快速傅立葉轉換 求得複合材料三明治層板的頻率域響應。 本 研 究 中 我 們 以 三 層 ( o 45 /-45 /o 45 )的 Carbon/Epoxy (C/E)o 複合材料積層板來進行實驗，將激振器與 加速度計皆置於平板中央(0,0)，量測結 果如圖 2 所示。其中，部分模態因激振器 與加速度規置於該模態的節線上，所以無 法測出。若要量測全部的模態則必須將激 振器更換不同位置。 五、結果與討論 本研究以雷利-里茲法來分析複合材 料積層板的自然頻率，並與實驗結果比較 其差異。文中我們以三層( o 45 /-45 /o 45 )o 的複合材料積層板來進行模擬。簡化模型 如圖 3 所示。 首先，將激振器與加速度計皆置於平 板中央(0,0)，以簡化模型分析複材層板之 自然頻率及振型，自然頻率如表 1 所示， 振型如圖 4 所示。並與測試結果作一比較 列於表 1，最大誤差為 7.43%。 為量測全部的模態，變更激振器與加 速度計位置，分別進行量測，並與數值分 析結果列於表二。由以上實驗與分析結果 可知： (1) 變更激振器與加速度計位置，會改變 各個模態的頻率，以表列的前四個模 態，分析及實驗的改變比例最大約為 8%，所以激振器與加速度規的質量 對實驗量測有很大的影響。 (2) 里茲法分析的結果與實驗相比，最大 誤差為 8.29%，所以可驗證此一分析 模型及方法，確可用於預測桁架式複 合材料三明治板的頻譜響應。 圖（1）含激振器與彈性支承複材 板的實驗設置 激振器外殼 彈性支承 (泡棉) 塑膠圓環 線圈 彈波 複材三明治板圖（2）實驗量測之自然頻率 圖（3） 以雷利-里茲法模擬的簡化模型 0 5 10 15 20 25 0 200 400 600 800 100 0 120 0 140 0 頻率(Hz) 加速度 (g) 圖（4）激振器與加速度計皆置於平板中央之振型 mode 2 X Data -0.5 0.0 0.5 Y D ata -0.5 0.0 0.5 mode 3 X Data -0.5 0.0 0.5 Y D a ta -0.5 0.0 0.5 mode 4 X Data -0.5 0.0 0.5 Y Da ta -0.5 0.0 0.5 mode 1 X Data -0.5 0.0 0.5 Y D ata -0.5 0.0 0.5 mode 5 X Data -0.5 0.0 0.5 Y Da ta -0.5 0.0 0.5 mode 6 X Data -0.5 0.0 0.5 Y D a ta -0.5 0.0 0.5 mode 7 X Data -0.5 0.0 0.5 Y D ata -0.5 0.0 0.5 mode 8 X Data -0.5 0.0 0.5 Y D a ta -0.5 0.0 0.5 表 1 激振器與加速度計皆置於複材層板中央之自然頻率
頻率(Hz) Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 Mode 5 Mode 6 Mode 7 Mode 8 分析 302.09 498.96 657.42 694.36 992.36 1014.54 1014.58 1267.53 實驗 294 －b － 746 － － 1080 － 誤差a -2.68% － － 7.43% － － 6.45% － a : (實驗 -分析) /分析 b : 激振器在此振型的節線上，無法測得 表 2 激振器在不同位置時，實驗及模型一分析複材層板之自然頻率 激振器與加速度計位置 頻率(Hz) 0,0 2,2 1.5,1.5 2,-2 頻率最大 改變量 頻率最大 改變比例 分析 302.09 296.55 298.77 292.17 9.9 3.29% 實驗 294 273 274 271 23.0 7.82% mode1 誤差 -2.68% -7.94% -8.29% -7.25% － － 分析 498.96 498.96 498.96 457.70 41.3 8.27% 實驗 － － － 445 － － mode2 誤差 － － － -2.77% － － 分析 657.42 570.42 586.69 657.42 70.7 10.76% 實驗 － 568 590 － 22 3.73% mode3 誤差 － -0.43% 0.56% － － － 分析 694.36 725.84 722.29 673.28 52.6 7.24% 實驗 746 － － 685 61 8.18% mode4 誤差 7.44% － － 1.74% － － 模擬彈波 並加上 圓環質 量 彈性支承 複材層板 SHEL L91 11cm
