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一個數學教師的教學概念:同分母分數加減問題教學實踐

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Academic year: 2021

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國立臺中教育大學教育測驗統計研究所

教學碩士學位暑期在職進修專班碩士論文

指導教授:甯自強

博士

一個數學教師的教學概念:

同分母分數加減問題教學實踐

研究生:林玉芳 撰

中華民國 九十七年十月

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摘要

本研究的目的在於探討一個現職國小教師進行同分母分數加減問題教 學實踐個案內涵。研究者是以錄影的方式將參與教師同分母分數加減之活 動一「分數的合成與分解」、活動二「真分數的加減」教學實況錄製下來, 蒐集其對同分母分數加減教學實踐資料,並將資料的蒐集實踐轉譯和編輯 成教學原案,再依據教學原案分析其同分母分加減教學實踐類型,接著再 反思其分數加減教學實踐與理想的教學實踐框架間的差異。 依教材教學的掌握、促進學生學習、師生積極互動的維持這三面向來 說明檢核結果: 一、在教材教學的掌握方面 (一)鄭老師能對他編教材加以評鑑調整後,切合教學目標的需求,成 為使用教材。 (二)鄭老師能引用與設計類題增強主要問題的效果 (三)鄭老師能指定作業或練習,增強主要問題的學習效果 (四)鄭老師未能掌握適當的時機或題材,進行教學深究。 二、在促進學生學習方面 (一)鄭老師能在主要問題佈題前,檢查學生解題所需之先備知識。 (二)鄭老師佈題方式清晰簡明。 (三)鄭老師在積極協助學生瞭解題意上,略有不足。 (四)學生解同分母分數的合成與分解問題過程發生困難時,鄭老師較 少積極加以協助。 (五)鄭老師未能對學生的解同分母分數的合成與分解問題成果加以檢 討。 (六)鄭老師在教師促使學生對學習活動進行反思上,略有不足。

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(八)鄭老師對於不同程度的學生分別給予適當的協助方面,是略嫌不 足。

(九)至少有五件偶發事件影響鄭老師有效的教學時間

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ABSTRACT

The purpose of the study is to investigate a children’s conception of fractional number. Mrs. Zheng’s addition and subtraction fraction problems teaching activities were video-taped and transcribed into protocols for further conceptual analysis. Then, researcher

compares with the difference between Mrs. Zheng’s addition and subtraction fraction problems teaching activities and Ideal teaching practice.

According to the inspect of result to explain:

A. The aspect on the grasping teaching material teaching

(a)Mrs. Zheng can appraises the adjustment after the teaching material, suits the teaching goal the demand, becomes uses the teaching material.

(b)Mrs. Zheng can quote and the design class topic strengthens the subject matter the effect

(c)Mrs. Zheng can assign homeworks or practices to enhance the study effect.

(d)Mrs. Zheng has not been able to grasp the suitable opportunities to proceed the teaching to go into deeply.

B. The aspect on the promoting of the students learning

(a)Before the subject matter , Mrs. Zheng can inspect the students’ prepared knowledge.

(b)Mrs. Zheng can pose the task clearly.

(c)Mrs. Zheng can’t help students to understand the meaning of the task actively.

(d)When stundents having difficulties in sloving problems, Mrs. Zheng provide less help.

(e)Mrs. Zheng has not been able discourse the result of student’ sloving questions.

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level of the students

(h)Mrs. Zheng provides less help to the different level of the students. (i)Five accidental occurrences affect Mrs. Zheng’s teaching time. C. The aspect on the interaction between the teacher and students

(a)The majority of students have participate in the activity. (b)Mrs. Zheng gives students praises or encourages

(c)Mrs. Zheng’s convention of mathematics discussion is “when others speak, all should respect”.

Keyword: mathematics concept, teacher's practice , addition and subtraction of fractions

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目次

第一章 緒論……….………...….1 第一節 研究的背景及重要性………1 第二節 研究目的………..…..…4 第三節 研究計畫組織架構………4 第二章 文獻探討……….…5 第一節 理論背景………...……….…...…5 第二節 國小數學教學的教學概念………...…..…..10 第三節 分數教學的相關研究………..…………25 第四節 同分母分數加減問題理想的教學實踐過程………….….35 第三章 研究方法與實施………...………....45 第一節 研究方法………...……….………….….45 第二節 實施過程……….……...………….….47 第四章 鄭老師的『分數的加減』單元的教學分析………..52 第一節「分數的合成與分解」的教學實施……….……...52 第二節「真分數的加減」的教學實施………...………125 第三節 反思鄭老師的分數教學實踐………..194 第五章 結論與建議……….………..…..209 第一節 結論………..…209 第二節 檢討與反思……….….217 第三節 建議……….….…218 參考文獻……….………...………….….……...221 一 、中文部份……….……..….221 二 、英文部份 ………..………223 附錄一:鄭老師教學原案……….….226

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表目次

表 2-1 應掌握的數學具體活動上國小數學課程的主張………16 表 2-2 掌握的數學表徵形式內容上國小數學課程的主張………17 表 2-3 應掌握教學的數學活動的序列及成果評鑑內容上國小數學課程 的主張………18 表 2-4 應掌握兒童的具體數學活動及其成就上國小數學課程的主 張………..20 表 2-5 鼓勵及尊重兒童的自發性活動上國小數學課程的主張……….22 表 2-6 協助促進團體溝通公約的形成及落實上國小數學課程的主 張……….….23 表 2-7 同分母分數的加減法問題類型………35 表 3-1 康軒版本第八冊分數教材單元能力指標、教學目標和活動目標 的關係………46 表 3-2 康軒版本第八冊「分數加減」單元活動一、二內容………47 表 4-1 學生在巧克力情境佈題上所需的能力及反應……….114 表 4-2 學生在口香糖情境佈題上所需的能力及反應……….120 表 4-3 活動一:分數的合成與分解教學情境及習作情境對照表……121 表 4-4 學生在綜合果汁情境上所需的能力及反應……….177 表 4-5 學生在鉛筆情境上所需的能力及反應……….…181 表 4-6 學生在瓶子情境上所需的能力及反應……….…184 表 4-7 學生在算式填充題情境上所需的能力及反應……….189 表 4-8 活動二:分數的合成與分解教學情境及習作情境對照表….190 表 5-1 臺中縣國小數學教學輔導團教學實施觀察紀錄表…….……207 表 5-2 在教材教學的掌握方面鄭老師同分母分數加減教學 12 個佈題達 到情形……….………209 表 5-3 在促進學生學習方面鄭老師同分母分數加減教學 12 個佈題達到 情形……….………211

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圖目次

圖2-1 數學教學實踐知識的結構圖………...……..……..12 圖4-1 鄭老師在黑板圖示一個杯子………53 圖4-2 鄭老師在黑板圖示一個杯子裝滿………53 圖4-3 鄭老師在黑板圖示一個杯子平分成10等份裝8份……….53 圖4-4 鄭老師在黑板圖示一個杯子平分成2等份裝1份………55 圖 4-5 一盒鳳梨酥圖……….81 圖 4-6 12 9 盒鳳梨酥圖……….81 圖 4-7 鄭老師雞蛋包裝盒情境(1)黑板佈題圖……….125 圖 4-8 鄭老師藉由圖示雞蛋包裝盒情境引導………145

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第一章 緒論

本章分成三部分,首先論述本研究之背景及重要性,其次是研究目的,最後則 說明論文撰寫之組織架構。

第一節 研究背景與重要性

一般而言,在小學裡,教師的職責是管理好自己任教的班級,他們通常在班級 運作上有相當程度的自主權,卻很少有機會接受到能幫助改進教學的回饋或協助。 以往我國的國小教師,大部分接受的是師範體系教育,以通材居多,具備科目課程 專業知識者較少。 在國小任教的數學教師並不見得具備精深的數學知識,有許多人甚至於對數學 有反感或恐懼。但是,他們卻又必須在課堂上教這門課。許多老師將數學視為算數, 認為是符號的運算而已。他們相信,做數學老師的職責就是教學生計算得又快又好, 良好的解題就是很快地做完,所有的問題都有標準答案等。正由於許多教師以狹窄 的眼光看數學,對兒童學習數學的相關知識缺乏,且對於數學推理思考之重要性的 感覺不強烈,以致於他們會強調工具性教學以及格式化的數學。這些都不是教師的 錯,因為他們做學生時,所經歷的就是這些。此外,雖然教育當局規定每位國小教 師每學年至少須參加十八小時的在職進修課程,但是,目前學校所辦理的一般進修 課程對於教師在數學學科教學相關知識的提昇上的幫助相當有限。 在過去,許多教育學者認為,只要增進每位教師的數學知識和教學技能,就能 促進數學的教學進步。因此,只要設計、提供好的課程,教師在參與研習之後,就 能回到教室裡運用這些新的教學方式。然而,越來越多的研究讓我們體會到數學教 學的改進是一件極為複雜的工程,並非僅提供教師更多的數學或教學技巧的知識就

