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從達文西的名畫學數學--藝術與人文領域融入數學「平

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從達文西的名畫學數學

—藝術與人文領域融入數學「平行與對稱」教學

活動設計

王瑞慶

國立屏東教育大學 數理教育研究所研究生

壹、教學設計理念

一、動機

根據九年一貫課程綱要(教育部,2003)數學學習領域的基本理念所指示,「教 育應提供學生做有意義及有效率學習的機會,使學生能學好重要的核心數學題材,因為 這些重要的數學概念和精熟的演算能力,是九年一貫所強調『帶著走』的能力。」及「學 生要能將數學應用在日常生活中,學習欣賞數學、從而發展探究數學以及與數學相關學 科的興趣。」換句話說,「帶著走的能力」及「生活化」突顯出現階段數學教育所應努 力的目標。然而環顧目前所有的數學教材中,雖然力求活潑化,但對於學生的數學概念 學習仍然停在扁平又狹窄的數學知識灌輸上。 由於高年級所學的數學內容偏向抽象的運思概念,想要落實在日常生活中或具體 化不是一件容易的事。因此在教材設計單元的選擇上,研究者認為,幾何概念的學習, 尤其在小學的階段,只要教育資源的充足,可以盡情的與生活結合,並豐富幾何教材的 內容,同時達到九年一貫的精神與理念(謝堅等人,2002)。 在此次教學設計中,研究者希望改變學生學習數學的動機,也希望能改變學生對 數學的刻版印象。換句話說,我們希望在教導學生數學概念時,同時也培養出學生另一 種能力或是生活態度、興趣。 對學生來說,透過藝術與人文的活動,數學課就會變得更有魅力。我們引進達文 西的例子,一方面是想要讓學生透過認識數學家的角度來提高學習數學的興

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從達文西的名畫學數學—藝術與人文領域融入數學「平行與對稱」教學活動設計 趣,另一方面也希望讓學生見賢思齊,在學習數學的路上有一盞明燈指引著。更 重要的是,從藝術的角度學數學,學生不但可以一窺數學神秘精采之處,也間接 陶冶學生的人文氣息。

貳、 課程設計與教學架構

一、教材地位

二、教材內容分析

根據研究者任教國小數學平行與對稱教材(康軒文教事業,2006),本單元課程內 容可成「平行」和「對稱」兩個學習內容。分別介紹如下: (一)平行 1. 根據九年一貫課程綱要(教育部,2003)名詞解釋,所謂「平行」即平面上兩 直線沒有交點,稱此兩直線互相平行。 2. 對於兩直線平行的意義,可以有下列不同的說法(康軒,2005): (1)兩直線間的距離處處相等。

過去:

z 認識鉛垂線、水

平線和水平面。

z 認識長方形、正

方形的邊角關

係。

z 經驗幾何變動

與圖形在生活

中的應用。

現在:

z 了 解 平 面 上 兩

直 線 互 相 平 行

的關係。

z 繪製平行線。

z 認 識 線 對 稱 圖

形的性質。

z 繪 製 線 對 稱 圖

形。

未來:

z 將 平 行 四 邊 形

變 形 為 長 方

形,形成面積公

式。

z 由 切 割 拼 湊 將

三角形、梯形變

成 平 行 四 邊 形

或長方形,形成

面積公式。

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(2)兩直線同時垂直於第三直線。 (3)兩直線永不相交。 3. 透視法:繪畫上最常用的是平行透視。它根據視覺上的錯覺,當平行線延伸到 遠處感覺會交於一點。通過畫面上線條的特別安排,來組成人與物,或物與物 的空間關係,令其具有視覺上立體及距離的表象。 (二)對稱 1. 根據九年一貫課程綱要(教育部,2003)名詞解釋,所謂「線對稱」即是指兩 圖形以一直線為鏡射圖形的現象,稱為線對稱。 2. 線對稱的意義(劉好,1998) (1)操作定型定義(直觀的概念):若一個圖形可沿著某一直線對折,使其 在直線兩側的部分完全重合,這種圖形稱為關於此折線的對稱圖形,簡 稱為線對稱圖形。 (2)幾何上的意義:一個圖形,若可以找到一條直線將其平分成兩半,使在 其中一半內的任何點,都可以在另一半內找到一個對應點,使得這互相 對應的點所連成的直線段,恰被平分此圖形的直線垂直平分,這個圖形 即為一種線對稱圖形。 三、能力指標(配合 92 年國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域) (一)S-2-02 能理解垂直與平行的意義 (二)S-2-03 能透過操作,認識簡單平面圖形的性質 (三)S-2-06 能理解平面圖形的線對稱關係

