[ 多 ][- ． ] 選題 橢圓 .已 (6 , 0)﹐(0 , 8)﹐ 長 20﹐則 (3 , 4) 橢一圓面知上平為兩點焦的 長為軸 下列述哪些是正確的﹖敘 為 橢圓的中心 短 軸 的 斜 率 為 4 3 (9 , － 4) 為 長軸上的一個頂點 橢 圓 與 正 短軸之長為 x 軸 只有一個交點 10 3 ﹒ ABCDE 解答： .下 ﹐ 為 為 Q 的 PQ ＝1﹐P為 M 線各選項中的曲列 個一為橢圓﹖何者 跑道標準側內的 軌﹐其中跡 橢圓 上 O 為 M 的 O﹐P﹐Q三 為 E 的 一點﹐任 中心﹐且 線點共 直圓柱面與平面 交線 為 Q 點 PQ ＝OP ﹐P 為 M 上 O 為 M 的 O﹐P﹐Q三 中其的﹐跡軌 圓橢 ﹐點一任 中﹐且心 點共線 為 E 的 直圓錐面與平面 交線﹒ CDE 解答： .已 x 軸 (1 , 2) 且 (4 , 6)﹒ 試 長橢平行於的圓軸一知 ﹐中心為 點過通 ﹖上圓橢這在定會一點些哪列下問 ( －2 ,－ 2) (－ 2 , 6) (4 , － 2) (5 , 6) (3 , 4)﹒ ABC 解答： .關 ﹕
x－1
2＋
y－2
2 ＋
x＋1
2＋
y＋2
2 ＝6﹐ 則 (0 , 0) 是的 (1 圓於橢 何為真﹖列下者 中心 , 2)﹐( － 1 , － 2)為的 的 4 對 x ＝ y 對 (1 , 2) 與 ( － 1 , － 2) 點焦 短為長軸 稱直線於 稱於 的 連線﹒ ABCE 解答： [ 計 ][- ． ] 算題 橢圓 .一 P(x , y) 到 F( 動點 定點 2 3 , 0) 的 P 到 L﹕x－ 6 ＝ 0 距 P 離於距等﹐ 線直 離一半﹐試求動點的 的 軌跡方程式﹒ 解答： 29
x
＋4
227
y
＝1 .橢 F1(0 , 0)﹑F2(2 , 2) 且 P(2 , 0)﹐試 點兩的圓焦 通過 與點端的軸長的長軸長圓橢求﹒ 4﹐A(1 ＋ 2 , 1＋ 2 )﹐A(1－ 2 , 1－ 2 ) 解答： .設 P 為 橢圓 25 2 x ＋ 16 2 y ＝ 1 上 F1﹑F2為 O 為 OP2＝PF1 ．PF2 ﹐ P ﹐一點 ﹐點焦二 若﹐點原 求 點 的坐標﹒P( 解答： 2 5 ,
2 2 ) 或 P(－ 2 5 ,
2 2 ) .試 F(3 , 0)﹐且 (x ＋ 3)2 ＋y2＝64相 C 的 過通求 與圓 的圓切 圓心軌跡方程式﹒ 解答： 16 2 x ＋ 7 2 y ＝ 1 .動 C 與 C1﹕(x － 1)2 ＋y2＝1﹐C2﹕(x＋ 1)2 ＋y2＝16﹐試 C 與C1外 C2內 C 圓 定二圓 求 切﹑與 切時﹐圓 的 圓心軌跡方程式﹒ 解答： 25 4x2 ＋ 21 4y2 ＝1 .若 A 在 x 軸 B 在 y 軸 P 在 AB 上 AB ＝ 5﹐ 試 AP ：PB ＝3 ： 2﹐ 動﹐上移 點若﹐動移上 段線 且﹐ 求 試 P 的 求點 軌跡方程式﹒ 解答： 4 2 x ＋ 9 2 y ＝1 .橢 2 圓方程式 2 a x ＋ 2 2 b y ＝ 1﹐ 在 與值小最的積面圍所軸兩的線切作所點切的內限象一第﹒ ab 解答： .橢 2 圓方程式 2 a x ＋ 2 2 b y ＝1 的 A﹑B﹐ 試 切線與兩軸分別交於 求 AB 之 長的最小值﹒ a ＋ b 解答： .