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可以達成的。 教學是一種高度複雜的專業表現,一位國小數學教師應該具備有數學專門知 識、教育學的專業知識以及數學教學知識。並且能將這些知識充分且有效地表現在 他的教學中,營造一個快樂活潑而且有意義的學習環境。近年來,數學教學品質的 議題越加受到質疑與重視。進而體會到越加需要有專業的教學,以及教師專業發展。 甯自強(2004)指出從數學教育觀點的改變看來,當前數學教育環境相較於以 前至少有四項重要的改變:(1)教學內容的改變,(2)對受教者認識的改變,(3) 教學環境的改變,以及(4)預備師資的來源與培育成果期望是的改變。 在教學內容的改變教學內容的改變教學內容的改變教學內容的改變上,他指出九年一貫課程目標內容的規劃相較於70年代台灣 的數學教育,有兩項重要的改變。第一項改變是由培養『能解決數學問題』的能力 轉向為培養『能透過以解決日常生活問題的需求進而形成數學問題並加以解決』的 能力;第二項改變是要求落實『…能運用數學的知識與方法,發展其推理、組織和 創造』的能力的培養。這兩項改變將使教師教學在佈題上和目標上產生焦點上的變 化,教師不但要能為生活而數學,更要促使學生不只給出正確答案並要養成如何使 用數學推理等的習慣。由此可知,教師要能具備於教室內養成學生的數學化 (mathematizing)實踐習慣底能力,更要能具備自活中取材布出不僅具有數學意義 且值得教學投資的問題或課題的能力。然而,這兩項能力需求的定性、培育與認證 方式則都是尚待發的。 對受教者認識的改變受教者認識的改變受教者認識的改變受教者認識的改變看來,自民國65年以後,基於數學教與學歷程的研究文獻 累積,以及以人為本的教學理念興起,數學教育界對於數學的教學過程想法也產生 了改變。教學歷程從簡單的『促使學生理解教師所做的示範的意義』轉變成複雜的 『教師不僅須能透過適切的佈題引發學生自發性的解決問題類型,並且須能進而促 使這些類型演化成數學社群可接受的形式與內容』。因此,比照前面教學內容中對數 學化實踐習慣的需求,教師不僅須能透過適切的佈題引發學生自發性的解決問題類

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型,並且須能進而促使學生養成運用數學證據與方法,論證這些類型或演化後的數 學形式與內容的有效性一般性,如前所述,這些能力需求的定性、培育與認證方式 則都是尚待發的。 在教育環境的改變教育環境的改變教育環境的改變教育環境的改變上,相較於民國65年前後,當時的社會環境與目前社會環境 下的數學教育環境,可以看出兩項重大的改變。第一項是多元化的改變。目前多元 化的教學設計提供,要求教師改變『照本宣科』成『照綱宣科』,所涉及的教材編 選能力與組織能力,遠遠超過以往僅限於各別單元範圍,而需擴充至涵蓋一學期、 一學年甚至數學年的大範圍。事實上,這樣的教材編選與組織能力已經變成課程編 制能力,遠遠超出現行師資培育學程設計。第二項是科技化的改變。科技化的新環 境,提供了與以往相異的教學管理環境與互動環境,不但有利於收集與彙整教學資 料與教學成果,更可以透過電腦模擬等特性使學習者能掌握數學問題的本質及進行 數學方法的可回溯實驗,進而達成數學教育目標。所以,能掌握科技開發數學教學 情境能力應該是數學師資培育的目標,但,重要的是,所開發出來的情境必須是促 進數學學習的,而非僅是開發個人的數學表徵表現而已。 在預備師資的來源與培育成果期望上的改變上預備師資的來源與培育成果期望上的改變上預備師資的來源與培育成果期望上的改變上預備師資的來源與培育成果期望上的改變上,相較於民國65年前後,亦可區 分兩項重大的改變。第一是預備師資人力來源上的改變。師範學院的培育過程和大 學程度的培育過程有所區別,培育過程若求教學作為的情意態度的養成效果,就得 在師資培育課程的內容及執行方式有所改變。第二是對預備師資專業培育結果在社 會期望上的改變。社會現在期望能有能因應變化即能自我成長的教師,也就是,為 了回應未來進行教學時,所處環境的多元化,預備師資必須具備專業應變能力。 然而,如何能使教師個個能在自我的崗位上歷久而彌新,才是師資培育應當深 切思索的問題。國小數學教育專業的應變能力與專業的自我成長能力需求的定性、 培育與認證方式仍是尚待發的。

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儘管現代的國小數學教育實施背景,相較於以往已經產生一些重要的改變,從 而產生了對國小數學教師新的能力需求,事實上,一個有關師資培育問題的全盤解 決設計方案,應當是檢討過去,因應現狀,並且是放眼未來的。所以,首先需針對 何謂好的教學(good teaching)有所主張。其次依此主張釐清好的教學所需的能力, 進而以這些能力對所謂好的數學教師加以定性。

第二節 研究目的

依據上述說明,本研究的目的在於探討一個現職國小教師進行同分母分數加減 法教學實踐個案內涵。亦即分析教師實踐同分母分數加減教學問題的實際教學活動 類型。本研究目的如下: 一、了解數學教師「同分母分數加減教學」教學活動類型。 二、了解數學教師分數教學部份的專業成長需求。

第三節 論文的組織架構

本研究包括五大部分,第一章為緒論,說明研究背景、重要性及目的。第二章 為文獻探討,包括問題理論假設,國小數學教學的教學概念剖析、分數教學的相關 研究及理想的同分母分數加減問題教學實踐過程等之分析探討;第三章則說明原始 規畫的研究方法以及實際實施研究的過程。第四章則先對鄭老師「分數合成與分解」 及「真分數加減」二個活動的教學依序進行分析,接著反思其教學實踐活動與理想 的教學實踐框架間的差異。第五章則總結本研究的結論、省思及建議。

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第二章 文獻探討

本研究的目的在於探討一個現職國小教師進行同分母分數加減法教學實踐個案 內涵。既然進行有關數學知識教學的探討,對於數學的知識論本質,學習的心理學 本質等理論背景,和教學理論理應有所主張,本章的第一部分,即說明本研究所持 的理論背景。由於教學的內容為國小數學的範疇,所以在本章的第二部分將討論我 國國小數學課程主張的教學概念內容;第三部分對已知的分數教學相關研究加以探 討,第四部份則討論同分母分數加減問題及理想的教學實踐過程。

第一節 理論背景

本節分別從知識論、心理學、生態學三向度來探討研究問題的理論基礎。此乃 因,教師的教學實踐知識和教學成果均為知識,故須對知識論有所主張;又知識的 獲得會導致個體行為改變所以是一種心理過程,因此在心理學的立場上也必須有所 闡釋;此外本研究涉及到個案教師與學生間互動的社會現象,師生均是有機體,互 動是有機體的生態現象,故對生態學問題須有所立場。 一、知識論的立場~根本建構主義 本研究採取根本建構主義知識論的立場。依其原創者von Glasersfeld (1989)所提出的看法,根本建構主義在知識論上有兩項基本的原則: (1)知識並非被動地收穫而得;而是由認知之主體主動構築而成的。 (2)知識的功能是調融的(adaptive),認知的功能是用來組織外在的經驗世 界,而非用來發現已存在的本體現實(ontological reality)。

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由上看來,根本建構主義主張的知識,僅為個體為了在環境中生存,所產生的 經驗類型。這些類型是功能的、演化的,而且是相對的(甯自強,1993b)。 這兩項原則一方面規範了本研究的個案教師本身所建構的知識本質,一方面也 規範了研究者所建構個案教師個體的知識模型。也就是說,個案教師本身的「同分 母分數加減問題」的教學概念與研究者由觀察得到的教師教學實踐活動所抽象而得 的教學概念會有所差異。不可能相同,最多僅可能達到相容。亦即,對研究者而言, 他人的數學教學概念,雖能透過他人的語言、行動解釋加以知曉,但是是研究者知 曉的內容,與他人的本意最多只能齊一到不相互衝突的概念上相容(fit),而非相 同(match)而已(von Glasersfeld,1987)。 所謂的概念是由研究者自有關經驗群中抽象而得的,可以視為類化後的闡釋。 如果概念的解釋威力已不足用來說明發生於適用該概念的情境中的新例證時,此一 概念應當有所改變(甯自強,1993b)。也就是說個案教師的同分母加減教學概念是研 究者依據所觀察到的個案教師教學實踐活動中所抽象而建立的。這教學概念,在研 究者所蒐集到的個案教師的教學實踐活動證據中應是一致的,如果此概念的前身曾 被證據否證(falsification),則原先曾假設的解題活動類型應已被修正,進而強 化類型的解釋威力。 此外,由於教學概念為研究者的一項概念,因而概念會因研究者經驗的不同而 有所差異。所以,研究者所建構的「一位數學教師的教學概念」只是一個在研究者 自身經驗群中仍能存活的(viability)模型,而不是永恆的真理。 二、心理學的立場~基模論

von Glasersfeld(1980)曾指出,皮亞傑的基模理論(scheme theory)是和 根本建構主義相容的。從根本建構主義的觀點來看,「知識不再是真的或假的實在表

