97 5 四技二專 數學 C 卷解析

共同考科 數學(C)卷 共 2 頁 第 1 頁

九十七學年四技二專第五次聯合模擬考試

共同考科 數學(C)卷 詳解

數學(C)卷 97-5-C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B A B C C C D D B D C C B C D A B A D A D B C A A 1. ∵ f(−1)=0， f(3)=0 所以設y= f(x)=a(x+1)(x−3) 而 f(4)=5⇒a=1 ∴ f(x)=(x+1)(x−3)頂點座標為(1,− 4) 2. y log 5 5 2y 2 log 5 log 2 ⇒ = = = 所以4y =(22)y =(2y)2 =52 =25 3. 由商數關係 θ θ θ cos sin tan = ∴ 2 1 3 2 3 tan sin cos =− − = = θ θ θ

4. sin38°=sin(90°−52°)=cos52°>cos82° b a> ⇒ ，又c=sec12°>1且1>a>b>−1 所以c>a>b 5. 原式 1 4 2 1 16 4 2 2 2 2 2 2 = − ⇒ = − ⇒ x y x y 為雙曲線 取a=2，b=4⇒c2 =a2 +b2 =20 5 2 = ⇒ c 雙曲線的 ○1 正焦弦長2 ₁₆ 2 = a b ○2 _焦點為(±_{2 5,0)} ○3 貫軸長_2a=₄ ○4 _{漸近線為2x}± y =₀ 6. ∵ 2 0<α <π ， 2 0<β <π 因 14 13 sinα = ， 14 11 sinβ = 所以 14 3 3 cosα = ， 14 3 5 cosβ = β α β α β

α ) cos cos sin sin

cos( + = − 2 1 14 11 14 13 14 3 5 14 3 3 − = ⋅ − ⋅ = 而 3 2 2 π β α π β α π _{< + < ⇒ + =} 7. )A(−1,2 為圓 C 的圓心，點P(3,1)在圓 C 上 PQ 是圓的直徑，則 (A) PQ= AP2 =2 (−1−3)2 +(2−1)2 =2 17 (B) A 點為 PQ 的中點所以Q 點的坐標為 ) 3 , 5 (− (C) 圓 C 的方程式為(x+1)2 +(y−2)2 =17 (D) 過 Q 點半徑的斜率為 4 1 ) 1 ( 5 2 3 ₌₋ − − − − 所以過 Q 點與圓 C 相切的切線斜率為 4 8.

∑

∑

∞ = ∞ = − = − 1 1 ) 12 3 12 4 ( 12 3 4 n n n n n n n n n 6 1 3 1 2 1 4 1 1 4 1 3 1 1 3 1 ) 4 1 ( ) 3 1 ( 1 = − = − − − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ =

∑

∞ = n n n 9. ∵ 1 2 1 2 1 ) ( − + + = x x x f ) 1 2 1 2 ( 2 1 _{+ − −} = x x 所以 f(1)+ f(2)+ f(3)+L+ f(12) ) 5 7 ( ) 3 5 ( ) 1 3 [( 2 1 − + − + − = 2 ) 25 1 ( 2 1 )] 23 25 ( − = − + = + +L 10. 圓心(0,0)與直線x+ y=2的距離為 2 1 1 2 0 0 2 2 + = − + = d ，而半徑為 5 所以兩個交點的距離為2 52 − 22 =2 3 11. 由柯西不等式(a2 +b2+c2)(12+(−2)2+22) 2 ) 2 ) 2 ( 1 ( ⋅a+ − ⋅b+ ⋅c ≥ ，∵a2+b2+c2 =1 ∴ 2 ) 2 2 ( ) 4 4 1 ( 1⋅ + + ≥ a− b+ c 3 2 2 3 9 ) 2 2 ( − + 2 ≤ ⇒− ≤ − + ≤ ⇒ a b c a b c 所以M =3，m=−3 12. x5y3項的係數為C₃8⋅23 =448 13. logM =4.5428=4+0.5428