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從達文西的名畫學數學—藝術與人文領域融入數學「平行與對稱」教學活動設計

解開達文西秘密

活動一

活動二

活動三

活動四

活動五

活動六

活動七

活動八

z 引起動機 。

z

介紹達文 西 。 z 認識平行 。 z 平行與生 活 。 z 了 解 平 行 線 的 性 質。 z 認識平行 線 與 ﹁ 透 視 法﹂的關 係 。 z 由 剪紙活動認識線 對稱圖形 。 z 了 解 現 對 稱 的 性 質。

z

線對稱的 應 用 。 z 平 行 、 線 對 稱 、 透 視 法與藝術 品 及生活 。

四、教材架構

參、教學目標

一、課程目標

(一)了解平面上兩直線互相平行的關係。 (二)認識「透視法」在數學及藝術上的運用。 (三)認識線對稱圖形的性質。 (四)設計或繪製線對稱圖形。

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二、單元目標

(一)活動一:名畫欣賞 1. 能整理所蒐集資料。 2. 能發表並與他人積極討論。 (二)活動二:「平行」不見了 1. 能察覺日常生活中與「平行」有關的事物。 2. 能舉例「平行」在日常生活中的運用。 3. 能依自己的意見主動表達「平行」的特性。 4. 察覺到平行線是兩條永不相交的直線。 (三)活動三:畫長方形比賽 1. 能了解平行線是兩條永不相交的線。 2. 能了解兩條平行線會同時垂直於一條直線。 3. 能了解兩條平行線間的任何垂直距離都一樣長。 (四)活動四:平行線與透視法 1. 能察覺視覺上的平行線與數學上的平行線的差異。 2. 知道「透視法」的簡單運用方法。 (五)活動五:剪紙遊戲 1. 能觀察出線對稱圖形兩邊完全疊合的特性。 2. 能察覺對摺後的折線就是這個圖形的對稱軸。 (六)活動六: 對稱追追追 1. 能理解互相重疊的兩點稱為對應點;互相重疊的邊稱為對應邊;互相重疊的角

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從達文西的名畫學數學—藝術與人文領域融入數學「平行與對稱」教學活動設計 稱為對應角。 2. 能理解對應邊一樣長,對應角一樣大 3. 能理解通過兩個對應點的直線會和對稱軸垂直;且兩個對應點到對稱軸的距離 是相等的。 (七)活動七:點對點、邊對邊 1. 能找出線對稱圖形的對應點、對應邊、對應角。 (八)活動八:解開達文西密碼 1. 能運用線對稱、平行及透視原理繪製一張簡單的圖形。

參、 教學活動

一、單元名稱:解開達文西的秘密

二、適用年級:國小 5 年級

三、教學總時間:7 節,280 分鐘

四、教案設計內容

活動內容 主要活動過程 說明 資源使用 評量重點 活動一:名畫欣賞 一、名畫介紹 二、教師提問 1. 介紹達文西的 生平。 2. 介紹名畫「最 後的晚餐」。 3. 從達文西名畫 「最後的晚 餐」中,小朋 友有沒有發現 z 教師可讓學生 在課前先自行 蒐集達文西及 「最後的晚 餐」的相關資 料。 z 針對學生的發 表若與本單元 z 達文西名畫 -「最後的 晚餐」 z 電腦、投影 機 1. 能整理所 蒐集資料。 2. 能發表並 與他人積 極討論。