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徵(representation of reality),而是可信及有效的地運作的行動基模與運作基 模(von Glasersfeld(1995)」。因此本研究以皮亞傑的基模理論作為詮釋教師教學 概念的心理學理論基礎。 當個體面對問題情境時,個體內在基模隨即被發動,亦即,當個體面對某一認 知情境時,其認知發展是以原有的固定行為模式為起始點,不論是活動的類型或是 心智上的類型,他們是用來改變情境的狀態,作為同化(assimilation)的工具 (Piaget,1970,1980)。 為了彰顯基模的特質,von Glasersfeld特地為基模下了一個操作性定義;其為 研究者進行概念分析時的一項有效工具。他指出一個基模可以分成三個部份(von Glasersfeld,1995): 1. 業經辨識(recognition)的一特定情境; 2. 與該情境相連結之一特殊活動過程;及 3. 該活動能產出一個特定先前經驗結果的期望及其續局。 其中,第一部份的辨識(recognition)總是同化後的結果。而同化是指利用已有的 基模的情境要素與新的情境要素比對,發現適用後,決定進行原有基模活動的過程。 亦即,基模內所謂的同化後的情境,是指個體對外在情境加以闡釋後所得的內在情 境。 當主體接受了情境的刺激發動基模後,就基模的質量而言,可能同時有兩種以 上的基模可被發動。甯自強(1993b)也提到同一行為可以是發動兩種不同質量基模 的相同成果。因此,檢視教師發動教學基模的不同類型,而非檢視教學行為的類型 就顯得重要了。甯自強(1993c)曾根據個體發動基模後,對運作結果的預期能力, 以及運作時對感官活動材料的依賴程度,將基模類型區分成在解題上的經驗、覺察 和瞭解三種成就水平。因嘗試錯誤類的偶然因素,實施某具體解題活動以解決特定 問題稱之為「經驗」水準。具體解題活動曾被一再的重複實施,並達到感覺活動材

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料(sensori-motor material)的缺乏時,解題者仍能以自行提供的感覺活動材料進 行特定類型問題的解題,儘管此時,解題者雖可以成功的解題,但仍說不出「所以 然」來,則稱該解題者已達到「覺察」某概念的水平。如若解題者不但可以直接透 過心智解決問題,並能進一步的說明何以「解題活動類型」為有效的,此時稱該解 題者已達「瞭解」該概念的水平(甯自強,1996a)。由上可知,主張教師有某類教學 概念,即主張教師有特定的基模,以解決特定情境的問題,雖然即使解決問題,但 概念水平上仍會有內在質量上的差異。在主張個案教師具有何種教學概念的基模 時,研究者只能從個案教師進行教學實踐時的外顯行為來推論其內在思考的歷程; 而研究者的主張必須能存活過所有教學實踐活動中相關例證的考驗,務期做到最佳 的一致解釋(Ricoeur,1973)。 三、生態學的立場~耦合理論 教學活動是生態的耦合活動。所謂的「耦合」(coupling),用在這裡,是指同 一情境中,互動者的互動行為成ㄧ結構性的平衡穩定的類型狀態。教學者、學習者 都 是 人 、 生 物 , 所 以 教 學 現 象 是 生 物 現 象 的 一 種 。 是 故 , 本 研 究 採 取 Maturana(1978,1987)的耦合(coupling)理論作為生態學的基本立場,此理論與數 學學習及教學相關部分,張淑怡(2004a)將Maturana的論述整理寫成下列兩項原則: (1) 人是連續自造(self-producing)、運作封閉,且結構決定(structure determined)的自生(autopoiesis)系統;自生系統能與環境整合的狀態 僅是耦合(coupling)關係。 (2) 社會現象是指同種族的自生系統單位彼此間自發性的結構耦合所構成的 現 象 ; 共 識 域 (consensual domain) 是 指 耦 合 所 產 生 的 相 互 鍵 結 (interlocked)之行為。

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由上可知,Maturana理論的第一項原則探究的是人與環境之互動關係,不但與 根本建構主義的兩項原則是相容的,其在心理學上的意義亦與Piaget的基模論相 容。至於,Maturana理論的第二項原則將互動他人從環境中明顯地區分出來,由於 探究的是人與人之互動關係,故可視為根本建構主義在社會心理學上註釋。 由於人是運作封閉且結構決定的,故在社會互動過程中,他人之口語行為、非 口語行為,主要教學中所使用之教具、學具等信號對個體之意義皆是個體自行賦予 的,外在信號對個體的功能僅限於暗示;且對暗示的回應行為亦是個體自行選擇的。 因此,就兩人互動所產生的行為序列而言,一方行為與其後續行為間的鍵結,端視 後續行為之行為者本身的行為邏輯,即,此行為者闡釋前一行為者的行為從而獲得 多項暗示,與這些暗示的整合而選擇後續行為所做的決定方法,此一行為邏輯,或 「暗示-選擇」的意義模式,所決定的。 若以上有關社會互動之描述是合適的,則數學教學可視為促使學生在有關量、 輪廓和群體等數學問題限制下,建構出有效之解題活動類型底師生「暗示-選擇」行 為序列。特別強調的是,數學教室亦可視為是一信號飛舞之場所,個體所處的情境 中有源自他人的各種信號,「暗示的整合」是指其中ㄧ些被個體所注意的信號經個體 綜合解讀成特定情境暗示,個體會對整合後的「暗示」加以權衡進而從眾多合宜的 行為中選擇回應。 總之,就根本建構主義而言,由於強調知識的相對性,個案教師本身的「同分 母分數加減問題」的教學概念與研究者由觀察得到的教師教學實踐活動所抽象而得 的教學概念會有所差異;不可能相同,最多僅可能達到相容。由於強調知識的演化 性,教學概念本質為研究者的一項概念,概念會因研究者經驗的不同而有所差異。 所以,研究者所建構的「一位數學教師的教學概念」只是一個在研究者自身經驗群 中仍能存活的(viability)模型,而不是永恆的真理。就基模理論而言,von Glasersfeld 對基模的操作性定義有助於具體化個案教師教學模型,但概念水平上

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仍會有內在質量上的差異。所以在主張個案教師具有何種教學概念的基模時,研究 者只能從個案教師進行教學實踐時的外顯行為來推論其內在思考的歷程;當然研究 者的主張必須能存活過所有教學實踐活動中相關例證的考驗,務期做到最佳的一致 解釋。就Maturana的理論而言,由於將「暗示-選擇」視為彼此行為鍵結的方式, 故個案教師與學生互動的類型源自於他們彼此間「暗示-選擇」鍵結序列的重複發 生。

第二節 國小數學教學的教學概念

本研究主要在分析國小數學教學。因此本節先陳述理想的數學教學概念,再針 對64年版課程標準、82年國民小學數學課程標準、九年一貫課程綱要數學領域教學 觀點進行分析討論。 一 一一 一、、、理想的數學教學概念、理想的數學教學概念理想的數學教學概念理想的數學教學概念 本研究所指的數學教學概念是當數學教師面對特定單元的教學時,心中所浮現 關於數學內容與教學方法的思維。這裡的數學內容指的是教學標的的數學知識、以 及與之相關的其他數學知識,而教學方法指的是運用有效的教學技巧,讓學生學得 教學標的的數學知識。這樣的思維也涉及了教師有關價值判斷與取捨的問題,例如 這個單元學生該學會什麼?學多少?選擇何種教學方式比較妥當?用哪些歷程協助 學生建立基模(schema)等。 所以,教學概念應是一種以知識為基礎,有目標與特定意圖的智力行動,必須 依照所要教的單元、學習者、學習環境、學習脈絡而調整。而它涉及了學科內容知 識、課程知識、一般教學法知識、學科教學知識、學生學習的知識、教育環境脈絡 知識及教育的目標與價值等的知能。例如教師在教同分母分數加減單元時,必須重 新審視同分母分數加減的知識,了解學生是否已具備足夠的先備知識,選擇適合的

