98 2 四技二專 數學 C 卷解析

共同考科 數學(C)卷 共 2 頁 第 1 頁

九十八學年四技二專第二次聯合模擬考試

共同考科 數學(C)卷 詳解

數學(C)卷

98-2-C

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 D C A C C D D A D A B D B B A B B A C D C C B D A 1. 重心 ) (3,2) 3 2 1 3 , 3 4 7 2 ( G G − + + + + = ∴AG= 52+(−1)2 = 26 2. f(x)=−2x2+4x+1=−2(x−1)2+3 (A) 頂點坐標為(1,3) (B) f(0)=1，∴交 y 軸於點(0,1) (C) 令−2x2+4x+1=0 判別式D=42−4⋅(−2)⋅1>0 ∴與 x 軸交於二點 (D) 如右圖 3. ∵90°<θ<180°， 5 4 sinθ = ∴ 5 3 cosθ= − ，故 25 24 cos sin 2 2 sin θ = θ θ= − 4. 3sinθ=2+2cosθ 平方 2θ θ 2θ cos 4 cos 8 4 sin 9 = + + ⇒ θ θ θ 2 2 cos 4 cos 8 4 ) cos 1 ( 9 − = + + 0 5 cos 8 cos 13 2θ+ θ− = ，(13cosθ−5)(cosθ+1)=0 ∴ 13 5 cosθ= 或−1，因此所有值的和 13 8 − = 5. (1) f(x)之週期 π 4π 2 1 2 ₌ = (2) ∵ 1 2 sin 1≤ ≤ − x ， 1 3 2 sin 2 1≤ + ≤ − x ∴−1≤ f(x)≤3 故f(x)的最大值=3，最小值=−1 6. (1) ΔDBC中，設BC=4k，DC=3k，則DB=5k (2) ΔDAB中，∠DAB=∠BDA=θ

∴AB=DB=5k，故 3 1 9 3 tan = = = k k AC DC θ 7. (A) 2 3 30 cos 210 cos °=− °=− (B) 3 1 30 tan 150 tan °=− °=− (C) 3 1 60 cot ) 300 cot(− ° = °= (D) 3 2 60 csc 300 csc °=− °=− 8. (1) 由正弦定理知 ° = 120 sin 3 4 sin 4 C ∴∠C=30° (2) ∠A=180°−30°−120°=30° ∴ΔABC面積 4 3 4 sin30 4 3 2 1 = ° × × × = 9. 設AD=x，在ΔABC與ΔABD中 ∵cos∠ABC=cos∠ABD

∴ 7 7 2 7 7 7 5 2 3 7 52 2 2 2 2 2 × × − + = × × − + x 故AD= x= 7 10. 、 ∵ ，∴ 14 10 4 1 6 _{⇒ =} − = + − a a 11. 2 15 5 3 2 7 5 3 5 3 2 2 2 = × × − + × × − = 12. 4 ) 5 1 ( 25 5 10 252− + = − 2+ = t t t ∴當 5 1 = t 時， 有最小值= 4=2 13. 4x4+5x2+3x−2=(2x−1)(2x3+x2+3x+3)+1 ∴a=2、b=1、c=3、d=3、e=1 14. 2x3−x2−5x+3=0，(2x−3)(x2+x−1)=0 ∴有理根 2 3 = x 15. (1) f(x)=(x−2)(x−3)⋅Q1(x)+1 3 ) ( ) 1 )( 1 ( + − ⋅ 2 − = x x Q x ∴ f(3)=1，f(−1)=−3 (2) 設 f(x)=(x−3)(x+1)⋅Q3(x)+ax+b 則 f(3)=3a+b=1，f(−1)=−a+b=−3 ∴a=1，b=−2，故餘式=x−2 16. (1) ( −1)2=( +1)2−4=9−4=5 x x x x ∵0<x<1，∴ −1=− 5 x x (2) 3 1₃ ( 1)3 3 1( 1) x x x x x x x x − = − + ⋅ ⋅ −

共同考科 數學(C)卷 共 2 頁 第 2 頁 5 8 ) 5 ( 1 3 ) 5 (− 3+ ⋅ ⋅ − =− = 17. 原式=(−2)× 2i× 8i=(−2)×(−4)=8 18. ) 3 sin( ) 3 cos( 2 3 2 1_{− = −}π _{+ −}π i i ) 3 10 sin( ) 3 10 cos( ) 2 3 2 1 ( − i10 = − π +i − π i i 2 3 2 1 3 2 sin 3 2 cos + =− + = π π 19. 設實根為α ，將α 代回方程式 得3α2+(a+i)α+2i−6=0 0 ) 2 ( ) 6 3 ( α2+aα− + α+ i= ∴ ⎩ ⎨ ⎧ = − = ⇒ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = − + 3 2 0 2 0 6 3 2 a a α α α α 20. =log32⇔3 =2 x x 4 9 4 1 2 ) 3 ( 3 9 3x+ −x= x+ x −2= + = 21. (A) 底數應大於 0 且不等於 1 (B) 真數應大於 0

(D) log53+log54=log5(3×4)

22. (A) )4 (2 1)4 2 4 2 1 ( = − = − (B) 8−1=(23)−1=2−3 (C) 2 5 5 2 2 5 2 ) 2 ( ) 4 1 ( = − = − (D) 2 2 1 4 2 1 2 ) 2 ( ) 16 1 ( = − = −

23. (1) log2=0.3010，∴log5=1−log2=0.6990

(2) ) 100 4 5 ( n< ，取對數 ) log100 4 5 log( n< 2 ) 4 log 5 (log − < ⋅ n ， 0970 . 0 2 < n ∴n<20.6，故 n 最大值=20 24. [40 ( 1) ( 2)] 108 2 + − ⋅ − = =n n S_n 0 108 21 2_{− n+ =} n ，(n−9)(n−12)=0 ∴n=9或 12，故 n 最多可為 12 25. 原式 ) 128 1 16 1 2 1 ( ) 64 1 8 1 1 ( + + +L − + + +L = 7 2 8 1 1 4 1 8 1 1 2 1 8 1 1 1 ) 256 1 32 1 4 1 ( = − − − − − = + + + − _L