平面凸四邊形、凸五邊形頂角的合分角正弦值、餘弦值關係方程式(上)

全文

(1)

平面凸四邊形、凸五邊形頂角的合分角

正弦值、餘弦值關係方程式

(上)

李輝濱

嘉 義 市 私 立 輔 仁 中 學 退 休 教 師

壹、前言

描 述 一 般 形 平 面 凸 多 邊 形 的 各 種 關 係 式 其 型 態 結 構 必 然 較 圓 內 接 多 邊 形 的 各 相 對 應 關 係 式 更 為 複 雜 多 樣;當 沒 有 在 圓 的 框 架 特 別 加 持 下,其 各 種 關 係 式 也 較 難 被 發 掘 證 明 出 來。本 文 是 要 來 探 討 一 般 形 平 面 凸 四 邊 形、五 邊 形 各 頂 角 的 合 分 角 正 弦 值、餘 弦 值 關 係 方 程 式,要 來 查 明 頂 角、分 角 與 各 邊 長 及 對 角 線 長 之 間 的 相 關 性 關 係 式。然 而,圓 內 接 多 邊 形 的 一 切 性 質 必 是 平 面 凸 多 邊 形 所 擁 有 相 對 應 性 質 的 特 例;所 以 要 研 究 一 般 形 平 面 凸 多 邊 形 也 需 要 預 先 藉 助 於 較 有 規 律 性 質 的 圓 內 接 多 邊 形 的 引 領 帶 路 思 考,始 能 清 晰 明 確 地 擬 定 規 劃 出 思 索 創 見 方 向 來 。 首 先,先 來 證 明:圓 內 接 四 邊 形 頂 角 的 合 分 角 正 弦 函 數 值 關 係 方 程 式;展 示 此 證 明 時 直 接 由 圓 內 接 四 邊 形 圖 形 藉 著 輔 助 線 幾 何 圖 形 作 圖 法 出 發,先 試 作 出 適 宜 的 輔 助 線 來 連 繫 相 關 的 幾 何 形 量,以 增 益 多 方 思 考 路 線,襄 助 快 速 解 題 並 詳 實 解 說 由 這 些 新 輔 助 線 建 構 完 成 圖 形 所 具 體 呈 現 的 幾 何 意 義 ; 見 圖 1., 半徑 為 的 圓 內 接 四 邉形

A

1

A

2

A

3

A

4, 令 其 邉 長 線 段

A

1

A

2 =

V

1

A

2

A

3 =

V

2

A

3

A

4 =

V

3

A

4

A

1=

V

4, . 圖 1 圖 2. 對 角 線 長

A

1

A

3

d

13, 今 設 定 選 取 頂 角

A

1

3

2

3是 弧 長

A

3

A

4的 圓 周 角 ,

2

(2)

是 弧 長

A

2

A

3的 圓 周 角 , 頂 角

A

1是 合 角 , 而

3

2則 是 頂 角

A

1的 分 角 。 [1] 作 幾 何 輔 助 線 圖 : (a) 請 看 圖 2. 通 過頂 點

A

2作 一 直 線 平 行 對 角 線 長

A

1

A

3且 與 圓 周 交 於 B 點 , (b) 連 接線 段

A

1

B

BA

4、

BA

3,得 一 新 構 的 四 邉 形

A

1

BA

2

A

3,檢 視 這 圖 形 的 幾 何 意 義, 得 知 其 恰 為 一 個 等 腰 梯 形 , 因 此 又 得

A

1

B

=

A

2

A

3=

V

2

A

1

A

2 =

V

1

BA

3, (c) 見 圖 2., 再 通 過頂 點

A

1作 一 直 線

A

1

C

平 行 線 段

BA

4 。 再 參 閱 下 圖3., 圖 3. (d) 通 過頂 點

A

3作 一 直 線

A

3

D

垂 直 於 直 線

A

1

C

, 使 相 交 於 垂 直 點 D, 且

A

3

D

又 與

BA

4 垂直 相 交於 E 點 。 另通 過 頂 點

A

4作 一 直 線

A

4

C

垂 直 於 直 線

A

1

C

, 使 相 交 於 垂 直 點 C, 所 有 相 對 應 的 圓 周 角 皆 標 示 在 圖 中 的 正 確 適 當 位 置 。 輔 助 線 作 圖 完 成 。 [2] 圖 3.輔 助 線 圖 形 的 正 弦 式 幾 何 意 義 : (a) 上 圖 3. , 就 直 角 三 角 形