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什麼秘密? 4. 討論及發表 內容無關,教 師可依照時間 自行調整或引 導。 z 若學生先說出 關於「透視 法」、「對稱」 的名詞,教師 可先淡化處 理。 活動二:「平行」不見了 一、故事引導 二、教師提問 1. 先想一想,如 果生活中沒有 「平行」,我們 的教室會變成 怎樣? 2. 那麼日常生活 中會發生哪些 不方便的事 呢? 3. 那你覺得什麼 是「平行」呢? 4. 觀察日常生活 中的鐵軌,如 果不「平行」 會發生什麼 事? z 以故事內容引 導小朋友學習 「平行」的動 機。 z 以逆向思考方 式,先讓學生 察覺日常生活 中哪些東西有 「平行」,並思 考「平行」應 用在日常生活 的例子。 z 當學生以自己 的意見表達什 麼是「平行」 時,可能不是 十分精確,例 如:學生可能 會有的答案 是: z 電腦、投影 機 1. 能察覺日 常生活中 與「平行」 有關的事 物。 2. 能舉例「平 行」在日常 生活中的 運用。 3. 能依自己 的意見主 動表達「平 行」的特 性。 4. 察覺到平 行線是兩 條永不相 交的直線。

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從達文西的名畫學數學—藝術與人文領域融入數學「平行與對稱」教學活動設計 (1)兩條線很直。 (2)兩條線平平 的。 此時老師先暫 時尊重學生說 法,待下一個 活動時再予以 澄清。 z 使學生能察覺 到:平行線是 兩條永不相交 的直線。 教學內容及重點 主要活動或問題 說明 資源使用 評量重點 活動三:畫長方形比賽 一、畫畫看 二、教師提問 三、畫畫看 1. 小朋友,我們 來比賽畫長方 形,看誰畫得 最好? 2. 要把長方形畫 好的條件是什 麼? 3. 你會不會把長 方形畫歪了? 為什麼? 4. 長方形中哪裡 有「平行」? 5. 當長方形的長 愈來愈長,圖 形會有什麼改 變呢? 6. 在長方形一邊 z 此時老師引導 學生從事此活 動時將焦點放 在長方形兩邊 的長是否平行 及鄰邊是否垂 直。 z 教師提問時, 再次讓學生察 覺長方形的兩 邊長無論如何 延長,永遠不 會相交,進而 理解兩平行線 不相交 z 電腦、投影 機 z 尺、量角 器、三角板 1. 能了解平 行線是兩 條永不相 交的線。 2. 能了解兩 條平行線 會同時垂 直於一條 直線。 3. 能了解兩 條平行線 間的任何 垂直距離 都一樣長。

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四、教師提問 的長上任意取 一點,並通過 此點畫一條垂 直線。 7. 再多畫幾條垂 直線。 8. 這些垂直線有 沒有和另外一 邊的長垂直? 9. 在長方形上的 這 些 垂 直 線 段,有沒有一 樣長? 10. 那你知道長方 形會畫歪掉的 原因了嗎 z 此活動從實際 操作中讓學生 了解:當兩條 直線同時垂直 於另一條直線 時,則該兩條 直線為平行 線。 z 教師提問中引 導學生學習: 兩平行線中的 每一段垂直距 離都一樣長。 z 從後設認知的 觀點引導學生 依據自己學習 的平行定義檢 查畫好長方形 的條件。 教學內容及重點 主要活動或問題 說明 資源使用 評量重點 活動四:平行線與透視法 一、教師提問 二、介紹「透視法」 三、畫畫看 1. 大家根據螢幕 上的照片,有 沒有發現平行 線? 2. 怎麼鐵路好像 最後會交於一 點? 3. 繪 畫 上 使 用 「透視法」的 原理。 z 讓學生察覺生 活中視覺上所 看到的平行線 在遠處是會交 於一點。 z 以學生能理解 的基礎下,配 合實物,解釋 「透視法」的 運用。 z 鐵路照片 z 電腦、投影 機 1. 能 察 覺 視 覺 上 的 平 行 線 與 數 學 上 的 平 行 線 的 差 異。 2. 知道「透視 法」的簡單 運用方法。