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教學方式,選擇適當的教學步驟等,這些便整合出一位教師的分數教學概念。不同 的人會有不同的知識,例如有些數學教師利用實務操作的方式,引導學生了解同分 母分數加減;也有一些教師直接介紹分數加減的格式,讓學生在反覆練習中體會同 分母分數加減的算法。 所 謂 理 想 的 教 學 教 學 行 為 , 是 指 『 可 專 業 申 復 的 』( professional defensible,NCTM,1998)數學教學行為,『可專業申復的』在此是指,進行教學決策 (無論是意識層面的或是下意識層面的),所做的決策是以專業理論或證據作為決策 的依據。從而,在被質疑時,教師能以所依據的理論或證據主張(或申復)他的行 為應為合理的專業教學行為。 由是,所謂理想的數學教學實踐,則是指『具專業反思性的』(professional reflective)數學教學實踐。『具專業反思性的』是指數學的教學實踐(無論是數學 的教學實踐過程或是數學教學實踐所導致的結果),是能被進行教學的教學者自己, 從專業的觀點描述、分析以及評鑑是否『可專業申復的』。從而,教師能以所依據的 理論或證據主張,繼續堅持或研發改善自己隨後的教學行為。 與數學教學行為不同的,數學教學實踐(teaching-learning practice)是由 師生所共同著作(co-authored)的歷史事蹟。相同的,好的數學教學行為在遭遇不 同的學生團體時,未必有相同的教學實踐。舉例來說,同樣的教師佈題活動,未必 能觸發(trigger)不同的學生有相同的學習進展。僅僅訴諸單一數學教學行為所具備 的『可專業申復的』特性,而不設法因應學生的多元性質,從而調整、拓展尋求或 開發其他可引致更好教學實踐成果的好的數學教學行為,是缺乏『教學熱忱』,也是 不具『自我專業成長能力』的。 因此,本研究主張理想的國小數學教師為兼具能進行『具專業反思性的』數學 教學實踐,與能表現出『可專業申復的』的數學教學行為,兩項能力的教師。 數學教學概念應以數學教學實踐知識為基礎,所謂的「數學教學實踐知識」,就

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是解決實際數學教學問題的經驗所抽象出來的知識,而數學教學實踐知識的結構可 以以圖2-1來表示(甯自強,1997): 圖2-1 數學教學實踐知識的結構圖 說明:1.實線表示不失真,虛線表示可因解釋而失真。 2. 表知識濾網。 3.課程、教師、兒童為三個獨立的個體。 當教學的目的毫無疑問的是在於縮短兒童舊經驗與教學目的間的差異時,教學 知識的知識本質與教學實踐知識的知識本質卻有必需加以區分的差異。教學知識, 是指教師為達成教學目的,或是解決教學問題時,所有的解題活動類型而言;而教 學實踐知識,則是指解決教學問題時,解題活動類型及其成果的類型。前者是教師 活動的類型,而後者則是教師的活動類型及其成果(兒童的解題活動類型)的類型。 不但是類型的類型,特別的是與兒童數學知識有關的教與學的活動類型。兩者之間

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curriculum)之間一樣是截然不同的,教學實踐知識的正確類比更應是有關實施的課 程與成就的課程間的關係。 在結構方面,由教師的數學教學實踐知識的整體可以析出教師的數學知識,教 師的兒童數學知識,與教師的數學教學知識三種領域。一方面透過數學知識,教師 對課程的教學目的加以解讀成具體教學目的,另方面透過兒童數學的知識,教師對 兒童的舊經驗(解題活動)加以解讀成兒童的解題類型。將具體教學目的與兒童的解 題類型加以比對,如有差異,則透過數學教學知識進行佈題教學,並檢視兒童的反 應,直至具體教學目的與兒童表現間的差異消失為止。 甯自強(1995)曾對所謂「能勝任愉快底落實實施國民小學數學課程的教師」 的表現進行操作型分析,他認為所謂的「能勝任愉快底落實國民小學數學課程的教 師」必須能進行下列活動: 1.瞭解兒童的數學課程和兒童的數學 2.營造動態的環境, 營造動態的環境的其目的在於: (1)協助教師萃取出兒童的數學的構成要素,從而在環境中佈出意圖教學的數學 問題。 (2)激發兒童自發性的解決地第 1 項中的數學問題,並能進入反省、溝通的解題 歷程。 (3)協助教師評鑑兒童的數學的進展,並據以繼續營造環境,使得兒童的數學課 程得以落實。 3.生產能夠溝通下列事項的報告(文字的及口頭的) (1)兒童的數學的進展。 (2)有關兒童的數學以及促進其進展的洞見及困惑。 (3)進一步為支援課程的實踐所需的需求。

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(4)學習以上三項活動,並使這些活動能更進步 為了凸顯他所認為的「能勝任愉快底落實實施國民小學數學課程的教師」必須 進行之活動的意義,甯自強進一步的由:(1)面對教材、(2)面對兒童、(3)面對 關切人士,與(4)面對自己等四方向,具體的加以說明: 在教師面對教材時,教師要能掌握以下幾件事: 1.掌握意圖教學的數學具體活動內容。 2.掌握意圖教學的數學表徵形式內容。 3.掌握意圖教學的數學活動的序列及成果評鑑內容。 在教師面對兒童時,其實就是在實際教學時,教師要能掌握以下幾件事: 1.掌握兒童的具體數學活動及其成就。 2.鼓勵及尊重兒童的自發性活動。 3.協助促進團體溝通公約的形成及落實。 在教師面對關切的人士時,所謂的關切人士係指校長、主任、家長、督學、教 授等等人士,教師必須能溝通以下事項: 1.溝通兒童的具體成就及進展。 2.溝通教學的困難及心得。 3.溝通進一步所需的援助。 至於教師在面對自己時,教師必須時刻反省自己是否能: 1.尊敬自己是專業人士。 2.釐清自己的成見與知識。 3.了解自己所需的新學習。 我們可以看出操作型的分析強調個體的識知活動,包含兒童的以及教師的,強調對 有關兒童的數學以及促進其進展的洞見及困惑,強調教師反省釐清自己的成見與知 識和所需的新學習。亦即,數學教師對掌握兒童的數學知識並據以佈題,及對激勵

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兒童自發性的解題並能進入反省、溝通的解題歷程等的強調,將使教學活動的進展 由「書的進度」轉向「人的進度」(甯自強,1995)。重點由教師表達的「教」,轉向 以 學 生 自 發 性 的 調 適 (accommodation) 為 基 礎 的 「 教 而 導 之 學 」 (teaching to orienting learning)。而對掌握有關兒童的數學以及促進其進展的洞見及困惑的強 調,將使評量活動成為教師的學習活動,凸顯了「教學相長」並進而使數學教師由 「職業」變成專業。 綜上所述,理想的數學教學概念是以數學教學實踐知識為基礎,而數學教學實 踐知識可以析出教師的數學知識,教師的兒童數學知識,與教師的數學教學知識三 種領域。透過數學知識,教師對課程的教學目的解讀成具體教學目的;透過兒童數 學的知識,教師對兒童的舊經驗(解題活動)解讀成兒童的解題類型;透過數學教學 知識進行佈題教學,將具體教學目的與兒童的解題類型間的差異消失。若以本研究 的範圍來看,教師的數學教學概念,則應具體顯現於下列諸要點的掌握上:1. 掌握 意圖教學的數學具體活動。2. 掌握意圖教學的數學表徵形式。3. 掌握意圖教學的 數學活動的序列及成果評鑑內容。4. 掌握兒童的具體數學活動及其成就。5.鼓勵及 尊重兒童的自發性活動。6.協助促進團體溝通公約的形成及落實。 在實際應用上,教師能對他編教材加以評鑑調整後切合教學目標的需求成為自 己的教材,以清晰簡明的方式佈題,,應與掌握意圖教學的數學具體活動及表徵形 式有關。 而掌握意圖教學的數學活動的序列及成果評鑑內容,即在實際應用上,教師能 設計或引用類題來增強主要問題的效果;掌握適當的時機或題材,進行教學深究及 掌控有效的教學時間並能指定作業或練習,增強主要問題的學習效果。 至於掌握兒童的具體數學活動及其成就方面,在實際應用上,教師在主要問題 佈題前,能先檢查學生解題所需之先備經驗,積極協助學生了解題意,在學生解題 困難時提供協助,並對學生解題成果加以檢討。