A

1

A

3

D

言 , 斜 邊 長

A

1

A

3

d

13, 得 一 股 線 段 長

sin(

3 1 3

D

A

A

A

3

2

)

d

13

sin(

3

2

)

d

13

sin A

1。

(3)

(b) 就 直角

A

1

A

4

C

言 , 斜 邊 長

V

4, 線 段 長

CA

4

V

4

sin

2

(c) 就 直角

BA

3

E

言 , 斜 邊 長

BA

3

V

1, 線 段 長

EA

3

V

1

sin

V

1

sin

3

(d) 線 段長

DA

3

DE

EA

3, 由 線 段 長

CA

4

DE

, 得

DA

3

CA

4

EA

3

將 上 述 各 線 段 長 代 入 , 得 ;

d

13

sin

A

1

d

13

sin(

3

 )

2

V

1

sin

3

V

4

sin

2 (1)

1 4 1

sin

V

V

A

1 4 2 3

)

sin(

V

V

13 4 3

sin

d

V

1 13 2

sin

V

d

(2) 方 程 式(1)式 、 (2)式 就 是 被 證 明 出 的 圓 內 接 四 邊 形 頂 角 的 合 分 角 正 弦 值 關 係 方 程 式 ! 方 程 式(2)式 對 圖 1.而 言,因 頂 角

A

1

3

2,兩 相 比 較,等 式 型 態 類 似;兩 個 圓 周 角

3

2相 加 等 於 頂 角

A

1, 而 分 別 由 sin

3與 sin

2組 成 的 各 自 分 式 型 式 相 加 等 於 由 頂 角 sin 1

A

組 成 的 分 式 型 式,可 看 出 方 程 式(2)式 也具 類 似 加 法性 等 式 型 態。而(2)式 的特 別 處 是 各

項 的 分 母 皆 為 角 度 兩 側 的 邉 長 乘 積 。

[3] 再 由 方 程 式 (1)式

2

R

d

13

sin

A

1

2

R

V

1

sin

3

2

R

V

4

sin

2

d

13

d

24

V

1

V

3

V

2

V

4 (3) 對 角 線 長

A

2

A

4

d

24

2

R

sin

A

1, 此 方 程 式(3) 式 就 是 圓 內 接 四 邊 形 的 托 勒 密 定 理 ( Ptolemy’s theorem ) 兩 對 角線 長 乘 積 與各 邊 長 乘 積關 係 方 程 式。 由 對 照 此 方 程 式(1)式 、 (2)式 ,接 下 來 即開 始 就 平 面凸 四 邊 形 、五 邊 形 分 析起 。

貳、本文

考 慮 一 平 面 凸 四 邊 形

A

1

A

2

A

3

A

4, 見 圖 3-1.令 其 邉 長 線 段

A

1

A

2 =

V

1

A

2

A

3 =

V

2

(4)

圖 3-1 4 3

A

A

=

V

3

A

4

A

1=

V

4, 對 角 線 長

A

1

A

3

d

13, 今 設 定 選 取 頂 角

A

1

3

2, 頂 角

A

1是 合 角 , 而

3

2則 是 頂 角

A

1的 分 角 。 而 在 以 下 內 文 的 敘 述 推 論 驗 證 過 程 中 , 所 有 須 使 用 的 四 邊 形 邊 長 線 段 表 示 式 均 以 此 處 明 列 的 表 示 式 為 準,且 當 演 繹 證 明 時 需 要 應 用 到 下 列 3 個 數 學 基 礎 性 質----引理 ;

一、 數學基本性質--引理;

引 理1. 三 角函 數 角 度 的和 差 轉 換 公式

sin α β sin

α cos β cos α sin β

)

cos

cos

sin

sin

cos(

引 理2. 任 給一 個 圓 內 四邊 形

A

1

A

2

A

3

A

4, 則 此 四 邊 形 的 頂 角 組 合 ; 3 1

A

A

A

2

A

4

, 即 對 角 必 互 為 補 角 。 引 理3. 三 角形 正 弦 定 理: 請 見 下 圖 3-2., 半 徑

R

的 圓 內 接 三 角 形

A

1

A

2

A

3, 令 邉 長 圖 3-2 線 段

A

1

A

2 =

V

1

A

2

A

3=

V

2

A

3

A

1=

V

3, 則 精 簡 、 對 稱 的 正 弦 定 理 公 式 為 :