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從達文西的名畫學數學—藝術與人文領域融入數學「平行與對稱」教學活動設計 4. 利用「透視法」 簡單的畫出一 幅圖畫。 z 強調雖然兩條 平行線交於一 點在視覺上是 可能的,但是 在數學學習上 我們的定義還 是不相同。 教學內容及重點 主要活動或問題 說明 資源使用 評量重點 活動五:剪紙遊戲 一、做做看: 二、教師提問 1. 將色紙對摺之 後,按照所指 示 的 圖 案 剪 下。 2. 將 色 紙 打 開 後,原來是個 「春」字。 3. 為什麼會剛好 剪出一個「春」 字? 4. 把剪後的色紙 對折後,檢查 看看有沒有完 全疊合? 5. 再把色紙打開 後,觀察中間 的摺線,你發 現什麼? z 藉著摺紙剪字 的過程中,讓 學生實際感受 線對稱圖形兩 邊完全疊合的 特性。 z 藉著以摺線為 中心,讓學生 觀察折線兩側 的圖形和全等 有何不同。 z 藉著把剪過的 色紙對摺再打 開的過程中, 察覺對摺後的 折線就是這個 圖 形 的 對 稱 軸。 z 電腦、投影 機 z 剪刀、色紙 1. 能 觀 察 出 線 對 稱 圖 形 兩 邊 完 全 疊 合 的 特性。 2. 能 察 覺 對 摺 後 的 折 線 就 是 這 個 圖 形 的 對稱軸。 教學內容及重點 主要活動或問題 說明 資源使用 評量重點 活動六:對稱追追追 一、教師提問 1. 日常生活中有 哪些是可以看 z 教師可以藉此 知道學生說出 z 電腦、投影 機 1. 能 找 出 對 稱 在 生

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到「對稱」的? 2. 在藝術作品上 常常可以找到 對稱的圖形, 你知道為什麼 嗎? 他 所 認 知 的 「對稱」是否 正確。 z 讓學生對所學 的「對稱」不 只在數學上, 其實更運用於 生活中,並進 一 步 培 養 美 感。 z 對稱照片 活 中 的 運 用。 教學內容及重點 主要活動或問題 說明 資源使用 評量重點 活動七:點對點、邊對邊 一、做做看: 1. 我們人體是不 是一個對稱的 形 狀 ? 如 果 是,對稱軸在 哪裡? 2. 請把身體當作 是一個對稱圖 形,將左右兩 邊 疊 合 在 一 起。 3. 你 有 沒 有 發 現,左手的拇 指和右手的拇 指 疊 合 在 一 起?左手臂是 不是和右手臂 疊合在一起? 4. 現在拿出一個 z 在左右差異不 是很大的情況 下,教師引導 學生將身體視 為一個線對稱 圖形。 z 學生藉由身體 去感受對應點 和對應邊的關 係,再進一步 由圖形中去找 到互相重疊的 兩點稱為對應 點;互相重疊 的邊稱為對應 邊;互相重疊 的角稱為對應 角。 z 透過連接兩個 z 電腦、投影 機 z 對稱圖片 z 尺、量角器 1. 能 理 解 互 相 重 疊 的 兩 點 稱 為 對 應 點;互相重 疊 的 邊 稱 為 對 應 邊;互相重 疊 的 角 稱 為對應角。 2. 能 理 解 對 應 邊 一 樣長,對應 角一樣大 3. 能 理 解 通 過 兩 個 對 應 點 的 直 線 會 和 對 稱 軸 垂

