101-5-四技二專-數學(C)卷解析

101-5 共同考科 數學(C)卷 共 2 頁 第 1 頁

101 學年四技二專第五次聯合模擬考試

共同考科 數學(C)卷 詳解

數學(C)卷

101-5-C

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D A D A

B

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B

A D

B

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C

C

B

D A

C

C

C

B

A

B

A D

1. 4 1 ) ( 1 2 2 2 1 2 1 3 2 4 1 2 3 3 2 4 1 ₌ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 人 對後，再各選 人不成對，挑 其餘 成對的 女 女選 剩 成對的 C C C C C C 2. 2 3 3 1 4 3 4 = × + + 3. ∵ x x x f x x 0 ( ) lim0 lim → → = 不存在，(B) × ∴f(x)在x=0不連續，(A) × 又    < − > = 0 1 0 1 ) ( x x x f ， ， _， 3 1 1 4 − = −

∫

₋− dx ，(C) × 0 ) 4 ( ' = f ，(D) ○ 4. 令x3+1=0，x=−1 原式

∫

−

∫

− − + + − + = 1 2 1 1 3 3 ) 1 ( ) 1 (x dx x dx 1 1 4 1 2 4 ) 4 ( ) 4 (− − −₋ + + ₋ = x x x x 4 19 ) 1 4 1 ( ) 1 4 1 ( ) 2 4 ( ) 1 4 1 (− + − − + + + − − = = 5. 原式 9 4 3 1 3 4 ) 3 5 2 ( ) 2 1 3 1 ( − + ⋅ − = × = = 6.    < < ⇒    > = ⋅ < − = + 0 0 0 9 0 16 β α β α β α (A) α2+β2=(α+β)2−2αβ=256−18=238 (B) 9 16 1 1 − = + = + αβ α β β α (C) ( α+ β)2=α+β+2 αβ i2 22 ) 1 ( 9 2 16+ × × − =− − = (D) α2+16α+9=0⇒2α2+22α+18=0 18 32 2 2− = − ⇒ α α 7. 令前10項和= a₁=63 前20項和=a₁+a₂=84⇒a₂ =21 ∴ 3 1 = r ，則所求 3 7 27 1 63 ) 3 1 ( 63× 4 1= × = = − 8. (A) 24=16個 (B) ] 17 6 99 [ 33 ) ( ) ( ) (T−S =nT −nT S = − = n I (C) ○1 Z=0⇒x+2y=10 6組 ○2 Z=1⇒x+2y=7 4組 ○3 Z=2⇒x+2y=4 3組 ○4 Z=₃⇒x+₂y=₁ 1組 14 1 3 4 6+ + + = (D) C₃5+C₄5+C₅5=16 9. 原式 ) 100 99 1 3 2 1 2 1 1 ( log27 + + + + + + = L )] 99 100 ( ) 2 3 ( ) 1 2 [( log₂₇ − + − + + − = L 3 2 9 log₂₇ = = 10. 令A(3,−4)、B(−1,−6)、P(a,b)，則原式即為 PB PA= 之所有 P 點，也就是 AB 的垂直平分線 ○1 AB 中點 ) (1, 5) 2 ) 6 ( 4 , 2 ) 1 ( 3 ( + − − + − = − ○2 2 2 1 4 2 ) 1 ( 3 ) 6 ( 4 − = ⇒ = = − − − − − = m m_AB ○3 垂直平分線：y−(−5)=−2(x−1)⇒2x+y=−3 4 9 2 3 3 2 1 = × × ⇒ 11. 若 ⇒    = + = + ⇒ = 6 3 4 6 3 4 1 2 1 y x L y x L a ： ： _{重合，無限多個交點} 且通過(3,−2) 12. (4,−2)代入k=6×6=36 36 32 36 9 8 4 2− − 2− − = ⇒ x x y y 1 4 ) 2 ( 9 ) 1 ( 36 ) 2 ( 9 ) 1 ( 4 2 2 2_{= ⇒} − ₋ + ₌ + − − 2 y x y x 9 2₌ a ，a=3，則 PA−PB =2a=6