3 1

sin A

V

1 2

sin A

V

R

A

V

2

sin

2 3

(L-1) 證 明 : 略 。

(5)

二、 一般形平面凸四邊形頂角的合分角正弦值、餘弦值性質關係方程式

(一 ) 一 般 形 平 面 凸 四 邊 形 頂 角 的 合 分 角 正 弦 值 關 係 方 程 式 由 前 言 的 思 維 中 知 道;一 般 形 平 面 凸 四 邊 形 其 四 頂 點 是 不 一 定 共 圓 的,但 它 的 任 意 三 個 頂 點 必 共 圓,以 此 共 圓 的 觀 點 出 發 並 展 開 下 列 的 推 理 演 繹 運 算 過 程;平 面 凸 四 邊 形 其 任 意 三 個 頂 點 必 共 圓 的 情 形 (在 選 取

A

1為 合 角 時 )有 下 列2 類 ; 1. 選 取三 角 形

A

1

A

2

A

3為 共 圓 的 情 形 ; 此 情 形 下 也 有 2 種 相 異圖 形 如 下 ; 圖 4 圖 5 [1.1] 第 1 種 圖 形 是 頂點

A

4落 在 共 圓 圓 周 內 , 見 圖4.。 (a) 現 在延 長 邊 長 線段

A

1

A

4直 至 與 圓 周 相 交 於 B 點,見 圖 5.,再 聯 結 B 點 與

A

3點,得 一 新 的 圓 內 接 四 邊 形

A

1

A

2

A

3

B

, 並 且 由 對 角 互 補 關 係 得 ;

A

2。 (b) 再 由三 角 形

BA

4

A

3的 外 角 與 內 角 關 係 得 ;

A

4

A

2

A

4

。 (c) 對

BA

4

A

3言 , 由 引 理3.的 正 弦 定 理關 係 得 ;

sin

sin

sin

3 4 3 4

B

A

A

V

A

A

4

B

sin

V

3

sin

A

4

B

sin

A

2

V

3

sin

(

A

2

A

4

)

(d) 對 圓內 接 四 邊 形

A

1

A

2

A

3

B

言 , 由 應 用 方 程 式(1)式可 得 下 列 關係 式 ;

d

13

sin

A

1

d

13

sin(

3

 )

2

V

1

sin

3

(

V

4

A

4

B

)

sin

2

d

13

sin

A

1

d

13

sin(

3

 )

2

V

1

sin

3

2

2 4 2 3 4

)

sin

sin

)

sin(

(

A

A

A

V

V

(6)

1 4 1

sin

V

V

A

1 4 2 3

)

sin(

V

V

13 4 3

sin

d

V

1 13 2

sin

V

d

2 2 1 4 13 4 2 3

sin

sin

)

sin(

A

V

V

d

A

A

V

1 4 1

sin

V

V

A

1 4 2 3

)

sin(

V

V

13 4 3

sin

d

V

1 13 2

sin

V

d

2 4 4 2 3

sin

)

sin(

1

A

V

A

A

V

(4) [1.2] 第 2 種 圖 形 是 頂點

A

4落 在 共 圓 圓 周 外 , 見 下 圖 6。 (a) 令 邊 長 線 段

A

1

A

4 與 圓 周 相 交 於 C 點 , 聯 結 C 點 與

A

3點 , 使

A

4

A

3

C

A

4

CA

3 , 得一 新 的 圓 內接 四 邊 形

A

1

A

2

A

3

C

, 由 對 角 互 補 關 係 得 ;

A

2 圖 6. (b) 再 由三 角 形

CA

4

A

3的 外 角 與 內 角 關 係 得 ;

A

2

A

4。

(c) 對

CA

4

A

3言 ,

A

4

C

sin

V

3

sin

A

4

C

sin

A

2

V

3

sin

(

A

2

A

4

)

