三垂線定理與圓柱截痕

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三垂線定理與圓柱截痕

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108.02.22 ∼ 108.02.22

一堂高中數學課

1. 三垂線定理

三垂線定理說的是有【三個地方垂直】，其中兩個是條件、另一個是推論結果。定理敘述如下： 【三垂線定理】：設 L 是平面 E 的法線，和 E 交於點 A，L1是 E 上任一直線。現在 E 上通過點 A作一直線垂直 L1於 Q 點，則在法線 L 上任取一點 P ，可得 P Q 與 L1 垂直。如圖 1 所示：圖 1 我們要利用三垂線定理觀察圓柱曲線，並得到【橢圓的幾何定義】。

2. 圓柱截痕

所謂的圓柱截痕，就是一個平面 E 與圓柱面 Ω 相交所得的【封閉曲線】，這一個曲線長長扁扁的， 是俗稱的橢圓，如圖 1 所示：我們可以【創造出兩個定點 F1, F2】，橢圓上的任意點 P 都滿足 P F1+ P F2 = L (L是一個定長) (1) *_{bee 美麗之家: http://www2.chsh.chc.edu.tw/bee} 1

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如圖 2 所示：圖 2 請讀者先自行觀察，並注意這是一個立體圖，線段的長度和視覺上的感覺並不相同。看看你能不能自行解釋。

3. 橢圓的雙焦點定義法

在圖 2 中，點 P 既是圓柱 Ω 上的點，也是平面 E 上的點，而在 Ω 內，我們創造了兩個 Ω 的內切 球 O1, O2，這兩個球面不僅和 Ω 相切，也和平面 E 相切，如此，P F1 與 P A 都是從 P 到球面 O1 的切線段，因此等長，同理，P F2 與 P B 都是從 P 到球面 O2的切線段，也等長，如此， P F1+ P F2 = P A + P B = AB (兩赤道面的距離，是定長) (2) 我們把這一個截線或曲線，稱為橢圓，於是橢圓的定義就是： 【平面上到兩定點 F1, F2的距離和，是一個定長 AB 的所有動點 P 所形成的軌跡】 我們把 F1, F2 稱為焦點，這當然是有意義的，不過我們並不在本文討論。倒是，地球繞太陽運轉的軌跡是一個橢圓，而太陽就恰好落在某一個焦點的位置上。

4. 橢圓的焦點準線定義

關於橢圓，還可以有另一個看法，如圖 3 所示： 2

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圖 3 只留下一個圓，再取通過赤道面的平面 E1，並設 E 和 E1的交線為 L。我們已經知道 P F = P A， 同時 P A 是 E1的法線，因此如果我們從點 P 作直線 P B 與 L 垂直於 B，則直線 AB 也會與 L 垂直，這是三垂線定理。同時，_{∠ABP = θ 就是 E, E}1的兩面角。於是我們有 e = P F d(P, L) = sin θ < 1 (3) e是一個定值，稱為離心率。 離心率是一個比值，描述焦點脫離中心的情形。如果 θ = 0，那麼截痕會是一個圓，此時焦點 和圓心重合，沒有離心，因此離心率 e = 0。 當兩面角越來越大時，橢圓的焦點離橢圓中心會越來越遠，其關係就用 sin θ 表示，如圖 4 所 示。雖然 e 的值會隨著平面 E 轉動而漸漸變大，往 1 靠近，不過其值都是小於 1 的。 圖 4 3

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因為 L 是描述橢圓的參考線，所以稱之為準線。雖然常見的離心率定義都是在描述比值 e = P F d(P, L) (4) 不過，我覺得從圖 4 看到，兩面角的 sin 值更為貼切，即 e = sin θ (5)

5. 結語

因為介紹了三垂線定理，如果有一個很棒的應用，會讓同學印象深刻，所以我把圓柱截痕擺了上來。後面我會再寫文章介紹圓錐截痕，讓三垂線定理和圓錐曲線有一個【美妙的結合】。至於三垂線定理的證明如下：圖 5 如圖 5，法線 L 和直線 AQ 形成一個平面 E1，顯然 L1 是 E1 的法線，因此，L1 和 E1 上所有通 過 Q 點的直線垂直，故三垂線定理成立。 圖 5 中的 L2 是與 L 平行的直線，這樣你可以很清楚的看到平面 E1，同時，因為 L1 和 L2、 直線 AQ 都垂直，所以 L1 是 E1的法線。希望你會喜歡這一個證明。 4