橢 ﹕ (x＋2)2＋(y－1)2 ＋ (x－4)2＋(y－1)2 ＝10﹐求 (1) 長 (2) 短 (3) 正 圓 軸長 軸長 焦弦長 (4) 中 (5) 焦 (6) 對 (7) 頂 坐標心 點坐標 式稱程方軸 點坐標﹒ (1)10 (2)8 (3)﹐ ﹐ 解答： 5 32 (4)(1 , 1) (5)( ﹐ ﹐ －2 , 1) (4 , 1) (6)﹐ ﹐ x － 1 ＝ 0﹐y－ 1 ＝ 0 (7)(6 , 1) (﹐ ﹐ －4 , 1) (1 , 5) (1 , ﹐ ﹐ －3) .試 求滿足下列諸條件的橢圓方程式﹒ (1) 二 (4 , 3) (﹐ －2 , 3)且 6﹒ 焦點 短軸長為 (2) 二 (1 , 4) (﹐ 1 , － 2)且 18﹒ 焦點 長軸與短軸長之和為 (3) 長 (3 , 1)﹐ 一 ( － 6 , 1)﹐短 6﹒ 軸一端點為 焦點為 軸長為 (4) 與 2 2 a x ＋ 2 2 b y ＝1 共 a ＞ b ＞ 0 ） 2 2 2 焦點（ ﹐且長軸長為 b a ＋ ﹒ (1) 解答： 18 ) 1 (x－ 2 ＋ 9 ) 3 (y－ 2 ＝1﹐(2) 16 ) 1 (x－ 2 ＋ 25 ) 1 (y－ 2 ＝1﹐(3) 25 ) 2 (x＋ 2 ＋ 9 ) 1 (y－ 2 ＝ 1﹐(4) 2 2 2 b a x ＋ ＋ 2 2 2b y ＝ 1 .求 長長弦焦正﹐長軸短﹐長軸﹐下點焦﹐點頂﹐心中的圓橢列﹒ (1)2x2 ＋ 3y2 － 4 ＝ 0 (2)9﹐ x2＋ 4y2 ＋ 36x ＋ 24y － 136 ＝ 0﹒ (1) 中 (0 , 0)﹐ 頂 ( 2 , 0) (﹐ 0 , 解答： 心 點 3 3 2 )﹐ 焦 ( 點 3 6 , 0)﹐ 長 2 軸長 2 ﹐短 軸長3 13 4 ﹐ 正焦弦長 3 2 4 ﹐ (2) 中 ( － 2 , － 3)﹐ 頂 ( － 2 , －32 心 點 13 ) (﹐ －2 3 13 4 , － 3)﹐ 焦 ( － 2 , －3 點 3 65 2 )﹐ 長 軸長 13 4 ﹐ 短軸長 3 13 8 ﹐ 正焦弦長 9 13 16 .設 k x － 16 2 ＋ k y － 36 2 ＝1…(*)﹐ 依 k 之 (1) 若 ( ＊ ) 表 (2) 若 ( ＊ ) 列條件﹐求下 範圍﹕ 橢圓﹔ 沒 有圖形﹒ (1)k ＜ 16﹐(2)k ＞36 解答： .長 10之 AB ﹐ A﹐B 兩 x ＝ 1 及 y ＝ 2 兩 PAB 且AP ﹕PB ＝ 度為 段線 在別分點 － 直線上移動﹐ 7 ： 3﹐ 求 P 之 點 軌跡方程式﹒ 解答： 49 ) 1 (x－ 2 ＋ 9 ) 2 (y＋ 2 ＝1 .一 (1 , 0) 且 (x ＋ 1)2 ＋y2＝9 相 圓過經 圓定與 成式程方之形圖的求所心圓之圓定此﹐切﹒ 解答： 9 4x2 ＋ 5 4y2 ＝1 .橢 x2＋ 2y2 ＝ 1 與 y ＝ x ＋ k﹒ 圓﹕ 直線﹕ (1) 若 k 之 此求﹐點二異相於交相圓橢與線直 範圍﹒ (2) 當 k 在 (2) 中 的式程方跡軌點中的段線連點之交個二求試﹐時動變圍範﹒ (1) － 解答： 2 6 ＜ k ＜ 2 6 ﹐(2)x ＋ 2y＝ 0﹐ 但－ 3 6 ＜ x ＜ 3 6 .求 1 的 x2＋ 4y2 －4x＋ 8y＋ 4 ＝ 0 所 斜率 橢被線直圓 大何為值出最長弦之截﹖ 解答： 5 10 4 .