(d) 對 圓內 接 四 邊 形

A

1

A

2

A

3

C

言 , 由 應 用 方 程 式(1)式可 得 下 列 關係 式 ;

d

13

sin

A

1

d

13

sin(

3

 )

2

V

1

sin

3

(

V

4

A

4

C

)

sin

2

d

13

sin

A

1

d

13

sin(

3

 )

2

V

1

sin

3

2

2 4 2 3 4

)

sin

sin

)

sin(

(

A

A

A

V

V

1 4 1

sin

V

V

A

1 4 2 3

)

sin(

V

V

13 4 3

sin

d

V

1 13 2

sin

V

d

2 4 4 2 3

sin

)

sin(

1

A

V

A

A

V

(4) 以 上 推 理 出 2 種 相 異 圖 形 皆 得 到 完 全 相 同 的 方 程 式 (4)式 , 此 方 程 式 (4)式 就 是 以 三 角 形 3 2 1

A

A

A

為 共 圓 時 一 般 形 平 面 凸 四 邊 形 頂 角 的 合 分 角 正 弦 值 關 係 方 程 式 !

(7)

[1.3] 方 程 式 (4)式 的 相 關 性 檢 驗 若 令 此 一 般 形 平 面 凸 四 邊 形

A

1

A

2

A

3

A

4是 內 接 於 半 徑 為

R

的 一 個 圓 形 , 下 圖 6-1. 圖 6-1. 由 引 理2.知 其 對角 互 補

A

2

A

4

,得

sin(

A

2

 A

4

)

0

,方 程 式(4)式中[ ]內 的項 就 退 化 成 為1,此 方 程 式 (4)式 也必 退 化 成方 程 式(2)式, 相 關 性 驗證 成 立 ! 2. 選 取三 角 形

A

1

A

3

A

4為 共 圓 的 情 形 ; 此 情 形 下 也 有 2 種 相 異圖 形 如 下 ; [2.1] 第 1 種 圖 形 是 頂點

A

2落 在 共 圓 圓 周 內 , 見 圖7. 與 圖 8.。 圖 7. 圖 8. [2.2] 第 2 種 圖 形 是 頂點

A

2落 在 共 圓 圓 周 外 , 見 圖9.。 圖 9.

(8)

2 種 圖 形 的 推證 處 理 手 法完 全 與 前 述 1.的 演 繹 證明 過 程 相 類同,簡 化 其敘 述 流 程, 而 得 下 式 ;

d

13

sin

A

1

d

13

sin(

3

 )

2

[

V

1 4 4 2 2

sin

)

sin(

A

A

A

V

]

sin

3

V

4

sin

2

1 4 1

sin

V

V

A

1 4 2 3

)

sin(

V

V

13 4 3

sin

d

V

4 1 4 2 2

sin

)

sin(

1

A

V

A

A

V

+ 1 13 2

sin

V

d

(5) 推 理 導 證 出 這 2 種相 異 圖 形皆 得 到 完 全相 同 的 方 程式(5)式 , 此方 程 式(5)式就 是 以 三 角 形

A

1

A

3

A

4為 共 圓 時 平 面 凸 四 邊 形 頂 角 的 合 分 角 正 弦 值 關 係 方 程 式 ! ※ 綜 合 上 述 完 整 的 推 理 演 繹 運 算 過 程 , 證 明 出 方 程 式(4)式 與 (5)式 俱 為 平 面 凸 四 邊 形 頂 角 的 合 分 角 正 弦 值 關 係 方 程 式。今 對 照 比 較 方 程 式(4)式、(5)式 與(2)式,發 覺(4)式、(5)式 皆 比 (2) 式 多 出 了 一 個 修 正 項 , 修 正 項 分 別 為

2 4 4 2 3

sin

)

sin(

1

A

V

A

A

V

4 1 4 2 2

sin

)

sin(

1

A

V

A

A

V

, 有 趣 的 是 當 此 四 邊 形 4 個頂 角 均 內 接於 一 圓 時 ,此 2 個 修 正項 內 的

sin(

A

2

 A

4

)