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鼓勵及尊重兒童的自發性活動,教師在實際應用上,應促使學生對學習活動進 行反思,給予不同程度學生都有成功的機會,並分別給以適當協助積極給予讚美鼓 勵。 有關協助促進團體溝通公約的形成及落實,在實際應用上,教師應建立與維護 師生數學討論的公約。 二、國小數學課程主張的教學概念內容 理想的數學概念,是由學者專家們鼓吹主張的,在實際教學時,學者專家的主 張必須和法令規章的主張一致,在教室中的教師,才能有所依據,進而在實際教學 中實施。本節則進一步深究,我國法令規章所規範的教學概念內容。 我國數學教學並無實際單行的法律規定,只有在課程標準上有所規範,課程標 準從民國 64 年修訂之後,到民國 82 年才再一次修訂,而為因應社會變遷,推行了 九年一貫的改革。以下參考國內 6 4 年版課程標準(p143~p145),82 年版課程標準 (p116~p117),九年一貫暫綱(p205~p206),九年ㄧ貫正綱(p44~p46)的數學教學 方法的主張,依據教師數學教學概念 6 個要點來釐清課程標準的深入程度,可整理 成以下表 2-1~表 2-6: (一)應掌握的數學具體活動上,上述文獻的數學教學方法的主張如下表 2-1: 表 2-1 應掌握的數學具體活動上國小數學課程的主張 64 年 版 10 應當由具體事物、半具體事物的對證入手,引導到抽象思考的方法。先用歸納法 進行,然後用演繹法推求。 15.數學教學應當充分和別的學科及各項活動連絡教學。 17.配合教學活動,講述生活故事及古人發現數學原理等的故事… 19…教學時,教師可選擇適合當地環境、兒童實際生活和有興趣的題材做為教材; 對於練習題或解題等,亦應做適當的選擇與補充。 1 應 掌 握 數 學 具 體 活 82 年 版 7.…,配合當地環境和兒童的實際生活,選擇適當而有趣的題材做為教材。 10.數學教學應以兒童的直觀經驗為素材,經過逐步數學化的過程,來促進兒童建構 有關的知識…。

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九 年 一 貫 暫綱 1…教師應明瞭教材的內容與目標,並布置適當的學習環境,以利於教學。 2…採用具體操作、實測、實驗、作圖、觀察、討論、發表、問答…等方式進行。教 師不宜僅用講述的方式進行。 3…教師可提供現實生活問題或開放性問題,激發學生不同的想法… 6.數學教學注重形與數量的聯繫,讓學生在實測與直觀中,獲得數、量、形的概念, 並逐步適度地抽象化,進而體會數學的樣式。 7.數學教學應以學生的直觀經驗為基礎,經過逐步數學化過程的引導,促使學生建 立相關知識。… 動 內 容 。 九 年 ㄧ 貫 正綱 1. …教師應依據能力指標及其詮釋,規劃課程、教案或依照教科書進行教學。教材 選取應配合地方生活環境和學生實際生活,選擇適當而有趣的題材,…。 2…教師仍然可以依自己的經驗,先作部分的跨階段或跨年的前置處理,或作後續的 補強教學。 4…,採用教師本身覺得恰當或擅於處理的教學法,順暢地進行教學。 5.教學活動的設計應注重不同階段的學習型態,並與教學目標配合。 6.數學教學應注重數、量、形的聯繫,讓學生在實作、實測與直覺中,獲得數、量、 形及其相互關係的概念,並逐步抽象化與程序化成為精鍊有效的數學語言,再經 由反思、論證、練習與解題,讓學生逐步穩定掌握其概念,作為進一步學習的基 礎。 7.教學過程可透過引導、啟發或教導,使學生能在具體的問題情境中,順利以所學 的數學知識為基礎,形成解決問題所需的新數學概念,並有策略地選擇正確又有 效率的解題程序。教師可提供有啟發性的問題、關鍵性的問題、現實生活的應用 問題,激發學生不同的想法。但應避免空洞的或無意義的開放式問題,也避免預 設或過早提出解題方式和結果。 從上面各綱要版本的數學教學方法的主張,在教師應掌握數學具體活動內容上 看來,各版本都主張教師應明瞭教材內容與目標,選擇適當而有趣的題材作為教材, 採用適當的教學法進行教學。在此,理論和法則可說是不謀而合的。 而在實際應用上,教師能對他編教材加以評鑑調整後,切合教學目標的需求, 成為使用的教材,應是與掌握數學具體活動內容有關。 (二)應掌握的數學表徵形式內容上,各版本的數學教學方法的主張如下表 2-2: 表 2-2 掌握的數學表徵形式內容上國小數學課程的主張 2 應 掌 握 數 學 64 年 版 6…充分運用具體的教材、視聽教具及社會資源…。 10.應當由具體事物、半具體事物的對證入手,引導到抽象思考的方法。先用歸納法 進行,然後用演繹法推求。 15.數學教學應當充分和別的學科及各項活動連絡教學。 16.依據教學內容,設計適當的遊戲活動,使學習寓於遊戲,… 17.配合教學活動,講述生活故事及古人發現數學原理等的故事… 19…教學時,教師可選擇適合當地環境、兒童實際生活和有興趣的題材做為教材;…

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82 年 版 7.教師可依教科書所規範的單元教學目標,配合當地環境和兒童的實際生活,選擇 適當而有趣的題材做為教材。 9.教師應透過對教學情境的調整,使兒童將具體操作的活動與形式的數學運作相互 聯結,藉以瞭解抽象的數學內容與運算法則的意義。 10.數學教學應以兒童的直觀經驗為素材,經過逐步數學化的過程,來促進兒童建構 有關的知識,… 九 年 一 貫 暫綱 1.教材選取應依照教學目標,配合地方生活環境和兒童實際生活,選擇適當而有趣 的題材。教師應明瞭教材的內容與目標,並布置適當的學習環境,以利於教學。 2…採用具體操作、實測、實驗、作圖、觀察、討論、發表、問答…等方式進行… 3.教學過程透過引導與啟發,使學生能在問題情境中,形成解決問題所需的數學概 念、過程、技能和態度… 6.數學教學注重形與數量的聯繫,讓學生在實測與直觀中,獲得數、量、形的概念, 並逐步適度地抽象化,進而體會數學的樣式。 7.數學教學應以學生的直觀經驗為基礎,經過逐步數學化過程的引導,促使學生建 立相關知識… 表 徵 形 式 內 容 。 九 年 ㄧ 貫 正綱 4…希望教師能依學生的年齡、前置經驗、授課主題特性與教學現場的狀況,因時制 宜,採用教師本身覺得恰當或擅於處理的教學法,順暢地進行教學。 5.教學活動的設計應注重不同階段的學習型態,並與教學目標配合。 6.數學教學應注重數、量、形的聯繫,讓學生在實作、實測與直覺中,獲得數、量、 形及其相互關係的概念,並逐步抽象化與程序化成為精鍊有效的數學語言,再經 由反思、論證、練習與解題,讓學生逐步穩定掌握其概念,作為進一步學習的基 礎。 7.教學過程可透過引導、啟發或教導,使學生能在具體的問題情境中,順利以所學 的數學知識為基礎,形成解決問題所需的新數學概念,並有策略地選擇正確又有 效率的解題程序。… 9.當學生學習數學時,在生活應用解題與抽象形式能力兩課題間,必須來回往復地 相互加強,才能真正順利地發展數學能力,… 10…教師不宜負面地將學生的錯誤皆視為犯錯,而應考察學生發生問題的根源(語 言未溝通、肆意擴張約定、推理的謬誤等),並針對問題協助學生。… 11.要學好數學,仰賴學生在各課題的學習,最後都能收斂連結為對數學的整體感或 直覺,以作為下一個課題學習的基礎。整體感的自信,相當依賴於學生對於相關 程序(計算方式、解題方式等)的熟練,… 從上面各綱要版本的數學教學方法的主張,在教師應掌握數學表徵形式內容上 看來,各版本都主張應當由具體事物入手,使兒童能將具體操作活動與形式數學運 作相互連結,如此才能順利發展數學能力。即,理論和法則相去不遠的。 而在實際應用上,教師能清晰簡明的佈題,應是與應掌握數學表徵形式內容有 關。 (三)應掌握教學的數學活動的序列及成果評鑑內容上,各版本的數學教學方法的 主張如下表 2-3:

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表 2-3 應掌握教學的數學活動的序列及成果評鑑內容上國小數學課程的主張 64 年 版 1…應衡量各單元教材的輕重、難易,妥為分配教學時間,編定教學進度。 3.應明瞭各單元教材地位,充分利用舊有經驗,把握教學重點,注意由未成熟到成 熟的正當程序。 8.應研究教材中兒童容易錯的部分及其原因,設法預防錯誤的發生,… 10.應當由具體事物、半具體事務的對證入手,引導到抽象思考的方法。… 13…a.作業內容應配合教學目標,教材性質及兒童能力,精選較重要具有代表性的… b 作業分量及難度,應以大多數中等程度的兒童為標準外,應考慮程度較高及較 低的兒童之需要…c 作業方式應力求變化,作業項數應多,時間宜短。 18.定期或不定期舉辦有關活動…,以提高兒童學習興趣及能力… 19…教學時,教師可選擇適合當地環境、兒童實際生活和有興趣的題材做為教材; 對於練習題或解題等,亦應做適當的選擇與補充。 82 年 版 1…數學的教學應提供兒童觀察、操作、思考、討論的機會並由此進一步歸納、驗證 數學知識。 2.教師應提出開放性的數學問題,引發兒童各種不同的想法,並對這些想法做進一 步的追問與澄清,促使兒童進行深層思考… 6.教師應明瞭個單元教材地位、教材重點,把握教學目標… 8.教師應檢驗兒童學習新單元時的既有經驗與知識,必要時進行補強,對於新單元 內兒童容易錯的部分,應探討其形成原因,進行診斷教學。 10.數學教學應以兒童的直觀經驗為素材,經過逐步數學化的過程,來促進兒童建構 有關的知識,… 3 教 學 的 數 學 活 動 的 序 列 及 成 果 評 鑑 內 容 九 年 一 貫 暫綱 1…教師應明瞭教材的內容與目標,並布置適當的學習環境,以利於教學。 3.教學過程透過引導與啟發,使學生能在問題情境中,形成解決問題所需的數學概 念、過程、技能和態度。… 6.數學教學注重形與數量的聯繫,讓學生在實測與直觀中,獲得數、量、形的概念, 並逐步適度地抽象化,進而體會數學的樣式。 9.數學教學前應檢驗學生既有的經驗與知識,並適時補強;教學中應探討學生容易 犯錯的原因,並進行診斷。