已 4x2 ＋y2－4x－ 3 ＝ 0 之 (1 , 1)﹐ 試 橢圓知 點為標坐中﹐弦一其 直式程方線此之弦含包求﹒ 2x＋ y － 3 ＝ 0 解答： .若 y ＝ mx ＋ b 與 x － 2y＋ 3 ＝ 0 垂 16x2＋ 5y2 ＝80相 m 與 b﹒ 直線 線直 且與圓而﹐直橢 切﹐求 m ＝ 2﹐b＝ 6 解答： － .求 二橢圓 4 2 x ＋ 9 2 y ＝1 與 8 2 x ＋y2＝ 1 之 公切線所圍區域之面積﹒ 17 2 解答： .過 (0 , 4) 切 點 橢圓 4 2 x ＋ 9 2 y ＝1 於 第一象限的切線斜率為何﹖ － 解答： 2 7 .求 (2 , 3) 而 x2＋ 4y2 ＝ 4 相 點過 圓橢與 切之切線方程式﹒ x ＝ 2 與 2x－ 3y＋ 5 ＝ 0 解答：
.如右圖﹐A﹐B為橢圓x22 a＋ 2 2 y b＝1之兩頂點﹐其中a﹐b皆 為正數﹒若P為第一象限的橢圓弧上之一點﹐則△ABP最大 ﹖ 的面積為何
解答： 2 2 1＋ ab [ 單 ][- ． ] 選題 橢圓 .在坐標平面上有一橢圓﹐已知其長軸平行y軸﹐短軸的一個 頂點為(0,4)﹐且其中一焦點為(4,0)﹐問此長軸的長度為何﹖ 222
66282﹒ E 解答： .對 (x－1)2＋(y－1)2 ＋ (x－5)2＋(y－4)2 ＝2a之 方式程 列為者何圖下﹐言而形真 若 a ＞ 5﹐ 則 其圖形表一圓 若 若 若 若 a ＜ 5﹐ 則 a ＝ 5﹐ 表 a ＜ 6﹐ 表 a ＝ 3﹐ 圖形無 線一段 一橢圓 表 一橢圓﹒ E 解答： .坐 Y 軸 (0 , 4)﹐ 且 (4 , 0)﹒ 一行上橢面平標有平軸長其知已﹐圓 點為的頂個一軸短﹐ 其中一焦點為 問 2 2 2 6 6 2 8 2 ﹒ 度此何﹖長的軸長圓橢為 E 解答： .若 x2＋ 4y2 ＋2x＋ 4y＋ k ＝ 0 的 k 之 知方程式已 ﹐則圖圓橢為形 範圍為何﹖ 任 何 實 數 皆 可 k ＜0 k≠0 k ＜ 2 k＞ 2﹒ D 解答： [ 填 ][- ． ] 充題 橢圓.坐 log(x2 ＋y2－xy＋ 1) ＋ log6 ＝ log(5x2＋ 2y2 － 6xy ＋ 10) 的 (x , y) 形 滿足標平面上 所有點 成的圖形為
﹒ 解答：橢圓 .設 F1﹐F2為 4x2 ＋25y2＝ 100 之 P 為 PF1F2 之 圓橢 兩﹐點焦 點△則﹐圓一任之點頂於異上橢 周長為 ﹒ 10＋ 2 21 解答： . 設有一橢圓形運動場地﹒令長軸兩頂點為A及B﹔ 短軸兩頂點為C及D﹐在D點豎有一垂直於地面 的旗竿﹐高10公尺﹐若從C點地面到旗竿頂的仰 角為22.5﹐ ∠而ACD＝60°﹐則短軸
CD
之長為 公尺﹐長軸AB
之長為 公尺﹒10( 2 ＋1)﹐10( 6 ＋ 3 ) 解答： .橢 圓 16 2 x ＋ 4 2 y ＝ 1 上 A(x1 , y1)﹐B(2 , 3 )﹐C(x2 , y2)﹐ 其 F(2 3 , 0)﹐ 若AF ﹐ 三有相異點 點焦 BF ﹐CF 成 x1＋x2＝ ﹒ ﹐則差等 4 解答： .試 P(－3 , 2)對 x2＋ 4y2 ＋2x－19＝ 0 所 ﹒ 點求過 圓橢 之切線方程式作 x － 4y＋11＝ 0 解答： .試 P(3 , 2)對 x2＋ 4y2 ＝ 5 所 ﹒ 點過求 橢圓 切線之程式作方 x － 4y＋ 5 ＝ 0 或 11x － 4y－25＝ 0 解答： .橢 16x2＋ 9y2 ＝ 144 上 P 到 3x－ 4y＝20的 ﹒ 圓 點動的 直線 為度長其﹐段線一為影投 解答： 5 2 24 .設 A(3 , 2)為 F (0 , 2)﹐F(3 , 1) 為 此以圓橢橢且﹐點一上圓 二焦點﹐則 (1) 橢 ﹒ 圓方程式為 (2) 過 A 且 ﹒ 圓相切的直線與程式為橢方