0

,因 其 對 角 互 補

A

2

A

4

,此2 個 修 正 項 修正 的 結 果 都蛻 變 為 1,而(4)式 與(5)式也 都 回 歸為(2)式,(4)式 與(5)式 都涵 蓋 了(2)式! 因 此,方 程式 (2)式 即 成 為 平 面 凸 四 邊 形 一 般 化 方 程 式(4)式 與方 程 式(5)式的 特 例 。 (二 ) 一 般 形 平 面 凸 四 邊 形 頂 角 的 合 分 角 餘 弦 值 關 係 方 程 式 A. 首 先證 明 : 圓 內接 四 邊 形 頂角 的 合 分 角餘 弦 函 數 值關 係 方 程 式 見 圖 10., 給 定圓 內 接 四 邉形

A

1

A

2

A

3

A

4, 令 其 邉 長 線 段

A

1

A

2 =

V

1

A

2

A

3 =

V

2, 4 3

A

A

=

V

3

A

4

A

1=

V

4,對 角 線 長

A

1

A

3

d

13,頂 角

A

1

3

2

3是 弧 長

A

3

A

4的 圓 周 角 ,

2是 弧 長

A

2

A

3的 圓 周 角 , 頂 角

A

1是 合 角 , 而

3

2則 是 頂 角

A

1的 分 角 。

(9)

圖 10. 圖 11. [A.1] 作 幾 何 輔助 線 圖 : (a) 請 看 圖 11. 通 過頂 點

A

2作 一 直 線 平 行 對 角 線 長

A

1

A

3且 與 圓 周 交 於 B 點 , (b) 連 接線 段

A

1

B

BA

4、

BA

3,得 一 新 構 的 四 邉 形

A

1

BA

2

A

3,檢 視 這 圖 形 的 幾 何 意 義, 得 知 其 恰 為 一 個 等 腰 梯 形 , 因 此 又 得

A

1

B

=

A

2

A

3=

V

2

A

1

A

2 =

V

1

BA

3, (c) 見 圖 11.,再 通 過頂 點

A

1作 一 直 線

A

1

C

平 行 線 段

BA

4 。再 參 閱下 圖 12., (d) 通 過頂 點

A

3作 一 直 線

A

3

D

垂 直 於 直 線

A

1

C

, 使 相 交 於 垂 直 點 D, 且

A

3

D

又 與

BA

4垂 直 相 交 於 E 點 。另 通 過 頂 點

A

4作 一 直 線

A

4

C

垂 直 於 直 線

A

1

C

, 使 相 交 於 垂 直 點 C, 所 有 相 對 應 的 圓 周 角 皆 標 示 在 圖 中 的 正 確 適 當 位 置 。 輔 助 線 作 圖 完 成 。 . 圖 12 [A.2] 圖 12. 輔助 線 圖 形 的 餘弦 式 幾 何 意義 : (a) 上 圖 12., 就 直角 三 角 形

A

1

A

3

D

言 , 斜 邊 長

A

1

A

3

d

13, 得 一 股 線 段 長

cos(

3 1 1

D

A

A

A

3

2

)

d

13

cos(

3

2

)

d

13

cos

A

1

(10)

(b) 就 直角

A

1

A

4

C

言 , 斜 邊 長

V

4, 線 段 長

A

1

C

V

4

cos

2 。 (c) 就 直角

BA

3

E

言 , 斜 邊 長

BA

3

V

1, 線 段 長

BE

V

1

cos

V

1

cos

3 。 (d) 線 段長

CD

A

4

E

A

4

B

BE

, 由 線 段 長

A

1

D

=

A

1

C

CD

=

A

1

C

+

BE

A

4

B

, 圖 12. , 圓 內 接 四 邊 形

A

1

BA

3

A

4的 邉 長 與 對 角 線 中 有 方 程 式(3) 式 的 托 勒 密 公 式 : 1 4 3 4 3 1 3 1 4

A

A

A

B

A

A

BA

A

A

BA

BA

4

d

13

V

2

V

3

V

1

V

4

13 3 2 1 4 4

d

V

V

V

V

BA

, 將 此

BA

4 長 度 代 入 線 段 長

A

1

D

的 線 段 關 係 式 中 ,

A

1

D

=

A

1

C

+

BE

A

4

B

d

13

cos

A

1

V

1

cos

3

V

4

cos

2

13 3 2 1 4

d

V

V

V

V

(6)

