2-1-1指數與對數-指數

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(1)第二冊 1-1 指數與對數-指數 【目的】 希望將指數與指數律由自然數系推廣到整數系,再到有理數系及實數系 即定義 a x 中, x : N → Z → Q → R 且 a : a ∈ R → a ≠ 0 → a > 0 → a > 0 推廣的過程中,適當限制 a 的範圍使得指數式有意義,並要求仍然滿足指數律。 【定義】 正整數指數: a ×" × a (表 a 自乘 n 次)。 設 a ∈ R, n ∈ N ,定義 a n = a× . n個. 讀作 a 的 n 次方(或 a 的 n 次冪),其中 a 叫做底數, n 叫做指數, a n 叫做指數式。 一般 a 2 讀作 a 的平方, a 3 讀作 a 的立方。 【性質】 指數律:正整數指數的運算性質 設 a , b ∈ R , m, n ∈ N 1. a m × a n = a m + n 2. (a m ) n = a mn 3. (ab) n = a n b n 【定義】 整數指數: 已經定義了正整數指數,所以要定義零指數 a 0 與負整數指數 a − n 設 a ≠ 0, n ∈ N 1. 定義 a 0 : 由指數律可得 a 0 × a n = a 0 + n = a n 因為 a n ≠ 0 所以 a 0 = 1 2. 定義 a − n : 設n∈ N 由指數律可得 a − n × a n = a − n + n = a 0 = 1 因為 a n ≠ 0 1 所以 a − n = n a 1 故設 a ≠ 0, n ∈ N ,定義 a 0 = 1 及 a − n = n a 【問題】 1 1. 上述定義的 a 0 = 1 及 a − n = n ,能否使得指數律依然成立? a m a 2. 若 a, b ≠ 0, m, n ∈ Z ,則 n = a m − n 是否成立? a b bn 3. 若 a, b ≠ 0, m, n ∈ Z ,則 ( ) n = n 是否成立? a a 【性質】 指數律:整數指數的運算性質. 1.

(2) 設 a, b ≠ 0, a, b ∈ R, m, n ∈ Z 1. a m × a n = a m + n 2. (a m ) n = a mn 3. (ab) n = a n b n 【定義】 有理數指數: 1 n. 先定義了指數 a ,再定義分數指數 a. m n. 1. 1. 定義 a n : 設 a > 0, n ∈ N , n ≥ 2 1 n. n n. 由指數律 (a ) = a = a 1 = a n. 1 n. 即 a 是方程式 x n = a 的根 又已知 x n = a 恰有一正實根 n a (利用勘根定理證明) 即 a 的正 n 次方根 因此我們就規定 a = a n. 1 n. m. 2. 定義 a n : 當 a > 0, n ∈ N , n ≥ 2, m ∈ Z m n. 1 n. m n. 1 n. 定義 a = (a ) = ( a ) 或 a = ( a ) = n ( a m ) 【問題】 1. 為何定義分數指數時, a 要為正數? m. n. m. m. 2. 試找出證明的錯誤: (−1) = (−1)1 = (−1). 2× 1. 1 2. 1. 1. = ((−1) 2 ) 2 = 1 2 = 1 2. 3. 試找出證明的錯誤: − 2 = (3 − 8 ) = ( −8) 3 = ( −8) 6 = 6 ( −8) 2 = 6 64 = 2 【問題】 1. 上述定義分數指數後,能否使得指數律依然成立? 【性質】 指數律:有理數指數的運算性質 設 a, b > 0, a, b ∈ R, r , s ∈ Q 1. a r × a s = a r + s 2. (a r ) s = a rs 3. (ab) r = a r b r 大小關係: 設 a > 0, a ∈ R, r , s ∈ Q ,則 1. 當 a > 1 時, a r > a s ⇔ r > s 2. 當 0 < a < 1 時, a r < a s ⇔ r > s 【定義】 實數指數: 只需再定義無理數指數即可,利用有理數來逼近無理數以定義無理數指數 設 a > 0, r ∈ R − Q 2.

(3) 定義 a r = lim a rn ,其中 rn ∈ Q, lim rn = r n →∞. n→∞. 【問題】 1. 上述定義實數指數後,能否使得指數律依然成立? 【性質】 指數律:實數指數的運算性質 設 a, b > 0, a, b ∈ R, α , β ∈ R 1. a α × a β = a α + β 2. (a α ) β = a αβ 3. (ab) α = a α b α. 3.

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