(1)7x2 ＋ 6xy ＋ 15y2－ 30x － 54y ＋39＝0﹐(2)x＋ y － 5 ＝ 0 解答：
.兩 A(3 , 5)﹐B( － 10 , 4)﹐ 動 P(x , y)﹐ 若PA ：PB ＝ 2 ： 3﹐ 則 P 之 ﹒ 點定 點 點 軌跡方程式為 5x2 ＋ 5y2 －134x－ 58y － 158 ＝ 0 解答： .橢 圓 4 2 x ＋y2＝1 上 A(0 , －1)﹐B( 兩點 5 6 , 5 4 )﹔ 若 C(x0 , y0) 為 C 在則﹐一點另上圓橢 時 ABC 面 ﹒ ﹐得△ 積之最大值 ( －
6
解答：10
, 10 1 )﹐
5 1 10 3 ＋ .過 1﹕
橢圓 3 1 2 － x ＋
4 2 2 － y ＝ 4 1 ﹐ 2﹕4x2＋ 3y2 － 18y ＋25＝ 0 兩 L﹐ 交點之直線 其 ﹐ 2 中 L 之 ﹒ 式方程為 點到線心 距離為 4x－ 3y＋ 6 ＝ 0﹐ 解答： 5 3 .設 A﹐B﹐ 短 C﹐D﹒ 在 D 點 10 運動場地﹐令長軸兩頂點形圓有一橢 點頂兩軸 豎有一垂直地面的旗竿﹐高 公 C 點 22.5°﹐而
ACD＝ 60°﹐ 則 CD 之 ﹐若尺從 角到地仰面竿頂的 短軸 長度為 公 AB 之 公 尺﹐長軸 為度長 尺﹒ 10( 2 ＋1)﹐10( 6 ＋ 3 ) 解答： .在 x ＝ 1 之 F(1 , 0)之 標平面上﹐到直線坐 － 點離到是距 的其﹐圓橢個一是形圖的成形所點有所的倍兩離距中 F(1 , 0)為 F的 ﹒ 圓此一橢之焦點另則﹐點焦一一 坐標為 ( 解答： 3 7 , 0).如圖﹐圓 O的半徑為6﹐F的坐標為(4,0)﹐Q在圓O上﹐P 為
FQ
的中垂線與OQ
的交點﹔當Q在圓O上移動時﹐動點P 的軌跡方程式為 ＋ ＝1﹒
解答： 9 2 2 － x ﹐
5 0 2 － y .設 (p , 0) 為 橢圓 4 2 x ＋ 1 2 y ＝ 1 的 0 < p < 長軸上一定點﹐且 2 3 ﹒若 (a , b) 為 (p , 0) 點 橢圓上距離 最 a ＝ ﹒ p 的 近之點﹐則 （以 函數表示）4
解答：3
p
.焦 ( 3 , 0)﹐( 3 , 0)﹐ 且 (2 , － 1) 的 ﹒ 為點 過點 橢圓方程式為 解答： 26
x
＋ 23
y
＝1 .橢 (3 , 2)﹐ 且 圓過點 與 29
x
＋ 24
y
＝1 共 ﹒ ﹐橢圓方點式為焦程 解答： 215
x
＋ 210
y
＝1 .AP 的 L﹐B 為AP 之 A 在 x 軸 B 在 y 軸 P 的 長為定值 中點﹐ 移﹐動上 上移動﹐試求 軌跡方程式 為 ﹒ 4x2 ＋y2＝L2 解答： .若 C 與 C1﹕(x － 1)2 ＋y2＝1﹐C2﹕(x＋ 1)2 ＋y2＝16相 圓 圓定二 切 (1) 當 C 與C1外 C 的 ﹒ ﹐時切 圓心軌方程式為跡 (2) 當 C 與C1內 C 的 ﹒ ﹐時切 圓心軌方程式為跡 (1) 解答： 24
25
x