1 4 1

cos

V

V

A

1 4 2 3

)

cos(

V

V

13 4 3

cos

d

V

1 13 2

cos

V

d

2 13 1 4 3 2 1 4

d

V

V

V

V

V

V

(7) 方 程 式(6)式 、 (7)式 就 是 被 證 明 出 的 具 有 美 妙 規 律 性 圓 內 接 四 邊 形 頂 角 的 合 分 角 餘 弦 值 關 係 方 程 式 ! 現 在 將 方 程 式(7)式與(2)式 作比 較,(7)式多 出 一 個 非角 度 分 式 項,這就 是 餘弦 值 關 係 式 的 特 異 處。而 (7)式 的 特別 處 是 各 餘弦 項 的 分 母皆 為 該 角 度兩 側 的 邉 長乘 積,整 體 各 分 式 項 內 容 裡 的 角 度 、 邉 長 、 對 角 線 長 都 是 有 規 則 性 分 佈 的 ! B. 一 般形 平 面 凸 四邊 形 頂 角 的合 分 角 餘 弦值 關 係 方 程式 平 面 凸 四 邊 形 其 任 意 三 個 頂 點 必 共 圓 的 情 形 (在 選 取

A

1為 合 角 時 )有 下 列 2 類 ; 1. 選 取三 角 形

A

1

A

2

A

3為 共 圓 的 情 形 ; 此 情 形 下 也 有 2 種 相 異圖 形 如 下 ; [1.1] 第 1 種 圖 形 是 頂點

A

4落 在 共 圓 圓 周 內 , 見 圖13.。

(11)

圖 13. (a) 延 長邊 長 線 段

A

1

A

4 直 至 與 圓 周 相 交 於 B 點 , 見 圖13.,再 聯 結 B 點 與

A

3點 , 得 一 新 的 圓 內 接 四 邊 形

A

1

A

2

A

3

B

, 並 且 由 對 角 互 補 關 係 得 ;

A

2 (b) 再 由三 角 形

BA

4

A

3的 外 角 與 內 角 關 係 得 ;

A

4

A

2

A

4

。 (c) 對

BA

4

A

3言 , 由 引 理3.的 正 弦 定 理關 係 得 ;

)

sin(

sin

sin

sin

4 3 3 4 3 4

A

B

A

V

A

A

B

A

A

4

B

sin

V

3

sin

A

4

B

sin

A

2

V

3

sin

(

A

2

A

4

)

(d) 又 由

)

sin(

sin

4 3 3

A

B

A

V

A

3

B

sin

A

2

V

3

sin

A

4 (e) 對 圓內 接 四 邊 形

A

1

A

2

A

3

B

言 , 由 應 用 方 程 式(6)式可 得 下 列 關係 式 ;

d

13

cos

A

1

V

1

cos

3

(

V

4

A

4

B

)

cos

2

13 3 2 1 4 4

)

(

d

B

A

V

V

B

A

V

將(c).的

A

4

B

值 與(d).的

A

3

B

值 一 起 同 步 代 入 上 述 關 係 式 中 , 得 下 列 關 係 式 ;

d

13

cos

A

1

V

1

cos

3

]

sin

)

sin(

[

2 4 2 3 4

A

A

A

V

V

cos

2





2 4 3 2 1 2 4 2 3 4 13

sin

sin

sin

)

sin(

1

A

A

V

V

V

A

A

A

V

V

d

(12)

1 4 1

cos

V

V

A

1 4 2 3

)

cos(

V

V

13 4 3

cos

d

V

1 13 2

cos

V

d

2 4 4 2 3

sin

)

sin(

1

A

V

A

A

V





2 4 3 2 1 4 2 4 4 2 3 2 13 1 4

sin

sin

sin

)

sin(

1

1

A

A

V

V

V

V

A

V

A

A

V

d

V

V

(8) [1.2] 第 2 種 圖 形 是 頂點

A

4落 在 共 圓 圓 周 外 , 見 下 圖 14.。 (a) 令 邊 長 線 段

A

1

A

4 與 圓 周 相 交 於 C 點 , 聯 結 C 點 與

A

3點 , 使

A

4

A

3

C

A

4

CA

3 , 得一 新 的 圓 內接 四 邊 形

A

1

A

2

A

3

C

, 由 對 角 互 補 關 係 得 ;

