2-1-1指數與對數-指數
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(2) 設 a, b ≠ 0, a, b ∈ R, m, n ∈ Z 1. a m × a n = a m + n 2. (a m ) n = a mn 3. (ab) n = a n b n 【定義】 有理數指數: 1 n. 先定義了指數 a ,再定義分數指數 a. m n. 1. 1. 定義 a n : 設 a > 0, n ∈ N , n ≥ 2 1 n. n n. 由指數律 (a ) = a = a 1 = a n. 1 n. 即 a 是方程式 x n = a 的根 又已知 x n = a 恰有一正實根 n a (利用勘根定理證明) 即 a 的正 n 次方根 因此我們就規定 a = a n. 1 n. m. 2. 定義 a n : 當 a > 0, n ∈ N , n ≥ 2, m ∈ Z m n. 1 n. m n. 1 n. 定義 a = (a ) = ( a ) 或 a = ( a ) = n ( a m ) 【問題】 1. 為何定義分數指數時, a 要為正數? m. n. m. m. 2. 試找出證明的錯誤: (−1) = (−1)1 = (−1). 2× 1. 1 2. 1. 1. = ((−1) 2 ) 2 = 1 2 = 1 2. 3. 試找出證明的錯誤: − 2 = (3 − 8 ) = ( −8) 3 = ( −8) 6 = 6 ( −8) 2 = 6 64 = 2 【問題】 1. 上述定義分數指數後,能否使得指數律依然成立? 【性質】 指數律:有理數指數的運算性質 設 a, b > 0, a, b ∈ R, r , s ∈ Q 1. a r × a s = a r + s 2. (a r ) s = a rs 3. (ab) r = a r b r 大小關係: 設 a > 0, a ∈ R, r , s ∈ Q ,則 1. 當 a > 1 時, a r > a s ⇔ r > s 2. 當 0 < a < 1 時, a r < a s ⇔ r > s 【定義】 實數指數: 只需再定義無理數指數即可,利用有理數來逼近無理數以定義無理數指數 設 a > 0, r ∈ R − Q 2.
(3) 定義 a r = lim a rn ,其中 rn ∈ Q, lim rn = r n →∞. n→∞. 【問題】 1. 上述定義實數指數後,能否使得指數律依然成立? 【性質】 指數律:實數指數的運算性質 設 a, b > 0, a, b ∈ R, α , β ∈ R 1. a α × a β = a α + β 2. (a α ) β = a αβ 3. (ab) α = a α b α. 3.
(4)
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