＋ 24
21
y
＝1﹐(2) 24
9
x
＋ 24
5
y
＝1 .焦 ( － 1 , 1)﹐(7 , 1)﹐ 長 ( － 2 , 1)﹐(8 , 1)﹐ 則 ﹒ 點 端點兩的軸 為式程方的圓求橢 解答： 25 ) 3 (x－ 2 ＋ 9 ) 1 (y－ 2 ＝1 .長 x=5 上 y=1 上 3 線軸直在 軸在短線﹐直 ﹐短軸為長軸的 5 倍 12﹐ ﹐中心到焦點的距離為 則 ﹒ 求橢圓的方程式為 解答： 81 ) 5 (x－ 2 ＋ 225 ) 1 (y－ 2 ＝1 .中 (1 , 2)﹐ 二 6﹐ 長 8﹐ 則 ﹒ 為心 距焦為的間離點 為軸長 求橢的方程式為圓解答： 16 ) 1 (x－ 2 ＋ 7 ) 2 (y－ 2 ＝1 或 7 ) 1 (x－ 2 ＋ 16 ) 2 (y－ 2 ＝ 1 .中 ( 心為原點﹐軸為坐標軸﹐通過 2 3 , 3 )﹐( －1 , 3 2 4 )﹐ 則 ﹒ 圓的方橢式為求程 解答： 9 2 x ＋ 2
4
y
＝ 1 .長 5﹐3﹐兩 (c , 0)﹐( － c , 0)﹐則 ﹒ ﹐之軸軸短為別分長半 焦點 為式方程的圓橢求 解答： 25 2 x + 9 2 y ＝ 1 .中 y 軸 8﹐4﹐則 ﹒ 焦心為原點點在﹐ 軸別﹐﹐為分長長半之短軸 為式程方的圓求橢 解答： 16 2 x ＋ 64 2 y ＝ 1 .中 x 軸 6﹐ 正 3﹐ 則 ﹒ 在焦為原點心﹐點 為軸半之﹐長長 焦為長弦 求橢的方程式為圓 解答： 36 2 x ＋ 9 2 y ＝1 .中 ( 長 ) 為 (5 , 0)﹐ 正 18 ﹐一頂點點心原為 端點軸 焦弦長為 5 ﹐ ﹒ 橢圓的方求式為則程 解答： 25 2 x ＋ 9 2 y ＝1 .過 (3 , 1) 且 (x － 3)2 ＋(y ＋ 3)2 ＝36相 ﹒ 與 之圓切為式程方跡軌圓的心
解答： 5 3 2 x ＋
9 12 y ＝1 .過 (3 , 0) 且 (x ＋ 3)2 ＋y2＝64相 ﹒ 與 之圓切為式程方跡軌圓的心 解答： 16 2 x ＋ 7 2 y ＝1 .若 C 與 C1﹕(x ＋ 1)2 ＋y2＝1 外 C2﹕(x － 1)2 ＋y2＝16內 C 的 圓 圓定二 ﹐切 圓﹐則切 圓心軌跡方程式為 ﹒ 解答： 25 4x2 ＋ 21 4y2 ＝1 .橢 :25x2＋ 9y2 － 50x － 36y － 164 ＝ 0 二 F﹐F'﹐P 為 PF =3﹐則PF ＝ 圓 點焦 一點﹐若上圓橢 ﹒ 7 解答： .橢
圓﹕ 9 2 2 x +
5 12 y ＝ 1﹐ 上 P(－1 , 一點 3 10 2 3＋ ) 到 ﹒ 焦點的距二和為其離 6 解答： .k>0﹐ 橢 圓﹕ k x2 + 4 2 y ＝ 1 上 8﹐ 則k= ﹒ 到二焦點的距任和為點一離 16 解答：.Γ: 2 2 a x ＋ 1 2 2 a y ＝ 1 (1) 若 Γ 為 a 之 ﹒ 橢圓﹐則 範圍為 (2) 若 Γ 沒 a 之 ﹒ 有圖形﹐則 範圍為 (1)a > 解答： 2 1 ﹐a≠3﹐(2)a ＜ 2 － .設 Γ﹕ 橢圓 4 2 x ＋ y2＝1 與 L﹕y＝ 直線 3 1 x ＋ k 交 k 之 ﹒ 兩點﹐求異於相 圍為範 解答：－ 3 13 ＜ k ＜ 3 13 [ 證 ][- ． ] 明題 橢圓 .設 a ＞ b ＞0﹐P之 (x1 , y1) 滿 坐標 足 2 2 1