A

2 圖 14. (b) 再 由三 角 形

CA

4

A

3的 外 角 與 內 角 關 係 得 ;

A

2

A

4

(c) 對

CA

4

A

3言 ,

A

4

C

sin

V

3

sin

A

4

C

sin

A

2

V

3

sin

(

A

2

A

4

)

(d) 對

CA

4

A

3言 , 由 4 3 3

sin

sin

A

C

A

V

A

3

C

sin

A

2

V

3

sin

A

4 (e) 對 圓內 接 四 邊 形

A

1

A

2

A

3

C

言 , 由 應 用 方 程 式(6)式可 得 下 列 關係 式 ;

d

13

cos

A

1

V

1

cos

3

(

V

4

A

4

C

)

cos

2

13 3 2 1 4 4

)

(

d

C

A

V

V

C

A

V

將(c).的

A

4

C

值 與(d).的

A

3

C

值 一 起 同 步 代 入 上 述 關 係 式 中 , 得 下 列 關 係 式 ;

d

13

cos

A

1

V

1

cos

3

]

sin

)

sin(

[

2 4 2 3 4

A

A

A

V

V

cos

2





2 4 3 2 1 2 4 2 3 4 13

sin

sin

sin

)

sin(

1

A

A

V

V

V

A

A

A

V

V

d

(13)

1 4 1

cos

V

V

A

1 4 2 3

)

cos(

V

V

13 4 3

cos

d

V

1 13 2

cos

V

d

2 4 4 2 3

sin

)

sin(

1

A

V

A

A

V





2 4 3 2 1 4 2 4 4 2 3 2 13 1 4

sin

sin

sin

)

sin(

1

1

A

A

V

V

V

V

A

V

A

A

V

d

V

V

(8) 以 上 推 理 出 2 種相 異 圖 形 皆得 到 完 全 相同 的 方 程 式(8)式 , 此 方程 式(8)式 就是 以 三 角 形

A

1

A

2

A

3為 共 圓 時 平 面 凸 四 邊 形 頂 角 的 合 分 角 餘 弦 值 關 係 方 程 式 ! [1.3] 方 程式(8)式 的 相關 性 檢 驗 若 令 此 一 般 形 平 面 凸 四 邊 形

A

1

A

2

A

3

A

4是 內 接 於 半 徑 為

R

的 一 個 圓 形,由 引 理 2.知 其

對 角 互 補

A

2

A

4

, 得

sin(

A

2

 A

4

)

0

, 且

sin A

2

sin A

4, 方 程 式(8)式 中 第 1 個

[ ]內 的 項 就 退 化成 為 1,第 2 個[ ]內 的項 也 退 化 成為

V

4

V

1

V

2

V

3,此 方 程 式(8)式 也 必退 化 成 方 程 式(7)式 ,使(7)式 成 為(8)式 的 特 例, 驗 證 成 立! 2. 選 取三 角 形

A

1

A

3

A

4為 共 圓 的 情 形 ; 此 情 形 下 也 有 2 種 相 異圖 形 如 下 ; [2.1] 第 1 種 圖 形 是 頂點

A

2落 在 共 圓 圓 周 內 , 見 圖15.。 圖 15. [2.2] 第 2 種 圖 形 是 頂點

A

2落 在 共 圓 圓 周 外 , 見 圖9. 。 同 樣 地,這 2 種 圖 形的 推 證處 理 手 法 完全 與 前 述 1.的 演 繹 證 明過 程 相 類 同,簡 化 其 敘

(14)

述 流 程 , 而 得 下 式 ;

d

13

cos

A

1

[V

1

]

sin

)

sin(

4 4 2 2

A

A

A

V

cos

3

V

4

cos

2





4 2 3 2 4 2 4 2 2 1 13

sin

sin

sin

)

sin(

1

A

A

V

V

V

A

A

A

V

V

d

1 4 1

cos

V

V

A

1 4 2 3

)

cos(

V

V

13 4 3

cos

d

V

4 1 4 2 2

sin

)

sin(

1

A

V

A

A

V

1 13 2

cos

V

d





4 2 3 2 1 4 2 1 4 2 2 2 13 1 4

sin

sin

sin

)