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從達文西的名畫學數學—藝術與人文領域融入數學「平行與對稱」教學活動設計 左右對稱的圖 形,將它沿著 對稱軸對摺疊 在一起。有沒 有發現頂點和 頂點是疊合在 一起?對邊和 對邊是疊合在 一起? 5. 打開疊合的左 右對稱圖形, 量量看兩個對 應邊有沒有一 樣長,兩個對 應角有沒有一 樣大。 6. 連接兩個對應 點,你發現什 麼? 對 應 點 的 方 法,學生會發 現:通過兩個 對應點的直線 會和對稱軸垂 直;且兩個對 應點到對稱軸 的距離是相等 的。此概念有 助於學生去畫 出對稱圖形 直;且兩個 對 應 點 到 對 稱 軸 的 距 離 是 相 等的。 教學內容及重點 主要活動或問題 說明 資源使用 評量重點 活動八:解開達文西的秘密 一、答案揭曉 二、畫畫看 1. 發現了嗎?原 來 達 文 西 的 「 最 後 的 晚 餐」圖裡隱含 了透視法和對 稱圖形在內。 2. 你會利用這兩 種方法畫出一 幅圖畫嗎? z 將「最後的晚 餐」圖畫細節 去掉,只留下 透視線條及對 稱的輪廓。 z 和學生討論所 有藝術品中包 含透視的技巧 及對稱所產生 的美感。 z 電腦、投影 機 z 達 文 西 名 畫-「最後 的晚餐」 1. 能 描 繪 對稱圖形 完畢

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五、教學評量

(一)資料蒐集、報告:如對達文西生平及其數學或藝術上的貢獻等資料搜索,並於課 堂與同學分享。 (二)學習單:如附件一、二(請參考電子全文版)。 http://www.npue.edu.tw/academic/grad-ms/science/magazine/contents/magazine26.htm (三)實作:如剪紙活動。 (四)筆試:最後總結性評量。

六、教具使用

(一)電腦、投影機、布幕:播放教學powerpoint內容。

(二)教學用尺、三角板、量角器。

(三)剪刀、色紙:示範用。

伍、討論

一、教學成果

(一)學習單 如附錄圖1至圖4是實施本教材前,先給學生畫的圖畫。由此四圖中可知,學生雖 然對於平行和對稱有初步的概念,可是對於空間的立體感卻表現卻不佳。也就是 說,所有的生物都是平躺在紙上而不是「站」在路上。經過此課程的學習之後, 我們發現學生可以透過透視法的原理,將圖畫表現的更立體,同時景色的遠近也 可以清楚表達。如圖5至圖9。 (二)數學日記(以代號代替學生名) 1. 甲生:我覺得這種教學方式很特別,以前我沒有上過這樣的數學課,我很喜歡。 2. 乙生:我希望老師以後能多多用這種方式上課,有投影機和動畫讓我有興趣想 要上課。

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從達文西的名畫學數學—藝術與人文領域融入數學「平行與對稱」教學活動設計 3. 丙生:我平常就喜歡剪剪貼貼或畫畫一些可愛的卡通圖案了,沒想到,這次的 數學課還能和畫圖有關係呢! 4. 丁生:在尋找達文西的資料時,我知道了許多關於達文西的故事。我覺得達文 西是個天才!而且,原來數學及科學與我們的生活有很大的關係。 5. 戊生:以前上數學課都是老師在講課,大部分我們用聽的,或小組討論。這次 上數學課有一種不一樣的感覺,每一個活動都很新鮮,感覺好像不是在學數 學,可是老師教的部分我卻都聽得懂。 6. 己生:我以前一直以為數學只是不斷在想一些很難的題目,不過這次的上課我 發現到數學也可以應用到其他方面,而且原來在做美勞時還會想到數學,數學 的範圍真是廣。

二、檢討

(一)因為本校資訊融入教學的方式並不是十分普遍,所以當要實施時,最大的困難在 於器材的商借及使用。例如教室裡面沒有投影機和投影布幕,那麼要把器材搭設 起來可能不是十分方便。 (二)數學課要結合藝術與人文課一起實施,那麼本課程才能充容的實施。因為在課程 緊湊的情況下,一週四節的數學課可能很難慢慢的完成這些活動。這也是值得我 們深思之處。

參考文獻

康軒文教事業(2006)。第十冊數學科教師手冊。康軒文教事業出版。 教育部(2003)。九年一貫數學學習領域課程綱要。台北市:教育部。 劉好(1998)。平面圖形教材之處理。國民小學數學科新課程概說(高年級)。台北縣: 台灣省國民學校教師研習會。 謝堅、朱建正、魯炳寰、廖淑麗(2002)。國小數學教材分析-幾何。國立教育研究院籌 備處。

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