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九 年 ㄧ 貫 正綱 1. 課程綱要能力指標的訂定,以該階段或分年結束時,學生應具備的數學能力為考 量。教師應依據能力指標及其詮釋,規劃課程、教案或依照教科書進行教學。… 2.能力指標…應以條目內容為重點,發展並完成…教師仍然可以依自己的經驗,先 作部分的跨階段或跨年的前置處理,或作後續的補強教學。 3.教師教學應以學生為主體,以學生的數學能力發展為考量。…並應透過教學的評 量,分析學生的學習問題,做適當的診斷、導引與解決。 5.教學活動的設計應注重不同階段的學習型態,並與教學目標配合。 6.數學教學應注重數、量、形的聯繫,讓學生在實作、實測與直覺中,獲得數、量、 形及其相互關係的概念,並逐步抽象化與程序化成為精鍊有效的數學語言,再經 由反思、論證、練習與解題,讓學生逐步穩定掌握其概念,作為進一步學習的基 礎。 7.教學過程可透過引導、啟發或教導,使學生能在具體的問題情境中,順利以所學 的數學知識為基礎,形成解決問題所需的新數學概念,並有策略地選擇正確又有 效率的解題程序。… 10…教師不宜負面地將學生的錯誤皆視為犯錯,而應考察學生發生問題的根源(語 言未溝通、肆意擴張約定、推理的謬誤等),並針對問題協助學生…宜提供充足的 時間,鼓勵學生說明其理由與想法,肯定其正確的巧思,或用關鍵的例子,釐清 其錯誤。 11…整體感的自信,相當依賴於學生對於相關程序(計算方式、解題方式等)的熟 練,而這種熟練,則需要教師能給予學生有啟發性的練習… 12.教師應對學生強調驗算的重要性。這能讓學生理解各運算之內在關係,發展對問 題解答之不同檢查策略,進而理解問題中各數學表徵的關係。… 從上面各綱要版本的數學教學方法的主張,在應掌握教學的數學活動的序列及 成果評鑑內容上看來,64 年版只提出應研究教材中兒童容易錯的部份及其原因,設 法預防錯誤的發生,而 82 年版、九年一貫暫綱、九年ㄧ貫正綱都進一步認為應探討 學生容易出錯的原因,做適當的診斷、引導與解決。不管如何,理論和法則大致上 是一致的。 至於實際應用上,掌握意圖教學的數學活動的序列及成果評鑑內容,應與教師 引用或設計類題來增強主要問題的效果;掌握適當的時機或題材進行教學深究;掌 控有效的教學時間及指定作業或練習以增強主要問題的學習效果有關。 (四)應掌握兒童的具體數學活動及其成就上,各版本的數學教學方法的主張如下 表 2-4: 表 2-4 應掌握兒童的具體數學活動及其成就上國小數學課程的主張

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64 年 版 2.應顧及各年級兒童心智的發展,參照學習經驗與能力方面的差異,設計合理有效 的教學活動。 3.應明瞭各單元教材地位,充分利用舊有經驗,把握教學重點,注意由未成熟到成 熟的正當程序。 4.教學之前,必須輔導兒童有適當的學習準備…。 5.應當運用兒童實際生活動境做為教學的起點,讓兒童明瞭該教材的實用情形,以 引起其學習需要感及學習興趣。 8.應研究教材中兒童容易錯的部分及其原因,設法預防錯誤的發生,幫助兒童由於 連續的成功,得到自信與興趣。 9.每次教學時,不應加以演示或說明,應當多給兒童思考、嘗試、談論、假設、求 證、發現、發表等機會,並注意培養自行解決問題的習慣和能力。 11.應經常鼓勵兒童發問,…用啟發性問題,以誘導其思考推理,完成其心智活動。 12.應隨時運用診斷技術,發現不同程度兒童間的差異,瞭解學習的困難,及成績較 差之範圍、原因,設法補救。 13…a.作業內容應配合教學目標,教材性質及兒童能力…;b 作業分量及難度,應 以大多數中等程度的兒童為標準外,應考慮程度較高及較低的兒童之需要…c 作 業方式應力求變化,作業項數應多,時間宜短。 14 數學教學..包括兒童在教室內學習,..兒童在教室外,於教師輔導下,從事有關 數、量、形等各方面的活動。 82 年 版 1…數學的教學應提供兒童觀察、操作、思考、討論的機會並由此進一步歸納、驗證 數學知識。 2.教師應提出開放性的數學問題,引發兒童各種不同的想法,並對這些想法做進一 步的追問與澄清,促使兒童進行深層思考,以解決問題。 3.教師對討論的問題,不宜預涉解題過程和答案,要鼓勵兒童勇於發表意見,對所 提出的不同想法,應給予肯定並加以處理。 8.教師應檢驗兒童學習新單元時的既有經驗與知識,必要時進行補強,對於新單元 內兒童容易錯的部分,應探討其形成原因,進行診斷教學。 9.教師應透過對教學情境的調整,使兒童將具體操作的活動與形式的數學運作相互 聯結… 4 兒 童 的 具 體 數 學 活 動 及 其 成 就 九 年 一 貫 暫綱 4.數學教學應協助學生體驗生活情境與數學的連結過程,培養學生能從數學的觀點 考察周遭事物的習慣,提高應用數學的能力。 7.數學教學應以學生的直觀經驗為基礎,經過逐步數學化過程的引導,促使學生建 立相關知識… 8.數學教學應提供充足的時間,讓學生相互合作與討論,並鼓勵學生發表,肯定其 個人想法,進而培養其欣賞他人想法的態度。 9.數學教學前應檢驗學生既有的經驗與知識,並適時補強;教學中應探討學生容易 犯錯的原因,並進行診斷。 10.數學教學著重學生概念的瞭解與能力的培養,應避免強調零碎知識的記憶與背 誦。 11.數學教學應依學生個別差異設計教學活動,鼓勵學生主動參與,培養完整的學習 成就感,並啟發其學習與研究數學的興趣。 12.數學學習遲緩的學生,宜施行補救教學與心理輔導…;資賦優異學生,宜施行補 充教學與個別指導…

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九 年 ㄧ 貫 正綱 1. …教師應依據能力指標及其詮釋,規劃課程、教案或依照教科書進行教學。教材 選取應配合地方生活環境和學生實際生活,選擇適當而有趣的題材,並布置適當 的學習環境,以利於教學。 2…但是基於學習的需求,教師仍然可以依自己的經驗,先作部分的跨階段或跨年的 前置處理,或作後續的補強教學。 3.教師教學應以學生為主體,以學生的數學能力發展為考量。數學學習節奏之疏熟 快慢,…因人而異。…並應透過教學的評量,分析學生的學習問題,做適當的診 斷、導引與解決。 7.教學過程可透過引導、啟發或教導,使學生能在具體的問題情境中,順利以所學 的數學知識為基礎,形成解決問題所需的新數學概念,並有策略地選擇正確又有 效率的解題程序… 8.教師應協助學生體驗生活情境與數學的連結過程,培養學生能以數學的觀點考察 周遭事物的習慣,並培養學生觀察問題中的數學意涵、特性與關係,養成以數學 的方式,將問題表徵為數學問題再加以解決的習慣,… 9.當學生學習數學時,在生活應用解題與抽象形式能力兩課題間,必須來回往復地 相互加強,才能真正順利地發展數學能力… 10…教學時,宜提供充足的時間,鼓勵學生說明其理由與想法,肯定其正確的巧思, 或用關鍵的例子,釐清其錯誤。 11…整體感的自信,相當依賴於學生對於相關程序(計算方式、解題方式等)的熟 練,而這種熟練,則需要教師能給予學生有啟發性的練習,讓學生從各種練習中, 沈澱自己新學的概念,並能夠與原先的數學知識相連結。 12.教師應對學生強調驗算的重要性。這能讓學生理解各運算之內在關係,發展對問 題解答之不同檢查策略,進而理解問題中各數學表徵的關係… 13.為了貫徹將每一位學生帶上來的目標,教師在教學時,應儘量以全體學生學好數 學為目標,依據對學生的評量,因材施教。… 從上面各綱要版本的數學教學方法的主張,在應掌握兒童的具體數學活動上看 來,各版本皆主張應顧及兒童心智發展,引發兒童不同的想法,給予鼓勵及肯定。 我們可看出學者理論和法則大致上是一致的。 而在實際應用上,在掌握兒童的具體數學活動及其成就方面,應與教師在主要 問題佈題前,能先檢查學生解題所需之先備經驗,並積極協助學生了解題意,在學 生解題困難時提供協助,且能對學生解題成果加以檢討有關。 (五)鼓勵及尊重兒童的自發性活動上,各版本的數學教學方法的主張如下表 2-5: 表 2-5 鼓勵及尊重兒童的自發性活動上國小數學課程的主張