共同考科 數學(C)卷 共 2 頁 第 2 頁 4 4 10 49 . 3 log 49 . 3 log 10 log + = ⋅ = 所以M =34900 14. 所以a=2，b=1，a− b=1 15. 2 2 2 2 0 2 1 2 0 4 3 cos + + − = a a π 2 2 1 2 2 2 2 a a + − = − ⇒ 2 2 1 2 2 a a + − = − ⇒ 1 2 ) 2 1 ( 2 4 2 = + 2 ⇒ 2 = ⇒ a a a 2 1 = ⇒ a (因a>0) 所以 2 1 2 1 log log₂a= ₂ =− 16. 可行解區域的端點(2,− 、2) (4,5)及(−2,2) 4 ) 2 ( 2 ) 2 , 2 ( − = − − = f ， f(4,5)=4−5=−1 4 2 2 ) 2 , 2 (− =− − =− f 所以最大值M =4，最小值m=−4 0 = + m M 17. ∵ ) 300 sin 300 (cos 2 ) 90 sin 90 (cos 2 3 1 2 ° + ° ° + ° = − = i i i i z ° + ° = ° − + ° −

=cos( 210 ) isin( 210 ) cos150 isin150 ° + ° =cos900 sin900 6 i z 1 180 sin 180 cos °+ °=− = i 18. ΔABC與 DEFΔ 為相似三角形 所以∠A=∠D ∵AB：DE=BC：EF = AC：DF =2：3 ∴ DE AB 2 3 = ，DF AC 2 3 = DEF Δ 的面積 DE DF sinD 2 1 _{⋅ ⋅} = A AC AB ) sin 2 3 ( ) 2 3 ( 2 1 ⋅ ⋅ ⋅ = 450 200 4 9 ) sin 2 1 ( 4 9 _{⋅ ⋅ = ⋅ =} = AB AC A 19. 解一：直線x− y+18=0的斜率為 1 斜角為 45° 0 20 3 + = + y x 的 斜 率 為 3 1 − ， 斜 角 為 150° 所以兩直線之交角為150°−45°=105° 或180°−105°=75° 解二：∵ ) 3 1 ( 1 1 ) 3 1 ( 1 1 tan 2 1 1 2 − ⋅ + − − = + − = m m m m θ 3 2 2 3 2 4 1 3 1 3 3 1 1 3 1 1 + = + = − + = − + = ∴θ = 75°，另一交角為180°−75°=105° 20. f(x)=x3−3x2 ⇒ f′(x)=3x2−6x ) 1 ( ) 2 ( 6 6 ) ( = − ⇒ ′ + ′′ − ′′ x x f f f 12 ) 6 6 ( ) 2 6 2 3 ( ⋅ 2 − ⋅ + − − =− = 21. 任選兩支鞋子，這兩支鞋子恰好成為一雙 的機率為 9 1 45 5 10 2 5 1 = = C C 22. x 的期望值為 30 4 . 0 40 3 . 0 30 2 . 0 20 1 . 0 10× + × + × + × = 23. ) 2 4 ( ) 2 4 )( 2 4 ( lim 2 4 lim 0 0 + + + + − + = − + → → _{t t} t t t t t t 4 1 2 4 1 lim ) 2 4 ( 4 4 lim 0 0 + + = + + = − + = → → _{t t t} t t t 24. 設 ₂ 1 1 ) ( ) ( t t f t F dx d + = = 則由微積分的基本定理 ) 0 ( ) ( ) ( ) ( 1 0 0 0 _t2 f t dt F t F x F dt x x x − = = = +

∫

∫

原式 ( ( ) (0)) 1 0 2 _dx F x F d t dt dx d x − = +

∫

2 1 1 ) ( 0 ) ( x x f x F dx d + = = − = 25.

∫

+ − =

∫

2 + − − − 1 4 2 2 1 4 2 4 ) 3 2 1 ( 3 2 dx x x dx x x x 2 1 3 1 ) 2 ( − − + − = x x x 8 9 ) 1 2 1 ( ) 8 1 2 1 2 2 ( − ⋅ + − − + = =