13. f(θ)=2(1−2sin2θ)−3sinθ+5=−4sin2θ−3sinθ+7 16 9 7 ] ) 8 3 ( sin 4 3 [sin 4 2 + + 2 + + − = θ θ 16 121 ) 8 3 (sin 4 + 2+ − = θ ，但0≤θ≤π⇒0≤sinθ≤1 ∴當sinθ=0，有max= 7 14. ○1 2 0<α <π ， 13 12 cos 13 5 sinα = ⇒ α= ○2 (cosβ ,cotβ)∈(−,+)⇒β∈Ⅲ

101-5 共同考科 數學(C)卷 共 2 頁 第 2 頁 13 3 sin 13 2 cosβ = − ⇒ β = − ∴ ) 13 3 )( 13 12 ( ) 13 2 )( 13 5 ( ) sin(α−β = − − − 13 13 2 13 2 13 13 26 = = = 15. (A) PAOB 外接圓直徑為 5 ) 2 2 ( )) 1 ( 2 ( − − 2+ − − 2 = = OP (B) 最近距離=OP−r=5−3=2 最遠距離=OP+r=5+3=8，8×2=16 (C) 5 24 5 4 3 2 2× × = × × = = PO PA AO AB (D) 切線段長 4 9 25 9 ) 2 2 ( ) 1 2 ( + 2+ − − 2− = − = = PA 16. 原式⇒8−x(x+2)=x2−4，2x2+2x−12=0 0 6 2 = − +x x ，x=−3，2(不合)，所有根和=−3 17. 原式 4 3 1 4 3 ) 4 1 ( 1 4 1 5 ) 4 3 ( ) 4 1 ( 5 1 1 − + − − − ⋅ = + − =

∑

∑

∞ = ∞ = n n n n 2 3 ) 5 1 ( 5× − + = =

18. (A) ×，tan71°>1>sin71° (B) ×，cos(270°−θ)=−sinθ (C) ○，原式 ) 1 (sin cos 1 sin 2 sin cos2 2 + + + + = θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ sec 2 cos 2 ) 1 (sin cos ) 1 (sin 2 = = + + = (D) ×，應為 2θ 2θ csc 1 cot + = 19. 最大邊=AB= ₆⇒最大角=∠C ) 1 3 ( 4 6 1 3 2 3 4 ) 1 3 ( 2 2 6 ) 1 3 ( 2 cos 2 2 2 − − + − + = − ⋅ ⋅ − − + = C 2 1 ) 1 3 ( 4 ) 3 1 ( 2 − = − − = ，∴∠C=120° 20. 可令 =(− 3,1)， =( 3,0) ⇒ =(−_{3 3,2)}， =(−5 3+ 3k,5) ∵垂直，∴ =0⇒45−9k+10=0 9 55 = k 21. 原式 0 0 9 8 0 5 4 0 3 1 = − − − = 22. 利用算幾不等式 3 ₎ 2 )( 2 )( 8 ( 3 2 2 8 _{b b} a b b a ≥ + + 2 125 2 125 2 3 15 3 2 2 2 ≤ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ab ab ab 即最大值 2 125 = 23. 所求=任意組合−Howard、Gasol同時被選中 672 120 792 2 12 2 5 12 5 − = − = =C C ₋− 24. 即 f'(x)=3x2+18x+k=0時之兩根為α、2α    = − = ⇒       = ⋅ − = + ⇒ 24 2 3 2 3 18 2 k k α α α α α ∴ f(x)=x3+9x2+24x+15 則 f(−1)=−1+9−24+15=−1 25. 100 12 10000 8749 10000 = × − = PR ，依68-95-99.7法則 PR 12落在x−2S與x−S之間，即40~50分之間