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64 年 版 4.教學之前,必須輔導兒童有事當的學習準備… 5.應當運用兒童實際生活動境做為教學的起點,讓兒童明瞭該教材的實用情形,以 引起其學習需要感及學習興趣。 7.應給兒童較多的機會,參與學習活動的設計與選擇,從事創造性的活動,… 9.每次教學時,不應加以演示或說明,應當多給兒童思考、嘗試、談論、假設、求 證、發現、發表等機會,並注意培養自行解決問題的習慣和能力。 11.應經常鼓勵兒童發問,並視其資質、程度,斟酌回答的詳略,或提示要點或用啟 發性問題,以誘導其思考推理,完成其心智活動。 13…a.作業內容應配合教學目標,教材性質及兒童能力,精選較重要具有代表性的, 能激發思考、創造的,能引發興趣的;b 作業分量及難度,應以大多數中等程度 的兒童為標準外,應考慮程度較高及較低的兒童之需要…c 作業方式應力求變化, 作業項數應多,時間宜短。 82 年 版 1.數學的概念與技能,必須由兒童自行建構無法由教師灌輸而獲得,因此數學的教 學應提供兒童觀察、操作、思考、討論的機會並由此進一步歸納、驗證數學知識。 2.教師應提出開放性的數學問題,引發兒童各種不同的想法,並對這些想法做進一 步的追問與澄清,促使兒童進行深層思考,以解決問題。 3.教師對討論的問題,不宜預涉解題過程和答案,要鼓勵兒童勇於發表意見,對所 提出的不同想法,應給予肯定並加以處理。 5.教師應給予足夠的學習時間,讓兒童進行觀察、討論、操作、思考及表達想法。 5 鼓 勵 及 尊 重 兒 童 的 自 發 性 活 動 九 年 一 貫 暫綱 3.教學過程透過引導與啟發,使學生能在問題情境中,形成解決問題所需的數學概 念、過程、技能和態度… 4.數學教學應協助學生體驗生活情境與數學的連結過程… 5.數學教學應培養數學生以數學語言或方法分析批判周遭事物的精神。 7.數學教學應以學生的直觀經驗為基礎,經過逐步數學化過程的引導,促使學生建 立相關知識… 8.數學教學應提供充足的時間,讓學生相互合作與討論,並鼓勵學生發表,肯定其 個人想法,進而培養其欣賞他人想法的態度。 11.數學教學應依學生個別差異設計教學活動,鼓勵學生主動參與,培養完整的學習 成就感,並啟發其學習與研究數學的興趣。 12.數學學習遲緩的學生,宜施行補救教學與心理輔導…資賦優異學生,宜施行補充 教學與個別指導…

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九 年 ㄧ 貫 正綱 7.教學過程可透過引導、啟發或教導,使學生能在具體的問題情境中,順利以所學 的數學知識為基礎,形成解決問題所需的新數學概念,並有策略地選擇正確又有 效率的解題程序。… 8.教師應協助學生體驗生活情境與數學的連結過程,培養學生能以數學的觀點考察 周遭事物的習慣,… 9.當學生學習數學時,在生活應用解題與抽象形式能力兩課題間,必須來回往復地 相互加強,才能真正順利地發展數學能力,… 10…應考察學生發生問題的根源(語言未溝通、肆意擴張約定、推理的謬誤等),並 針對問題協助學生。因此教學時,宜提供充足的時間,鼓勵學生說明其理由與想 法,肯定其正確的巧思,或用關鍵的例子,釐清其錯誤。 11…整體感的自信,相當依賴於學生對於相關程序(計算方式、解題方式等)的熟 練,而這種熟練,則需要教師能給予學生有啟發性的練習,讓學生從各種練習中, 沈澱自己新學的概念,並能夠與原先的數學知識相連結。 12…在驗算有問題時,透過懷疑、檢查、判斷的過程,更能強化學生對數學確定性 與內在連結的認識。驗算習慣的養成,也能讓學生更專心與自信。 13.為了貫徹將每一位學生帶上來的目標,教師在教學時,應儘量以全體學生學好數 學為目標,依據對學生的評量,因材施教。… 從上面各綱要版本的數學教學方法的主張,在應掌握兒童的具體數學活動及其 成就上看來,各個版本皆主張應給予兒童較多的機會參與活動的設計與選擇從事創 作性活動,教學時應提供充足的時間,多給兒童思考,鼓勵兒童說明其理由與想法。 由此可知,理論和法則大致上是一致的。 然而在實際應用上,鼓勵及尊重兒童的自發性活動,應與教師給予不同程度學 生都有成功的機會,促使學生進行反思並分別給以適當協助積極給予讚美鼓勵有關。 (六)協助促進團體溝通公約的形成及落實上,各版本的數學教學方法的主張如下 表 2-6: 表 2-6 協助促進團體溝通公約的形成及落實上國小數學課程的主張 64 年 版 9.每次教學時,不應加以演示或說明,應當多給兒童思考、嘗試、談論、假設、求 證、發現、發表等機會,並注意培養自行解決問題的習慣和能力。 6 協 助 促 進 團 體 溝 通 公 82 年 版 1.數學的概念與技能,必須由兒童自行建構無法由教師灌輸而獲得,因此數學的教 學應提供兒童觀察、操作、思考、討論的機會並由此進一步歸納、驗證數學知識。 3.教師對討論的問題,不宜預涉解題過程和答案,要鼓勵兒童勇於發表意見,對所 提出的不同想法,應給予肯定並加以處理。 4.為了使每位兒童有充分參與討論、發表意見的機會,教師可考慮將四至六人編為 一合作學習小組。 5.教師應給予足夠的學習時間,讓兒童進行觀察、討論、操作、思考及表達想法。

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九 年 一 貫 暫綱 8.數學教學應提供充足的時間,讓學生相互合作與討論,並鼓勵學生發表,肯定其 個人想法,進而培養其欣賞他人想法的態度。 公 約 的 形 成 及 落 實 九 年 ㄧ 貫 正綱 從上面各綱要版本的數學教學方法的主張,在協助促進團體溝通公約的形成及 落實上看來,64 年版只提到應給予兒童「談論」的機會,而 82 年版及九年一貫暫 綱皆主張應讓學生相互合作討論,鼓勵兒童發表,但在九年ㄧ貫正綱卻未能見到相 關的主張。在此部分,我們可以看出理論和法則並非完全是一致的。 而在實際應用上,有關協助促進團體溝通公約的形成及落實,應與教師建立與 維護師生數學討論的公約有關。 綜上所述,國內各個版本的數學教學概念內容上,依據教師數學教學概念 6 個 要點來釐清,我們可以發現理想的數學教學概念在掌握意圖教學的數學具體活動、 掌握意圖教學的數學表徵形式、掌握意圖教學的數學活動的序列及成果評鑑內容、 掌握兒童的具體數學活動及其成就及鼓勵及尊重兒童的自發性活動上和法令規章的 主張大致是一致的,但在協助促進團體溝通公約的形成及落實上,九年一貫正綱未 能見到相關的主張。然而,九年一貫正綱是當前國家數學教育的依據,在數學教學 上,少了溝通公約的形成與落實,如何能培養現代國民所需的「表達、溝通和分享」 基本能力呢?值得我們深思。

第三節 分數教學的相關研究

學者的鼓吹理想,法令的條文規範等,僅是期望與企圖目標,身在教室中的教 師無法避免情境內的變因影響,有的源自於自身的信念與學識,有的源自於管理階 層,受教學生及教師所在的地域等,環境中推擠或干擾,實務總是和期望有所差異。 目前所累積有關實務層面的分數教學實踐研究文獻,並不多見,但仍可加以探討,