sin(

1

1

A

A

V

V

V

V

A

V

A

A

V

d

V

V

(9) 同 樣 推 演 出 這 2 種相 異 圖 形皆 得 到 完 全相 同 的 方 程式(9)式 , 此方 程 式(9)式就 是 以 三 角 形

A

1

A

3

A

4為 共 圓 時 平 面 凸 四 邊 形 頂 角 的 合 分 角 餘 弦 值 關 係 方 程 式 ! ※ 綜 合 上 述 完 整 的 推 理 演 繹 運 算 過 程,證 明 出 方 程 式(8)式 與 (9)式 俱為 平 面 凸四 邊 形 頂 角 的 合 分 角 餘 弦 值 關 係 方 程 式 。 今 對 照 比 較 方 程 式(8)式、(9)式 與(7)式,發 覺(8)式、(9) 式 皆 比(7) 式 多 出 了 2 個 修 正 項 , 修 正 項 分 別 為

]

sin

)

sin(

1

[

2 4 4 2 3

A

V

A

A

V

、 2 4

sin

sin

A

A

]

sin

)

sin(

1

[

4 1 4 2 2

A

V

A

A

V

、 4 2

sin

sin

A

A

,同 理, 當 此 四 邊 形 4 個 頂 角均 內 接於 一 圓 時,此 2 個

修 正 項 內 的

sin(

A

2

 A

4

)

0

,因 其 對 角 互 補

A

2

A

4

,且

sin A

2

sin A

4,修 正 項

修 正 的 結 果 都 蛻 變 為 1, 而(8)式 與 (9)式 也都 回 歸 為(7)式 , 方 程式(8)式 與(9)式也 都 涵

蓋 統 一 了 方 程 式(7)式 ! 因 此 , 方 程 式 (7)式 即 成 為 平 面 凸 四 邊 形 一 般 化 方 程 式 (8)式 與

方 程 式(9)式 的 特例 。

數據

圖 3-1  43AA = V 3 , A 4 A 1 = V 4 , 對 角 線 長   A 1 A 3  d 13 , 今 設 定 選 取 頂 角 A 1   3   2 , 頂 角 A 1 是 合 角 , 而  3 與  2 則 是 頂 角 A 1 的 分 角 。 而 在 以 下 內 文 的 敘 述 推 論 驗 證 過 程 中 , 所 有 須 使 用 的 四 邊 形 邊 長 線 段 表 示 式 均 以 此 處 明 列 的 表 示 式 為 準,且 當 演 繹 證 明 時 需 要 應 用 到

圖 3-1

43AA = V 3 , A 4 A 1 = V 4 , 對 角 線 長 A 1 A 3  d 13 , 今 設 定 選 取 頂 角 A 1   3   2 , 頂 角 A 1 是 合 角 , 而  3 與  2 則 是 頂 角 A 1 的 分 角 。 而 在 以 下 內 文 的 敘 述 推 論 驗 證 過 程 中 , 所 有 須 使 用 的 四 邊 形 邊 長 線 段 表 示 式 均 以 此 處 明 列 的 表 示 式 為 準,且 當 演 繹 證 明 時 需 要 應 用 到 p.4
圖 13.  (a)  延 長邊 長 線 段 A 1 A 4 直 至 與 圓 周 相 交 於 B 點 , 見 圖 13.,再 聯 結 B 點 與 A 3 點 , 得 一 新 的 圓 內 接 四 邊 形 A 1 A 2 A 3 B , 並 且 由 對 角 互 補 關 係 得 ;       A 2   。   (b)  再 由三 角 形 BA 4 A 3 的 外 角 與 內 角 關 係 得 ;      A 4    A 2  A 4   。 (c)  對  BA 4 A 3 言 ,

圖 13.

(a) 延 長邊 長 線 段 A 1 A 4 直 至 與 圓 周 相 交 於 B 點 , 見 圖 13.,再 聯 結 B 點 與 A 3 點 , 得 一 新 的 圓 內 接 四 邊 形 A 1 A 2 A 3 B , 並 且 由 對 角 互 補 關 係 得 ;     A 2 。 (b) 再 由三 角 形 BA 4 A 3 的 外 角 與 內 角 關 係 得 ;   A 4    A 2  A 4   。 (c) 對  BA 4 A 3 言 , p.11

參考文獻

Updating...

相關主題 :