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藉以了解教學實踐的現狀,以及現狀與理想、期望間的差距。 ㄧ般來說,對於意圖教學的數學具體活動與數學表徵形式,大多的研究並未加 以區分,僅以籠統的教師的數學知識加以概括。所以本部分試圖從(1)掌握意圖教 學的數學知識、(2)掌握意圖教學的數學活動的序列及成果評鑑內容、(3)掌握兒 童的具體數學活動及其成就、(4)鼓勵及尊重兒童的自發性活動及(5)協助促進團 體溝通公約的形成及落實等教師數學教學概念5個要點,來對相關歷年來國內有關分 數教學的實徵研究進行回顧,以了解過去對分數教學研究的趨勢,以及其在本研究 上的意義。茲依次說明。 (1)掌握意圖教學的數學知識 在意圖掌握教學的數學知識方面,可以以呂玉琴(1994)、柯藍婷(2004)及孫 德蘭(2006)等人作為代表。 呂玉琴(1994)探討國小教師分數教學之相關知識研究,研究結果顯示對分數 知識有較佳了解的國小教師約占33﹪,這一類教師較有能力根據學生的不同解題行 為,調整其教學活動;較有能力提供適當的教學活動,以辨別分數相關概念之間的 異同之處,並正確的建立分數相關概念彼此之間適當的關係,使分數相關概念能融 合成一個知識的整體;較有能力提供較易了解的教學活動,以說明數學規則的成立。 亦即:教師較有能力設計適當的教學活動,來發展學生的分數概念。當國小教師對 分數知識的了解較差,那麼,這些教師在設計教學活動時,將大大的降低提供培養 學生對單位量概念具有彈性思考、能以數學概念意義作分數的關聯、能對有限個數 學個案作歸納,將想法一般化並以文字描述的能力及能用較佳的方法約估分數值的 機會。這些教師所教出來的學生,也就較無法具有上述分數知識。 柯藍婷(2004)探討數學專業成長團體中一位五年級教師的分數專業知識,其 研究結果發現:教師參與數學專業成長團體對於分數知識方面,教師能以數學概念

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分析教材、具有豐富的教材知識、有能力設計適合學生學習發展的教學活動,以及 能幫助教師把教材調整至適合學生的學習發展。 孫德蘭(2006)探討國小教師對數學教科書文本的理解,以質的研究法針對三 位國小五年級教師進行訪談與教學觀察,其研究發現教師對數學教科書文本的關注 集中於課本,其次是教師手冊,再其次為教科書文本對學生的影響,最不關注的焦 點為習作,且解讀程序是先解讀課本再解讀教師手冊。而教師能從解讀課本中理解 分數乘法數學結構的安排,對於認知結構的安排無法察覺。對於教科書單元名稱明 顯的解讀,比單元名稱不明顯較能掌握教學重點。教師以實務經驗解讀教科書文本, 缺乏學理上的判斷,且花在解讀教科書文本的時間非常的短。 分析目前相關教師分數教學知識研究發現,當前對分數知識有較佳了解的國小 數學教師只佔33%,且教師多以實務經驗解讀教科書文本,缺乏學理上的判斷,且教 師使用在解讀教科書文本的時間非常短,但眾所周知的,以實務經驗解讀教科書文 本,只能累積過去,不易擴展,無法剔除教科書上可能錯誤,同時使用在解讀教科 書文本的時間既短,導致不易深入理解教科書上的說明,在在使教師對分數知識掌 握越趨貧乏。 在實際教學上,教師掌握意圖教學的數學知識不足,將會影響教學實踐的佈題 及主要問題,更影響其在面對他編教材所設計的教學佈題的評估能力。這些將會大 大影響學生分數知識的學習,實在不容忽視。 (2)掌握意圖教學的數學活動的序列及成果評鑑內容 在 意 圖 掌 握 教 學 的 數 學 活 動 的 序 列 及 成 果 評 鑑 內 容 方 面 , 可 以 以 呂 玉 琴 (1994)、柯藍婷(2004)、孫德蘭(2006)、吳美花(2006)、罕驕蘭(2005)、陳姿 靜(2004),及鄭崑瑜(2004)等人作為代表。 呂玉琴(1994)探討國小教師分數教學之相關知識研究,研究結果顯示對分數

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教學知識有較佳了解的國小教師約占 13﹪~30﹪,這一類教師的表現:教師的分數 教學序列與學生的分數學習序列相一致;具有診斷教學的概念;使用診斷教學法糾 正學生的錯誤分數概念;以關係性教學法來教分數除法;能分辨教具操作與演算法 的程序差異。對分數教學知識非常不了解的國小教師的表現是:無法具體提出決定 分數教學序列的理由;認為教學活動的安排,應先教容易的問題,或避免引出錯誤 概念的問題;使用不當的知識來糾正學生的錯誤概念;使用錯誤的數學知識來教分 數除法。 柯藍婷(2004)透過參與數學專業成長團體,研究結果發現有能力設計適合學 生學習發展的教學活動,能幫助教師把教材調整至適合學生的學習發展型;教師的 分數教學知識方面,教師佈題的特色著重於學生學習的部份、教師的教學問話是激 發和培養學生各方面能力的最佳教學策略、教師利用教學問話引導學生學習分數概 念、教師發現學生有學習分數的困難會主動處理學生的問題,以及教師遇到教學瓶 頸會求助於數學專業成長團體。 孫德蘭(2006)研究發現教師的課程決定範圍涵蓋教學目標、教學內容、教學 程序、教學方法、教學時數、習作的使用。多數教師以學科的知識邏輯決定課程順 序與目標,欠缺心理邏輯的考量。教師依據課本內容、教學經驗、數學認知、教學 信念形成其課程決定。是學生作業的表現、學生的反應、教師行動中的反思使三位 教師在課程實施中改變原本的課程決定。 吳美花(2006)研究個人在進行四年級分數教學的行動研究歷程,以及在實踐 教學的過程中所遭遇的困境及解決的方法,進而探究影響教學者改變教學策略的因 素以及教學行動過程中自我反思的歷程。其研究發現教師面對學生學習困難因應的 策略有:(1)教具與表徵的協助。(2)改變佈題型式。(3)呈現學生的做法。(4) 製造認知衝突。(5)利用舊經驗。(6)全班討論溝通。(7)利用教學問話。此外, 研究者在教學歷程中發現,透過佈題可以培養學生量感和多元策略;開放教室,讓

數據

表 2-3 應掌握教學的數學活動的序列及成果評鑑內容上國小數學課程的主張  64 年 版  1…應衡量各單元教材的輕重、難易,妥為分配教學時間,編定教學進度。  3.應明瞭各單元教材地位,充分利用舊有經驗,把握教學重點,注意由未成熟到成 熟的正當程序。  8.應研究教材中兒童容易錯的部分及其原因,設法預防錯誤的發生,…  10.應當由具體事物、半具體事務的對證入手,引導到抽象思考的方法。…  13…a.作業內容應配合教學目標,教材性質及兒童能力,精選較重要具有代表性的… b 作業分量及難度,應以大多數中等程
圖 4-5  圖 4-6  鄭老師詢問各組想吃幾個鳳梨酥,學生們七嘴八舌的說出自己的答案,鄭老師便指定兩位學生,假設他們這一組要吃幾個鳳梨酥,在學生回答出「6 個」「4 個」 後,鄭老師更進一步要他們以分數詞來確定數值,便接著問他們「也可以說是幾盒鳳梨酥?」,而這兩位學生都能成功的以分數詞答出「126盒」、「124盒」。在此可以看出,鄭老師達成被期許的分數數值化的部分。 指名學生數值化桌上原有鳳梨酥的數量指名學生數值化桌上原有鳳梨酥的數量指名學生數值化桌上原有鳳梨酥的數量指名學生數值化桌上原有鳳梨酥的數量
圖 4-7 A2-204 生某:有,我們有!我們男生有… A2-205 師:來現在呢!我用這個紅色的代表一顆蛋(把紅色蛋貼在黑板上) A2-206 某生:好可愛喔(學生笑、七嘴八舌) A2-207 師:假設你去幫你媽媽買蛋,喔 這是一盒蛋(貼成 如圖 4-7) A2-208 某生:十二個那麼少! A2-209 師:這一盒但我要把它平分成五份,每一份可以說是幾盒蛋?你會怎麼分?有沒有人可以來幫我畫一下!當然我們不可能真的切,來!你來幫我畫一下,來,雅生,你來幫我畫一下!我要平分成五份。(雅生走出來)  鄭老師
圖 4-8 鄭老師利用教科書所設計的主要問題佈下「52 盒是幾個雞蛋?」主要讓學生複習分數內容物為多個個物的情境有關量的問題,她指名元生回答,元生回答「兩個!」,可以看出元生對「2 份」和「2 份內的個數」有所混淆。在此,我們可以看出元生與「雞蛋情境包裝盒情境(1)」中原案 48 的廖生一樣,對「幾份」和「幾份內的個數」混淆。 學生出現錯誤答案時教師以圖示具體物引導學生出現錯誤答案時教師以圖示具體物引導學生出現錯誤答案時教師以圖示具體物引導學生出現錯誤答案時教師以圖示具體物引導   鄭老師發現元生「份」、「

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